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9.1　向量概念 (教学方式:基本概念课——逐点理清式教学)
[课时目标]
1.通过对力、速度、位移等的分析,了解平面向量的实际背景,会用有向线段和字母表示向量.
2.理解向量的有关概念:零向量与单位向量、向量的模与夹角、两向量的关系(平行与垂直)等.
逐点清(一)　向量的概念与表示
[多维理解]
1.向量的定义与表示
定义 既有　　　又有　　　的量叫作向量
表示 方法 ①几何表示:向量常用一条有向线段来表示,有向线段的长度表示向量的　　　,箭头所指的方向表示向量的　　　　.以A为起点、B为终点的向量记为　　　. ②字母表示:用小写字母a,b,c来表示
2.模、零向量、单位向量
长度(模) 向量的　　称为向量的长度(或称为模),记作　　　
零向量 长度为　　的向量称为零向量,记作0,零向量的方向是任意的
单位向量 长度等于　　　　　　　　的向量,叫作单位向量
|微|点|助|解| 　
(1)书写向量时带箭头.
(2)向量强调长度和方向两个元素.
(3)有向线段与向量不是同一概念,有向线段有起点、长度、方向三个要素.
(4)零向量方向任意,不能认为零向量无方向.
(5)向量不能比较大小,向量的模为非负实数,能比较大小.
[微点练明]
1.(多选)已知向量a如图所示,下列说法正确的是 (　　)
A.也可以用表示 B.方向是由M指向N
C.起点是M D.终点是M
2.下列命题正确的是 (　　)
A.温度有零上和零下之分,所以温度是向量
B.向量的模是一个非负实数
C.有向线段由方向和长度两个要素确定
D.向量a是单位向量,向量b也是单位向量,则向量a与向量b是同一向量
3.在同一平面内,把所有长度为1的向量的起点固定在同一点,那么这些向量的终点形成的图形是 (　　)
A.单位圆 B.一段弧
C.线段 D.直线
4.一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点,然后又改变方向,向西偏北50°的方向行驶了200 km到达C点,最后又改变方向,向东行驶了100 km到达D点.
(1)作出向量,,;
(2)求||.
　　　　　　　逐点清(二)　平行向量、相等向量及相反向量
[多维理解]
平行 向量 方向　　　　　的非零向量叫作平行向量,平行向量又称为共线向量. ①记法:向量a与向量b平行,记作　　　. ②规定:零向量与　　　　　平行
相同的 向量 所有长度　　　且方向　　　的向量都看作相同的向量.向量a与b是相同的向量,也称a与b相等,记作　　　　
相反 向量 ①把与向量a长度相等,方向　　　的向量叫作a的相反向量,记作　　　　,a与-a互为相反向量.对任意一个向量a,总有-(-a)=　　　. ②规定:零向量的相反向量仍是　　　
|微|点|助|解| 　
(1)向量共线有三种情形:①共线且同向;②共线且反向;③有一个是零向量.
(2)共线向量也就是平行向量,其要求是几个非零向量的方向相同或相反,当然向量所在的直线可以平行,也可以重合,其中“平行”的含义不同于平面几何中“平行”的含义.要特别注意零向量与任意向量平行,忽视这一点容易出现错误.
[微点练明]
1.已知向量a与b是两个不平行的向量,若a∥c且b∥c,则c等于 (　　)
A.0 B.a
C.b D.不存在这样的向量
2.如图,在四边形ABCD中,若=,则图中相等的向量是 (　　)
A.与
B.与
C.与
D.与
3.(多选)如图所示,每个小正方形的边长都是1,在其中标出了6个向量,则在这6个向量中 (　　)
A.向量,的模相等
B.||=
C.向量,共线
D.||+||=10
4.如图,E,F,G依次是正三角形ABC的边AB,BC,AC的中点.
(1)在以A,B,C,E,F,G为起点或终点的向量中,找出与向量共线的向量;
(2)在以A,B,C为起点,E,F,G为终点的向量中,找出与向量的模相等的向量;
(3)在以E,F,G为起点,A,B,C为终点的向量中,找出与向量相等的向量.
逐点清(三)　向量的夹角与垂直
[多维理解]
(1)定义:对于两个非零向量a和b,在平面内任取一点O,作=a,=b,∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a与b的夹角(如图所示).
(2)范围:　　　　　.
(3)当θ=　　　时,a与b同向;
当θ=　　　时,a与b反向;
当θ=　　　时,则称向量a与b垂直,记作a⊥b.
|微|点|助|解| 　
(1)两向量的夹角是对两个非零向量而言的,零向量与任一向量不存在夹角问题.
(2)两个向量只有起点重合时所对应的角才是向量的夹角.
[微点练明]
1.在△ABC中,AB=,BC=1,AC=2,则向量与的夹角为 (　　)
A. B.
C. D.
2.如图,已知等腰梯形ABCD中,AD∥BC,A=60°,则下列说法正确的是 (　　)
A.和的夹角为0°
B.与的夹角为60°
C.与的夹角为120°
D.与的夹角为60°
3.如图,已知以O为圆心,1为半径的圆上有8个等分点A,B,C,D,E,F,G,H,以图中标出的9个点为起点和终点作向量.
(1)与的夹角是多少
(2)与垂直的向量有哪些
9.1　向量概念
[多维理解]　1.大小　方向　大小　方向　　2.大小　||　0　1个单位长度
[微点练明]
1.ABC
2.选B　温度虽有大小却无方向,故不是向量,A错误;易知B正确;有向线段由起点、方向、长度三要素组成,C错误;单位向量只要求长度等于1个单位长度,但方向未确定,D错误.
3.选A　由单位向量的定义知,这些向量终点都在单位圆上.
4.解:(1)向量,,,如图所示.
(2)由题意,可知AB∥CD,∵||=||,
∴在四边形ABCD中,AB∥CD且AB=CD,∴四边形ABCD为平行四边形,∴AD=BC,∴||=200.
[多维理解]　相同或相反　a∥b　任一向量　相等　相同　a=b　相反　-a　a　零向量
[微点练明]
1.选A　零向量与任一向量是共线向量,故c=0满足条件.若c≠0,则a∥c且b∥c,得到a∥b,这与条件矛盾,排除.综上所述,c=0,故选A.
2.选C　由=,可得四边形ABCD为平行四边形.与互为相反向量,A错误;与互为相反向量,B错误;与满足相等向量的定义,C正确;与方向不同不满足相等向量的定义,D错误.故选C.
3.选BC　因为||==,||==2,所以||≠||,A错误.||==,B正确.因为∠CDG=∠CFH=45°,所以DG∥HF.所以向量,共线,C正确.
||+||=2+=5≠10,D错误.
4.解:(1)因为E,F分别为AB,BC的中点,所以EF∥AC,且EF=AC,所以与向量共线的向量为,,,,,,.
(2)因为△ABC是正三角形,所以AB=AC=BC.因为E,F,G依次是正△ABC的边AB,BC,AC的中点,所以AE=EB=GF=EF=GC=AG=BF=FC=EG,所以在以A,B,C为起点,E,F,G为终点的向量中,与向量的模相等的向量为,,,,,.
(3)在以E,F,G为起点,A,B,C为终点的向量中,与向量相等的向量为.
[多维理解]　(2)0°≤θ≤180°　(3)0°　180°　90°
[微点练明]
1.选D　∵AB2+BC2=AC2,∴△ABC为直角三角形,且B=,∠BCA=.如图,延长AC至D,使AC=CD,则=,所以∠BCD即为向量与的夹角,则∠BCD=π-=.
2.选D　根据向量夹角的定义,知和的夹角为180°,与的夹角为120°,与的夹角为60°,与的夹角为60°,故选D.
3.解:(1)由题意,得弧DE所对的圆心角是45°,即有∠DOE=45°,所以与的夹角为45°.
(2)由题易知BF是圆O的直径,OD⊥BF,CE∥BF∥AG,如图所示,所以与垂直的向量有,,,,,,,,,.(共53张PPT)
9.1
向量概念
(教学方式:基本概念课——逐点理清式教学)
课时目标
1.通过对力、速度、位移等的分析,了解平面向量的实际背景,会用有向线段和字母表示向量.
2.理解向量的有关概念:零向量与单位向量、向量的模与夹角、两向量的关系(平行与垂直)等.
CONTENTS
目录
1
2
3
逐点清(一)　向量的概念与表示
逐点清(二) 平行向量、相等向量
及相反向量
逐点清(三)　向量的夹角与垂直
4
课时跟踪检测
逐点清(一)　向量的概念与表示
01
多维理解
1.向量的定义与表示
定义 既有_____又有_____的量叫作向量
表示 方法 ①几何表示:向量常用一条有向线段来表示,有向线段的长度表示向量的_____,箭头所指的方向表示向量的_____.以A为起点、B为终点的向量记为.
②字母表示:用小写字母a,b,c来表示
大小
方向
大小
方向
2.模、零向量、单位向量
长度(模) 向量的_____称为向量的长度(或称为模),记作_____
零向量 长度为_____的向量称为零向量,记作0,零向量的方向是任意的
单位向量 长度等于_______________的向量,叫作单位向量
大小
||
0
1个单位长度
|微|点|助|解|
(1)书写向量时带箭头.
(2)向量强调长度和方向两个元素.
(3)有向线段与向量不是同一概念,有向线段有起点、长度、方向三个要素.
(4)零向量方向任意,不能认为零向量无方向.
(5)向量不能比较大小,向量的模为非负实数,能比较大小.
微点练明
1.(多选)已知向量a如图所示,下列说法正确的是 (　　)
A.也可以用表示 B.方向是由M指向N
C.起点是M D.终点是M
√
√
√
2.下列命题正确的是 (　　)
A.温度有零上和零下之分,所以温度是向量
B.向量的模是一个非负实数
C.有向线段由方向和长度两个要素确定
D.向量a是单位向量,向量b也是单位向量,则向量a与向量b是同一向量
解析:温度虽有大小却无方向,故不是向量,A错误;易知B正确;
有向线段由起点、方向、长度三要素组成,C错误;
单位向量只要求长度等于1个单位长度,但方向未确定,D错误.
√
3.在同一平面内,把所有长度为1的向量的起点固定在同一点,那么这些向量的终点形成的图形是 (　　)
A.单位圆 B.一段弧
C.线段 D.直线
解析:由单位向量的定义知,这些向量终点都在单位圆上.
√
4.一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点,然后又改变方向,向西偏北50°的方向行驶了200 km到达C点,最后又改变方向,向东行驶了100 km到达D点.
(1)作出向量,,;
解:向量,,,如图所示.
(2)求||.
解:由题意,可知AB∥CD,∵||=||,
∴在四边形ABCD中,AB∥CD且AB=CD,∴四边形ABCD为平行四边形,
∴AD=BC,∴||=200.
逐点清(二) 平行向量、相等向量
及相反向量
02
多维理解
平行 向量 方向____________的非零向量叫作平行向量,平行向量又称为共线向量.
①记法:向量a与向量b平行,记作_______.
②规定:零向量与__________平行
相同的 向量 所有长度_____且方向_____的向量都看作相同的向量.向量a与b是相同的向量,也称a与b相等,记作______
相反 向量 ①把与向量a长度相等,方向______的向量叫作a的相反向量,记作_____,a与-a互为相反向量.对任意一个向量a,总有-(-a)=______.
②规定:零向量的相反向量仍是________
相同或相反
a∥b
任一向量
相等
相同
a=b
相反
-a
a
零向量
|微|点|助|解|
(1)向量共线有三种情形:①共线且同向;②共线且反向;③有一个是零向量.
(2)共线向量也就是平行向量,其要求是几个非零向量的方向相同或相反,当然向量所在的直线可以平行,也可以重合,其中“平行”的含义不同于平面几何中“平行”的含义.要特别注意零向量与任意向量平行,忽视这一点容易出现错误.
微点练明
1.已知向量a与b是两个不平行的向量,若a∥c且b∥c,则c等于 (　　)
A.0　　　　　　 B.a
C.b　　　　　　 D.不存在这样的向量
解析:零向量与任一向量是共线向量,故c=0满足条件.若c≠0,则a∥c且b∥c,得到a∥b,这与条件矛盾,排除.综上所述,c=0,故选A.
√
2.如图,在四边形ABCD中,若=,则图中相等的向量是(　　)
A.与
B.与
C.与
D.与
√
解析:由=,可得四边形ABCD为平行四边形.与互为相反向量,
A错误;
与互为相反向量,B错误;
与满足相等向量的定义,C正确;
与方向不同不满足相等向量的定义,D错误.故选C.
√
3.(多选)如图所示,每个小正方形的边长都是1,在其中标出了6个向量,则在这6个向量中 (　　)
A.向量,的模相等
B.||=
C.向量,共线
D.||+||=10
√
解析:因为||==,||==2,所以||≠||,
A错误.
||==,B正确.
因为∠CDG=∠CFH=45°,所以DG∥HF.所以向量,共线,C正确.
||+||=2+=5≠10,D错误.
4.如图,E,F,G依次是正三角形ABC的边AB,BC,AC的中点.
(1)在以A,B,C,E,F,G为起点或终点的向量中,找出与向量共线的向量;
解:因为E,F分别为AB,BC的中点,所以EF∥AC,且EF=AC,所以与向量共线的向量为,,,,,,.
(2)在以A,B,C为起点,E,F,G为终点的向量中,找出与向量的模相等的向量;
解:因为△ABC是正三角形,所以AB=AC=BC.因为E,F,G依次是正△ABC的边AB,BC,AC的中点,所以AE=EB=GF=EF=GC=AG=BF=FC=EG,所以在以A,B,C为起点,E,F,G为终点的向量中,与向量的模相等的向量为,,,,,.
(3)在以E,F,G为起点,A,B,C为终点的向量中,找出与向量相等的向量.
解:在以E,F,G为起点,A,B,C为终点的向量中,与向量相等的向量为.
逐点清(三)　向量的夹角与垂直
03
多维理解
(1)定义:对于两个非零向量a和b,在平面内任取一点O,作=a,=b,∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a与b的夹角(如图所示).
(2)范围:________________.
(3)当θ=_____时,a与b同向;当θ=______时,a与b反向;
当θ=_____时,则称向量a与b垂直,记作a⊥b.
0°≤θ≤180°
0°
180°
90°
|微|点|助|解|
(1)两向量的夹角是对两个非零向量而言的,零向量与任一向量不存在夹角问题.
(2)两个向量只有起点重合时所对应的角才是向量的夹角.
微点练明
1.在△ABC中,AB=,BC=1,AC=2,则向量与的夹角为(　　)
A.　 B.　　 C.　 D.
√
解析:∵AB2+BC2=AC2,∴△ABC为直角三角形,
且B=,∠BCA=.如图,延长AC至D,使AC=CD,
则=,所以∠BCD即为向量与的夹角,
则∠BCD=π-=.
2.如图,已知等腰梯形ABCD中,AD∥BC,A=60°,
则下列说法正确的是 (　　)
A.和的夹角为0°
B.与的夹角为60°
C.与的夹角为120°
D.与的夹角为60°
√
解析:根据向量夹角的定义,知和的夹角为180°,与的
夹角为120°,与的夹角为60°,与的夹角为60°,故选D.
3.如图,已知以O为圆心,1为半径的圆上有8个等分点A,B,C,D,E,F,G,H,以图中标出的9个点为起点和终点作向量.
(1)与的夹角是多少
解:由题意,得弧DE所对的圆心角是45°,即有∠DOE=45°,所以与的夹角为45°.
(2)与垂直的向量有哪些
解:由题易知BF是圆O的直径,OD⊥BF,
CE∥BF∥AG,如图所示,所以与垂直的向量有,,,,,,,,,.
课时跟踪检测
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√
1.汽车以120 km/h的速度向西走了2 h,摩托车以45 km/h的速度向东北方向走了2 h,则下列命题正确的是 (　　)
A.汽车的速度大于摩托车的速度
B.汽车的位移大于摩托车的位移
C.汽车走的路程大于摩托车走的路程
D.以上都不对
解析:速度、位移是向量,既有大小,又有方向,不能比较大小,路程可以比较大小.
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√
2.如图,在正方形ABCD中,与的夹角为
(　　)
A.30° B.90°
C.120° D.180°
解析:因为ABCD是正方形,所以向量与的夹角是90°.
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√
3.下列结论正确的是 (　　)
A.零向量的大小为0,没有方向
B.||=||
C.起点相同的单位向量,终点必相同
D.若两个单位向量平行,则这两个单位向量相等
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解析:既有大小又有方向的量叫向量,则零向量既有大小又有方向,故A错误;
由于与方向相反,长度相等,故B正确;
起点相同的单位向量,终点不一定相同,故C错误;
若两个单位向量平行,则这两个单位向量相等或相反,故D错误.
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4.在四边形ABCD中,AC与BD交于点O,且=,=,||=||,则(　　)
A.AC⊥BD
B.四边形ABCD是梯形
C.四边形ABCD是菱形
D.四边形ABCD是矩形
解析:由=,=,||=||,知四边形ABCD的对角线互相平分且相等,所以四边形ABCD为矩形.
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5.(多选)下列命题正确的是 (　　)
A.若a≠b,则|a|≠|b| B.若a=b,则a∥b
C.若|a|>|b|,则a>b D.若|a|=0,则a=0
解析:当a=-b时,不满足|a|≠|b|,A错误;
若a=b,则a∥b,B正确;
若|a|>|b|,则a与b不能比较大小,C错误;
若|a|=0,则a=0,D正确.
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6.(多选)如图,在正六边形ABCDEF中,点O为其中心,则下列判断正确的是 (　　)
A.=
B.∥
C.||=||
D.=
√
√
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解析:由题图可知,||=||,但,的方向不同,故≠,D不正确,其余均正确,故选ABC.
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7.在如图所示的半圆中,AB为直径,点O为圆心,C为半圆上一点,且∠OCB=30°,||=2,则||等于(　 )
A.1 B.
C. D.2
解析:如图,连接AC,由||=||,得∠ABC=∠OCB=30°.
因为C为半圆上的点,所以∠ACB=90°.所以||=||=1.
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8.如图是3×4的格点图(每个小方格都是单位正方形),若起点和终点都在方格的顶点处,则与平行且模为的向量共有(　　)
A.12个 B.18个
C.24个 D.36个
√
解析:每个正方形的边长为1,则对角线长为,每个小正方形中存在两个与平行且模为的向量,一共有12个正方形,故共有24个所求向量.
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9.如图,等腰梯形ABCD中,对角线AC与BD交于点P,点E,F分别在两腰AD,BC上,EF过点P,且EF∥AB,则下列等式成立的是 (　　)
A.= B.=
C.= D.=
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解析:根据相同的向量的定义,A中,与的方向不同,故A错误;
B中,与的方向不同,故B错误;
C中,与的方向相反,故C错误;
D中,与的方向相同,且长度都等于线段EF长度的一半,故D正确.
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10.(多选)如图所示,四边形ABCD,CEFG,CGHD是全等的菱形,则下列结论一定成立的是 (　　)
√
A.||=|| B.||=||
C.= D.=-
√
√
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解析:∵四边形ABCD,CEFG,CGHD是全等的菱形,∴∠DCG+
∠GCE=180°,即D,C,E三点共线,∴AB=EF,CD=FG,AB∥DC∥
HG∥HF,即||=||,=-,与共线,且||=||,A、
B、D正确;若与共线,则必有∠BDC=∠HED,即∠GCE=
2∠BDC=2∠HED,该条件不一定成立,如∠GCE=90°时,
∠HED≠45°,故与共线不一定成立.
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11.如图所示,已知正方形ABCD的边长为2,O为其中心,则=　　　.
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12.如图,O是正三角形ABC的中心,四边形AOCD和AOBE均为平行四边形,则与向量共线的向量为　　 　;与向量的夹角为120°的向量为　　　　　　　.(填图中所画出的向量)
,
,,
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解析:∵O是正三角形ABC的中心,∴OA=OB=OC.∴结合共线向量及向量夹角的定义可知与共线的向量为,;与的夹角为120°的向量为,,.
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13.窗,古时亦称为牖,它伴随着建筑的起源而出现,在中国建筑文化中是一种独具文化意蕴和审美魅力的重要建筑构件.如图,是某古代建筑群的窗户设计图,窗户的轮廓ABCD是边长为1米的正方形,内嵌一个小正方形EFGH,且E,F,G,H分别是AF,BG,CH,DE的中点,则与相等的向量为　　　　　　　,的相反向量为　　　　　　　　.
,,
,,,
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解析:因为四边形EFGH为正方形,所以EF=FG=GH=HE,且EF∥HG.又E,F,G,H分别是AF,BG,CH,DE的中点,所以BF=FG=GC=HD=AE.所以与相等的向量有,,.的相反向量有,,,.
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14.(12分)已知线段AB被n(n≥2)等分,等分点分别为M1,M2,M3,…,Mn-1.从这(n+1)个点中任取两点作为向量的起点和终点.
(1)当n=4时,一共可以构成多少个互不相等的非零向量
解:当n=4时,等分点有M1,M2,M3,共3个,则从5个点中任取两点作为向量的起点和终点,构成互不相等的非零向量.当模长为||时,有2个,为,
,当模长为||时,有2个,为,,
当模长为||时,有2个,为,,当模长为||时,有2个,为,,总共有8个.
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(2)求互不相等的非零向量的总数,用n表示.
解:由(1)知,当模长为||时,有2个,当模长为||时,有2个,当模长为||时,有2个,依次类推,当模长为||时,有2个,总共有2n个.
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15.(13分)如图所示,平行四边形ABCD中,O是两对角线AC,BD的交点,设点集S={A,B,C,D,O},向量集合T={|M,N∈S,且M,N不重合},试求集合T中元素的个数.
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解:由题可知,S中任意两点连成的有向线段共有20个,即,,,
;,,,;,,,;,,,;,,,.由平行四边形的性质可知,共有8对向量相等,即=,=,
=,=,=,=,=,=.又集合元素具有互异性,故集合T中的元素共有12个.课时跟踪检测(一)　向量概念
(满分90分,选填小题每题5分)
1.汽车以120 km/h的速度向西走了2 h,摩托车以45 km/h的速度向东北方向走了2 h,则下列命题正确的是 (　　)
A.汽车的速度大于摩托车的速度
B.汽车的位移大于摩托车的位移
C.汽车走的路程大于摩托车走的路程
D.以上都不对
2.如图,在正方形ABCD中,与的夹角为 (　　)
A.30° B.90°
C.120° D.180°
3.下列结论正确的是 (　　)
A.零向量的大小为0,没有方向
B.||=||
C.起点相同的单位向量,终点必相同
D.若两个单位向量平行,则这两个单位向量相等
4.在四边形ABCD中,AC与BD交于点O,且=,=,||=||,则 (　　)
A.AC⊥BD B.四边形ABCD是梯形
C.四边形ABCD是菱形 D.四边形ABCD是矩形
5.(多选)下列命题正确的是 (　　)
A.若a≠b,则|a|≠|b| B.若a=b,则a∥b
C.若|a|>|b|,则a>b D.若|a|=0,则a=0
6.(多选)如图,在正六边形ABCDEF中,点O为其中心,则下列判断正确的是 (　　)
A.=
B.∥
C.||=||
D.=
7.在如图所示的半圆中,AB为直径,点O为圆心,C为半圆上一点,且∠OCB=30°,||=2,则||等于 (　　)
A.1 B.
C. D.2
8.如图是3×4的格点图(每个小方格都是单位正方形),若起点和终点都在方格的顶点处,则与平行且模为的向量共有 (　　)
A.12个 B.18个
C.24个 D.36个
9.如图,等腰梯形ABCD中,对角线AC与BD交于点P,点E,F分别在两腰AD,BC上,EF过点P,
且EF∥AB,则下列等式成立的是 (　　)
A.= B.=
C.= D.=
10.(多选)如图所示,四边形ABCD,CEFG,CGHD是全等的菱形,则下列结论一定成立的是 (　　)
A.||=|| B.||=||
C.= D.=-
11.如图所示,已知正方形ABCD的边长为2,O为其中心,则=　　　　.
12.如图,O是正三角形ABC的中心,四边形AOCD和AOBE均为平行四边形,则与向量共线的向量为　　　;与向量的夹角为120°的向量为　　　　　　　.(填图中所画出的向量)
13.窗,古时亦称为牖,它伴随着建筑的起源而出现,在中国建筑文化中是一种独具文化意蕴和审美魅力的重要建筑构件.如图,是某古代建筑群的窗户设计图,窗户的轮廓ABCD是边长为1米的正方形,内嵌一个小正方形EFGH,且E,F,G,H分别是AF,BG,CH,DE的中点,则与相等的向量为　　　　　　　　　,的相反向量为　　　　　　　　.
14.(12分)已知线段AB被n(n≥2)等分,等分点分别为M1,M2,M3,…,Mn-1.从这(n+1)个点中任取两点作为向量的起点和终点.
(1)当n=4时,一共可以构成多少个互不相等的非零向量
(2)求互不相等的非零向量的总数,用n表示.
15.(13分)如图所示,平行四边形ABCD中,O是两对角线AC,BD的交点,设点集S={A,B,C,D,O},向量集合T={|M,N∈S,且M,N不重合},试求集合T中元素的个数.
课时跟踪检测(一)
1．选C　速度、位移是向量，既有大小，又有方向，不能比较大小，路程可以比较大小．
2．选B　因为ABCD是正方形，所以向量与的夹角是90°.
3．选B　既有大小又有方向的量叫向量，则零向量既有大小又有方向，故A错误；由于与方向相反，长度相等，故B正确；起点相同的单位向量，终点不一定相同，故C错误；若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等或相反，故D错误．
4．选D　由＝，＝，||＝||，知四边形ABCD的对角线互相平分且相等，所以四边形ABCD为矩形．
5．选BD　当a＝－b时，不满足|a|≠|b|，A错误；若a＝b，则a∥b，B正确；若|a|>|b|，则a与b不能比较大小，C错误；若|a|＝0，则a＝0，D正确．
6．选ABC　由题图可知，||＝||，但，的方向不同，故≠，D不正确，其余均正确，故选ABC.
7.选A　如图，连接AC，由||＝||，得∠ABC＝∠OCB＝30°.因为C为半圆上的点，所以∠ACB＝90°.
所以||＝||＝1.
8．选C　每个正方形的边长为1，则对角线长为，每个小正方形中存在两个与平行且模为的向量，一共有12个正方形，故共有24个所求向量．
9．选D　根据相同的向量的定义，A中，与的方向不同，故A错误；B中，与的方向不同，故B错误；C中，与的方向相反，故C错误；D中，与的方向相同，且长度都等于线段EF长度的一半，故D正确．
10．选ABD　∵四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，∴∠DCG＋∠GCE＝180°，即D，C，E三点共线，∴AB＝EF，CD＝FG，AB∥DC∥HG∥HF，即||＝||，＝－，与共线，且||＝||，A、B、D正确；若与共线，则必有∠BDC＝∠HED，即∠GCE＝2∠BDC＝2∠HED，该条件不一定成立，如∠GCE＝90°时，∠HED≠45°，故与共线不一定成立．
11.
12．解析：∵O是正三角形ABC的中心，∴OA＝OB＝OC.∴结合共线向量及向量夹角的定义可知与共线的向量为，；与的夹角为120°的向量为，，.
答案：，　，，
13．解析：因为四边形EFGH为正方形，所以EF＝FG＝GH＝HE，且EF∥HG.又E，F，G，H分别是AF，BG，CH，DE的中点，所以BF＝FG＝GC＝HD＝AE.所以与相等的向量有，，.的相反向量有，，，.
答案：，，　，，，
14．解：(1)当n＝4时，等分点有M1，M2，M3，共3个，则从5个点中任取两点作为向量的起点和终点，构成互不相等的非零向量．当模长为||时，有2个，为，，当模长为||时，有2个，为，，
当模长为||时，有2个，为，，当模长为||时，有2个，为，，总共有8个．
(2)由(1)知，当模长为||时，有2个，当模长为||时，有2个，当模长为||时，有2个，依次类推，当模长为||时，有2个，总共有2n个．
15．解：由题可知，S中任意两点连成的有向线段共有20个，即，，，；，，，；，，，；，，，；，，，.由平行四边形的性质可知，共有8对向量相等，即＝，＝，＝，＝，＝，＝，＝，＝.又集合元素具有互异性，故集合T中的元素共有12个．

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