资源简介

9.2.1　向量的加减法
第1课时　向量的加法 (教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学)
[课时目标]
1.借助实例和平面向量的几何表示,掌握平面向量加法运算及运算规则.
2.理解平面向量加法的几何意义,会用向量的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.
3.掌握向量加法的交换律和结合律,并会用它们进行向量的计算.
1.向量加法的定义
求　　　　　　的运算叫作向量的加法.
2.向量加法的两种法则
法则 图示
已知向量a和b,在平面内任取一点O,作=a,=b,则向量叫作　　　　　　,记作　　　　.即a+b=+=　　　　
分别作=a,=b,以OA,OC为邻边作 OABC,则以O为起点的对角线表示的向量就是向量a与b的和
特例 ①任一向量与其相反向量的和是零向量,即a+(-a)=　　　　　=　　　. ②对于零向量和任一向量a,我们规定a+0=　　　　=　　　　
|微|点|助|解| 　
　　平行四边形法则与三角形法则的区别与联系
区别 (1)三角形法则中强调“首尾相接”,平行四边形法则中强调“共起点”. (2)三角形法则适用于所有的非零向量求和,而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和
联系 平行四边形法则与三角形法则在本质上是一致的.这两种求向量和的方法,通过向量平移能相互转化,解决具体问题时视情况而定
3.向量加法的运算律
交换律 a+b=　　　 　　　　　　
结合律 (a+b)+c=　　　　　　
|微|点|助|解| 　
(1)向量加法的交换律、结合律对任意向量都成立.
(2)因为向量的加法满足交换律和结合律,所以多个向量的加法运算就可以按照任意的次序与任意的组合进行.如(a+b)+(c+d)=(a+c)+(b+d),a+b+c+d+e=[d+(a+c)]+(b+e).
基础落实训练
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)任意两个向量的和仍然是一个向量. (　　)
(2)对于任意两个向量,都可利用平行四边形法则求出它们的和向量. (　　)
(3)如果a,b是共线的非零向量,那么a+b的方向必与a,b之一的方向相同. (　　)
(4)若a+b=0,则a=0且b=0. (　　)
2.在△ABC中,必有++等于 (　　)
A.0
B.0
C.任一向量
D.与三角形形状有关
3.在正方形ABCD中,||=1,则|+|=　　　　.
题型(一)　向量加法法则的应用
[例1]　(1)如图甲所示,求作向量和a+b;
(2)如图乙所示,请用三角形法则作向量和a+b+c.
听课记录:
　　[变式拓展]
本例(2)条件不变,请用平行四边形法则作向量和a+b+c.
　　|思|维|建|模|
　　用三角形法则求向量和,关键是抓住“首尾相连”,和向量是第一个向量的起点指向第二个向量的终点,平行四边形法则注意“共起点”.两种方法中,第一个向量的起点可任意选取,可在某一个向量上,也可在其他位置.两向量共线时,三角形法则仍适用,平行四边形法则不适用.
　　[针对训练]
1.如图,已知向量a,b,c,求作a+b+c.
题型(二)　向量加法及其运算律
[例2]　化简下列各式:
(1)++++;
(2)++;
(3)++;
(4)++++.
听课记录:
　　|思|维|建|模|
向量加法运算的注意点
(1)可以利用向量的几何表示,画出图形进行化简或计算.
(2)要灵活运用向量加法的运算律,注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序,特别注意勿将0写成0.
　　[针对训练]
2.如图,在矩形ABCD中,O为AC与BD的交点,则++= (　　)
A. B.
C. D.
3.向量++++=　　　　.
题型(三)　向量加法的实际应用
[例3]　在静水中船的速度为20 m/min,水流的速度为10 m/min,如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸,求船行进的方向.
听课记录:
　　[变式拓展]
　若本例条件不变,则经过3小时,该船的实际航程是多少
　　|思|维|建|模|
应用向量解决平面几何问题的基本步骤
表示 用向量表示有关量,将所要解答的问题转化为向量问题
运算 应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则,将有关向量进行运算,解答向量问题
还原 根据向量的运算结果,结合向量共线、相等等概念回答原问题
　　[针对训练]
4.一架执行任务的飞机从A地按北偏西30°的方向飞行300 km后到达B地,然后向C地飞行,已知C地在A地东偏北30°的方向处,且A,C两地相距300 km,求飞机从B地到C地飞行的方向及B,C间的距离.
第1课时　向量的加法
课前预知教材
1.两个向量和　2.a与b的和　a+b　　(-a)+a　0　0+a　a　3.b+a　a+(b+c)
[基础落实训练]
1.(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
2.B　3.
课堂题点研究
[例1]　解:(1)首先作向量=a,然后作向量=b,则向量=a+b.如图①所示.
(2)如图②所示,首先在平面内任取一点O,作向量=a,再作向量=b,则得向量=a+b,然后作向量=c,则向量=(a+b)+c=a+b+c.
[变式拓展]
解:如图所示,首先在平面内任取一点O,作向量=a,=b,=c,以OA,OB为邻边作 OADB,连接OD,则=+=a+b.再以OD,OC为邻边作 ODEC,连接OE,则=+=a+b+c.
[针对训练]
1.解:在平面内任取一点O,作=a,=b,=c,如图,则由向量加法的三角形法则,得=a+b,=a+b+c.
[例2]　解:(1)++++
=(+)+++=0.
(2)++=(+)+=+=.
(3)++=(+)+=.
(4)++++
=++(++)
=++=(+)+=+=0.
[针对训练]
2.选B　由平面向量加法的三角形法则和平行四边形法则,得++=+=.
3.解析:++++=(+)+(+)+=++=(+)+=+=.
答案:
[例3]　解:作出图形,如图.船速v船与岸的方向成α角,由图可知v水+v船=v实际,结合已知条件,四边形ABCD为平行四边形,
在Rt△ACD中,||=||=v水=10 m/min,||=|v船|=20 m/min,∴cos α===.∴α=60°,从而船与水流方向成120°角.故船行进的方向是与水流的方向成120°角的方向.
[变式拓展]
解:由题意可知||=||,
即v实际=v船=×20=10(m/min)
=(km/h),则经过3小时,该船的实际航程是3×=(km).
[针对训练]
4.解:如图所示,=+,∠BAC=90°,||=||=300 km,所以||=300 km.又因为∠ABC=45°,且A地在B地的东偏南60°的方向处,可知C地在B地的东偏南15°的方向处.故飞机从B地向C地飞行的方向是东偏南15°,B,C两地间的距离为300 km.(共45张PPT)
9.2.1
向量的加减法
向量的加法
(教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学)
第1课时
课时目标
1.借助实例和平面向量的几何表示,掌握平面向量加法运算及运算规则.
2.理解平面向量加法的几何意义,会用向量的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.
3.掌握向量加法的交换律和结合律,并会用它们进行向量的计算.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
1.向量加法的定义
求_____________的运算叫作向量的加法.
2.向量加法的两种法则
法则 图示
已知向量a和b,在平面内任取一点O,作=a,=b,则向量叫作__________,记作______.即a+b=+=
两个向量和
a与b的和
a+b
分别作=a,=b,以OA,OC为邻边作 OABC,则以O为起点的对角线表示的向量就是向量a与b的和
特例 ①任一向量与其相反向量的和是零向量,即a+(-a)=_______=___. ②对于零向量和任一向量a,我们规定a+0=______=____
续表
(-a)+a
0
0+a
a
|微|点|助|解|
　　平行四边形法则与三角形法则的区别与联系
区别 (1)三角形法则中强调“首尾相接”,平行四边形法则中强调“共起点”.
(2)三角形法则适用于所有的非零向量求和,而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和
联系 平行四边形法则与三角形法则在本质上是一致的.这两种求向量和的方法,通过向量平移能相互转化,解决具体问题时视情况而定
3.向量加法的运算律
交换律 a+b=______
结合律 (a+b)+c=__________
b+a
a+(b+c)
|微|点|助|解|
(1)向量加法的交换律、结合律对任意向量都成立.
(2)因为向量的加法满足交换律和结合律,所以多个向量的加法运算就
可以按照任意的次序与任意的组合进行.如(a+b)+(c+d)=(a+c)+(b+d),
a+b+c+d+e=[d+(a+c)]+(b+e).
基础落实训练
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)任意两个向量的和仍然是一个向量. (　 )
(2)对于任意两个向量,都可利用平行四边形法则求出它们的和向量. (　 )
(3)如果a,b是共线的非零向量,那么a+b的方向必与a,b之一的方向相同. (　 )
(4)若a+b=0,则a=0且b=0. (　 )
√
×
×
×
2.在△ABC中,必有++等于(　　)
A.0 B.0
C.任一向量 D.与三角形形状有关
3.在正方形ABCD中,||=1,则|+|=　　　　.
√
课堂题点研究·迁移应用融通
题型(一)　向量加法法则的应用
[例1]　(1)如图甲所示,求作向量和a+b;
解:首先作向量=a,然后作向量=b,则向量=a+b.如图①所示.
(2)如图乙所示,请用三角形法则作向量和a+b+c.
解:如图②所示,首先在平面内任取一点O,作向量=a,再作向量=b,则得向量=a+b,然后作向量=c,则向量=(a+b)+c=a+b+c.
变式拓展
本例(2)条件不变,请用平行四边形法则作向量和a+b+c.
解:如图所示,首先在平面内任取一点O,作向量=a,=b,=c,以OA,OB为邻边作 OADB,连接OD,则=+=a+b.再以OD,OC为邻边作 ODEC,连接OE,则=+=a+b+c.
|思|维|建|模|
　　用三角形法则求向量和,关键是抓住“首尾相连”,和向量是第一个向量的起点指向第二个向量的终点,平行四边形法则注意“共起点”.两种方法中,第一个向量的起点可任意选取,可在某一个向量上,也可在其他位置.两向量共线时,三角形法则仍适用,平行四边形法则不适用.
针对训练
1.如图,已知向量a,b,c,求作a+b+c.
解:在平面内任取一点O,作=a,=b,
=c,如图,则由向量加法的三角形法则,得=a+b,=a+b+c.
题型(二)　向量加法及其运算律
[例2]　化简下列各式:
(1)++++;
解:++++
=(+)+++=0.
(2)++;
解:++=(+)+=+=.
(3)++;
解:++=(+)+=.
(4)++++.
解:++++
=++(++)
=++=(+)+=+=0.
|思|维|建|模|
向量加法运算的注意点
(1)可以利用向量的几何表示,画出图形进行化简或计算.
(2)要灵活运用向量加法的运算律,注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序,特别注意勿将0写成0.
针对训练
2.如图,在矩形ABCD中,O为AC与BD的交点,则++=(　　)
A. B. C. D.
解析:由平面向量加法的三角形法则和平行四边形法则,得++
=+=.
√
3.向量++++=　　　　.
解析:++++=(+)+(+)+=++
=(+)+=+=.
题型(三)　向量加法的实际应用
[例3]　在静水中船的速度为20 m/min,水流的速度为10 m/min,
如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸,求船行进的方向.
解:作出图形,如图.船速v船与岸的方向成α角,由图可知v水+
v船=v实际,结合已知条件,四边形ABCD为平行四边形,
在Rt△ACD中,
||=||=v水=10 m/min,||=|v船|=20 m/min,
∴cos α===.
∴α=60°,从而船与水流方向成120°角.
故船行进的方向是与水流的方向成120°角的方向.
变式拓展
若本例条件不变,则经过3小时,该船的实际航程是多少
解:由题意可知||=||,
即v实际=v船=×20=10(m/min)
=(km/h),则经过3小时,该船的实际航程是3×=(km).
|思|维|建|模|
应用向量解决平面几何问题的基本步骤
表示 用向量表示有关量,将所要解答的问题转化为向量问题
运算 应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则,将有关向量进行运算,解答向量问题
还原 根据向量的运算结果,结合向量共线、相等等概念回答原问题
针对训练
4.一架执行任务的飞机从A地按北偏西30°的方向飞行300 km后到达B地,然后向C地飞行,已知C地在A地东偏北30°的方向处,且A,C两地相距300 km,求飞机从B地到C地飞行的方向及B,C间的距离.
解:如图所示,=+,∠BAC=90°,||=||=
300 km,所以||=300 km.又因为∠ABC=45°,且A地在B地的东偏南60°的方向处,可知C地在B地的东偏南15°的方向处.故飞机从B地向C地飞行的方向是东偏南15°,B,C两地间的距离为300 km.
课时跟踪检测
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
A级——达标评价
1.(多选)下列等式不正确的是(　　)
A.a+(b+c)=(a+c)+b
B.+=0
C.=++
D.|a+b|<|a|+|b|
解析:A正确;B错误,+=0;C正确;D错误,当a,b方向相同时,
|a+b|=|a|+|b|.故选BD.
√
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
2.已知正八边形ABCDEFGH如图所示,其中O为正八边形的中心,则++=(　　)
A. B.
C. D.
√
解析:由平面向量的加法法则及正八边形的性质,可得++=
+=+=.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
3.如图,四边形ABCD是梯形,AD∥BC,对角线AC与BD相交于点O,则+++等于(　　)
√
A. B. C. D.
解析:+++=(+)+(+)=+=.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
4.如图所示的方格纸中有定点O,P,Q,E,F,G,H,则+=(　　)
√
A.　　　　B.C.　　　　D.
解析:由题图易知,+=.故选C.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
5.(多选)设a=(+)+(+),b是一个非零向量,则下列结论正确的是(　　)
A.a∥b B.a+b=a
C.a+b=b D.|a+b|<|a|+|b|
解析:因为a=(+)+(+)=(+)+(+)=+=0,又b是一个非零向量,所以a∥b成立,A正确.
a+b=0+b=b,B不正确,C正确.
由|a+b|=|b|,|a|+|b|=|b|,可得|a+b|=|a|+|b|,D不正确.故选AC.
√
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
6.已知=a,=b,=c,=d,=e,则a+b+c+d=　　　　.
解析:a+b+c+d=+++==e.
e
7.如图,在 ABCD中,O是AC和BD的交点,则
(1)++=　　　　;
解析:++=(+)+=+=.
(2)++=　　　　.
解析: ++=(+)+=+=0.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
8.在边长为1的等边△ABC中,|+|=　　　,|+|=　　　.
解析:易知|+|=||=1.以AB,AC为邻边作平行四边形ABDC(图略),则|+|=||=2||sin 60°=2×1×=.
1
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
9.(10分)如图,点D,E,F分别为△ABC的三边AB,BC,CA的中点.求证:
(1)+=+;
证明:由向量加法的三角形法则,
知+=,+=,
故+=+.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
(2)++=0.
证明:由向量加法的平行四边形法则,
知=+,=+,=+,
故++=+++++=(+)+(+)+
(+)=0+0+0=0.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
10.(10分)已知||=|a|=3,||=|b|=3,∠AOB=60°,求|a+b|.
解:如图,作平行四边形OACB,∵||=||=3,
∴四边形OACB为菱形.连接OC,AB,则OC⊥AB,设垂足为D.∵∠AOB=60°,∴∠DOB=30°.
在Rt△BDO中,OD=,
∴|+|=||=×2=3,即|a+b|=3.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
B级——重点培优
11.已知||=10,||=7,则||的取值范围是(　　)
A.[3,17] B.(3,17)
C.(3,10) D.[3,10]
解析:利用三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边的性质及与共线时的情况求解.即||-||≤||≤||+||,故3≤||
≤17.故选A.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
12.若在△ABC中,=a,=b,且|a|=|b|=1,|a+b|=,则△ABC的形状是(　　)
A.等边三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.等腰直角三角形
解析:∵a+b=+=,∴||=||=1,||=,
∴||2+||2=||2.∴△ABC为等腰直角三角形.故选D.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
13.在矩形ABCD中,||=,||=2,则向量++的长度为　　　　.
解析:因为+=,所以++的长度为长度的2倍.又||==3,所以向量++的长度为2||=6.
6
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
14.(10分)如图,用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上,∠ACW=150°,∠BCW=120°,求A和B处所受力的大小.(绳子的重量忽略不计)
解:如图所示,设,分别表示A,B处所受的力,
10 N的重力用表示,
则+=.
由题意可得∠ECG=180°-150°=30°,∠FCG=
180°-120°=60°.
∴||=||cos 30°=10×=5(N),||=||cos 60°=10×=5(N).
∴A处所受的力为5 N,B处所受的力为5 N.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
15.(12分)如图,已知G是△ABC所在平面内一点.
求证:G是△ABC的重心的充要条件是++=0.
证明:(充分性)如右图1,以GB,GC为邻边作 GBEC,连接GE,交BC于点M,则M是BC的中点,也是GE的中点.因为+=,且++=0,所以=.于是可得点G在线段AM上,且AG=2GM.又AM是△ABC边BC上的中线,所以G是△ABC的重心.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
(必要性)如图2,延长AG交BC于点D,则由G是△ABC的重心,得D是BC的中点,且AG=2GD.
延长GD到E',使DE'=GD,连接E'B,E'C,则四边形GBE'C是平行四边形,所以+='=-,
故++=0.
综上,G是△ABC的重心的充要条件是++
=0.课时跟踪检测(二)　向量的加法
(满分100分,A级选填小题每题5分,B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1.(多选)下列等式不正确的是 (　　)
A.a+(b+c)=(a+c)+b
B.+=0
C.=++
D.|a+b|<|a|+|b|
2.已知正八边形ABCDEFGH如图所示,其中O为正八边形的中心,则++= (　　)
A. B.
C. D.
3.如图,四边形ABCD是梯形,AD∥BC,对角线AC与BD相交于点O,则+++等于 (　　)
A. B.
C. D.
4.如图所示的方格纸中有定点O,P,Q,E,F,G,H,则+= (　　)
A.　　　　　 B.
C.　　　　 　 D.
5.(多选)设a=(+)+(+),b是一个非零向量,则下列结论正确的是 (　　)
A.a∥b B.a+b=a
C.a+b=b D.|a+b|<|a|+|b|
6.已知=a,=b,=c,=d,=e,则a+b+c+d=　　　　.
7.如图,在 ABCD中,O是AC和BD的交点,则
(1)++=　　　　　;
(2)++=　　　　　.
8.在边长为1的等边△ABC中,|+|=　　　　　　,|+|=　　　　.
9.(10分)如图,点D,E,F分别为△ABC的三边AB,BC,CA的中点.求证:
(1)+=+;
(2)++=0.
10.(10分)已知||=|a|=3,||=|b|=3,∠AOB=60°,求|a+b|.
B级——重点培优
11.已知||=10,||=7,则||的取值范围是 (　　)
A.[3,17] B.(3,17)
C.(3,10) D.[3,10]
12.若在△ABC中,=a,=b,且|a|=|b|=1,|a+b|=,则△ABC的形状是 (　　)
A.等边三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.等腰直角三角形
13.在矩形ABCD中,||=,||=2,则向量++的长度为　　　　.
14.(10分)如图,用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上,∠ACW=150°,∠BCW=120°,求A和B处所受力的大小.(绳子的重量忽略不计)
15.(12分)如图,已知G是△ABC所在平面内一点.求证:G是△ABC的重心的充要条件是++=0.
课时跟踪检测(二)
1．选BD　A正确；B错误，＋＝0；C正确；D错误，当a，b方向相同时，|a＋b|＝|a|＋|b|.故选BD.
2．选A　由平面向量的加法法则及正八边形的性质，可得＋＋＝＋＝＋＝.
3．选B　＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝.
4．选C　由题图易知，＋＝.故选C.
5．选AC　因为a＝(＋)＋(＋)＝(＋)＋(＋)＝＋＝0，、又b是一个非零向量，所以a∥b成立，A正确．a＋b＝0bb，B不正确，C正确．由|a＋b|＝|b|，|a|＋|b|＝|b|，可得|a＋b|＝|a|＋|b|，D不正确．故选AC.
6．解析：a＋b＋c＋d＝＋＋＋＝＝e.
答案：e
7．解析：(1)＋＋＝(＋)＋＝＋＝.
(2)＋＋＝(＋)＋＝＋＝0.
答案：(1)　(2)0
8．解析：易知|＋|＝||＝1.以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC(图略)，则|＋|＝||＝2||sin 60°＝2×1×＝.
答案：1　
9．证明：(1)由向量加法的三角形法则，
知＋＝，＋＝，
故＋＝＋.
(2)由向量加法的平行四边形法则，知＝＋，＝＋，＝＋，
故＋＋＝＋＋＋＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋)＝0000.
10．解：如图，作平行四边形OACB，
∵||＝||＝3，
∴四边形OACB为菱形．连接OC，AB，则OC⊥AB，设垂足为D.∵∠AOB＝60°，
∴∠DOB＝30°.在Rt△BDO中，OD＝，∴|＋|＝||＝×2＝3，即|a＋b|＝3.
11．选A　利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的性质及与共线时的情况求解．即||－||≤||≤||＋||，故3≤||≤17.故选A.
12．选D　∵a＋b＝＋＝，∴||＝||＝1，||＝，∴||2＋||2＝||2.∴△ABC为等腰直角三角形．故选D.
13．解析：因为＋＝，所以＋＋的长度为长度的2倍．又||＝＝3，所以向量＋＋的长度为2||＝6.
答案：6
14．解：如图所示，设，分别表示A，B处所受的力，10 N的重力用表示，
则＋＝.
由题意可得∠ECG＝180°－150°＝30°，∠FCG＝180°－120°＝60°.
∴||＝||cos 30°＝10×＝5(N)，||＝||cos 60°＝10×＝5(N)．
∴A处所受的力为5 N，B处所受的力为5 N.
15．证明：(充分性)如图1，以GB，GC为邻边作 GBEC，连接GE，交BC于点M，则M是BC的中点，也是GE的中点．因为＋＝，且＋＋＝0，所以＝.于是可得点G在线段AM上，且AG＝2GM.又AM是△ABC边BC上的中线，所以G是△ABC的重心．
(必要性)如图2，延长AG交BC于点D，则由G是△ABC的重心，得D是BC的中点，且AG＝2GD.延长GD到E′，使DE′＝GD，连接E′B，E′C，则四边形GBE′C是平行四边形，所以＋＝′＝－，故＋＋＝0.综上，G是△ABC的重心的充要条件是＋＋＝0.

展开更多......

收起↑