资源简介

第2课时　向量的减法 (教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学)
[课时目标]
1.借助实例和平面向量的几何表示,掌握平面向量的减法运算.
2.理解平面向量减法的几何意义,掌握向量减法的三角形法则.
3.利用相反向量的概念,理解减法运算是加法运算的逆运算.
1.向量的减法
定义 若b+x=a,则向量x叫作a与b的　　　　,记为　　　　　.求　　　　　　　的运算,叫作向量的减法
减法法则 在平面内任取一点O,作=a,=b,则=　　　　, 如图所示.这就是说,当向量a,b起点相同时,从b的终点指向a的终点的向量就是　　　
2.向量减法的性质
(1)零向量的相反向量仍是零向量,于是-0=0.
(2)互为相反向量的两个向量的和为0,即a+(-a)=(-a)+a=0.
(3)若a+b=0,则a=-b,b=-a.
|微|点|助|解| 　
(1)向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的定义,-=,就可以把减法转化为加法.
(2)两个向量作差的前提是将两个向量移到共同的起点.
(3)在用三角形法则作向量减法时,要注意“共起点,连终点,指向被减”.解题时要结合图形,准确判断,防止混淆.
基础落实训练
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)两个向量的差仍是一个向量. (　　)
(2)=-. (　　)
(3)a-b的相反向量是b-a. (　　)
(4)|a-b|<|a+b|. (　　)
2.在△ABC中,=a,=b,则= (　　)
A.|a+b| B.a-b
C.b-a D.-a-b
3.在 ABCD中,-+= (　　)
A.　　B.　　C.　　D.
题型(一)　向量减法法则的应用
[例1]　(1)如图,已知向量a,b,c,d,求作向量a-b,c-d.
(2)如图,已知向量a,b,c不共线,求作向量a+b-c.
听课记录:
　　|思|维|建|模|
利用向量减法进行几何作图的方法
(1)已知向量a,b,如图①所示,作=a,=b,利用向量减法的三角形法则可得a-b,利用此方法作图时,把两个向量的起点放在一起,则这两个向量的差是以减向量的终点为起点,被减向量的终点为终点的向量.
(2)利用相反向量作图,通过向量求和的平行四边形法则作出a-b.如图②所示,作=a,=b,=-b,则=a+(-b),即=a-b.
　　[针对训练]
1.如图,已知正方形ABCD的边长等于1,=a,=b,=c,试作向量a-b+c.
题型(二)　向量的加、减运算
[例2]　化简下列各式:
(1)(+)+(--);
(2)--;
(3)(-)-(-).
听课记录:
　　|思|维|建|模|
　　 化简向量和差的方法
(1)如果式子中含有括号,括号里面能运算的直接运算,不能运算的去掉括号.
(2)可以利用相反向量把差统一成和,再利用三角形法则进行化简.
(3)化简向量的差时注意共起点,由减数向量的终点指向被减数向量的终点.
[提醒]　利用图形中的相等向量代入、转化是向量化简的重要技巧.
　　[针对训练]
2.在 ABCD中,设=a,=b,=c,=d,则下列等式不正确的是 (　　)
A.a+b=c B.a-b=d
C.b-a=d D.c-a=b
3.化简:(1)--++;
(2)(++)-(--).
题型(三)　用已知向量表示未知向量
[例3]　如图,在五边形ABCDE中,若四边形ACDE是平行四边形,且=a,=b,=c,试用a,b,c表示向量,,,及.
听课记录:
　　|思|维|建|模|
用已知向量表示未知向量的基本步骤
第一步:观察各向量的位置;
第二步:寻找(或作)相应的平行四边形或三角形;
第三步:运用法则找关系;
第四步:化简结果.
　　[针对训练]
4.如图,已知=a,=b,=c,=d,=e,=f,试用a,b,c,d,e,f表示,,-,+,
-,++.
题型(四)　向量加减法的综合应用
[例4]　如图,在 ABCD中,=a,=b,用向量a,b表示,,并回答下面几个问题.
(1)当a,b满足什么条件时,AC⊥BD
(2)当 ABCD满足什么条件时,|a+b|=|a-b|
听课记录:
　　[变式拓展]
　若将本例中的条件变为“设平面内四边形ABCD及任一点O,=a,=b,=c,=d,若a+c=b+d且|a-b|=|a-d|”.试判断四边形ABCD的形状.
　　|思|维|建|模|
(1)以向量=a,=b为邻边作平行四边形ABCD,则两条对角线的向量为=a+b,=b-a.
(2)在 OACB中,=a,=b.
①若|a|=|b|,则 OACB为菱形.
②若|a+b|=|a-b|,则 OACB为矩形.
③若|a|=|b|,且|a+b|=|a-b|,则 OACB为正方形.
　　[针对训练]
5.在四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,且||=||=1,+=+=0,cos∠DAB=,求|+|与|+|.
第2课时　向量的减法
课前预知教材
1.差　a-b　两个向量差　a-b　a-b
[基础落实训练]
1.(1)√　(2)√　(3)√　(4)×
2.C　3.A
课堂题点研究
[例1]　解:(1)如图所示,在平面内任取一点O,作=a,=b,=c,=d,则a-b=,c-d=.
(2)法一　如图①所示,在平面内任取一点O,作=a,=b,则=a+b,再作=c,则=a+b-c.
法二　如图②所示,在平面内任取一点O,作=a,=b,则=a+b,再作=c,连接OC,则=a+b-c.
[针对训练]
1.解:如图,连接BD,
则=a-b,
作向量=c,
连接DE,
则=+=a-b+c.
[例2]　解:(1)法一　原式=+++=(+)+(+)
=+=.
法二　原式=+++
=+(+)+
=++
=+0=.
(2)法一　原式=-=.
法二　原式=-(+)
=-=.
(3)法一　(-)-(-)
=(+)-(+)
=-=0.
法二　(-)-(-)
=(-)-(-)
=-=0.
法三　在平面内任取一点O,
则(-)-(-)=(-)-(-)-[(-)-(-)]=--+-++-=0.
[针对训练]
2.选B　a+b=+==c,故A正确;a-b=-=+==-d,故B错误;b-a=-==d,故C正确;c-a=-===b,故D正确.
3.解:(1)--++=++++=+=.
(2)(++)-(--)=++-++=(+)+(-)+(+)=++0=0.
[例3]　解:∵四边形ACDE是平行四边形,∴==c,=-=b-a,=-=c-a,
=-=c-b.∴=+=b-a+c.
[针对训练]
4.解:=-=c-a,
=-=d-a,
-==-=d-b,
+=-+-=b-a+f-c,
-==-=f-d,++=0.
[例4]　解:∵=a,=b,∴=a+b,=a-b.
(1)当|a|=|b|时, ABCD为菱形,因为菱形的对角线互相垂直,所以AC⊥BD.
(2)当 ABCD为长方形时,因为长方形的对角线相等,所以|a+b|=|a-b|.
[变式拓展]
解:由a+c=b+d,得a-b=d-c,
即-=-.
∴=.于是AB CD,
∴四边形ABCD为平行四边形.
又|a-b|=|a-d|,
从而|-|=|-|,
∴||=||.∴四边形ABCD为菱形.
[针对训练]
5.解:因为+=+=0,所以=-,=-,即四边形ABCD为平行四边形.
又因为||=||=1,
所以四边形ABCD为菱形,如图所示,cos∠DAB=,0<∠DAB<π,所以∠DAB=.
所以|+|=|+|=||=2||=,|+|=|-|=||=1.(共53张PPT)
向量的减法
(教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学)
第2课时
课时目标
1.借助实例和平面向量的几何表示,掌握平面向量的减法运算.
2.理解平面向量减法的几何意义,掌握向量减法的三角形法则.
3.利用相反向量的概念,理解减法运算是加法运算的逆运算.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
1.向量的减法
定义 若b+x=a,则向量x叫作a与b的____,记为_____.求____________的运算,叫作向量的减法
减法法则
在平面内任取一点O,作=a,=b,则=______,如图所示.这就是说,当向量a,b起点相同时,从b的终点指向a的终点的向量就是______
差
a-b
两个向量差
a-b
a-b
2.向量减法的性质
(1)零向量的相反向量仍是零向量,于是-0=0.
(2)互为相反向量的两个向量的和为0,即a+(-a)=(-a)+a=0.
(3)若a+b=0,则a=-b,b=-a.
|微|点|助|解|
(1)向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的定义,-=,就可以把减法转化为加法.
(2)两个向量作差的前提是将两个向量移到共同的起点.
(3)在用三角形法则作向量减法时,要注意“共起点,连终点,指向被减”.解题时要结合图形,准确判断,防止混淆.
基础落实训练
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)两个向量的差仍是一个向量. (　)
(2)=-. (　)
(3)a-b的相反向量是b-a. (　)
(4)|a-b|<|a+b|. (　)
√
√
√
×
2.在△ABC中,=a,=b,则=(　　)
A.|a+b| B.a-b
C.b-a D.-a-b
3.在 ABCD中,-+=(　　)
A. B.
C. D.
√
√
课堂题点研究·迁移应用融通
题型(一)　向量减法法则的应用
[例1]　(1)如图,已知向量a,b,c,d,求作向量a-b,c-d.
解:如图所示,在平面内任取一点O,作=a,
=b,=c,=d,则a-b=,c-d=.
(2)如图,已知向量a,b,c不共线,求作向量a+b-c.
解:法一　如图①所示,在平面内任取一点O,作=a,
=b,则=a+b,再作=c,则=a+b-c.
法二　如图②所示,在平面内任取一点O,作=a,
=b,则=a+b,再作=c,连接OC,则=a+b-c.
|思|维|建|模|
利用向量减法进行几何作图的方法
(1)已知向量a,b,如图①所示,作=a,=b,利用向量减法的三角形法则可得a-b,利用此方法作图时,把两个向量的起点放在一起,则这两个向量的差是以减向量的终点为起点,被减向量的终点为终点的向量.
(2)利用相反向量作图,通过向量求和的平行四边形法则作出a-b.如图②所示,作=a,=b,=-b,则=a+(-b),即=a-b.
针对训练
1.如图,已知正方形ABCD的边长等于1,=a,
=b,=c,试作向量a-b+c.
解:如图,连接BD,
则=a-b,
作向量=c,
连接DE,
则=+=a-b+c.
题型(二)　向量的加、减运算
[例2]　化简下列各式:
(1)(+)+(--);
解:法一　原式=+++
=(+)+(+)
=+=.
法二　原式=+++
=+(+)+
=++
=+0=.
(2)--;
解:法一　原式=-=.
法二　原式=-(+)
=-=.
(3)(-)-(-).
解:法一　(-)-(-)
=(+)-(+)
=-=0.
法二　(-)-(-)
=(-)-(-)
=-=0.
法三　在平面内任取一点O,
则(-)-(-)=(-)-(-)-[(-)-(-)]=
--+-++-=0.
|思|维|建|模|
化简向量和差的方法
(1)如果式子中含有括号,括号里面能运算的直接运算,不能运算的去掉括号.
(2)可以利用相反向量把差统一成和,再利用三角形法则进行化简.
(3)化简向量的差时注意共起点,由减数向量的终点指向被减数向量的终点.
[提醒]　利用图形中的相等向量代入、转化是向量化简的重要技巧.
针对训练
2.在 ABCD中,设=a,=b,=c,=d,则下列等式不正确的是
(　　)
A.a+b=c B.a-b=d
C.b-a=d D.c-a=b
解析:a+b=+==c,故A正确;
a-b=-=+==-d,故B错误;
b-a=-==d,故C正确;
c-a=-===b,故D正确.
√
3.化简:(1)--++;
解:--++=++++=+=.
(2)(++)-(--).
解:(++)-(--)=++-++=
(+)+(-)+(+)=++0=0.
题型(三)　用已知向量表示未知向量
[例3]　如图,在五边形ABCDE中,若四边形ACDE是平行四边形,且=a,=b,=c,试用a,b,c表示向量,,,及.
解:∵四边形ACDE是平行四边形,∴==c,=-=b-a,=-=c-a,=-=c-b.∴=+=b-a+c.
|思|维|建|模|
用已知向量表示未知向量的基本步骤
第一步:观察各向量的位置;
第二步:寻找(或作)相应的平行四边形或三角形;
第三步:运用法则找关系;
第四步:化简结果.
针对训练
4.如图,已知=a,=b,=c,=d,=e,=f,
试用a,b,c,d,e,f表示,,-,+,-,
++.
解:=-=c-a,
=-=d-a,
-==-=d-b,
+=-+-=b-a+f-c,
-==-=f-d,
++=0.
题型(四)　向量加减法的综合应用
[例4]　如图,在 ABCD中,=a,=b,用向量a,b表示,,并回答下面几个问题.
(1)当a,b满足什么条件时,AC⊥BD
解:∵=a,=b,∴=a+b,=a-b.
当|a|=|b|时, ABCD为菱形,因为菱形的对角线互相垂直,所以AC⊥BD.
(2)当 ABCD满足什么条件时,|a+b|=|a-b|
解:当 ABCD为长方形时,因为长方形的对角线相等,所以|a+b|=|a-b|.
变式拓展
若将本例中的条件变为“设平面内四边形ABCD及任一点O,=a,=b,=c,=d,若a+c=b+d且|a-b|=|a-d|”.试判断四边形ABCD的形状.
解:由a+c=b+d,得a-b=d-c,
即-=-.
∴=.于是AB CD,
∴四边形ABCD为平行四边形.
又|a-b|=|a-d|,
从而|-|=|-|,
∴||=||.
∴四边形ABCD为菱形.
|思|维|建|模|
(1)以向量=a,=b为邻边作平行四边形ABCD,则两条对角线的向量为=a+b,=b-a.
(2)在 OACB中,=a,=b.
①若|a|=|b|,则 OACB为菱形.
②若|a+b|=|a-b|,则 OACB为矩形.
③若|a|=|b|,且|a+b|=|a-b|,
则 OACB为正方形.
针对训练
5.在四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,且||=||=1,+=
+=0,cos∠DAB=,求|+|与|+|.
解:因为+=+=0,所以=-,
=-,即四边形ABCD为平行四边形.
又因为||=||=1,所以四边形ABCD为菱形,如图所示,cos∠DAB=,0<∠DAB<π,所以∠DAB=.所以|+|=|+|=||=
2||=,|+|=|-|=||=1.
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A级——达标评价
1.化简-++等于(　　)
A. B. C. D.
解析:原式=(+)+(+)=+0=.
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2.已知矩形ABCD的对角线相交于点O,则-=(　　)
A. B. C. D.
解析:在矩形ABCD中,=,又因为AC∩BD=O,则=,因此,
-=-==.
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3.已知O是平面上一点,=a,=b,=c,OD=d,且四边形ABCD为平行四边形,则(　　)
A.a+b+c+d=0 B.a-b+c-d=0
C.a+b-c-d=0 D.a-b-c+d=0
解析:易知-=,-=,而在平行四边形ABCD中有=,∴-=-,即b-a=c-d,故a-b+c-d=0.
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4.如图,P,Q是△ABC的边BC上的两点,且=,则化简+--的结果为(　　)
A.0 B. C. D.
解析:+--=(-)+(-)=+=0.
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5.在四边形ABCD中,若=-,且|-|=|+|,则四边形ABCD为(　　)
A.平行四边形 B.菱形
C.矩形 D.正方形
解析:由=- =,所以四边形ABCD是平行四边形.
由|-|=|+| ||=||,所以平行四边形ABCD的
对角线相等,因此该四边形是矩形.
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6.+-=　　　　.
解析:+-=+=.
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7.在正六边形ABCDEF中,=m,=n,则=　　　.(结果用m,n表示)
m-n
解析:如图,根据正六边形的性质可知,ED∥AB,且ED=AB.所以==
-=m-n.
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8.已知=a,=b,||=5,||=12,∠AOB=90°,则|a-b|=　　 .
解析:以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,由∠AOB=90°,知四边形OACB为矩形,∴|a-b|=||==13.
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9.(10分)如图,O为△ABC内一点,=a,=b,
=c,求作b+c-a.
解:法一　如图1,以,为邻边作 OBDC,连接OD,AD,则=+=b+c,=-=b+c-a.
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法二　如图2,作==b,连接AD,则=-=
c-a,=+=c-a+b=b+c-a.
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10.(10分)若O是△ABC所在平面内一点,且满足|-|=|-+
-|,试判断△ABC的形状.
解:∵-+-=+,-=,∴|+|=||.
∴以AB,AC为邻边的平行四边形ABDC的两条对角线的长度相等.
∴此平行四边形为矩形.∴AB⊥AC.
∴△ABC是直角三角形.
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B级——重点培优
11.设a表示“向东走6 km”,b表示“向南走3 km”,则b-a+b所表示的意义为(　　)
A.向东南走6 km B.向东南走3 km
C.向西南走6 km D.向西南走3 km
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解析:如图,分别作出=a,==b,则=
b-a,=+=b-a+b.
易知△OAB为等腰直角三角形,故∠OAB=45°,且||=6,于是b-a+b所表示的意义为向西南走6 km.
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12.平面上有三点A,B,C,设m=+,n=-,若m,n的长度恰好相等,则有(　　)
A.A,B,C三点必在同一直线上
B.△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角
C.△ABC必为直角三角形且∠B=90°
D.△ABC必为等腰直角三角形
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解析:如图,作平行四边形ABCD,则+=,
-=-=.
因为|m|=|n|,所以||=||.所以平行四边形ABCD为矩形.所以△ABC为直角三角形,且∠ABC=90°,故选C.
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13.已知向量a,b在正方形网格中的位置如图所示,则向量a-b与b的夹角为 (　　)
A.45° B.90° C.120° D.135°
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解析:如图,令=a,=b,则=a-b.设最小的小正方形边长为1,则||=
||=,||=2,所以||2+|BA|2=
||2,所以△OAB是等腰直角三角形.所以∠OBA=45°,则向量a-b与b的夹角为∠OBA的补角,为135°.
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14.已知点E,F分别在正方形ABCD的边BC,CD上运动,且=2,设=x,=y,若|-|=,则x+y的最大值为(　　)
A.2 B.4 C.2 D.4
解析:∵|-|===2,∴x2+y2=4.∴(x+y)2=x2+y2+
2xy≤2(x2+y2)=8,当且仅当x=y时取等号.∴x+y≤2,即x+y的最大值为2,故选C.
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15.(16分)已知△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,M是斜边AB的中点,=a,=b.
求证:(1)|a-b|=|a|;
证明:如图,因为△ABC为等腰直角三角形,
所以||=||.
由M是斜边AB的中点,得||=||.
在△ACM中,=-=a-b.
由||=||,得|a-b|=|a|.
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(2)|a+|=|b|.
证明:在△MCB中,==a-b,
∴=-=a-b+a=a+.
由||=||,得|a+|=|b|.课时跟踪检测(三)　向量的减法
(满分100分,A级选填小题每题5分,B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1.化简-++等于 (　　)
A. B.
C. D.
2.已知矩形ABCD的对角线相交于点O,则-= (　　)
A. B.
C. D.
3.已知O是平面上一点,=a,=b,=c,OD=d,且四边形ABCD为平行四边形,则 (　　)
A.a+b+c+d=0 B.a-b+c-d=0
C.a+b-c-d=0 D.a-b-c+d=0
4.如图,P,Q是△ABC的边BC上的两点,且=,则化简+--的结果为 (　　)
A.0 B.
C. D.
5.在四边形ABCD中,若=-,且|-|=|+|,则四边形ABCD为 (　　)
A.平行四边形 B.菱形
C.矩形 D.正方形
6.+-=　　　　.
7.在正六边形ABCDEF中,=m,=n,则=　　　　.(结果用m,n表示)
8.已知=a,=b,||=5,||=12,∠AOB=90°,则|a-b|=　　　　　.
9.(10分)如图,O为△ABC内一点,=a,=b,=c,求作b+c-a.
10.(10分)若O是△ABC所在平面内一点,且满足|-|=|-+-|,试判断△ABC的形状.
B级——重点培优
11.设a表示“向东走6 km”,b表示“向南走3 km”,则b-a+b所表示的意义为 (　　)
A.向东南走6 km B.向东南走3 km
C.向西南走6 km D.向西南走3 km
12.平面上有三点A,B,C,设m=+,n=-,若m,n的长度恰好相等,则有 (　　)
A.A,B,C三点必在同一直线上
B.△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角
C.△ABC必为直角三角形且∠B=90°
D.△ABC必为等腰直角三角形
13.已知向量a,b在正方形网格中的位置如图所示,则向量a-b与b的夹角为 (　　)
A.45° B.90°
C.120° D.135°
14.已知点E,F分别在正方形ABCD的边BC,CD上运动,且=2,设=x,=y,若|-|=,则x+y的最大值为 (　　)
A.2 B.4
C.2 D.4
15.(16分)已知△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,M是斜边AB的中点,=a,=b.
求证:(1)|a-b|=|a|;(2)|a+|=|b|.
课时跟踪检测(三)
1．选B　原式＝(＋)＋(＋)＝＋0.
2．选D　在矩形ABCD中，＝，又因为AC∩BD＝O，则＝，因此，－＝－＝＝.
3．选B　易知－＝，－＝，而在平行四边形ABCD中有＝，
∴－＝－，即b－a＝c－d，故a－b＋c－d＝0.
4．选A　＋－－＝(－)＋(－)＝＋＝0.
5．选C　由＝－ ＝，所以四边形ABCD是平行四边形．
由|－|＝|＋| ||＝||，所以平行四边形ABCD的对角线相等，因此该四边形是矩形．
6．解析：＋－＝＋＝.
答案：
7．解析：如图，根据正六边形的性质可知，ED∥AB，且ED＝AB.所以＝＝－＝m－n.
答案：m－n
8．解析：以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，由∠AOB＝90°，知四边形OACB为矩形，∴|a－b|＝||＝＝13.
答案：13
9．解：法一　如图1，以，为邻边作 OBDC，连接OD，AD，则＝＋＝b＋c，＝－＝b＋c－a.
法二　如图2，作＝＝b，连接AD，则＝－＝c－a，＝＋＝c－a＋b＝b＋c－a.
10．解：∵－＋－＝＋，－＝，∴|＋|＝||.
∴以AB，AC为邻边的平行四边形ABDC的两条对角线的长度相等．
∴此平行四边形为矩形．∴AB⊥AC.
∴△ABC是直角三角形．
11.选C　如图，分别作出＝a，＝＝b，则＝b－a，＝＋＝b－a＋b.
易知△OAB为等腰直角三角形，故∠OAB＝45°，且||＝6，于是b－a＋b所表示的意义为向西南走6 km.
12.选C　如图，作平行四边形ABCD，则＋＝，－＝－＝.
因为|m|＝|n|，所以||＝||.所以平行四边形ABCD为矩形．所以△ABC为直角三角形，且∠ABC＝90°，故选C.
13．选D　如图，令＝a，＝b，则＝a－b.设最小的小正方形边长为1，则||＝||＝，||＝2，所以||2＋|BA|2＝||2，所以△OAB是等腰直角三角形．所以∠OBA＝45°，则向量a－b与b的夹角为∠OBA的补角，为135°.
14．选C　∵|－|＝＝＝2，∴x2＋y2＝4.∴(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy≤2(x2＋y2)＝8，当且仅当x＝y时取等号．∴x＋y≤2，即x＋y的最大值为2，故选C.
15．证明：如图，因为△ABC为等腰直角三角形，所以||＝||.
由M是斜边AB的中点，得||＝||.
(1)在△ACM中，＝－＝a－b.
由||＝||，得|a－b|＝|a|.
(2)在△MCB中，＝＝a－b，
∴＝－＝a－b＋a＝a＋.
由||＝||，得|a＋|＝|b|.

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