资源简介

9.2.2　向量的数乘
第1课时　向量的线性运算 (教学方式:基本概念课——逐点理清式教学)
[课时目标]
1.通过实例分析,掌握平面向量的数乘运算及其运算规则,理解其几何意义.
2.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.
逐点清(一)　向量数乘的概念
[多维理解]
定义 一般地,实数λ与向量a的积是一个　　　,记作λa.实数λ与向量a相乘的运算,叫作向量的数乘
长度 |λa|=|λ||a|
方 向 a≠0 λ>0 λa与a方向　　
λ<0 λa与a方向　　
特殊情况 当λ=0时,0a=0;当a=0时,λ0=0
几何意义 当λ>0时,把向量a沿着a的相同方向放大或缩小;当λ<0时,把向量a沿着a的相反方向放大或缩小
[微点练明]
1.(多选)已知a,b为非零向量,则下列命题正确的是 (　　)
A.2a的方向与a的方向相同,且2a的模是a的模的2倍
B.-2a的方向与3a的方向相反,且-2a的模是3a的模的
C.-2a与2a是一对相反向量
D.a-b与-(b-a)是一对相反向量　
2.(多选)已知λ,μ∈R,则下列命题正确的是 (　　)
A.λ<0,a≠0时,λa与a的方向一定相反
B.λ>0,a≠0时,λa与a的方向一定相同
C.λμ>0,a≠0时,λa与μa的方向一定相同
D.λμ<0,a≠0时,λa与μa的方向一定相同
3.要得到向量-2a,可将 (　　)
A.向量a向左平移2个单位长度
B.向量a向右平移2个单位长度
C.向量a保持方向不变,长度伸长为原来的2倍
D.向量a的方向反向,长度伸长为原来的2倍
4.设a为任一向量,e是单位向量,且a∥e,则下列表示形式正确的是 (　　)
A.e= B.a=|a|e
C.a=-|a|e D.a=±|a|e
逐点清(二)　向量的线性运算
[多维理解]
1.数乘运算的运算律
设a,b为向量,λ,μ为实数,那么
(1)λ(μ a)=　　 　;(2)(λ+μ)a=　　 　;(3)λ(a+b)=　　　.
2.向量的线性运算
向量的加法、减法和数乘统称为向量的线性运算.
[微点练明]
1.(多选)已知m,n是实数,a,b是向量,下列命题正确的是 (　　)
A.m(a-b)=ma-mb B.(m-n)a=ma-na
C.若ma=mb,则a=b D.若ma=na,则m=n
2.-= (　　)
A.a-b+2c B.5a-b+2c
C.a+b+2c D.5a+b
3.若2-(c+b-3y)+b=0,其中a,b,c为已知向量,则未知向量y=　　　　　.
4.化简下列各式:
(1)2(3a-2b)+3(a+5b)-5(4b-a);
(2)[2(2a+8b)-4(4a-2b)];
(3)(x-y)(a+b)-(x-y)(a-b)(x,y∈R).
逐点清(三)　向量的线性表示
[典例]　(1)在△ABC中,点D在边AB上,BD=2DA.记=m,=n,则= (　　)
A.3m-2n B.-2m+3n
C.3m+2n D.2m+3n
(2)如图,已知E,F分别是矩形ABCD的边BC,CD的中点,EF与AC交于点G,若=a,=b,用a,b表示=　　　　　.
听课记录:
　　|思|维|建|模|　向量线性表示的求解思路
(1)结合图形的特征,把待求向量放在三角形或平行四边形中.
(2)结合向量的三角形法则或平行四边形法则用已知向量表示未知向量.
(3)当直接表示比较困难时,可以利用三角形法则或平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系,然后解关于所求向量的方程.
　　[针对训练]
1.(多选)如图,四边形ABCD为梯形,其中AB∥CD,AB=2CD,M,N分别为AB,CD的中点,则下列结论正确的是 (　　)
A.=+　 B.=+
C.=-　 D.=+
2.在△ABC中,若点D满足=λ,=-,则λ=　　　　.
第1课时　向量的线性运算
[多维理解]　向量　相同　相反
[微点练明]
1.选ABC　2a=a+a与a方向相同,且|2a|=|a+a|=|a|+|a|=2|a|,故A正确.-2a=(-a)+(-a)与-a同方向,
3a=a+a+a与a同方向.∵-a与a反方向,∴-2a与3a反方向.又∵|-2a|=2|a|,|3a|=3|a|,∴-2a的模是3a的模的,故B正确.∵-2a+2a=(-2+2)a=0,∴-2a与2a是一对相反向量,故C正确.∵-(b-a)与b-a是一对相反向量,a-b与b-a是一对相反向量,∴-(b-a)与a-b是相等的,故D错误.
2.选ABC　由λ与向量a的积λa的方向规定,知A、B正确;对于C、D,当λμ>0时,λ,μ同正或同负,∴λa与μa或者都与a同向,或者都与a反向,∴λa与μa同向,当λμ<0时,则λ与μ异号,λa与μa中,一个与a同向,一个与a反向,∴λa与μa反向,故C正确,D错误.故选ABC.
3.选D　根据向量数乘的概念及几何意义可知,要得到向量-2a,可将向量a的方向反向,长度伸长为原来的2倍.故选D.
4.D
[多维理解]　1.(1)(λμ)a　(2)λa+μa
(3)λa+λb
[微点练明]
1.选AB　m(a-b)=ma-mb,A正确;(m-n)a=ma-na,B正确;若m=0,则a,b不一定相等,C错误;若a=0,则m,n不一定相等,D错误.
2.选A　-=(3a-2a)++(c+c)=a-b+2c.故选A.
3.解析:由题意,得2y-a-c-b+y+b=y-a-c+b=0,则y=a-b+c,∴y==a-b+c.
答案:a-b+c
4.解:(1)原式=6a-4b+3a+15b-20b+5a=14a-9b.
(2)原式=(4a+16b-16a+8b)
=(-12a+24b)=-2a+4b.
(3)原式=(x-y)a+(x-y)b-(x-y)a+(x-y)b=2(x-y)b.
[典例]　解析:(1)因为BD=2DA,所以=3.所以=+=+3=+3(-)=-2+3=-2m+3n.故选B.
(2)=++=a+b+=a+b+=a+b+(b-a)=a+b.
答案:(1)B　(2)a+b
[针对训练]
1.选AC　=+=+,A正确;=+=+=(+)+=+,B错误;
=++=-++=-,C正确;=++=-++=-,D错误.故选AC.
2.解析:易知=+=+=+(-)=-+.又因为=-,
所以 λ=2.
答案:2(共43张PPT)
9.2.2
向量的数乘
向量的线性运算
(教学方式:基本概念课——逐点理清式教学)
第1课时
课时目标
1.通过实例分析,掌握平面向量的数乘运算及其运算规则,理解其几何意义.
2.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.
CONTENTS
目录
1
2
3
逐点清(一)　向量数乘的概念
逐点清(二)　向量的线性运算
逐点清(三)　向量的线性表示
4
课时跟踪检测
逐点清(一)　向量数乘的概念
01
多维理解
定义 一般地,实数λ与向量a的积是一个_____,记作λa.实数λ与向量a相乘的运算,叫作向量的数乘
长度 |λa|=|λ||a|
方向 a≠0 λ>0 λa与a方向_____
λ<0 λa与a方向_____
特殊情况 当λ=0时,0a=0;当a=0时,λ0=0
几何意义 当λ>0时,把向量a沿着a的相同方向放大或缩小;当λ<0时,把向量a沿着a的相反方向放大或缩小
向量
相同
相反
微点练明
1.(多选)已知a,b为非零向量,则下列命题正确的是 (　　)
A.2a的方向与a的方向相同,且2a的模是a的模的2倍
B.-2a的方向与3a的方向相反,且-2a的模是3a的模的
C.-2a与2a是一对相反向量
D.a-b与-(b-a)是一对相反向量　
√
√
√
解析:2a=a+a与a方向相同,且|2a|=|a+a|=|a|+|a|=2|a|,故A正确.
-2a=(-a)+(-a)与-a同方向,3a=a+a+a与a同方向.∵-a与a反方向,∴-2a与3a反方向.又∵|-2a|=2|a|,|3a|=3|a|,∴-2a的模是3a的模的,故B正确.
∵-2a+2a=(-2+2)a=0,∴-2a与2a是一对相反向量,故C正确.
∵-(b-a)与b-a是一对相反向量,a-b与b-a是一对相反向量,
∴-(b-a)与a-b是相等的,故D错误.
2.(多选)已知λ,μ∈R,则下列命题正确的是 (　　)
A.λ<0,a≠0时,λa与a的方向一定相反
B.λ>0,a≠0时,λa与a的方向一定相同
C.λμ>0,a≠0时,λa与μa的方向一定相同
D.λμ<0,a≠0时,λa与μa的方向一定相同
√
√
√
解析:由λ与向量a的积λa的方向规定,知A、B正确;
对于C、D,当λμ>0时,λ,μ同正或同负,∴λa与μa或者都与a同向,或者都与a反向,∴λa与μa同向,当λμ<0时,则λ与μ异号,λa与μa中,一个与a同向,一个与a反向,∴λa与μa反向,故C正确,D错误.故选ABC.
3.要得到向量-2a,可将 (　　)
A.向量a向左平移2个单位长度
B.向量a向右平移2个单位长度
C.向量a保持方向不变,长度伸长为原来的2倍
D.向量a的方向反向,长度伸长为原来的2倍
解析:根据向量数乘的概念及几何意义可知,要得到向量-2a,可将向量a的方向反向,长度伸长为原来的2倍.故选D.
√
4.设a为任一向量,e是单位向量,且a∥e,则下列表示形式正确的是 (　　)
A.e= B.a=|a|e
C.a=-|a|e D.a=±|a|e
√
逐点清(二)　向量的线性运算
02
多维理解
1.数乘运算的运算律
设a,b为向量,λ,μ为实数,那么
(1)λ(μ a)=_______;
(2)(λ+μ)a=_______;
(3)λ(a+b)=_______.
2.向量的线性运算
向量的加法、减法和数乘统称为向量的线性运算.
(λμ)a
λa+μa
λa+λb
微点练明
1.(多选)已知m,n是实数,a,b是向量,下列命题正确的是 (　　)
A.m(a-b)=ma-mb B.(m-n)a=ma-na
C.若ma=mb,则a=b D.若ma=na,则m=n
解析:m(a-b)=ma-mb,A正确;
(m-n)a=ma-na,B正确;
若m=0,则a,b不一定相等,C错误;
若a=0,则m,n不一定相等,D错误.
√
√
2.-=(　　)
A.a-b+2c B.5a-b+2c
C.a+b+2c D.5a+b
解析:-=(3a-2a)++(c+c)=
a-b+2c.故选A.
√
3.若2-(c+b-3y)+b=0,其中a,b,c为已知向量,则未知向量y=　 　　　　.
解析:由题意,得2y-a-c-b+y+b=y-a-c+b=0,则y=a-b+c,
∴y==a-b+c.
a-b+c
4.化简下列各式:
(1)2(3a-2b)+3(a+5b)-5(4b-a);
解:原式=6a-4b+3a+15b-20b+5a=14a-9b.
(2)[2(2a+8b)-4(4a-2b)];
解:原式=(4a+16b-16a+8b)=(-12a+24b)=-2a+4b.
(3)(x-y)(a+b)-(x-y)(a-b)(x,y∈R).
解:原式=(x-y)a+(x-y)b-(x-y)a+(x-y)b=2(x-y)b.
逐点清(三)　向量的线性表示
03
[典例]　(1)在△ABC中,点D在边AB上,BD=2DA.记=m,=n,则=(　　)
A.3m-2n B.-2m+3n
C.3m+2n D.2m+3n
解析:因为BD=2DA,所以=3.所以=+=+3=
+3(-)=-2+3=-2m+3n.故选B.
√
(2)如图,已知E,F分别是矩形ABCD的边BC,
CD的中点,EF与AC交于点G,若=a,=b,用a,b表示=　　　　　.
解析:=++=a+b+
=a+b+=a+b+(b-a)=a+b.
a+b
|思|维|建|模|
向量线性表示的求解思路
(1)结合图形的特征,把待求向量放在三角形或平行四边形中.
(2)结合向量的三角形法则或平行四边形法则用已知向量表示未知向量.
(3)当直接表示比较困难时,可以利用三角形法则或平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系,然后解关于所求向量的方程.
针对训练
1.(多选)如图,四边形ABCD为梯形,其中AB∥CD,
AB=2CD,M,N分别为AB,CD的中点,则下列结论正确的是 (　　)
A.=+　 B.=+
C.=- D.=+
√
√
解析:=+=+,A正确;
=+=+=(+)+=+,B错误;
=++=-++=-,C正确;
=++=-++=-,D错误.故选AC.
2.在△ABC中,若点D满足=λ,=-,则λ=　　　.
解析:易知=+=+=+(-)=-+.又因为=-,所以 λ=2.
2
课时跟踪检测
04
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1.3(a+b)-2(a-b)-a= (　　)
A.5a B.5b
C.-5a D.-5b
解析:根据向量运算公式可知,3(a+b)-2(a-b)-a=3a+3b-2a+2b-a=5b.
√
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2.点C在直线AB上,且=3,则等于(　　)
A.-2 B. C.- D.2
解析:如图,=3,所以=2.
√
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3.在△ABC中,=3,则3=(　　)
A.+4 B.-4
C.-4 D.4-
解析:3=3(+)=3=3+4=3+4(-)=
4-.
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4.在平行四边形ABCD中,-=(　　)
A. B.
C. D.
解析:连接AC,BD相交于点O,则-=-==,故选C.
√
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5.在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,若+=λ,则λ=(　　)
A. B.2 C. D.
解析:在平行四边形ABCD中,=+=λ,所以λ=2.故选B.
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6.如图,已知=a,=b,=3,用a,b表示,则=(　　)
A.a+b B.a+b
C.a+b D.a+b
解析:=+=+=+(-)=+=a+b.
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7.若D为△ABC的边AB的中点,则=(　　)
A.2- B.2-
C.2+ D.2+
解析:如图所示,
∵D为△ABC的边AB的中点,
∴+=2,
∴=2-.故选A.
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8.如图所示,在△ABC中,点D是线段AC上靠近A的三等分点,点E是线段AB的中点,则=(　　)
A.-- B.--
C.-- D.-+
√
解析:=+=+=(+)-=--.故选B.
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9.若点M是△ABC所在平面内的一点,满足=+,则=(　　)
A. B.4 C. D.3
解析:∵=+=(+)+(+)=+++
=+,∴+=0,得=.
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10.若点M是△ABC所在平面内的一点,且满足3--=0,则△ABM与△ABC的面积之比为(　　)
A.1∶2 B.1∶3
C.1∶4 D.2∶5
√
解析:如图,设D为BC边的中点,则=(+).因为3--=0,所以3=+=2,
所以=,所以S△ABM=S△ABD=S△ABC.
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11.化简(a-b)-(2a+4b)+(2a+13b)=　　　　　.
解析:原式=a-b-a-b+a+b=a+b=0.
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12.如图,在△ABC中,D,E分别在AB,AC上,且==,则=　　　 .
解析:∵==,∠A=∠A,
∴△ADE∽△ABC.∴=.
又与同向,∴=.
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13.在△ABC中,点M满足++=0,若++m=0,则实数m的值为　　　　.
解析:∵在△ABC中,点M满足++=0,∴M为△ABC的重心,根据三角形重心的性质可得=.
又∵++m=0,∴m=-3.
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14.(17分)如图所示,O是线段A0A2 025外一点,若A0,A1,A2,…,A2 025中,相邻两点间的距离相等,=a,=b,试用a,b表示++…+OA2 025.
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解:设A为线段A0A2 025的中点,则A也为线段A1A2 024,A2A2 023,A3A2 022,…,
A1 012A1 013的中点,由向量加法的平行四边形法则可得+=
2=a+b,+=2=a+b,…,+=2=a+b,
所以++…++=1 013(a+b).
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15.(18分)如图,在平行四边形OADB中,设=a,=b,=,
=,试用a,b表示,及.
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解:由题意得,===(-)=(a-b),==,则=+=b+a-b=a+b,=+=+==
(+)=(a+b),=-=(a+b)-a-b=a-b.课时跟踪检测(四)　向量的线性运算
(满分100分,选填小题每题5分)
1.3(a+b)-2(a-b)-a= (　　)
A.5a B.5b
C.-5a D.-5b
2.点C在直线AB上,且=3,则等于 (　　)
A.-2 B.
C.- D.2
3.在△ABC中,=3,则3= (　　)
A.+4 B.-4
C.-4 D.4-
4.在平行四边形ABCD中,-= (　　)
A. B.
C. D.
5.在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,若+=λ,则λ= (　　)
A. B.2
C. D.
6.如图,已知=a,=b,=3,用a,b表示,则= (　　)
A.a+b B.a+b
C.a+b D.a+b
7.若D为△ABC的边AB的中点,则= (　　)
A.2- B.2-
C.2+ D.2+
8.如图所示,在△ABC中,点D是线段AC上靠近A的三等分点,点E是线段AB的中点,则= (　　)
A.-- B.--
C.-- D.-+
9.若点M是△ABC所在平面内的一点,满足=+,则= (　　)
A. B.4
C. D.3
10.若点M是△ABC所在平面内的一点,且满足3--=0,则△ABM与△ABC的面积之比为 (　　)
A.1∶2 B.1∶3
C.1∶4 D.2∶5
11.化简(a-b)-(2a+4b)+(2a+13b)=　　　　　.
12.如图,在△ABC中,D,E分别在AB,AC上,且==,则=　　　 .
13.在△ABC中,点M满足++=0,若++m=0,则实数m的值为　　　　.
14.(17分)如图所示,O是线段A0A2 025外一点,若A0,A1,A2,…,A2 025中,相邻两点间的距离相等,
=a,=b,试用a,b表示++…+.
15.(18分)如图,在平行四边形OADB中,设=a,=b,=,=,试用a,b表示,及.
课时跟踪检测(四)
1．选B　根据向量运算公式可知，3(a＋b)－2(a－b)－a＝3a＋3b－2a＋2b－a＝5b.
2．选D　如图，＝3，所以＝2.
3．选D　3＝3(＋)＝3＝3＋4＝3＋4(－)＝4－.
4.选C　连接AC，BD相交于点O，则－＝－＝＝，故选C.
5．选B　在平行四边形ABCD中，＝＋＝λ，所以λ＝2.故选B.
6．选D　＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b.
7．选A　如图所示，
∵D为△ABC的边AB的中点，∴＋＝2，
∴＝2－.故选A.
8．选B　＝＋＝＋＝(＋)－＝－－.故选B.
9．选C　∵＝＋＝(＋)＋(＋)＝＋＋＋＝＋，∴＋＝0，得＝.
10.选B　如图，设D为BC边的中点，则＝(＋)．因为3－－＝0，所以3＝＋＝2，所以＝，所以S△ABM＝S△ABD＝S△ABC.
11．解析：原式＝a－b－a－b＋a＋b＝a＋b＝0.
答案：0
12．解析：∵＝＝，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC.∴＝.又与同向，∴＝.
答案：
13．解析：∵在△ABC中，点M满足＋＋＝0，∴M为△ABC的重心，根据三角形重心的性质可得＝.又∵＋＋m＝0，∴m＝－3.
答案：－3
14．解：设A为线段A0A2 025的中点，则A也为线段A1A2 024，A2A2 023，A3A2 022，…，
A1 012·A1 013的中点，由向量加法的平行四边形法则可得＋OA2 025＝2＝a＋b，＋
OA2 024＝2＝a＋b，…，OA1 012＋OA1 013＝2＝a＋b，所以＋＋…＋OA2 024＋OA2 025＝1 013(a＋b)．
15．解：由题意得，＝＝＝(－)＝(a－b)，＝＝，则＝＋＝b＋a－b＝a＋b，＝＋＝＋＝＝(＋)＝(a＋b)，＝－＝(a＋b)－a－b＝a－b.

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