资源简介

第2课时　向量共线定理及其应用(教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学)
[课时目标]
1.理解向量共线的概念,掌握向量共线定理及简单应用.
2.会应用向量共线定理证明两直线平行及三点共线问题.
1.向量共线定理
设a为非零向量,如果有一个实数λ,使　　　　,那么b与a是共线向量;反之,如果b与a是共线向量,那么有且只有一个实数λ,使　　　　.
2.常用结论
(1)设a,b均为实数,若,不共线,点P满足=a+b,a+b=1,则A,B,P三点共线.
(2)中线向量公式:在△ABC中,若D是BC的中点,则=(+).
(3)与同方向的单位向量为,与共线的单位向量为±.
(4)O是△ABC的重心的充要条件是++=0.
题型(一)　向量共线的判定
[例1]　已知非零向量a,b,且=a+2b,=-3a+4b,=a-3b,则一定共线的三点是 (　　)
A.A,B,D B.A,B,C
C.B,C,D D.A,C,D
听课记录:
　　|思|维|建|模|
　　证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.具体依据如下:
若存在实数λ,使=λ,则A,B,C三点共线.
　　[针对训练]
1.设P是△ABC所在平面内的一点,+=2,则 (　　)
A.P,A,C三点共线 B.P,A,B三点共线
C.P,B,C三点共线 D.以上均不正确
2.在四边形ABCD中,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,则四边形ABCD的形状是 (　　)
A.矩形 B.平行四边形
C.梯形 D.无法判断
题型(二)　向量共线中的参数问题
[例2]　(1)设e1,e2是两个不共线的向量,=2e1+ke2,=e1+3e2,=2e1-e2,若A,B,D三点共线,求实数k的值;
(2)设e1,e2是两个不共线的向量,若a=2e1-3e2,b=2e1+3e2,c=2e1-9e2,问:是否存在实数λ,μ,使d=λa+μb与c共线
听课记录:
　　|思|维|建|模|
1.证明或判断三点共线的方法
一般来说,要判定A,B,C三点是否共线,只需看是否存在实数λ,使得=λ(或=λ等)即可.
2.利用向量共线求参数的方法
已知向量共线求λ,常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解.
　　[针对训练]
3.已知向量=a-kb,=2a+b,=3a-b,若A,B,D三点共线,则实数k的值等于 (　　)
A.10 B.-10 C.2 D.-2
4.设a,b是两个不共线的非零向量,若向量ka+2b与8a+kb的方向相反,则k=　　　　.
第2课时　向量共线定理及其应用
1.b=λa　b=λa
[例1]　选D　∵=a+2b,=-3a+4b,=a-3b,
∴=++=-a+3b.
∴=+=-2a+6b=2.
又与有公共点A,∴A,C,D三点共线.
[针对训练]
1.选A　在△ABC中,取AC的中点D(图略),则+=2,∴2=2.∴D和P重合.∴P,A,C三点共线.
2.选C　∵=++=-8a-2b,
∴=2,即AD∥BC.∵AD≠BC,∴四边形ABCD为梯形.
[例2]　解:(1)若A,B,D三点共线,则与共线.设=λ(λ∈R),∵=-=2e1-e2-(e1+3e2)=e1-4e2,∴2e1+ke2=λe1-4λe2.由e1与e2不共线可得解得λ=2,k=-8.
(2)d=λ(2e1-3e2)+μ(2e1+3e2)=(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2,要使d与c共线,则存在实数k,使得d=kc,即(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2=2ke1-9ke2.
所以解得λ=-2μ.故存在实数λ和μ,使得d与c共线,此时λ=-2μ.
[针对训练]
3.选C　∵A,B,D三点共线,∴存在实数λ,使得=λ=λ(-),∴a-kb=λ(3a-b-2a-b)=λ(a-2b),∴(1-λ)a+(2λ-k)b=0,∴
解得故选C.
4.解析:因为向量ka+2b与8a+kb的方向相反,所以存在实数λ(λ<0),使得ka+2b=λ(8a+kb).
又a,b是两个不共线的非零向量,
所以
解得或(舍去).
答案:-4(共37张PPT)
向量共线定理及其应用
(教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学)
第2课时
课时目标
1.理解向量共线的概念,掌握向量共线定理及简单应用.
2.会应用向量共线定理证明两直线平行及三点共线问题.
1.向量共线定理
设a为非零向量,如果有一个实数λ,使_______,那么b与a是共线向量;反之,如果b与a是共线向量,那么有且只有一个实数λ,使_______.
2.常用结论
(1)设a,b均为实数,若,不共线,点P满足=a+b,a+b=1,则A,B,P三点共线.
(2)中线向量公式:在△ABC中,若D是BC的中点,则=(+).
(3)与同方向的单位向量为,与共线的单位向量为±.
(4)O是△ABC的重心的充要条件是++=0.
b=λa
b=λa
CONTENTS
目录
1
2
3
题型(一)　向量共线的判定
题型(二) 向量共线中的参数问题
课时跟踪检测
题型(一)　向量共线的判定
01
[例1]　已知非零向量a,b,且=a+2b,=-3a+4b,=a-3b,则一定共线的三点是(　 )
A.A,B,D B.A,B,C
C.B,C,D D.A,C,D
解析:∵=a+2b,=-3a+4b,=a-3b,
∴=++=-a+3b.
∴=+=-2a+6b=2.
又与有公共点A,∴A,C,D三点共线.
√
|思|维|建|模|
　　证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.具体依据如下:
若存在实数λ,使=λ,则A,B,C三点共线.
针对训练
1.设P是△ABC所在平面内的一点,+=2,则(　 )
A.P,A,C三点共线 B.P,A,B三点共线
C.P,B,C三点共线 D.以上均不正确
解析:在△ABC中,取AC的中点D(图略),则+=2,
∴2=2.∴D和P重合.∴P,A,C三点共线.
√
2.在四边形ABCD中,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,则四边形ABCD的形状是(　 )
A.矩形 B.平行四边形
C.梯形 D.无法判断
解析:∵=++=-8a-2b,
∴=2,即AD∥BC.∵AD≠BC,∴四边形ABCD为梯形.
√
题型(二) 向量共线中的参数问题
02
[例2]　(1)设e1,e2是两个不共线的向量,=2e1+ke2,=e1+3e2,
=2e1-e2,若A,B,D三点共线,求实数k的值;
解:若A,B,D三点共线,则与共线.设=λ(λ∈R),
∵=-=2e1-e2-(e1+3e2)=e1-4e2,∴2e1+ke2=λe1-4λe2.
由e1与e2不共线可得解得λ=2,k=-8.
(2)设e1,e2是两个不共线的向量,若a=2e1-3e2,b=2e1+3e2,c=2e1-9e2,问:是否存在实数λ,μ,使d=λa+μb与c共线
解:d=λ(2e1-3e2)+μ(2e1+3e2)=(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2,要使d与c共线,则存在实数k,使得d=kc,即(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2=2ke1-9ke2.
所以解得λ=-2μ.
故存在实数λ和μ,使得d与c共线,此时λ=-2μ.
|思|维|建|模|
1.证明或判断三点共线的方法
一般来说,要判定A,B,C三点是否共线,只需看是否存在实数λ,使得=λ(或=λ等)即可.
2.利用向量共线求参数的方法
已知向量共线求λ,常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解.
针对训练
3.已知向量=a-kb,=2a+b,=3a-b,若A,B,D三点共线,则实数k的值等于(　 )
A.10 B.-10 C.2 D.-2
解析:∵A,B,D三点共线,∴存在实数λ,使得=λ=λ(-),
∴a-kb=λ(3a-b-2a-b)=λ(a-2b),∴(1-λ)a+(2λ-k)b=0,
∴解得故选C.
√
4.设a,b是两个不共线的非零向量,若向量ka+2b与8a+kb的方向相反,则k=　　　　.
解析:因为向量ka+2b与8a+kb的方向相反,所以存在实数λ(λ<0),
使得ka+2b=λ(8a+kb).
又a,b是两个不共线的非零向量,
所以
解得或(舍去).
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课时跟踪检测
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A级——达标评价
1.已知e1,e2为两个不共线的向量,若向量a=2e1+e2,b=-2e1+3e2,则下列向量与向量2a+b共线的是(　　)
A.-5e1+2e2 B.4e1+10e2
C.10e1+4e2 D.e1+2e2
解析:因为向量a=2e1+e2,b=-2e1+3e2,所以2a+b=2e1+5e2.
又4e1+10e2=2(2e1+5e2),所以4e1+10e2与2a+b共线.
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2.已知向量a与b不共线,=a+kb,=la+b(k,l∈R),若与共线,则k,l应满足(　　)
A.k+l=0 B.k-l=0
C.kl+1=0 D.kl-1=0
解析:由与共线,知存在唯一实数λ,使=λ,则a+kb=λ(la+b),故所以kl-1=0,故选D.
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3.(多选)如图,C,D是线段AB的两个三等分点,则 (　　)
A.=3 B.=-2
C.+=0 D.=
√
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解析:因为C,D是线段AB的两个三等分点,所以||=3||,又与同向,所以=3,故A正确;
||=2||,又与反向,所以=-2,故B正确;
||=||,且与反向,所以=-,所以+=0,故C正确;
||=||,且与反向,所以=-,故D不正确.
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4.(多选)已知4-3=,则下列结论正确的是(　　)
A.A,B,C,D四点共线 B.C,B,D三点共线
C.||=|| D.||=3||
解析:因为4-3=,所以3-3=-.所以3=.因为,有公共端点B,所以C,B,D三点共线,且||=3||.B、D正确,A错误.
由4-3=,得=3-3+=3+.所以||≠||,
C错误.故选BD.
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5.已知a,b是不共线的向量,=λa+2b,=a+(λ-1)b,且A,B,C三点共线,则实数λ的值为(　　)
A.-1 B.2
C.-2或1 D.-1或2
解析:由于A,B,C三点共线,故可设=k(k∈R).因为=λa+2b,=
a+(λ-1)b,所以λa+2b=k[a+(λ-1)b].所以λ=k,2=k(λ-1),解得λ=-1或λ=2.
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6.点C在线段AB上,且||=||,若=λ,则λ=　　　　.
解析:不妨设||=4a,则||=||=3a.因为点C在线段AB上,
所以=-.
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7.设向量a和b不平行,若向量2λa+8b与a+λb反向共线,则实数λ=　　　　.
解析:因为向量2λa+8b与a+λb反向共线,所以存在t(t<0,t∈R),使得2λa+8b=t(a+λb),即(2λ-t)a=(tλ-8)b.又向量a和b不平行,所以解得t=-4,λ=-2.
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8.已知平面内O,A,B,C四点,其中A,B,C三点共线,O,A,B三点不共线,且=x+y,则x+y=　　　　.
解析:∵A,B,C三点共线,∴存在λ∈R,使=λ.∴-=λ(-).
∴=(1-λ)+λ.∴x=1-λ,y=λ.∴x+y=1.
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9.(10分)已知向量m,n不是共线向量,a=3m+2n,b=6m-4n,c=m+xn.
(1)判断a,b是否共线;
解:若a与b共线,由题知a为非零向量,
则有b=λa,即6m-4n=λ(3m+2n),
∴得到λ=2且λ=-2,
∴λ不存在,即a与b不共线.
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(2)若a∥c,求x的值.
解:∵a∥c,∴存在实数r,使得c=ra,
即m+xn=3rm+2rn,即解得x=.
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10.(10分)设e1,e2是两个不共线的向量,如果=3e1-2e2,=4e1+e2,
=8e1-9e2.
(1)求证:A,B,D三点共线;
解:证明:因为=+=4e1+e2+8e1-9e2=12e1-8e2=4(3e1-2e2)=4,所以与共线.
又与有公共点B,所以A,B,D三点共线.
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(2)试确定λ的值,使2λe1+e2和e1+λe2共线;
解:因为2λe1+e2与e1+λe2共线,
所以存在实数μ,使2λe1+e2=μ(e1+λe2).
因为e1,e2不共线,所以
解得λ=±.
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(3)若e1+λe2与λe1+e2不共线,试求λ的取值范围.
解:假设e1+λe2与λe1+e2共线,则存在实数m,使e1+λe2=m(λe1+e2).
因为e1,e2不共线,所以
解得λ=±1.
因为e1+λe2与λe1+e2不共线,所以λ≠±1.
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B级——重点培优
11.如图,在△ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB,AC于点M,N.设=m,=n,则m+n=(　　)
A.1 B.2 C. D.3
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解析:由题意得=(+)=(m+n)=+.
因为M,O,N三点共线,所以+=1,
即m+n=2.
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12.设点O是面积为4的△ABC内部一点,且有+3+4=0,则△BOC的面积为　　　　.
解析:∵+3+4=0,
∴-=+.
设-=,则=+,即B,C,D三点共线(如图),∴==,∴S△BOC=4×=.
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13.(13分)如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线.
(1)取BD的中点M,试用和表示;
解:由题意知,D为BC的中点,所以=+.又M为BD的中点,所以=+=+=+.
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(2)若G是AD上一点,且=2,直线EF过点G,交AB于点E,交AC于点F.若=λ,=μ(λ>0,μ>0),求λ+μ的最小值.
解:由=2,=λ,=μ,
得=,=,所以===+=+
.因为E,F,G三点共线,所以+=1,又λ>0,μ>0,所以λ+μ=(λ+μ)
=++≥+2=,当且仅当=,即λ=μ=时取等号,
所以λ+μ的最小值为.
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14.(15分)如图,在 ABCD中,点E,F分别是AD和DC边的中点,BE,BF分别交AC于点R,T.你能发现AR,RT,TC之间的关系吗 请用向量的方法证明.
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解:AR=RT=TC.证明如下:
因为四边形ABCD为平行四边形,所以=+,设=λ,
因为E是AD的中点,所以=2,故=λ=λ(+)=λ(2+)=2λ+λ.
又因为B,R,E三点共线,所以3λ=1,解得λ=,故=.同理可证=,可知R,T为AC的三等分点,故AR=RT=TC.课时跟踪检测(五)　向量共线定理及其应用
(满分100分,A级选填小题每题5分,B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1.已知e1,e2为两个不共线的向量,若向量a=2e1+e2,b=-2e1+3e2,则下列向量与向量2a+b共线的是 (　　)
A.-5e1+2e2 B.4e1+10e2
C.10e1+4e2 D.e1+2e2
2.已知向量a与b不共线,=a+kb,=la+b(k,l∈R),若与共线,则k,l应满足 (　　)
A.k+l=0 B.k-l=0
C.kl+1=0 D.kl-1=0
3.(多选)如图,C,D是线段AB的两个三等分点,则 (　　)
A.=3 B.=-2
C.+=0 D.=
4.(多选)已知4-3=,则下列结论正确的是 (　　)
A.A,B,C,D四点共线 B.C,B,D三点共线
C.||=|| D.||=3||
5.已知a,b是不共线的向量,=λa+2b,=a+(λ-1)b,且A,B,C三点共线,则实数λ的值为 (　　)
A.-1 B.2
C.-2或1 D.-1或2
6.点C在线段AB上,且||=||,若=λ,则λ=　　　　.
7.设向量a和b不平行,若向量2λa+8b与a+λb反向共线,则实数λ=　　　　.
8.已知平面内O,A,B,C四点,其中A,B,C三点共线,O,A,B三点不共线,且=x+y,
则x+y=　　　　.
9.(10分)已知向量m,n不是共线向量,a=3m+2n,b=6m-4n,c=m+xn.
(1)判断a,b是否共线;
(2)若a∥c,求x的值.
10.(10分)设e1,e2是两个不共线的向量,如果=3e1-2e2,=4e1+e2,=8e1-9e2.
(1)求证:A,B,D三点共线;
(2)试确定λ的值,使2λe1+e2和e1+λe2共线;
(3)若e1+λe2与λe1+e2不共线,试求λ的取值范围.
B级——重点培优
11.如图,在△ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB,AC于点M,N.
设=m,=n,则m+n= (　　)
A.1 B.2
C. D.3
12.设点O是面积为4的△ABC内部一点,且有+3+4=0,则△BOC的面积为　　　　　　.
13.(13分)如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线.
(1)取BD的中点M,试用和表示;
(2)若G是AD上一点,且=2,直线EF过点G,交AB于点E,交AC于点F.
若=λ,=μ(λ>0,μ>0),求λ+μ的最小值.
14.(15分)如图,在 ABCD中,点E,F分别是AD和DC边的中点,BE,BF分别交AC于点R,T.你能发现AR,RT,TC之间的关系吗 请用向量的方法证明.
课时跟踪检测(五)
1．选B　因为向量a＝2e1＋e2，b＝－2e1＋3e2，所以2a＋b＝2e1＋5e2.又4e1＋10e2＝2(2e1＋5e2)，所以4e1＋10e2与2a＋b共线．
2．选D　由与共线，知存在唯一实数λ，使＝λ，则a＋kb＝λ(la＋b)，故所以kl－1＝0，故选D.
3．选ABC　因为C，D是线段AB的两个三等分点，所以||＝3||，又与同向，所以＝3，故A正确；||＝2||，又与反向，所以＝－2，故B正确；||＝||，且与反向，所以＝－，所以＋＝0，故C正确；||＝||，且与反向，所以＝－，故D不正确．
4．选BD　因为4－3＝，所以3－3＝－.所以3＝.因为，有公共端点B，所以C，B，D三点共线，且||＝3||.B、D正确，A错误．由4－3＝，得＝3－3＋＝3＋.所以||≠||，C错误．故选BD.
5．选D　由于A，B，C三点共线，故可设＝k(k∈R)．因为＝λa＋2b，＝a＋(λ－1)b，所以λa＋2b＝k[a＋(λ－1)b]．所以λ＝k,2＝k(λ－1)，解得λ＝－1或λ＝2.
6．解析：不妨设||＝4a，则||＝||＝3a.因为点C在线段AB上，所以＝－.
答案：－
7．解析：因为向量2λa＋8b与a＋λb反向共线，所以存在t(t<0，t∈R)，使得2λa＋8b＝t(a＋λb)，即(2λ－t)a＝(tλ－8)b.又向量a和b不平行，所以解得t＝－4，λ＝－2.
答案：－2
8．解析：∵A，B，C三点共线，∴存在λ∈R，使＝λ.∴－＝λ(－)．
∴＝(1－λ)＋λ.∴x＝1－λ，y＝λ.∴x＋y＝1.
答案：1
9．解：(1)若a与b共线，由题知a为非零向量，
则有b＝λa，即6m－4n＝λ(3m＋2n)，
∴得到λ＝2且λ＝－2，
∴λ不存在，即a与b不共线．
(2)∵a∥c，∴存在实数r，使得c＝ra，
即m＋xn＝3rm＋2rn，即解得x＝.
10．解：(1)证明：因为＝＋＝4e1＋e2＋8e1－9e2＝12e1－8e2＝4(3e1－2e2)＝4，所以与共线．又与有公共点B，所以A，B，D三点共线．
(2)因为2λe1＋e2与e1＋λe2共线，
所以存在实数μ，使2λe1＋e2＝μ(e1＋λe2)．
因为e1，e2不共线，所以
解得λ＝±.
(3)假设e1＋λe2与λe1＋e2共线，则存在实数m，使e1＋λe2＝m(λe1＋e2)．
因为e1，e2不共线，所以
解得λ＝±1.因为e1＋λe2与λe1＋e2不共线，所以λ≠±1.
11．选B　由题意得＝(＋)＝(m＋n)＝＋.
因为M，O，N三点共线，所以＋＝1，
即m＋n＝2.
12．解析：∵＋3＋4＝0，
∴－＝＋.
设－＝，则＝＋，即B，C，D三点共线(如图)，
∴＝＝，
∴S△BOC＝4×＝.
答案：
13．解：(1)由题意知，D为BC的中点，所以＝＋.又M为BD的中点，所以＝＋＝＋＝＋.
(2)由＝2，＝λ，＝μ，
得＝，＝，所以＝＝＝＋＝＋.因为E，F，G三点共线，所以＋＝1，又λ＞0，μ＞0，所以λ＋μ＝(λ＋μ)＝＋＋≥＋2＝，当且仅当＝，即λ＝μ＝时取等号，所以λ＋μ的最小值为.
14．解：AR＝RT＝TC.证明如下：
因为四边形ABCD为平行四边形，所以＝＋，设＝λ，因为E是AD的中点，所以＝2，故＝λ＝λ(＋)＝λ(2＋)＝2λ＋λ.
又因为B，R，E三点共线，所以3λ＝1，解得λ＝，故＝.同理可证＝，可知R，T为AC的三等分点，故AR＝RT＝TC.

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