资源简介

9.2.3　向量的数量积
第1课时　向量的数量积 (教学方式:基本概念课——逐点理清式教学)
[课时目标]
1.通过物理中功等实例,理解向量数量积的概念及意义,会计算平面向量的数量积.
2.通过几何直观,了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.
3.掌握平面向量数量积运算律及运算性质,并能解一些简单问题.
逐点清(一)　向量的数量积
[多维理解]
1.向量的数量积
定义 已知两个非零向量a和b,它们的夹角是θ,我们把数量 　　　　　　　叫作向量a和b的数量积
记法 记作a·b,即a·b=　　　　　
规定 零向量与任一向量的数量积为　　　
2.向量的夹角、垂直及模
(1)设两个非零向量a和b的夹角为θ,则cos θ=　　　　　　　　　　.
(2)a⊥b 　　　　　(a,b是两个非零向量).
(3)a·a=|a|2或|a|=　　　　.
|微|点|助|解| 　
(1)向量的数量积a·b,不能表示为a×b或ab.
(2)两个向量的数量积的结果是一个实数,而不是向量;向量的数乘的结果是一个向量,其长度是原向量长度的倍数.
(3)两个向量的数量积所得的数值为两个向量的模与两个向量的夹角θ的余弦的乘积,由于|a|,|b|均为正数,故其符号由夹角来决定.
[微点练明]
1.已知|a|=,|b|=2,a与b的夹角是120°,则a·b等于 (　　)
A.3 B.-3
C.-3 D.3
2.已知|a|=3,|b|=2,若a·b=-3,则a与b夹角的大小为 (　　)
A.30° B.60°
C.120° D.150°
3.若a与b满足|a|=|b|=1,=60°,则a·a+a·b等于 (　　)
A. B.
C.1+ D.2
4.已知等边三角形ABC的边长为1,设=a,=b,=c,那么a·b+b·c+c·a= (　　)
A.3 B.-3
C. D.-
5.已知向量a,b的夹角为,且|a|=,|b|=1,则|a+2b|= (　　)
A.1 B.
C.2 D.
逐点清(二)　投影向量
[多维理解]
1.投影向量的定义
设a,b是两个非零向量,如图,表示向量a,表示向量b,过点A作所在直线的垂线,垂足为点A1.我们将上述由向量a得到向量的变换称为向量a向向量b投影,向量称为　　　　　上的投影向量.设向量a,b的夹角为θ,则=　　　　　.
2.向量数量积的几何意义
向量a和b的数量积就是向量a在向量b上的　　　　　　　　的数量积.
|微|点|助|解| 　
(1)a与b平行时,a在b上的投影向量是其本身;a⊥b时,a在b上的投影向量为0.
(2)向量a在向量b上的投影向量是与向量b平行的向量.
[微点练明]
1.已知|a|=1,|b|=2,其中a,b的夹角为,则a在b上的投影向量的模为 (　　)
A.1 B. C. D.
2.已知向量e是与向量b方向相同的单位向量,且|b|=2,若a在b方向上的投影向量为2e,则a·b= (　　)
A.2 B.-2
C.4 D.-4
3.已知O为正三角形ABC的中心,则向量在向量上的投影向量为 (　　)
A.- B.
C.- D.
4.已知向量a,b满足|a|=2,|b|=3,a·b=-3,则b在a上的投影向量为 (　　)
A.-a B.-a
C.-a D.-a
逐点清(三)　数量积的运算律及运算性质
[多维理解]
1.向量数量积的运算律
交换律 a·b=　　
结合律 (λa)·b=a·(λb)=λ(a·b)=λa·b
分配律 (a+b)·c=　　　　
2.向量数量积的运算性质
设a,b是非零向量,它们的夹角为θ,e是与b方向相同的单位向量,则
(1)a·e=e·a=|a|cos θ.
(2)当a与b同向时,a·b=|a||b|,当a与b反向时,a·b=-|a||b|.
(3)|a·b|≤|a||b|,当且仅当向量a,b共线,即a∥b时等号成立.
|微|点|助|解| 　
(1)已知实数a,b,c(b≠0),则ab=bc a=c.但对于向量的数量积,该推理不正确,即a·b=b·c不能推出a=c.
(2)对于实数a,b,c有(ab)c=a(bc),但对于向量a,b,c,(a·b)·c=a·(b·c)一般不成立.这是因为(a·b)·c表示一个与c共线的向量,而a·(b·c)表示一个与a共线的向量,而c与a不一定共线,所以(a·b)·c=a·(b·c)一般不成立.
[微点练明]
1.(多选)设a,b,c是任意的非零向量,则下列结论不正确的是 (　　)
A.0·a=0
B.(a·b)·c=a·(b·c)
C.a·b=0 a⊥b
D.(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2
2.已知向量a,b夹角的余弦值为-,且|a|=4,|b|=1,则(a-b)·(b-2a)= (　　)
A.-36 B.-12
C.6 D.36
3.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,b·(2a-b)=-18,则a与b的夹角等于 (　　)
A.30° B.60°
C.120° D.150°
4.若单位向量a,b满足(a-2b)·(a+b)=-,则|a-b|等于 (　　)
A.1 B.
C. D.
5.已知向量a,b满足|a|=,|b|=2,且a⊥(a-b),则a与b的夹角为 (　　)
A.30° B.60°
C.120° D.150°
第1课时　向量的数量积
[多维理解]　1.|a||b|cos θ　|a||b|cos θ　0
2.(1)　(2)a·b=0　(3)
[微点练明]
1.选B　由平面向量数量积的定义可得a·b=|a||b|cos 120°=×2×=-3.
2.选C　因为|a|=3,|b|=2, a·b=-3,所以cos===-.因为0°≤≤180°,所以=120°.
3.选B　由题意得a·a+a·b=|a|2+|a||b|·cos 60°=1+=,故选B.
4.选D　在等边三角形ABC中,有a·b+b·c+c·a=1×1×cos 120°+1×1×cos 120°+1×1×cos 120°=-.故选D.
5.选A　|a+2b|=
=
==1.
[多维理解]　1.向量a在向量b
(|a|cos θ)　2.投影向量与向量b
[微点练明]
1.选D　由题意,a在b上的投影向量的模为|a|cos=1×=.
2.选C　a·b=|b||a|cos=|b||2e|=2×2=4.故选C.
3.选C　取AB中点D,连接OD,因为O为正三角形ABC的中心,所以OD⊥AB,则向量在向量上的投影向量为=-,故选C.
4.选A　设向量a,b的夹角为θ,因为|a|=2,|b|=3,a·b=-3,所以a·b=|a||b|cos θ=2×3cos θ=-3,所以cos θ=-,所以b在a上的投影向量为|b|cos θ·=3cos θ·=3×·=-a.
[多维理解]　1.b·a　a·c+b·c
[微点练明]
1.选AB　0·a=0,A错误; (a·b)·c表示与c共线的向量,a·(b·c)表示与a共线的向量,但a与c不一定共线,B错误;a·b=0 a⊥b,C正确;(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2,D正确.故选AB.
2.选A　(a-b)·(b-2a)=a·b-2a2-b2+2a·b=3a·b-b2-2a2=3×4×1×-1-2×16=-36.故选A.
3.选D　由b·(2a-b)=2a·b-b2=2a·b-12=-18,得a·b=-3,则cos===-.∵0°≤≤180°,所以a与b的夹角等于150°.
4.选C　因为a,b为单位向量,所以(a-2b)·(a+b)=|a|2-a·b-2|b|2=-a·b-1=-.所以a·b=-.所以|a-b|===,故选C.
5.选A　因为a⊥(a-b),所以a·(a-b)=0,即|a|2-|a||b|cos=0,解得cos=.
又因为0°≤≤180°,所以a与b的夹角为30°,故选A.(共52张PPT)
9.2.3
向量的数量积
向量的数量积
(教学方式:基本概念课——逐点理清式教学)
第1课时
课时目标
1.通过物理中功等实例,理解向量数量积的概念及意义,会计算平面向量的数量积.
2.通过几何直观,了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.
3.掌握平面向量数量积运算律及运算性质,并能解一些简单问题.
CONTENTS
目录
1
2
3
逐点清(一)　向量的数量积
逐点清(二)　投影向量
逐点清(三)　数量积的运算律及
运算性质
4
课时跟踪检测
逐点清(一)　向量的数量积
01
多维理解
1.向量的数量积
定义 已知两个非零向量a和b,它们的夹角是θ,我们把数量_______________叫作向量a和b的数量积
记法 记作a·b,即a·b=______________
规定 零向量与任一向量的数量积为____
|a||b|cos θ
|a||b|cos θ
0
2.向量的夹角、垂直及模
(1)设两个非零向量a和b的夹角为θ,则cos θ=_________.
(2)a⊥b ______________(a,b是两个非零向量).
(3)a·a=|a|2或|a|=__________.
a·b=0
|微|点|助|解|
(1)向量的数量积a·b,不能表示为a×b或ab.
(2)两个向量的数量积的结果是一个实数,而不是向量;向量的数乘的结果是一个向量,其长度是原向量长度的倍数.
(3)两个向量的数量积所得的数值为两个向量的模与两个向量的夹角θ的余弦的乘积,由于|a|,|b|均为正数,故其符号由夹角来决定.
微点练明
1.已知|a|=,|b|=2,a与b的夹角是120°,则a·b等于(　　)
A.3 B.-3
C.-3 D.3
解析:由平面向量数量积的定义可得a·b=|a||b|cos 120°=
×2×=-3.
√
2.已知|a|=3,|b|=2,若a·b=-3,则a与b夹角的大小为 (　　)
A.30° B.60°
C.120° D.150°
解析:因为|a|=3,|b|=2, a·b=-3,所以cos===-.
因为0°≤≤180°,所以=120°.
√
3.若a与b满足|a|=|b|=1,=60°,则a·a+a·b等于 (　　)
A. B.
C.1+ D.2
解析:由题意得a·a+a·b=|a|2+|a||b|·cos 60°=1+=,故选B.
√
4.已知等边三角形ABC的边长为1,设=a,=b,=c,那么a·b+
b·c+c·a=(　　)
A.3 B.-3
C. D.-
解析:在等边三角形ABC中,有a·b+b·c+c·a=1×1×cos 120°+1×
1×cos 120°+1×1×cos 120°=-.故选D.
√
5.已知向量a,b的夹角为,且|a|=,|b|=1,则|a+2b|=(　　)
A.1 B.
C.2 D.
解析:|a+2b|===
=1.
√
逐点清(二)　投影向量
02
多维理解
1.投影向量的定义
设a,b是两个非零向量,如图,表示向量a,表示向量b,过点A作所在直线的垂线,垂足为点A1.我们将上述由向量a得到向量的变换称
为向量a向向量b投影,向量称为_________________上的投影向量.
设向量a,b的夹角为θ,则=___________________.
向量a在向量b
2.向量数量积的几何意义
向量a和b的数量积就是向量a在向量b上的_________________的数量积.
投影向量与向量b
|微|点|助|解|
(1)a与b平行时,a在b上的投影向量是其本身;a⊥b时,a在b上的投影向量为0.
(2)向量a在向量b上的投影向量是与向量b平行的向量.
微点练明
1.已知|a|=1,|b|=2,其中a,b的夹角为,则a在b上的投影向量的模为(　　)
A.1 B. C. D.
解析:由题意,a在b上的投影向量的模为|a|cos=1×=.
√
2.已知向量e是与向量b方向相同的单位向量,且|b|=2,若a在b方向上的投影向量为2e,则a·b= (　　)
A.2 B.-2 C.4 D.-4
解析:a·b=|b||a|cos=|b||2e|=2×2=4.故选C.
√
3.已知O为正三角形ABC的中心,则向量在向量上的投影向量为(　　)
A.- B.
C.- D.
解析:取AB中点D,连接OD,因为O为正三角形ABC的中心,所以OD⊥AB,则向量在向量上的投影向量为=-,故选C.
√
4.已知向量a,b满足|a|=2,|b|=3,a·b=-3,则b在a上的投影向量为 (　　)
A.-a B.-a
C.-a D.-a
√
解析:设向量a,b的夹角为θ,
因为|a|=2,|b|=3,a·b=-3,
所以a·b=|a||b|cos θ=2×3cos θ=-3,
所以cos θ=-,
所以b在a上的投影向量为
|b|cos θ·=3cos θ·=3×·=-a.
逐点清(三)　数量积的运算律
及运算性质
03
多维理解
1.向量数量积的运算律
交换律 a·b=______
结合律 (λa)·b=a·(λb)=λ(a·b)=λa·b
分配律 (a+b)·c=____________
b·a
a·c+b·c
2.向量数量积的运算性质
设a,b是非零向量,它们的夹角为θ,e是与b方向相同的单位向量,则
(1)a·e=e·a=|a|cos θ.
(2)当a与b同向时,a·b=|a||b|,当a与b反向时,a·b=-|a||b|.
(3)|a·b|≤|a||b|,当且仅当向量a,b共线,即a∥b时等号成立.
|微|点|助|解|
(1)已知实数a,b,c(b≠0),则ab=bc a=c.但对于向量的数量积,该推理不正确,即a·b=b·c不能推出a=c.
(2)对于实数a,b,c有(ab)c=a(bc),但对于向量a,b,c,(a·b)·c=a·(b·c)一般不成立.这是因为(a·b)·c表示一个与c共线的向量,而a·(b·c)表示一个与a共线的向量,而c与a不一定共线,所以(a·b)·c=a·(b·c)一般不成立.
微点练明
1.(多选)设a,b,c是任意的非零向量,则下列结论不正确的是 (　　)
A.0·a=0
B.(a·b)·c=a·(b·c)
C.a·b=0 a⊥b
D.(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2
√
√
解析:0·a=0,A错误;
(a·b)·c表示与c共线的向量,a·(b·c)表示与a共线的向量,但a与c不一定共线,B错误;
a·b=0 a⊥b,C正确;
(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2,D正确.故选AB.
2.已知向量a,b夹角的余弦值为-,且|a|=4,|b|=1,则(a-b)·(b-2a)=(　　)
A.-36 B.-12
C.6 D.36
解析: (a-b)·(b-2a)=a·b-2a2-b2+2a·b=3a·b-b2-2a2=3×4×1×-1-2×16=-36.故选A.
√
3.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,b·(2a-b)=-18,则a与b的夹角等于(　　)
A.30° B.60°
C.120° D.150°
解析:由b·(2a-b)=2a·b-b2=2a·b-12=-18,得a·b=-3,则cos=
==-.∵0°≤≤180°,所以a与b的夹角等于150°.
√
4.若单位向量a,b满足(a-2b)·(a+b)=-,则|a-b|等于(　　)
A.1 B.
C. D.
解析:因为a,b为单位向量,所以(a-2b)·(a+b)=|a|2-a·b-2|b|2=-a·b-1=-.所以a·b=-.所以|a-b|===,故选C.
√
5.已知向量a,b满足|a|=,|b|=2,且a⊥(a-b),则a与b的夹角为(　　)
A.30° B.60°
C.120° D.150°
解析:因为a⊥(a-b),所以a·(a-b)=0,即|a|2-|a||b|cos=0,解得cos=.又因为0°≤≤180°,所以a与b的夹角为30°,故选A.
√
课时跟踪检测
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1.在等腰Rt△ABC中,若C=90°,AC=,则·的值等于(　　)
A.-2 B.2
C.-2 D.2
解析:·=||||cos B=2××cos 45°=2.
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2.已知a,b是互相垂直的单位向量,若c=a-2b,则b·c= (　　)
A.-2 B.-1
C.0 D.2
解析:b·c=b·(a-2b)=b·a-2b2=0-2=-2.故选A.
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3.若|a|=4,|b|=2,a和b的夹角为30°,则a在b的方向上的投影向量的模为 (　　)
A.2 B.
C.2 D.4
解析:因为a在b的方向上的投影向量为|a|cos 30°×=4××=b,所以a在b的方向上的投影向量的模为|b|=2,故选C.
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4.已知|a|=3,|b|=6,当a∥b时,a·b= (　　)
A.18 B.-18
C.±18 D.0
解析:若a与b同向,则它们的夹角为0°,所以a·b=|a||b|cos 0°=
3×6×1=18;若a与b反向,则它们的夹角为180°,所以a·b=|a||b|·
cos 180°=3×6×(-1)=-18.
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5.已知|a|=|b|=1,向量a与b的夹角为60°,则|3a-4b|= (　　)
A.5 B.13
C.3 D.
解析:因为|3a-4b|2=(3a-4b)2
=9|a|2+16|b|2-24a·b
=9×12+16×12-24×1×1×=13,所以|3a-4b|=,故选D.
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6.在四边形ABCD中,=,且(+)·(-)=0,那么四边形ABCD为(　　)
A.平行四边形 B.矩形
C.菱形 D.正方形
解析:由=,可得四边形ABCD是平行四边形.由(+)·
(-)=0,得-=0,即=,所以||=||.
所以四边形ABCD为菱形.故选C.
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7.已知a,b是单位向量,c=a+2b,若a⊥c,则|c|= (　　)
A.3 B.
C. D.
解析:因为a,b是单位向量,所以|a|=|b|=1.又a⊥c a·c=0,即(a+2b)·a=
a2+2a·b=0 a·b=-.又c=a+2b |c|2=(a+2b)2=a2+4a·b+4b2=1-2+4=3,所以|c|=.
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8.我国古代数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”,后人称为“赵爽弦图”.他用数形结合的方法给出了
勾股定理的证明,极富创新意识.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如图,若大正方形的面积是25,
小正方形的面积是1,则·=(　　)
A.9 B.-9
C.12 D.-12
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解析:由题意可知,AD=5,HE=1,设AH=x,由勾股定理可得(x+1)2+
x2=52,解得x=3,所以sin∠ABH==cos∠GBC,所以·=||||
cos(π-∠GBC)=5×3×=-9.
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9.(多选)已知正三角形ABC的边长为2,设=2a,=b,则下列结论正确的是(　　)
A.|a+b|=1 B.a⊥b
C.(4a+b)⊥b D.a·b=-1
解析:分析知|a|=1,|b|=2,a与b的夹角是120°,故B错误;
∵(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2=3,∴|a+b|=,故A错误;
∵(4a+b)·b=4a·b+b2=4×1×2×cos 120°+4=0,∴(4a+b)⊥b,故C正确;
a·b=1×2×cos 120°=-1,故D正确.
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10.已知|a|=,b是非零向量,e是与向量b方向相同的单位向量,向量a在向量b上的投影向量为-e,则a与b的夹角为(　　)
A.45° B.60°
C.120° D.135°
解析:设向量a与b的夹角为θ.由题意可知向量a在向量b上的投影向量为e,则e=-e,所以=-1,即cos θ=-1,
所以cos θ=-.因为0°≤θ≤180°,所以θ=135°.
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11.若|a|=3,|b|=4,a·b=-12,则向量a和b的夹角为　　　　　.
解析:设向量a和b的夹角为θ,
则cos θ===-1.
因为0°≤θ≤180°,所以θ=180°.
180°
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12.已知△ABC中,BC=7,AC=8,C=60°,则·=　　　　.
解析:因为C=60°,BC=7,AC=8,所以·=-·=-7×8×cos 60°=-28.
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13.已知平面向量α,β,|α|=1,|β|=2,α⊥(α-2β),则|2α+β|的值是　　　　.
解析:由α⊥(α-2β)知,α·(α-2β)=0,则2α·β=1,所以|2α+β|2=
4α2+4α·β+β2=4+2+4=10.故|2α+β|=.
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14.(17分)在△ABC中,已知||=5,||=4,||=3,求:
(1)·;
解:因为||=5,||=4,||=3,
所以||2+||2=||2,即AC⊥BC,
所以cos B==.
所以·=||||cos(π-B)=5×4×=-16.
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2
(2)在上的投影向量;
解:由(1)知,AC⊥BC,所以cos A==,
所以在上的投影向量为
||cos A·=3××=.
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(3)在上的投影向量.
解:由(1)知,cos B=,
所以在上的投影向量为||cos (π-B)·=5××=-.
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15.(18分)已知向量e1与e2是夹角为的单位向量,且向量a=3e1+4e2,b=
2e1+λe2.
(1)求|a|;
解:由题意知,e1·e2=1×1×cos=.
因为a=3e1+4e2,所以|a|===
=.
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(2)若a⊥(a+b),求实数λ的值.
解:因为向量a=3e1+4e2,b=2e1+λe2,
所以a·b=(3e1+4e2)·(2e1+λe2)=6+(3λ+8)e1·e2+4λ=10+λ.
因为a⊥(a+b),
所以a·(a+b)=a2+a·b=37+10+λ=0,
解得λ=-.课时跟踪检测(六)　向量的数量积
(满分100分,选填小题每题5分)
1.在等腰Rt△ABC中,若C=90°,AC=,则·的值等于 (　　)
A.-2 B.2
C.-2 D.2
2.已知a,b是互相垂直的单位向量,若c=a-2b,则b·c= (　　)
A.-2 B.-1
C.0 D.2
3.若|a|=4,|b|=2,a和b的夹角为30°,则a在b的方向上的投影向量的模为 (　　)
A.2 B.
C.2 D.4
4.已知|a|=3,|b|=6,当a∥b时,a·b= (　　)
A.18 B.-18
C.±18 D.0
5.已知|a|=|b|=1,向量a与b的夹角为60°,则|3a-4b|= (　　)
A.5 B.13
C.3 D.
6.在四边形ABCD中,=,且(+)·(-)=0,那么四边形ABCD为 (　　)
A.平行四边形 B.矩形
C.菱形 D.正方形
7.已知a,b是单位向量,c=a+2b,若a⊥c,则|c|= (　　)
A.3 B.
C. D.
8.我国古代数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”,后人称为“赵爽弦图”.他用数形结合的方法给出了勾股定理的证明,极富创新意识.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如图,若大正方形的面积是25,小正方形的面积是1,则·= (　　)
A.9 B.-9
C.12 D.-12
9.(多选)已知正三角形ABC的边长为2,设=2a,=b,则下列结论正确的是 (　　)
A.|a+b|=1 B.a⊥b
C.(4a+b)⊥b D.a·b=-1
10.已知|a|=,b是非零向量,e是与向量b方向相同的单位向量,向量a在向量b上的投影向量为-e,则a与b的夹角为 (　　)
A.45° B.60°
C.120° D.135°
11.若|a|=3,|b|=4,a·b=-12,则向量a和b的夹角为　　　　　.
12.已知△ABC中,BC=7,AC=8,C=60°,则·=　　　　.
13.已知平面向量α,β,|α|=1,|β|=2,α⊥(α-2β),则|2α+β|的值是　　　　.
14.(17分)在△ABC中,已知||=5,||=4,||=3,求:
(1)·;
(2)在上的投影向量;
(3)在上的投影向量.
15.(18分)已知向量e1与e2是夹角为的单位向量,且向量a=3e1+4e2,b=2e1+λe2.
(1)求|a|;
(2)若a⊥(a+b),求实数λ的值.
课时跟踪检测(六)
1．选B　·＝||||cos B＝2××cos 45°＝2.
2．选A　b·c＝b·(a－2b)＝b·a－2b2＝0－2＝－2.故选A.
3．选C　因为a在b的方向上的投影向量为|a|cos 30°×＝4××＝b，所以a在b的方向上的投影向量的模为|b|＝2，故选C.
4．选C　若a与b同向，则它们的夹角为0°，所以a·b＝|a||b|cos 0°＝3×6×1＝18；若a与b反向，则它们的夹角为180°，所以a·b＝|a||b|cos 180°＝3×6×(－1)＝－18.
5．选D　因为|3a－4b|2＝(3a－4b)2
＝9|a|2＋16|b|2－24a·b
＝9×12＋16×12－24×1×1×＝13，所以|3a－4b|＝，故选D.
6．选C　由＝，可得四边形ABCD是平行四边形．由(＋)·(－)＝0，得2－2＝0，即2＝2，所以||＝||.所以四边形ABCD为菱形．故选C.
7．选C　因为a，b是单位向量，所以|a|＝|b|＝1.又a⊥c a·c＝0，即(a＋2b)·a＝a2＋2a·b＝0 a·b＝－.又c＝a＋2b |c|2＝(a＋2b)2＝a2＋4a·b＋4b2＝1－2＋4＝3，所以|c|＝.
8．选B　由题意可知，AD＝5，HE＝1，设AH＝x，由勾股定理可得(x＋1)2＋x2＝52，解得x＝3，所以sin∠ABH＝＝cos∠GBC，所以·＝||||cos(π－∠GBC)＝5×3×＝－9.
9．选CD　分析知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角是120°，故B错误；∵(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝3，∴|a＋b|＝，故A错误；∵(4a＋b)·b＝4a·b＋b2＝4×1×2×cos 120°＋4＝0，∴(4a＋b)⊥b，故C正确；a·b＝1×2×cos 120°＝－1，故D正确．
10．选D　设向量a与b的夹角为θ.由题意可知向量a在向量b上的投影向量为e，则e＝－e，所以＝－1，即cos θ＝－1，
所以cos θ＝－.因为0°≤θ≤180°，所以θ＝135°.
11．解析：设向量a和b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－1.
因为0°≤θ≤180°，所以θ＝180°.
答案：180°
12．解析：因为C＝60°，BC＝7，AC＝8，所以·＝－·＝－7×8×cos 60°＝－28.
答案：－28
13．解析：由α⊥(α－2β)知，α·(α－2β)＝0，则2α·β＝1，所以|2α＋β|2＝4α2＋4α·β＋β2＝4＋2＋4＝10.故|2α＋β|＝.
答案：
14．解：(1)因为||＝5，||＝4，||＝3，
所以||2＋||2＝||2，即AC⊥BC，
所以cos B＝＝.
所以·＝||||cos(π－B)＝5×4×＝－16.
(2)由(1)知，AC⊥BC，所以cos A＝＝，
所以在上的投影向量为||cos A·＝3××＝.
(3)由(1)知，cos B＝，所以在上的投影向量为||cos (π－B)·＝5××＝－.
15．解：(1)由题意知，e1·e2＝1×1×cos ＝.
因为a＝3e1＋4e2，所以|a|＝＝
＝＝.
(2)因为向量a＝3e1＋4e2，b＝2e1＋λe2，
所以a·b＝(3e1＋4e2)·(2e1＋λe2)＝6e＋(3λ＋8)e1·e2＋4λe＝10＋λ.
因为a⊥(a＋b)，
所以a·(a＋b)＝a2＋a·b＝37＋10＋λ＝0，解得λ＝－.

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