资源简介

第2课时　平面向量数量积的应用 (教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学)
[课时目标]
1.进一步掌握平面向量数量积的运算,能求平面几何中的数量积问题.
2.能运用数量积的运算性质和运算律解决模、垂直、夹角问题.
题型(一)　数量积的运算
[例1]　(1)如图,在平行四边形ABCD中,已知=,=,||=2,||=2,则·= (　　)
A.-9 B.-6
C.6 D.9
(2)已知向量a,b的夹角为45°,且|a|=4,·(2a-3b)=12,则b在a上的投影向量为 (　　)
A.a B.2b
C.a D.2b
听课记录:
　　|思|维|建|模|
求平面向量数量积的步骤
(1)求a与b的夹角θ,θ∈[0,π];
(2)分别求|a|和|b|;
(3)求数量积,即a·b=|a||b|cos θ,要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接,而不能用“×”连接,也不能省去.
　　[针对训练]
1.如图,在△ABC中,AD⊥AB,=,||=2,则·= (　　)
A.2 B.4
C.3 D.
2.(2022·全国甲卷)设向量a,b的夹角的余弦值为,且|a|=1,|b|=3,则(2a+b)·b=　　　　.
题型(二)　平面向量的夹角与模
[例2]　已知|a|=,|b|=1,a与b的夹角为45°.
(1)求|a+2b|的值;
(2)若向量2a-λb与λa-3b的夹角是锐角,求实数λ的取值范围.
听课记录:
　　[变式拓展]
本例(2)条件“锐角”变为“钝角”,求实数λ的取值范围.
　　|思|维|建|模|
(1)求解向量的模时要灵活应用a2=|a|2,即|a|=,勿忘记开方.
(2)求向量夹角的基本步骤及注意事项
①步骤:
②注意事项:在个别含有|a|,|b|与a·b的等量关系式中,常利用消元计算cos θ的值.
　　[针对训练]
3.(2024·新课标Ⅱ卷)已知向量a,b满足|a|=1,|a+2b|=2,且(b-2a)⊥b,则|b|= (　　)
A. B.
C. D.1
4.已知平面向量a,b满足|a|=3,|b|=1,并且当λ=-4时,|a+λb|取得最小值,则sin= (　　)
A. B.
C. D.
题型(三)　向量的垂直
[例3]　已知a,b都是非零向量,且a+3b与7a-5b垂直,a-4b与7a-2b垂直,求a与b的夹角.
听课记录:
　　|思|维|建|模|
解决有关垂直问题时,利用a⊥b a·b=0(a,b为非零向量).
　　[针对训练]
5.已知向量a,b,|a|=5,|b|=4,a与b的夹角为120°,若(ka-2b)⊥(a+b),则k= (　　)
A.- B.-
C. D.
6.已知△ABC中,∠A=120°,且AB=3,AC=4,若=λ+,且⊥,求实数λ的值.
第2课时　平面向量数量积的应用
[例1]　解析:(1)由题意可得,=+=+=+,=+=+=+,
∴=+·+=4,　①
=+·+=12,②
①-②得-=-8,即-=-9,
∴·=(+)·(-)=-=-9.
(2)由·(2a-3b)=12,得a2+a·b-3b2=|a|2+|a||b|cos 45°-3|b|2=16+×4|b|×-3|b|2=12,解得|b|=(舍负).从而b在a上的投影向量为|b|cos 45°=a.
答案:(1)A　(2)A
[针对训练]
1.选B　根据向量的线性运算,结合平面向量数量积的定义可得·=(+)·=·+·,由AD⊥AB,可知·=0,又因为= ,||=2,所以·=·=||·||·cos∠ADB=×2
×||×=4.故选B.
2.解析:(2a+b)·b=2a·b+b2=2|a|·|b|·cos+|b|2=2×1×3×+32=11.
答案:11
[例2]　解:(1)因为a·b=|a||b|cos 45°=×1×=1,
所以|a+2b|2=a2+4a·b+4b2=2+4+4=10,则|a+2b|=.
(2)由向量2a-λb与λa-3b的夹角是锐角,
可得(2a-λb)·(λa-3b)>0,且2a-λb与λa-3b不共线,即2λa2+3λb2-(6+λ2)a·b=7λ-(6+λ2)>0,解得1<λ<6.
由2a-λb与λa-3b共线,可得2×(-3)=-λ·λ,解得λ=±.故实数λ的取值范围为(1,)∪(,6).
[变式拓展]
解:由题意得(2a-λb)·(λa-3b)<0,则2λa2-λ2a·b-6a·b+3λb2=4λ-λ2-6+3λ<0,即λ2-7λ+6>0,解得λ<1或λ>6.当2a-λb与λa-3b共线时,2×(-3)=-λ2,则2×(-3)≠-λ2时,2a-λb与λa-3b不共线,所以λ≠±.所以实数λ的取值范围为(-∞,-)∪(-,1)∪(6,+∞).
[针对训练]
3.选B　因为(b-2a)⊥b,所以(b-2a)·b=0,即b2=2a·b.又因为|a|=1,|a+2b|=2,所以1+4a·b+4b2=1+6b2=4,解得|b|=.
4.选B　由题意,得a·b=3cos,|a+λb|2=|a|2+2λa·b+λ2|b|2=λ2+6λcos+18.当λ=-3cos时,
|a+λb|2取得最小值,即|a+λb|取得最小值,故-3cos=-4,则有cos=.又∈,
所以sin==.
[例3]　解:设a与b的夹角为θ,
∵非零向量a,b满足a+3b与7a-5b互相垂直,a-4b与7a-2b互相垂直,∴(a+3b)·(7a-5b)=0,(a-4b)·(7a-2b)=0,
∴7|a|2-15|b|2+16a·b=0,7|a|2+8|b|2-30a·b=0.
∴|b|2=2a·b,|a|2=2a·b,∴|b||a|=2a·b,
∴cos θ==.又θ∈[0,π],
∴θ=.即a与b的夹角为.
[针对训练]
5.选C　因为|a|=5,|b|=4,a与b的夹角为120°,所以a·b=|a||b|cos 120°=5×4×=-10.由(ka-2b)⊥(a+b),得(ka-2b)·(a+b)=ka2-2b2+(k-2)a·b=25k-2×16-10(k-2)=15k-12=0,解得k=.
6.解:因为=λ+,且⊥,所以·=(λ+)·(-)=λ·-λ+-·=0,即(λ-1)||·||cos A-λ+=0.因为AB=3,AC=4,∠A=120°,所以-6(λ-1)-9λ+16=0,解得λ=.(共46张PPT)
平面向量数量积的应用
(教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学)
第2课时
课时目标
1.进一步掌握平面向量数量积的运算,能求平面几何中的数量积问题.
2.能运用数量积的运算性质和运算律解决模、垂直、夹角问题.
CONTENTS
目录
1
2
3
题型(一)　数量积的运算
题型(二)　平面向量的夹角与模
题型(三)　向量的垂直
4
课时跟踪检测
题型(一)　数量积的运算
01
[例1]　(1)如图,在平行四边形ABCD中,已知=,=,||=2,||=2,则·=(　　)
A.-9 B.-6 C.6 D.9
√
解析:由题意可得,=+=+=+,=+=
+=+,∴=+·+=4,　①
=+·+=12,②
①-②得-=-8,即-=-9,
∴·=(+)·(-)=-=-9.
(2)已知向量a,b的夹角为45°,且|a|=4,·(2a-3b)=12,
则b在a上的投影向量为(　　)
A.a B.2b C.a D.2b
解析:由·(2a-3b)=12,
得a2+a·b-3b2=|a|2+|a||b|cos 45°-3|b|2=16+×4|b|×-3|b|2=12,
解得|b|=(舍负).
从而b在a上的投影向量为|b|cos 45°=a.
√
|思|维|建|模|
求平面向量数量积的步骤
(1)求a与b的夹角θ,θ∈[0,π];
(2)分别求|a|和|b|;
(3)求数量积,即a·b=|a||b|cos θ,要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接,而不能用“×”连接,也不能省去.
针对训练
1.如图,在△ABC中,AD⊥AB,=,||=2,则·=(　　)
A.2 B.4
C.3 D.
√
解析:根据向量的线性运算,结合平面向量数量积的定义可得·=
(+)·=·+·,由AD⊥AB,可知·=0,又因为=
,||=2,所以·=·=||·||·cos∠ADB=×2×
||×=4.故选B.
2.(2022·全国甲卷)设向量a,b的夹角的余弦值为,且|a|=1,|b|=3,
则(2a+b)·b=　　　　.
解析:(2a+b)·b=2a·b+b2=2|a||b|cos+|b|2=2×1×3×+32=11.
11
题型(二)　平面向量的夹角与模
02
[例2]　已知|a|=,|b|=1,a与b的夹角为45°.
(1)求|a+2b|的值;
解:因为a·b=|a||b|cos 45°=×1×=1,
所以|a+2b|2=a2+4a·b+4b2=2+4+4=10,
则|a+2b|=.
(2)若向量2a-λb与λa-3b的夹角是锐角,求实数λ的取值范围.
解:由向量2a-λb与λa-3b的夹角是锐角,
可得(2a-λb)·(λa-3b)>0,且2a-λb与λa-3b不共线,即2λa2+3λb2-(6+λ2)a·b=7λ-(6+λ2)>0,解得1<λ<6.由2a-λb与λa-3b共线,可得2×(-3)=-λ·λ,解得λ=±.故实数λ的取值范围为(1,)∪(,6).
变式拓展
　本例(2)条件“锐角”变为“钝角”,求实数λ的取值范围.
解:由题意得(2a-λb)·(λa-3b)<0,则2λa2-λ2a·b-6a·b+3λb2=4λ-λ2-6+3λ<0,即λ2-7λ+6>0,解得λ<1或λ>6.当2a-λb与λa-3b共线时,
2×(-3)=-λ2,则2×(-3)≠-λ2时,2a-λb与λa-3b不共线,所以λ≠
±.所以实数λ的取值范围为(-∞,-)∪(-,1)∪(6,+∞).
|思|维|建|模|
(1)求解向量的模时要灵活应用a2=|a|2,即|a|=,勿忘记开方.
(2)求向量夹角的基本步骤及注意事项
①步骤:
②注意事项:在个别含有|a|,|b|与a·b的等量关系式中,常利用消元计算cos θ的值.
针对训练
3.(2024·新课标Ⅱ卷)已知向量a,b满足|a|=1,|a+2b|=2,且(b-2a)⊥b,则|b|= (　　)
A. B. C. D.1
解析:因为(b-2a)⊥b,所以(b-2a)·b=0,即b2=2a·b.又因为|a|=1,
|a+2b|=2,
所以1+4a·b+4b2=1+6b2=4,解得|b|=.
√
4.已知平面向量a,b满足|a|=3,|b|=1,并且当λ=-4时,|a+λb|取得最小值,则sin=(　　)
A. B.
C. D.
√
解析:由题意,得a·b=3cos,|a+λb|2=|a|2+2λa·b+λ2|b|2
=λ2+6λcos+18.
当λ=-3cos时,|a+λb|2取得最小值,即|a+λb|取得最小值,故-3cos=-4,则有cos=.又∈,
所以sin==.
题型(三)　向量的垂直
03
[例3]　已知a,b都是非零向量,且a+3b与7a-5b垂直,a-4b与7a-2b垂直,求a与b的夹角.
解:设a与b的夹角为θ,
∵非零向量a,b满足a+3b与7a-5b互相垂直,
a-4b与7a-2b互相垂直,
∴(a+3b)·(7a-5b)=0,(a-4b)·(7a-2b)=0,∴7|a|2-15|b|2+16a·b=0,
7|a|2+8|b|2-30a·b=0.
∴|b|2=2a·b,|a|2=2a·b,
∴|b||a|=2a·b,
∴cos θ==.又θ∈[0,π],
∴θ=.即a与b的夹角为.
|思|维|建|模|
解决有关垂直问题时,利用a⊥b a·b=0(a,b为非零向量).
针对训练
5.已知向量a,b,|a|=5,|b|=4,a与b的夹角为120°,若(ka-2b)⊥(a+b),则k= (　　)
A.- B.-
C. D.
√
解析:因为|a|=5,|b|=4,a与b的夹角为120°,所以a·b=|a||b|cos 120°=
5×4×=-10.由(ka-2b)⊥(a+b),得(ka-2b)·(a+b)=ka2-2b2+
(k-2)a·b=25k-2×16-10(k-2)=15k-12=0,解得k=.
6.已知△ABC中,∠A=120°,且AB=3,AC=4,若=λ+,且⊥,求实数λ的值.
解:因为=λ+,且⊥,所以·=(λ+)·(-)=
λ·-λ+-·=0,即(λ-1)||·||cos A-λ+=0.因为AB=3,AC=4,∠A=120°,所以-6(λ-1)-9λ+16=0,解得λ=.
课时跟踪检测
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2
A级——达标评价
1.已知向量a,b,|a|=1,|b|=2,a⊥(b-a),则|2a+b|=(　　)
A.4 B.2
C.3 D.12
解析:∵a⊥(b-a),∴a·(b-a)=a·b-a2=a·b-1=0,
∴a·b=1,|2a+b|2=(2a+b)2=4a2+4a·b+b2=12,∴|a+b|=2.
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2.已知菱形ABCD的边长为2,·=2,则||=(　　)
A. B.2
C.1 D.2
解析:根据题意可得=+,=-,
∵·=2,即·(+)=+·=2,∴·=-2,
||2==-2·+=12,即||=2,故选B.
√
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3.设平面上有四个互异的点A,B,C,D,已知(+-2)·(-)=0,则△ABC的形状是(　　)
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等腰直角三角形 D.等边三角形
解析:∵(+-2)·(-)=0,∴(+)·(-)=0,
∴-=0,即||=||,∴△ABC是等腰三角形.
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4.已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,m与n夹角的余弦值为,若n⊥(tm+n),则实数t的值为(　　)
A.4 B.-4
C. D.-
解析:由题意知==,所以m·n=|n|2=n2.因为n⊥(tm+n),
所以n·(tm+n)=0,所以tm·n+n2=0,即tn2+n2=0,所以t=-4.
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5.已知单位向量a,b满足a·b=0,若向量c=a+b,则sin=(　　)
A. B.
C. D.
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解析:因为a,b是单位向量,所以|a|=|b|=1.
又a·b=0,c=a+b,
所以|c|==
=3,a·c=a·=a2+a · b=.
所以cos==.
因为∈,
所以sin==.
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6.已知|a|=2,|b|=3,且a⊥b,则(a+b)·(2a-b)=　　　　.
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7.已知|a|=2,|b|=3,a与b的夹角为,且a+b+c=0,则|c|=　　　　.
解析:因为a+b+c=0,所以c=-a-b,所以c2=(-a-b)2=a2+2a·b+b2=
22+2×2×3cos+32=4-6+9=7,所以|c|=.
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8.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,|a-b|=,则a与b的夹角为　　　　.
解析:|a-b|2=a2-2a·b+b2=1-2a·b+4=5-2a·b=7,∴a·b=-1,又θ∈[0,π],
cos θ==-,∴θ=.
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9.(10分)如图所示,在△ABC中,∠BAC=90°,
BC=4,A是线段EF的中点,EF=2.若与的夹角为60°,求·.
解:·=(+)·(+)=·+·+
·+·.∵∠BAC=90°,∴·=0.
又A是线段EF的中点,∴=-,∴·=
·-·-=·-1=4×1×cos 60°-1=1.
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10.(12分)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,且a,b的夹角为60°.
(1)若(2a+3b)⊥(a-kb),求实数k的值;
解:因为(2a+3b)⊥(a-kb),
所以(2a+3b)·(a-kb)=2a2+(3-2k)a·b-3kb2=2|a|2+(3-2k)a·b-3k|b|2=0,
即2+(3-2k)×1×2×cos 60°-3k×4=0,解得k=.
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(2)求a+b与a-b的夹角的余弦值.
解:因为|a+b|====,
|a-b|===
=,
所以cos====-,
故a+b与a-b的夹角的余弦值为-.
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B级——重点培优
11.如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,CD=1,
∠BAD=,若·=2·,则·=(　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
解析:∵·=2·,∴·-·=·,即·=
·.∵AB∥CD,CD=1,∠BAD=,∴||=||·||cos ,
∴||=2,∴·=·(+)=||2+·=22+2×1×cos =5.
√
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12.已知向量a≠e,|e|=1,对任意实数t,恒有|a-te|≥|a-e|,则 (　　)
A.a⊥e B.e⊥(a-e)
C.a⊥(a-e) D.(a-e)⊥(a-e)
解析:由|a-te|≥|a-e|,两边平方得a2+t2-2ta·e≥a2+1-2a·e.
设a·e=m,则t2-2mt+2m-1≥0对任意实数t恒成立,所以Δ=4m2-8m+4≤0,即(m-1)2≤0,所以m=1,即a·e=1,e·(a-e)=a·e-1=0,所以e⊥(a-e).
√
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13.(多选)设a,b,c是三个非零向量,且相互不共线,则下列说法正确的是 (　　)
A.若|a+b|=|a-b|,则a⊥b
B.若|a|=|b|,则(a+b)⊥(a-b)
C.若a·c=b·c,则a-b不与c垂直
D.(b·c)a-(a·c)b不与c垂直
√
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解析:由|a+b|=|a-b|,平方可得a2+b2+2a·b=a2+b2-2a·b a·b=0 a⊥b,故A正确;
若|a|=|b|,则(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=0,所以(a+b)⊥(a-b),
故B正确;
若a·c=b·c,则(a-b)·c=a·c-b·c=0 (a-b)⊥c,故C错误;
[(b·c)a-(a·c)b]·c=(b·c)a·c-(a·c)b·c=(b·c)(a·c)-(a·c)(b·c)=0,
所以[(b·c)a-(a·c)b]⊥c,故D错误.
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14.已知e1,e2是互相垂直的两个单位向量,若向量a=te1+e2与向量b=e1+te2的夹角是钝角,则实数t的取值范围是　　　　 　　　　.
解析:∵向量a与向量b的夹角是钝角,
∴a·b<0,且≠π.
由(te1+e2)·(e1+te2)<0,且|e1|=|e2|=1,
e1·e2=0,得t<0.
令te1+e2=λ(e1+te2),λ<0,λ∈R,
则于是t=-1.故t<0,且t≠-1,
即实数t的取值范围是(-∞,-1)∪(-1,0).
(-∞,-1)∪(-1,0)
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15.(14分)已知向量a,b,c满足|a|=2,c=a-tb(t∈R),=.
(1)若a·b=1,求b在a方向上的投影向量(用a表示);
解:由数量积的定义可知|b|cos=,所以b在a方向上的投影向量为|b|cos=·=·=a.
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3
4
2
(2)求|c|的最小值.
解:因为|c|=|a-tb|=
=,
又|a|=2,=,
所以|c|=.
令x=t|b|∈R,
所以|c|==.
所以当x=t|b|=1时,|c|取到最小值为.课时跟踪检测(七)　平面向量数量积的应用
(满分100分,A级选填小题每题5分,B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1.已知向量a,b,|a|=1,|b|=2,a⊥(b-a),则|2a+b|= (　　)
A.4 B.2
C.3 D.12
2.已知菱形ABCD的边长为2,·=2,则||= (　　)
A. B.2
C.1 D.2
3.设平面上有四个互异的点A,B,C,D,已知(+-2)·(-)=0,则△ABC的形状是 (　　)
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等腰直角三角形 D.等边三角形
4.已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,m与n夹角的余弦值为,若n⊥(tm+n),则实数t的值为 (　　)
A.4 B.-4
C. D.-
5.已知单位向量a,b满足a·b=0,若向量c=a+b,则sin= (　　)
A. B.
C. D.
6.已知|a|=2,|b|=3,且a⊥b,则(a+b)·(2a-b)=　　　　.
7.已知|a|=2,|b|=3,a与b的夹角为,且a+b+c=0,则|c|=　　　　.
8.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,|a-b|=,则a与b的夹角为　　　　.
9.(10分)如图所示,在△ABC中,∠BAC=90°,BC=4,A是线段EF的中点,EF=2.若与的夹角为60°,
求·.
10.(12分)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,且a,b的夹角为60°.
(1)若(2a+3b)⊥(a-kb),求实数k的值;
(2)求a+b与a-b的夹角的余弦值.
B级——重点培优
11.如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,CD=1,∠BAD=,若·=2·,则·= (　　)
A.3 B.4
C.5 D.6
12.已知向量a≠e,|e|=1,对任意实数t,恒有|a-te|≥|a-e|,则 (　　)
A.a⊥e B.e⊥(a-e)
C.a⊥(a-e) D.(a-e)⊥(a-e)
13.(多选)设a,b,c是三个非零向量,且相互不共线,则下列说法正确的是 (　　)
A.若|a+b|=|a-b|,则a⊥b
B.若|a|=|b|,则(a+b)⊥(a-b)
C.若a·c=b·c,则a-b不与c垂直
D.(b·c)a-(a·c)b不与c垂直
14.已知e1,e2是互相垂直的两个单位向量,若向量a=te1+e2与向量b=e1+te2的夹角是钝角,则实数t的取值范围是　　　　　　.
15.(14分)已知向量a,b,c满足|a|=2,c=a-tb(t∈R),=.
(1)若a·b=1,求b在a方向上的投影向量(用a表示);
(2)求|c|的最小值.
课时跟踪检测(七)
1．选B　∵a⊥(b－a)，∴a·(b－a)＝a·b－a2＝a·b－1＝0，
∴a·b＝1，|2a＋b|2＝(2a＋b)2＝4a2＋4a·b＋b2＝12，∴|a＋b|＝2.
2．选B　根据题意可得＝＋，＝－，∵·＝2，即·(＋)＝2＋·＝2，∴·＝－2，||2＝(－)2＝2－2·＋
2＝12，即||＝2，故选B.
3．选B　∵(＋－2)·(－)＝0，∴(＋)·(－)＝0，
∴2－2＝0，即||＝||，∴△ABC是等腰三角形．
4．选B　由题意知＝＝，所以m·n＝|n|2＝n2.因为n⊥(tm＋n)，所以n·(tm＋n)＝0，所以tm·n＋n2＝0，即tn2＋n2＝0，所以t＝－4.
5．选B　因为a，b是单位向量，所以|a|＝|b|＝1.又a·b＝0，c＝a＋b，所以|c|＝ ＝ ＝3，a·c＝a·＝a2＋a·b＝.所以cos〈a，c〉＝＝.因为〈a，c〉∈，所以sin〈a，c〉＝＝.
6．－1
7．解析：因为a＋b＋c＝0，所以c＝－a－b，所以c2＝(－a－b)2＝a2＋2a·b＋b2＝22＋2×2×3cos ＋32＝4－6＋9＝7，所以|c|＝.
答案：
8．解析：|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝1－2a·b＋4＝5－2a·b＝7，∴a·b＝－1，又θ∈[0，π]，cos θ＝＝－，∴θ＝.
答案：
9．解：·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋·.∵∠BAC＝90°，∴·＝0.
又A是线段EF的中点，∴＝－，
∴·＝·－·－2＝·－1＝4×1×cos 60°－1＝1.
10．解：(1)因为(2a＋3b)⊥(a－kb)，
所以(2a＋3b)·(a－kb)＝2a2＋(3－2k)a·b－3kb2＝2|a|2＋(3－2k)a·b－3k|b|2＝0，
即2＋(3－2k)×1×2×cos 60°－3k×4＝0，解得k＝.
(2)因为|a＋b|＝
＝
＝＝，
|a－b|＝＝
＝＝，
所以cos〈a＋b，a－b〉＝＝＝＝－，
故a＋b与a－b的夹角的余弦值为－.
11．选C　∵·＝2·，∴·－·＝·，即·＝·.∵AB∥CD，CD＝1，∠BAD＝，
∴||＝||||cos ，∴||＝2，
∴·＝·(＋)＝||2＋·＝22＋2×1×cos ＝5.
12．选B　由|a－te|≥|a－e|，两边平方得a2＋t2－2ta·e≥a2＋1－2a·e.
设a·e＝m，则t2－2mt＋2m－1≥0对任意实数t恒成立，所以Δ＝4m2－8m＋4≤0，即(m－1)2≤0，所以m＝1，即a·e＝1，e·(a－e)＝a·e－1＝0，所以e⊥(a－e)．
13．选AB　由|a＋b|＝|a－b|，平方可得a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b a·b＝0 a⊥b，故A正确；若|a|＝|b|，则(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝0，所以(a＋b)⊥(a－b)，故B正确；若a·c＝b·c，则(a－b)·c＝a·c－b·c＝0 (a－b)⊥c，故C错误；[(b·c)a－(a·c)b]·c＝(b·c)a·c－(a·c)b·c＝(b·c)(a·c)－(a·c)(b·c)＝0，所以[(b·c)a－(a·c)b]⊥c，故D错误．
14．解析：∵向量a与向量b的夹角是钝角，
∴a·b<0，且〈a，b〉≠π.由(te1＋e2)·(e1＋te2)<0，且|e1|＝|e2|＝1，
e1·e2＝0，得t<0.
令te1＋e2＝λ(e1＋te2)，λ<0，λ∈R，
则于是t＝－1.故t<0，且t≠－1，
即实数t的取值范围是(－∞，－1)∪(－1,0)．
答案：(－∞，－1)∪(－1,0)
15．解：(1)由数量积的定义可知|b|cos〈a，b〉＝，所以b在a方向上的投影向量为|b|·cos〈a，b〉＝·＝·＝a.
(2)因为|c|＝|a－tb|＝
＝，
又|a|＝2，〈a，b〉＝，
所以|c|＝.
令x＝t|b|∈R，
所以|c|＝＝.
所以当x＝t|b|＝1时，|c|取到最小值为.

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