资源简介

9.3.2　向量坐标表示与运算
第1课时　向量的坐标表示及向量线性运算的坐标表示
　　　　　　　　　　　　　　　　　(教学方式:基本概念课逐点理清式教学)
[课时目标]
1.借助于平面直角坐标系,理解向量坐标的概念,会求点的坐标.
2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.会用坐标表示平面向量的加法和减法及数乘运算.
逐点清(一)　向量的坐标表示
[多维理解]
　　在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴正方向相同的两个　　　　　　i,j作为基底,对于平面内的向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对有序实数(x, y),使得　　　　　　. 我们把有序实数对(x, y)称为向量a的(直角)坐标,记作a=　　　　.
特殊向量的坐标:i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).
|微|点|助|解| 　
　　点的坐标与向量坐标的区别和联系
区 别 表示形 式不同 向量a=(x,y)中间用等号连接,而点A(x,y)中间没有等号
意义 不同 点A(x,y)的坐标(x,y)表示点A在平面直角坐标系中的位置,a=(x,y)的坐标(x,y)既表示向量的大小,也表示向量的方向.另外(x,y)既可以表示点,也可以表示向量,叙述时应指明点(x,y)或向量(x,y)
联 系 当平面向量的起点在原点时,平面向量的坐标与向量终点的坐标相同
[微点练明]
1.如图所示,e1,e2为单位正交基底,则向量a,b的坐标分别是 (　　)
A.(3,4),(2,-2)
B.(2,3),(-2,-3)
C.(2,3),(2,-2)
D.(3,4),(-2,-3)
2.已知D是△ABC所在平面内一点,=3,设=e1,=e2,则在基底e1,e2下的坐标为 (　　)
A. B.
C. D.
3.若i,j为正交基底,设a=(x2+x+1)i-(x2-x+1)j(其中x∈R),则向量a对应的坐标位于 (　　)
A.第一、二象限 B.第二、三象限
C.第三象限 D.第四象限
4.已知O为坐标原点,点A在第二象限,||=2,∠xOA=120°,则向量的坐标为　　　　.
逐点清(二)　向量线性运算的坐标表示
[多维理解]
文字叙述 符号表示
加法 两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和 若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=______________
减法 两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差 若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a-b=______________
数乘 向量 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 若a=(x,y),λ∈R,则λa=________
向量 的坐标 一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标 若A(x1,y1),B(x2,y2), 则=______________
|微|点|助|解|
(1)向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关,而与它们的具体位置无关.当向量确定以后,向量的坐标就是唯一确定的,因此向量在平移前后,其坐标不变.
(2)当且仅当向量的起点为坐标原点时,向量终点的坐标等于向量本身的坐标.
(3)由向量坐标的定义知,相同的向量的坐标一定相同,但是相同的向量的起点、终点的坐标可以不同.也就是说,两个向量相等,当且仅当它们的坐标相同,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a=b
[微点练明]
1.已知平面向量a=(1,1),b=(1,-1),则向量a-b= (　　)
A.(2,1) B.(-2,1)
C.(1,2) D.(-1,2)
2.已知a=(5,-2),b=(-4,-3),若a-2b+3c=0,则c= (　　)
A. B.
C. D.
3.在平面直角坐标系中,已知P1(-1,1),P2(1,3),点P满足=-3,则点P的坐标为　　　　.
4.已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),设=a,=b,=c,且=3c,=-2b.
(1)求满足a=mb+nc的实数m,n;
(2)求M,N的坐标及向量的坐标.
逐点清(三)　向量坐标运算的综合应用
[典例]　已知O(0,0),A(1,2),B(4,5)及=+t(t∈R).
(1)t为何值时,P在x轴上 t为何值时,P在y轴上
(2)四边形OABP能否成为平行四边形 若能,求出t的值;若不能,请说明理由.
听课记录:
　　|思|维|建|模|
(1)待定系数法是最基本的数学方法之一.先将未知量设出来,建立方程(组)求出未知数的值,是待定系数法的基本形式,也是方程思想的一种基本应用.
(2)坐标形式下向量相等的条件:相同的向量的对应坐标相等,对应坐标相等的向量是相同的向量.由此可建立相等关系求某些参数的值.
　　[针对训练]
　已知O(0,0),向量=(2,1),=(3,-2).
(1)如图,若四边形OACB为平行四边形,求点C的坐标;
(2)若点P为线段AB靠近点B的三等分点,求点P的坐标.
9.3.2　向量坐标表示与运算
第1课时　向量的坐标表示及向量线性运算的坐标表示
[多维理解]　单位向量　a=xi+yj　(x,y)
[微点练明]
1.选C　根据平面直角坐标系,可知a=2e1+3e2,b=2e1-2e2.∴a=(2,3),b=(2,-2).
2.选D　因为=3,
所以==(-).
所以=+=+(-)
=-+=-e1+e2.
因此向量在基底e1,e2下的坐标为.
3.选D　x2+x+1=+>0,x2-x+1=+>0,因此a对应的坐标满足x2+x+1>0,-(x2-x+1)<0.所以向量a对应的坐标位于第四象限.
4.解析:如图,由∠xOA=120°可得∠yOA=30°.因为||=2,所以A(-1,).
故=(-1,).
答案:(-1,)
[多维理解]　(x1+x2,y1+y2)　(x1-x2,y1-y2)　(λx,λy)　(x2-x1,y2-y1)
[微点练明]
1.选D　a-b=(1,1)-(1,-1)=(-1,2).
2.选A　由a-2b+3c=0,可得c=-a+b=-(5,-2)+(-4,-3)=.
3.解析:设点P的坐标为(x,y),
因为P1(-1,1),P2(1,3),
所以=(x+1,y-1),=(1-x,3-y).
因为=-3,
所以解得
所以点P的坐标为(2,4).
答案:(2,4)
4.解:(1)由题意得 a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8),所以mb+nc=(-6m+n,-3m+8n).因为a=mb+nc,
所以解得
(2)设O为坐标原点,因为=-=3c,
所以=3c+=(3,24)+(-3,-4)=(0,20).所以点M的坐标为(0,20).
因为=-=-2b,
所以=-2b+=(12,6)+(-3,-4)=(9,2).所以点N的坐标为(9,2).故=(9,-18).
[典例]　解:(1)由题意得=(1,2),=(3,3),
则=+t=(1+3t,2+3t).
若P在x轴上,则2+3t=0,∴t=-;
若P在y轴上,则1+3t=0,∴t=-.
(2)不能.理由如下:
由题意知=(1,2),=-=(3-3t,3-3t).若四边形OABP为平行四边形,则=,∵无解,
∴四边形OABP不能成为平行四边形.
[针对训练]
解:(1)设点C的坐标为(x,y),
由题意,得A(2,1),B(3,-2),
则=(x-3,y+2),若四边形OACB为平行四边形,可得=,则解得故点C的坐标为(5,-1).
(2)设点P的坐标为(a,b),由(1)可知A(2,1),B(3,-2),则=(a-2,b-1),=(1,-3).若点P为线段AB靠近点B的三等分点,则=,即
解得故点P的坐标为.(共53张PPT)
9.3.2
向量坐标表示与运算
向量的坐标表示及向量线性运算的坐标表示
(教学方式:基本概念课——逐点理清式教学)
第1课时
课时目标
1.借助于平面直角坐标系,理解向量坐标的概念,会求点的坐标.
2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.会用坐标表示平面向量的加法和减法及数乘运算.
CONTENTS
目录
1
2
3
逐点清(一)　向量的坐标表示
逐点清(二) 向量线性运算的坐标表示
逐点清(三)　向量坐标运算的
综合应用
4
课时跟踪检测
逐点清(一)　向量的坐标表示
01
多维理解
　　在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴正方向相同的两个_________
i,j作为基底,对于平面内的向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对有序实数(x, y),使得_________. 我们把有序实数对(x,y)称为向量a的(直角)坐标,记作a=_______.
　　特殊向量的坐标:i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).
单位向量
a=xi+yj
(x,y)
|微|点|助|解|
　　点的坐标与向量坐标的区别和联系
区别 表示形 式不同 向量a=(x,y)中间用等号连接,而点A(x,y)中间没有等号
意义 不同 点A(x,y)的坐标(x,y)表示点A在平面直角坐标系中的位置,
a=(x,y)的坐标(x,y)既表示向量的大小,也表示向量的方向.另外(x,y)既可以表示点,也可以表示向量,叙述时应指明点(x,y)或向量(x,y)
联系 当平面向量的起点在原点时,平面向量的坐标与向量终点的坐标相同
微点练明
1.如图所示,e1,e2为单位正交基底,
则向量a,b的坐标分别是 (　　)
A.(3,4),(2,-2)
B.(2,3),(-2,-3)
C.(2,3),(2,-2)
D.(3,4),(-2,-3)
解析:根据平面直角坐标系,可知a=2e1+3e2,b=2e1-2e2.∴a=(2,3),
b=(2,-2).
√
2.已知D是△ABC所在平面内一点,=3,设=e1,=e2,则在基底e1,e2下的坐标为(　　)
A. B.
C. D.
√
解析:因为=3,
所以==(-).
所以=+=+(-)
=-+=-e1+e2.
因此向量在基底e1,e2下的坐标为.
3.若i,j为正交基底,设a=(x2+x+1)i-(x2-x+1)j(其中x∈R),则向量a对应的坐标位于 (　　)
A.第一、二象限 B.第二、三象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:x2+x+1=+>0,x2-x+1=+>0,因此a对应的坐标满足x2+x+1>0,-(x2-x+1)<0.所以向量a对应的坐标位于第四象限.
√
4.已知O为坐标原点,点A在第二象限,||=2,∠xOA=120°,则向量的坐标为　 　　　.
解析:如图,由∠xOA=120°可得∠yOA=30°.
因为||=2,
所以A(-1,).
故=(-1,).
(-1,)
逐点清(二)　向量线性运算的
坐标表示
02
多维理解
文字叙述 符号表示
加法 两个向量和的坐标等于这两个 向量相应坐标的和 若a=(x1,y1),b=(x2,y2),
则a+b=_____________
减法 两个向量差的坐标等于这两个 向量相应坐标的差 若a=(x1,y1),b=(x2,y2),
则a-b=_____________
数乘 向量 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 若a=(x,y),λ∈R,则λa=________
向量的 坐标 一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标 若A(x1,y1),B(x2,y2),
则=_____________
(x1+x2,y1+y2)
(x1-x2,y1-y2)
(λx,λy)
(x2-x1,y2-y1)
|微|点|助|解|
(1)向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关,而与它们的具体位置无关.当向量确定以后,向量的坐标就是唯一确定的,因此向量在平移前后,其坐标不变.
(2)当且仅当向量的起点为坐标原点时,向量终点的坐标等于向量本身的坐标.
(3)由向量坐标的定义知,相同的向量的坐标一定相同,但是相同的向量的起点、终点的坐标可以不同.也就是说,两个向量相等,当且仅当它们的坐标相同,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a=b
微点练明
1.已知平面向量a=(1,1),b=(1,-1),则向量a-b=(　　)
A.(2,1) B.(-2,1)
C.(1,2) D.(-1,2)
解析:a-b=(1,1)-(1,-1)=(-1,2).
√
2.已知a=(5,-2),b=(-4,-3),若a-2b+3c=0,则c= (　　)
A. B.
C. D.
解析:由a-2b+3c=0,可得c=-a+b=-(5,-2)+(-4,-3)=.
√
3.在平面直角坐标系中,已知P1(-1,1),P2(1,3),点P满足=-3,则点P的坐标为　　　　.
解析:设点P的坐标为(x,y),
因为P1(-1,1),P2(1,3),
所以=(x+1,y-1),=(1-x,3-y).
因为=-3,
所以解得
所以点P的坐标为(2,4).
(2,4)
4.已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),设=a,=b,=c,且=3c,
=-2b.
(1)求满足a=mb+nc的实数m,n;
解:由题意得 a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8),所以mb+nc=(-6m+n,-3m+8n).
因为a=mb+nc,
所以解得
(2)求M,N的坐标及向量的坐标.
解:设O为坐标原点,因为=-=3c,
所以=3c+=(3,24)+(-3,-4)=(0,20).
所以点M的坐标为(0,20).
因为=-=-2b,
所以=-2b+=(12,6)+(-3,-4)=(9,2).
所以点N的坐标为(9,2).
故=(9,-18).
逐点清(三)　向量坐标运算的
综合应用
03
[典例]　已知O(0,0),A(1,2),B(4,5)及=+t(t∈R).
(1)t为何值时,P在x轴上 t为何值时,P在y轴上
解:(1)由题意得=(1,2),=(3,3),
则=+t=(1+3t,2+3t).
若P在x轴上,则2+3t=0,∴t=-;
若P在y轴上,则1+3t=0,∴t=-.
(2)四边形OABP能否成为平行四边形 若能,求出t的值;若不能,请说明理由.
解:不能.理由如下:
由题意知=(1,2),=-=(3-3t,3-3t).若四边形OABP为平行四边形,则=,
∵无解,
∴四边形OABP不能成为平行四边形.
|思|维|建|模|
　　(1)待定系数法是最基本的数学方法之一.先将未知量设出来,建立方程(组)求出未知数的值,是待定系数法的基本形式,也是方程思想的一种基本应用.
(2)坐标形式下向量相等的条件:相同的向量的对应坐标相等,对应坐标相等的向量是相同的向量.由此可建立相等关系求某些参数的值.
针对训练
　已知O(0,0),向量=(2,1),=(3,-2).
　(1)如图,若四边形OACB为平行四边形,求点C的坐标;
解:设点C的坐标为(x,y),
由题意,得A(2,1),B(3,-2),
则=(x-3,y+2),若四边形OACB为平行四边形,可得=,则解得故点C的坐标为(5,-1).
(2)若点P为线段AB靠近点B的三等分点,求点P的坐标.
解:设点P的坐标为(a,b),由(1)可知A(2,1),B(3,-2),则=(a-2,b-1),
=(1,-3).若点P为线段AB靠近点B的三等分点,则=,
即解得故点P的坐标为.
课时跟踪检测
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A级——达标评价
1.(多选)下列各式不正确的是(　　)
A.若a=(-2,4),b=(3,4),则3a-2b=(-12,4)
B.若a=(5,2),b=(2,4),则2b-a=(-1,6)
C.若a=(1,0),b=(0,1),则a+b=(0,1)
D.若a=(1,1),b=(1,-2),则a+b=(2,1)
解析:由向量加、减法的坐标运算可得.
√
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2.已知向量a=(1,2),b=(2,3),c=(3,4),且c=λ1a+λ2b,则λ1,λ2的值分别为 (　　)
A.-2,1 B.1,-2
C.2,-1 D.-1,2
解析:因为c=λ1a+λ2b,所以(3,4)=λ1(1,2)+λ2(2,3).
所以解得
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3.在△ABC中,点P在BC上,且=2,点Q是AC的中点,若=(4,3),
=(1,5),则等于(　　)
A.(-2,7) B.(-6,21)
C.(2,-7) D.(6,-21)
解析:∵点Q是AC的中点,∴=(+),∴=2-,∵=(4,3),
=(1,5),∴=(-2,7),又=2,∴=3=(-6,21).
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4.设点A(2,0),B(4,2),若点P在直线AB上,且||=2||,则点P的坐标为(　　)
A.(3,1) B.(1,-1)
C.(3,-1)或(-1,1) D.(3,1)或(1,-1)
解析:∵A(2,0),B(4,2),∴=(2,2),∵点P在直线AB上,且||=2||,
∴=2或=-2,故=(1,1)或=(-1,-1),故P点坐标为(3,1)或(1,-1),故选D.
√
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5.设向量a=(1,-3),b=(-2,4),c=(-1,-2),若表示向量4a,4b-2c,2(a-c),
d的有向线段首尾相连能构成四边形,则向量d= (　　)
A.(2,6) B.(-2,6)
C.(2,-6) D.(-2,-6)
解析:设d=(x,y),由题意知4a=(4,-12),4b-2c=(-6,20),2(a-c)=(4,-2),
易知4a+4b-2c+2(a-c)+d=0,解得x=-2,y=-6,所以d=(-2,-6).
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6.已知点A(-1,5),向量a=(-1,2),若=3a,则点B的坐标是　　 　　.
解析:易知=(-3,6).
设B(x,y),则(-3,6)=(x+1,y-5),
解得x=-4,y=11.故点B的坐标是(-4,11).
(-4,11)
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7.已知两点M(7,8),N(1,-6),点P是线段MN上靠近点M的三等分点,
则点P的坐标为　　　 　.
解析:由题意得=3,设P(x,y),则(-6,-14)=3(x-7,y-8),解得x=5,
y=,即P.
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8.已知向量a=(3,-2),b=(-2,1),c=(-12,7),若c=ma+nb,其中m,n∈R,则m+n的值为　　　　.
解析:因为a=(3,-2),b=(-2,1),c=(-12,7),所以ma+nb=(3m-2n,-2m+n).因为c=ma+nb,所以(-12,7)=(3m-2n,-2m+n).所以解得m=-2,n=3.所以m+n=1.
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9.(10分)已知边长为2的正三角形ABC,顶点A在坐标原点,AB边在x轴上,
C在第一象限,D为AC的中点,分别求向量,,的坐标.
解:如图所示,正三角形ABC的边长为2,
则点A(0,0),B(2,0),C(1,),又点D是AC的中点,知D.所以=(2,0),
=,=(1-2,-0)=(-1,).
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10.(10分)已知A(1,-2),B(2,1),C(3,2)和D(-2,3),用,表示++.
解:∵=(1,3),=(2,4),=(-3,5),
=(-4,2),=(-5,1),
∴++=(-3,5)+(-4,2)+(-5,1)=(-12,8).
根据平面向量基本定理,一定存在实数m,n,使得
++=m+n,
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∴(-12,8)=m(1,3)+n(2,4),
即(-12,8)=(m+2n,3m+4n),
∴解得
∴++=32-22.
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B级——重点培优
11.若α,β是一组基底,向量γ=xα+yβ(x,y∈R),则称(x,y)为向量γ在基底α,β下的坐标,现已知向量a在基底p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),则a在另一组基底m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为(　　)
A.(2,0) B.(0,-2)
C.(-2,0) D.(0,2)
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解析:由a在基底p,q下的坐标为(-2,2),则a=-2p+2q=-2(1,-1)+
2(2,1)=(2,4).设(x,y)为a在基底m,n下的坐标,则a=xm+yn=
(-x+y,x+2y),即(2,4)=(-x+y,x+2y),则解得
所以a在基底m,n下的坐标为(0,2).
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12.已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10),若第四象限的点P满足=+λ,则实数λ的取值范围是(　　)
A.(-∞,-1) B.
C. D.
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解析:法一　设P(x,y),则=(x-2,y-3),=(3,1),=(5,7),
又=+λ=(3,1)+λ(5,7)=(3+5λ,1+7λ),所以(x-2,y-3)=(3+5λ,1+7λ).
所以即
因为点P在第四象限,所以解得-1<λ<-.故实数λ的取值范围是.
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法二　因为=+=++λ=+λ=(5,4)+λ(5,7)=
(5+5λ,4+7λ),所以P(5+5λ,4+7λ).因为点P在第四象限,
所以解得-1<λ<-.
故实数λ的取值范围是.
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13.已知向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,用基底a,b表示c,则 (　　)
A.c=3a-2b
B.c=-3a+2b
C.c=-2a+3b
D.c=2a+3b
√
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2
解析:法一　如图①,建立平面直角坐标系,设网格中最小的正方形的边长为1,则a=(1,1),b=(-2,3),c=(7,-3).
设向量c=ma+nb(m,n∈R),
则解得
所以c=3a-2b.
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法二　如图②,以i,j为基底,则a=i+j,b=-2i+3j,c=7i-3j.
设c=λa+μb=(λ-2μ)i+(λ+3μ)j,λ,μ∈R,所以
解得所以c=3a-2b.
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14.(10分)已知e1,e2是平面内两个不共线的向量,若=e1-e2,
=2e1+λe2,=e1+e2,且A,P,C三点共线.
(1)求实数λ的值;
解:=+=e1-e2+2e1+λe2=3e1+(λ-1)e2,由A,P,C三点共线,
设=t(t∈R),则=t(e1+e2)=te1+te2,即解得λ=4.
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(2)若e1=(1,0),e2=(0,1).
①求;
②若D(-2,4),A,B,C,D恰好构成平行四边形ABCD,求点A的坐标.
解:①∵=+=2e1+4e2+e1+e2=3e1+5e2,∴向量的坐标为(3,5).
②设A的坐标为(x,y),∵A,B,C,D恰好构成平行四边形ABCD,∴=.
由=(-2-x,4-y),=(3,5),
得解得
∴A的坐标为(-5,-1).
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15.(12分)已知平行四边形ABCD中,=2,=2,=2.
(1)用,表示;
解:因为=+,
=+,=2,
所以-=2(-),
所以=+=+.
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(2)若||=6,||=3,∠BAD=45°,如图建立平面直角坐标系,求和的坐标.
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2
解:过点D作AB的垂线交AB于点D',如图所示,
于是在Rt△ADD'中,由∠BAD=45°,可知AD'=3.
根据题意得A(0,0),B(6,0),D(3,3),F(7,1),=+=
(6,0)+(3,3)=,
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所以G.
所以=(6,0),=,=(4,-2),
=-=.课时跟踪检测(九)　向量的坐标表示及向量线性运算的坐标表示
(满分100分,A级选填小题每题5分,B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1.(多选)下列各式不正确的是 (　　)
A.若a=(-2,4),b=(3,4),则3a-2b=(-12,4)
B.若a=(5,2),b=(2,4),则2b-a=(-1,6)
C.若a=(1,0),b=(0,1),则a+b=(0,1)
D.若a=(1,1),b=(1,-2),则a+b=(2,1)
2.已知向量a=(1,2),b=(2,3),c=(3,4),且c=λ1a+λ2b,则λ1,λ2的值分别为 (　　)
A.-2,1 B.1,-2
C.2,-1 D.-1,2
3.在△ABC中,点P在BC上,且=2,点Q是AC的中点,若=(4,3),=(1,5),则等于 (　　)
A.(-2,7) B.(-6,21)
C.(2,-7) D.(6,-21)
4.设点A(2,0),B(4,2),若点P在直线AB上,且||=2||,则点P的坐标为 (　　)
A.(3,1) B.(1,-1)
C.(3,-1)或(-1,1) D.(3,1)或(1,-1)
5.设向量a=(1,-3),b=(-2,4),c=(-1,-2),若表示向量4a,4b-2c,2(a-c),d的有向线段首尾相连能构成四边形,则向量d= (　　)
A.(2,6) B.(-2,6)
C.(2,-6) D.(-2,-6)
6.已知点A(-1,5),向量a=(-1,2),若=3a,则点B的坐标是　　　　.
7.已知两点M(7,8),N(1,-6),点P是线段MN上靠近点M的三等分点,则点P的坐标为　　　　.
8.已知向量a=(3,-2),b=(-2,1),c=(-12,7),若c=ma+nb,其中m,n∈R,则m+n的值为　　　　.
9.(10分)已知边长为2的正三角形ABC,顶点A在坐标原点,AB边在x轴上,C在第一象限,D为AC的中点,分别求向量,,的坐标.
10.(10分)已知A(1,-2),B(2,1),C(3,2)和D(-2,3),用,表示++.
B级——重点培优
11.若α,β是一组基底,向量γ=xα+yβ(x,y∈R),则称(x,y)为向量γ在基底α,β下的坐标,现已知向量a在基底p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),则a在另一组基底m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为 (　　)
A.(2,0) B.(0,-2)
C.(-2,0) D.(0,2)
12.已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10),若第四象限的点P满足=+λ,则实数λ的取值范围是 (　　)
A.(-∞,-1) B.
C. D.
13.已知向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,用基底a,b表示c,则 (　　)
A.c=3a-2b
B.c=-3a+2b
C.c=-2a+3b
D.c=2a+3b
14.(10分)已知e1,e2是平面内两个不共线的向量,若=e1-e2,=2e1+λe2,=e1+e2,且A,P,C三点共线.
(1)求实数λ的值;
(2)若e1=(1,0),e2=(0,1).
①求;
②若D(-2,4),A,B,C,D恰好构成平行四边形ABCD,求点A的坐标.
15.(12分)已知平行四边形ABCD中,=2,=2,=2.
(1)用,表示;
(2)若||=6,||=3,∠BAD=45°,如图建立平面直角坐标系,求和的坐标.
课时跟踪检测(九)
1．选CD　由向量加、减法的坐标运算可得．
2．选D　因为c＝λ1a＋λ2b，所以(3,4)＝λ1(1，2)＋λ2(2,3)．
所以解得
3．选B　∵点Q是AC的中点，∴＝(＋)，∴＝2－，∵＝(4,3)，＝(1,5)，∴＝(－2,7)，又＝2，∴＝3＝(－6,21)．
4．选D　∵A(2,0)，B(4,2)，∴＝(2,2)，∵点P在直线AB上，且||＝2||，∴＝2或＝－2，故＝(1,1)或＝(－1，－1)，故P点坐标为(3,1)或(1，－1)，故选D.
5．选D　设d＝(x，y)，由题意知4a＝(4，)，4b－2c，2(a－c)＝(4，－2)，易知4a＋4b－2c＋2(a－c)＋d＝0，解得x＝－2，y＝－6，所以d＝(－2，－6)．
6．解析：易知＝(－3,6)．
设B(x，y)，则(－3,6)＝(x＋1，y－5)，解得x＝－4，y＝11.故点B的坐标是(－4,11)．
答案：(－4,11)
7．解析：由题意得＝3，设P(x，y)，则(－6，－14)＝3(x－7，y－8)，解得x＝5，y＝，即P.
答案：
8．解析：因为a＝(3，－2)，b＝(－2,1)，c＝(－12，7)，所以ma＋nb＝(3m－2n，－2m＋n)．因为c＝ma＋nb，所以(－12,7)＝(3m－2n，－2m＋n)．所以解得m＝－2，n＝3.所以m＋n＝1.
答案：1
9．解：如图所示，正三角形ABC的边长为2，则点A(0，0)，B(2,0)，C(1，)，又点D是AC的中点，知D.所以＝(2,0)，＝，＝(1－2，－0)＝(－1，)．
10．解：∵＝(1,3)，＝(2,4)，＝(－3,5)，
＝(－4,2)，＝(－5,1)，
∴＋＋＝(－3,5)＋(－4,2)＋(－5，1)＝(－12,8)．
根据平面向量基本定理，一定存在实数m，n，使得＋＋＝m＋n，
∴(－12,8)＝m(1,3)＋n(2,4)，
即(－12,8)＝(m＋2n,3m＋4n)，
∴解得
∴＋＋＝32－22.
11．选D　由a在基底p，q下的坐标为(－2,2)，则a＝－2p＋2q＝－2(1，－1)＋2(2,1)＝(2,4)．设(x，y)为a在基底m，n下的坐标，则a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)，即(2,4)＝(－x＋y，x＋2y)，则解得所以a在基底m，n下的坐标为(0,2)．
12．选C　法一　设P(x，y)，则＝(x－2，y－3)，＝(3,1)，＝(5,7)，又＝＋λ＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ)，所以(x－2，y－3)＝(3＋5λ，1＋7λ)．
所以即因为点P在第四象限，所以解得－1<λ<－.故实数λ的取值范围是.
法二　因为＝＋＝＋＋λ＝＋λ＝(5,4)＋λ(5,7)＝(5＋5λ，4＋7λ)，所以P(5＋5λ，4＋7λ)．因为点P在第四象限，所以解得－1<λ<－.
故实数λ的取值范围是.
13．选A　法一　如图①，建立平面直角坐标系，设网格中最小的正方形的边长为1，则a＝(1,1)，b＝(－2,3)，c＝(7，－3)．
设向量c＝ma＋nb(m，n∈R)，
则解得
所以c＝3a－2b.
法二　如图②，以i，j为基底，则a＝i＋j，b＝－2i＋3j，c＝7i－3j.
设c＝λa＋μb＝(λ－2μ)i＋(λ＋3μ)j，λ，μ∈R，所以解得
所以c＝3a－2b.
14．解：(1)＝＋＝e1－e2＋2e1＋λe2＝3e1＋(λ－1)e2，
由A，P，C三点共线，设＝t(t∈R)，则＝t(e1＋e2)＝te1＋te2，即解得λ＝4.
(2)①∵＝＋＝2e1＋4e2＋e1＋e2＝3e1＋5e2，∴向量的坐标为(3,5)．
②设A的坐标为(x，y)，∵A，B，C，D恰好构成平行四边形ABCD，∴＝.
由＝(－2－x,4－y)，＝(3,5)，
得解得
∴A的坐标为(－5，－1)．
15．解：(1)因为＝＋，
＝＋，＝2，
所以－＝2(－)，
所以＝＋＝＋.
(2)过点D作AB的垂线交AB于点D′，如图所示，
于是在Rt△ADD′中，由∠BAD＝45°，可知AD′＝3.
根据题意得A(0,0)，B(6,0)，D(3,3)，F(7,1)，＝＋＝(6,0)＋(3,3)＝，所以G.
所以＝(6,0)，＝，＝(4，－2)，＝－＝.

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