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9.3.3 向量平行的坐标表示 (教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学)
[课时目标]
1.理解向量平行的坐标表示,会进行共线问题的处理.
2.能利用向量平行的坐标表示解决有关向量平行及三点共线问题.
向量平行 的坐标 表示 一般地,设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)(a≠0),则a∥b x1y2-x2y1=0. 特别地,当a∥b且x2y2≠0时,有=,即两个向量的相应坐标成比例
谨防两个 易错点 两个向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)平行的条件x1y2-x2y1=0容易写错,该条件的正确记法为“交叉相乘,差为0”
当两个非零的共线向量的对应坐标同号或同为零时,同向;当两个非零的共线向量的对应坐标异号或同为零时,反向
题型(一)　向量平行的判定
[例1]　已知A,B,C三点的坐标分别为(-1,0),(3,-1),(1,2),且=,=,求证:∥.
听课记录:
　　|思|维|建|模|
向量平行的判定方法
(1)利用向量共线定理,由a=λb(b≠0)推出a∥b.
(2)利用向量平行的坐标表达式x1y2-x2y1=0直接求解.
　　[针对训练]
1.(多选)下列各组向量中,可以表示它们所在平面内所有向量基底的是 (　　)
A.a=(-1,2),b=(3,5)
B.a=(1,2),b=(2,1)
C.a=(2,-1),b=(3,4)
D.a=(-2,1),b=(4,-2)
2.已知点A(-1,-1),B(1,3),C(1,5),D(2,7),向量与平行吗 直线AB平行于直线CD吗
题型(二)　利用向量平行的坐标表示求参数
[例2]　已知a=(1,0),b=(2,1).
(1)当k为何值时,ka-b与a+2b共线
(2)若=2a+3b,=a+mb,且A,B,C三点共线,求m的值.
听课记录:
　　|思|维|建|模|
根据向量共线条件求参数问题,一般有两种思路.一是利用向量共线定理a=λb(b≠0),列方程组求解;二是利用向量共线的坐标表达式x1y2-x2y1=0求解.
　　[针对训练]
3.已知向量=(1,-3),=(2,-1),=(k+1,k-2),若A,B,C三点不能构成三角形,则实数k应满足的条件是 (　　)
A.k=-2 B.k=
C.k=1 D.k=-1
4.已知向量a=(1,2),b=(2,-3),若向量c满足(c+a)∥b,c⊥(a+b),则c= (　　)
A. B.
C. D.
题型(三)　利用向量平行的坐标表示求点的坐标
[例3]　如图所示,已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),求AC和OB交点P的坐标.
听课记录:
　　|思|维|建|模|
利用向量平行的坐标表示求点M坐标的步骤
(1)寻找共线向量;
(2)利用已知点的坐标求出共线向量的坐标;
(3)设点M的坐标为(x,y),用x,y表示以M为起点或终点的向量的坐标;
(4)利用共线向量的坐标表示列方程(组);
(5)解方程(组)求出点M的坐标.
　　[针对训练]
5.在△AOB中,已知点O(0,0),A(0,5),B(4,3),=,=,AD与BC交于点M,求点M的坐标.
9.3.3　向量平行的坐标表示
x1y2-x2y1=0
[例1]　证明:设E(x1,y1),F(x2,y2).
由题意知=(2,2),=(-2,3),=(4,-1),
∴==,==.
∴(x1,y1)-(-1,0)=,
(x2,y2)-(3,-1)=.
∴(x1,y1)=,(x2,y2)=.
∴=(x2,y2)-(x1,y1)=.
∵4×-(-1)×=0,∴∥.
[针对训练]
1.选ABC　要满足题意,若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a与b不平行,即x1y2-x2y1≠0.
对于A,2×3+1×5≠0,所以A不平行;
对于B,2×2-1×1≠0,所以B不平行;
对于C,-1×3-2×4≠0,所以C不平行;
对于D,1×4-(-2)×(-2)=0,所以D平行.故选ABC.
2.解:因为点A(-1,-1),B(1,3),C(1,5),D(2,7),所以=(2,4),=(1,2),显然有2×2-1×4=0,于是得∥.因为=(2,6),而=(2,4),即有2×4-2×6≠0,所以与不平行,即点A,B,C不共线.因此AB与CD不重合,所以直线AB与CD平行.
[例2]　解:(1)因为a=(1,0),b=(2,1),
所以ka-b=k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1),a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2).
因为ka-b与a+2b共线,
所以=,解得k=-.
(2)因为a=(1,0),b=(2,1),
所以=2a+3b=2(1,0)+3(2,1)=(8,3),
=a+mb=(1,0)+m(2,1)=(1+2m,m).
因为A,B,C三点共线,
所以与共线,
即=,解得m=.
[针对训练]
3.选C　因为A,B,C三点不能构成三角形,所以A,B,C三点共线,即∥.又=-=(1,2),=-=(k,k+1),所以2k-(k+1)=0,解得k=1.
4.选B　设c=(x,y),则c+a=(x+1,y+2),a+b=(3,-1).由(c+a)∥b,c⊥(a+b),
得解得
所以c=.
[例3]　解:设=t=t(4,4)=(4t,4t),
则=-=(4t,4t)-(4,0)=(4t-4,4t),
=-=(2,6)-(4,0)=(-2,6).
由,平行的条件知(4t-4)×6-4t×(-2)=0,解得t=.
所以=(4t,4t)=(3,3).
所以P点坐标为(3,3).
[针对训练]
5.解:∵点O(0,0),A(0,5),B(4,3),
∴=(0,5),=(4,3).
∵==,
∴点C的坐标为.
同理可得点D的坐标为,
从而=.
设点M的坐标为(x,y),则=(x,y-5).
∵A,M,D三点共线,∴与共线,
∴-x=2(y-5),即7x+4y=20 ①.
易知=,=.
∵C,M,B三点共线,∴与共线,
∴x=4,即7x-16y=-20 ②.
由①②解得x=,y=2.
∴点M的坐标为.(共47张PPT)
9.3.3
向量平行的坐标表示
(教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学)
课时目标
1.理解向量平行的坐标表示,会进行共线问题的处理.
2.能利用向量平行的坐标表示解决有关向量平行及三点共线问题.
向量平行 的坐标 表示 一般地,设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)(a≠0),则a∥b _________________.
特别地,当a∥b且x2y2≠0时,有=,即两个向量的相应坐标成比例
谨防两个 易错点 两个向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)平行的条件x1y2-x2y1=0容易写错,该条件的正确记法为“交叉相乘,差为0”
当两个非零的共线向量的对应坐标同号或同为零时,同向;当两个非零的共线向量的对应坐标异号或同为零时,反向
x1y2-x2y1=0
CONTENTS
目录
1
2
3
题型(一)　向量平行的判定
题型(二)　利用向量平行的
坐标表示求参数
题型(三)　利用向量平行的坐标
表示求点的坐标
4
课时跟踪检测
题型(一)　向量平行的判定
01
[例1]　已知A,B,C三点的坐标分别为(-1,0),(3,-1),(1,2),且=,
=,求证:∥.
证明:设E(x1,y1),F(x2,y2).
由题意知=(2,2),=(-2,3),=(4,-1),
∴==,==.
∴(x1,y1)-(-1,0)=,
(x2,y2)-(3,-1)=.
∴(x1,y1)=,(x2,y2)=.
∴=(x2,y2)-(x1,y1)=.
∵4×-(-1)×=0,∴∥.
|思|维|建|模|
向量平行的判定方法
(1)利用向量共线定理,由a=λb(b≠0)推出a∥b.
(2)利用向量平行的坐标表达式x1y2-x2y1=0直接求解.
针对训练
1.(多选)下列各组向量中,可以表示它们所在平面内所有向量基底的是 (　　)
A.a=(-1,2),b=(3,5)
B.a=(1,2),b=(2,1)
C.a=(2,-1),b=(3,4)
D.a=(-2,1),b=(4,-2)
√
√
√
解析:要满足题意,若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a与b不平行,即x1y2-x2y1≠0.
对于A,2×3+1×5≠0,所以A不平行;
对于B,2×2-1×1≠0,所以B不平行;
对于C,-1×3-2×4≠0,所以C不平行;
对于D,1×4-(-2)×(-2)=0,所以D平行.故选ABC.
2.已知点A(-1,-1),B(1,3),C(1,5),D(2,7),向量与平行吗 直线AB平行于直线CD吗
解:因为点A(-1,-1),B(1,3),C(1,5),D(2,7),所以=(2,4),=(1,2),显然有2×2-1×4=0,于是得∥.因为=(2,6),而=(2,4),即有2×4-2×6≠0,所以与不平行,即点A,B,C不共线.因此AB与CD不重合,所以直线AB与CD平行.
题型(二)　利用向量平行的
坐标表示求参数
02
[例2]　已知a=(1,0),b=(2,1).
(1)当k为何值时,ka-b与a+2b共线
解:因为a=(1,0),b=(2,1),
所以ka-b=k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1),a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2).
因为ka-b与a+2b共线,
所以=,解得k=-.
(2)若=2a+3b,=a+mb,且A,B,C三点共线,求m的值.
解:因为a=(1,0),b=(2,1),
所以=2a+3b=2(1,0)+3(2,1)=(8,3),
=a+mb=(1,0)+m(2,1)=(1+2m,m).
因为A,B,C三点共线,
所以与共线,
即=,解得m=.
|思|维|建|模|
根据向量共线条件求参数问题,一般有两种思路.一是利用向量共线定理a=λb(b≠0),列方程组求解;二是利用向量共线的坐标表达式x1y2-x2y1=0求解.
针对训练
3.已知向量=(1,-3),=(2,-1),=(k+1,k-2),若A,B,C三点不能构成三角形,则实数k应满足的条件是(　　)
A.k=-2 B.k=
C.k=1 D.k=-1
解析:因为A,B,C三点不能构成三角形,所以A,B,C三点共线,即∥.又=-=(1,2),=-=(k,k+1),所以2k-(k+1)=0,解得k=1.
√
4.已知向量a=(1,2),b=(2,-3),若向量c满足(c+a)∥b,c⊥(a+b),则c= (　　)
A. B.
C. D.
解析:设c=(x,y),则c+a=(x+1,y+2),a+b=(3,-1).由(c+a)∥b,c⊥(a+b),
得解得
所以c=.
√
题型(三)　利用向量平行的坐标
表示求点的坐标
03
[例3]　如图所示,已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),求AC和OB交点P的坐标.
解:设=t=t(4,4)=(4t,4t),
则=-=(4t,4t)-(4,0)=(4t-4,4t),
=-=(2,6)-(4,0)=(-2,6).
由,平行的条件知
(4t-4)×6-4t×(-2)=0,解得t=.
所以=(4t,4t)=(3,3).
所以P点坐标为(3,3).
|思|维|建|模|
利用向量平行的坐标表示求点M坐标的步骤
(1)寻找共线向量;
(2)利用已知点的坐标求出共线向量的坐标;
(3)设点M的坐标为(x,y),用x,y表示以M为起点或终点的向量的坐标;
(4)利用共线向量的坐标表示列方程(组);
(5)解方程(组)求出点M的坐标.
针对训练
5.在△AOB中,已知点O(0,0),A(0,5),B(4,3),=,=,
AD与BC交于点M,求点M的坐标.
解:∵点O(0,0),A(0,5),B(4,3),
∴=(0,5),=(4,3).
∵==,∴点C的坐标为.
同理可得点D的坐标为,从而=.
设点M的坐标为(x,y),则=(x,y-5).
∵A,M,D三点共线,∴与共线,
∴-x=2(y-5),即7x+4y=20 ①.
易知=,=.
∵C,M,B三点共线,∴与共线,
∴x=4,即7x-16y=-20 ②.
由①②解得x=,y=2.
∴点M的坐标为.
课时跟踪检测
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A级——达标评价
1.下列各组向量中,能作为基底的是(　　)
A.e1=(0,0),e2=(1,1)
B.e1=(1,2),e2=(-2,1)
C.e1=(-3,4),e2=
D.e1=(2,6),e2=(-1,-3)
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解析:A中,零向量与任意向量共线,故不能作为基底;
C中,e1=-5e2;
D中,e1=-2e2,向量e1与e2共线,不能作为基底;
B中,e1与e2不共线,所以可作为一组基底.
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2.若向量a=(,1),b=(0,-2),则与a+2b共线的向量可以是(　　)
A.(,-1) B.(-1,-)
C.(-,-1) D.(-1,)
解析:若向量a=(,1),b=(0,-2),则a+2b=(,1)+2(0,-2)=(,-3)=
-(-1,),D选项满足要求,而其他选项不合题意.
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3.若向量a=(x,2),b=,c=a+2b,d=2a-b,且c∥d,则c-2d=(　　)
A. B.
C.(1,2) D.(-1,-2)
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解析:由题意得c=a+2b=(x,2)+(1,2)=(x+1,4),
d=2a-b=(2x,4)-=,
∵c∥d,∴3(x+1)=4,解得x=1,
∴c=(2,4),d=,
∴c-2d=(2,4)-(3,6)=(-1,-2).
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4.(2024·全国甲卷)设向量a=(x+1,x),b=(x,2),则 (　　)
A.x=-3是a⊥b的必要条件
B.x=-3是a∥b的必要条件
C.x=0是a⊥b的充分条件
D.x=-1+是a∥b的充分条件
解析:因为a⊥b x2+x+2x=0 x=0或x=-3,所以x=-3是a⊥b的充分条件,
x=0是a⊥b的充分条件,故A错误,C正确.
a∥b 2x+2=x2 x2-2x-2=0 x=1±,故B、D错误.
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5.设向量=(1,-2),=(a,-1),=(-b,0),其中O为坐标原点,a>0,b>0,若A,B,C三点共线,则+的最小值为(　　)
A.4 B.6
C.8 D.9
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解析:=-=(a-1,1),=-=(-b-1,2),
∵A,B,C三点共线,∴∥.
∴2(a-1)=-b-1,∴2a+b=1.
又a>0,b>0,∴+=(2a+b)
=2+2++≥4+2=8,
当且仅当
即a=,b=时取等号.
故+的最小值为8,故选C.
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6.已知向量a=(3x-1,4)与b=(1,2)平行,则实数x的值为　　　.
解析:∵向量a=(3x-1,4)与b=(1,2)平行,
∴2(3x-1)-4×1=0,解得x=1.
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7.已知向量a=(-2,3),b∥a,向量b的起点为A(1,2),终点B在坐标轴上,则点B的坐标为　　 　　.
解析:由b∥a,可设b=λa=(-2λ,3λ).设B(x,y),
则=(x-1,y-2)=b.
由 又B点在坐标轴上,
则1-2λ=0或3λ+2=0,所以B或.
或
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8.已知向量a=(1,2),b=(x,1),u=a+2b,v=2a-b,且u∥v,则实数x的值为　　　　.
解析:因为a=(1,2),b=(x,1),
所以u=a+2b=(1,2)+2(x,1)=(2x+1,4),
v=2a-b=2(1,2)-(x,1)=(2-x,3).
又因为u∥v,所以3(2x+1)-4(2-x)=0,解得x=.
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9.(10分)如图所示,在平行四边形ABCD中,A(0,0),B(3,1),C(4,3),D(1,2),
M,N分别为DC,AB的中点,求,的坐标,并判断,是否平行.
解:由已知可得M(2.5,2.5),N(1.5,0.5),
所以=(2.5,2.5),=(-2.5,-2.5).
又2.5×(-2.5)-2.5×(-2.5)=0,所以,平行.
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10.(10分)已知向量=(3,-4),=(6,-3),=(5-x,-3-y).
(1)若点A,B,C不能构成三角形,求x,y应满足的条件;
解:因为点A,B,C不能构成三角形,
所以A,B,C三点共线,所以∥.
由题意得=(3,1),=(2-x,1-y),
所以3(1-y)=2-x,即x-3y+1=0.
所以x,y满足的条件为x-3y+1=0.
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(2)若=2,求x,y的值.
解:由题意得=(-x-1,-y),
由=2得(2-x,1-y)=2(-x-1,-y),
所以解得
即x,y的值分别为-4,-1.
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B级——重点培优
11.已知A(-1,2),B(2,8),C(0,5),若⊥,∥,则点D的坐标是(　　)
A. B.
C. D.
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解析:设D(x,y),则=(x+1,y-2),=(x-2,y-8),=(-2,-3).
∵⊥,∴-2(x+1)-3(y-2)=0,即2x+3y=4.∵∥,
∴-3(x-2)=-2(y-8),即3x-2y=-10.
联立解得
∴D.故选A.
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12.(多选)已知向量a=(2,1),b=(1,-1),c=(m-2,-n),其中m,n均为正数,且(a-b)∥c,下列说法正确的是 (　　)
A.a与b的夹角为钝角
B.向量a在b方向上的投影向量为b
C.2m+n=4
D.mn的最大值为2
√
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解析:∵a=(2,1),b=(1,-1),
∴a·b=2-1=1>0,∴a与b的夹角为锐角,故A错误;
∵a=(2,1),b=(1,-1),∴a·b=1,|a|=,|b|=,∴向量a在b方向上的投影向量为|a|··=b,故B错误;
∵a=(2,1),b=(1,-1),∴a-b=(1,2),
又(a-b)∥c,c=(m-2,-n),
∴-n=2(m-2),∴2m+n=4,故C正确;
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∵2m+n=4,而m,n均为正数,
∴mn=(2m·n)≤=2,
当且仅当2m=n,即m=1,n=2时等号成立,
∴mn的最大值为2,故D正确.故选CD.
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13.在平面直角坐标系xOy中,四边形ABCD的边AB∥DC,AD∥BC.已知点A(-2,0),B(6,8),C(8,6),则D点的坐标为　　　　.
解析:由条件中的四边形ABCD的对边分别平行,可以判断该四边形ABCD是平行四边形.
设D(x,y),则有=,
即(6,8)-(-2,0)=(8,6)-(x,y),
解得(x,y)=(0,-2),即D点的坐标为(0,-2).
(0,-2)
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14.(10分)已知A(1,1),B(-1,4),C(a,b),A,B,C三点共线.
(1)求a与b满足的关系式;
解:因为A(1,1),B(-1,4),C(a,b),
所以=(-2,3),=(a-1,b-1).
因为A,B,C三点共线,则∥,
所以-2(b-1)=3(a-1),即3a+2b-5=0.
故a与b满足的关系式为3a+2b-5=0.
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12
13
14
15
3
4
2
(2)若||=2||,求点C的坐标.
解:因为A,B,C三点共线,||=2||,
所以=2或=-2.
当=2时,有(a-1,b-1)=2(-2,3),
解得a=-3,b=7;
当=-2时,有(a-1,b-1)=(4,-6),
解得a=5,b=-5.
所以点C的坐标为(-3,7)或(5,-5).
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
15.(12分)已知a=(1,1),b=(0,-2),当k为何值时:
(1)ka-b与a+b共线;
解:因为a=(1,1),b=(0,-2),
所以ka-b=(k,k)-(0,-2)=(k,k+2),
a+b=(1,1)+(0,-2)=(1,-1).
因为ka-b与a+b共线,
所以k+2-(-k)=0,解得k=-1.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
(2)ka-b与a+b的夹角为120°.
解:因为ka-b=(k,k+2),a+b=(1,-1),
所以|ka-b|=,|a+b|=,
(ka-b)·(a+b)=k-(k+2)=-2.
因为ka-b与a+b的夹角为120°,
所以cos 120°=
==-.
化简得k2+2k-2=0,解得k=-1±.课时跟踪检测(十一)　向量平行的坐标表示
(满分100分,A级选填小题每题5分,B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1.下列各组向量中,能作为基底的是 (　　)
A.e1=(0,0),e2=(1,1)
B.e1=(1,2),e2=(-2,1)
C.e1=(-3,4),e2=
D.e1=(2,6),e2=(-1,-3)
2.若向量a=(,1),b=(0,-2),则与a+2b共线的向量可以是 (　　)
A.(,-1) B.(-1,-)
C.(-,-1) D.(-1,)
3.若向量a=(x,2),b=,c=a+2b,d=2a-b,且c∥d,则c-2d= (　　)
A. B.
C.(1,2) D.(-1,-2)
4.(2024·全国甲卷)设向量a=(x+1,x),b=(x,2),则 (　　)
A.x=-3是a⊥b的必要条件
B.x=-3是a∥b的必要条件
C.x=0是a⊥b的充分条件
D.x=-1+是a∥b的充分条件
5.设向量=(1,-2),=(a,-1),=(-b,0),其中O为坐标原点,a>0,b>0,若A,B,C三点共线,则+的最小值为 (　　)
A.4 B.6
C.8 D.9
6.已知向量a=(3x-1,4)与b=(1,2)平行,则实数x的值为　　　　.
7.已知向量a=(-2,3),b∥a,向量b的起点为A(1,2),终点B在坐标轴上,则点B的坐标为　　　 　.
8.已知向量a=(1,2),b=(x,1),u=a+2b,v=2a-b,且u∥v,则实数x的值为　　　　.
9.(10分)如图所示,在平行四边形ABCD中,A(0,0),B(3,1),C(4,3),D(1,2),M,N分别为DC,AB的中点,
求,的坐标,并判断,是否平行.
10.(10分)已知向量=(3,-4),=(6,-3),=(5-x,-3-y).
(1)若点A,B,C不能构成三角形,求x,y应满足的条件;
(2)若=2,求x,y的值.
B级——重点培优
11.已知A(-1,2),B(2,8),C(0,5),若⊥,∥,则点D的坐标是 (　　)
A. B.
C. D.
12.(多选)已知向量a=(2,1),b=(1,-1),c=(m-2,-n),其中m,n均为正数,且(a-b)∥c,下列说法正确的是 (　　)
A.a与b的夹角为钝角
B.向量a在b方向上的投影向量为b
C.2m+n=4
D.mn的最大值为2
13.在平面直角坐标系xOy中,四边形ABCD的边AB∥DC,AD∥BC.已知点A(-2,0),B(6,8),C(8,6),则D点的坐标为　　　　.
14.(10分)已知A(1,1),B(-1,4),C(a,b),A,B,C三点共线.
(1)求a与b满足的关系式;
(2)若||=2||,求点C的坐标.
15.(12分)已知a=(1,1),b=(0,-2),当k为何值时:
(1)ka-b与a+b共线;
(2)ka-b与a+b的夹角为120°.
课时跟踪检测(十一)
1．选B　A中，零向量与任意向量共线，故不能作为基底；C中，e1＝－5e2；D中，e1＝－2e2，向量e1与e2共线，不能作为基底；B中，e1与e2不共线，所以可作为一组基底．
2．选D　若向量a＝(，1)，b＝(0，－2)，则a＋2b＝(，1)＋2(0，－2)＝(，－3)＝－(－1，)，D选项满足要求，而其他选项不合题意．
3．选D　由题意得c＝a＋2b＝(x,2)＋(1,2)＝(x＋1,4)，d＝2a－b＝(2x,4)－＝，∵c∥d，∴3(x＋1)＝4，解得x＝1，∴c＝(2,4)，d＝，∴c－2d＝(2,4)－(3,6)＝(－1，－2)．
4．选C　因为a⊥b x2＋x＋2x＝0 x＝0或x＝－3，所以x＝－3是a⊥b的充分条件，x＝0是a⊥b的充分条件，故A错误，C正确．a∥b 2x＋2＝x2 x2－2x－2＝0 x＝1±，故B、D错误．
5．选C　＝－＝(a－1,1)，＝－＝(－b－1,2)，
∵A，B，C三点共线，∴∥.
∴2(a－1)＝－b－1，∴2a＋b＝1.
又a＞0，b＞0，∴＋＝(2a＋b)
＝2＋2＋＋≥4＋2＝8，
当且仅当
即a＝，b＝时取等号．
故＋的最小值为8，故选C.
6．解析：∵向量a＝(3x－1,4)与b＝(1,2)平行，
∴2(3x－1)－4×1＝0，解得x＝1.
答案：1
7．解析：由b∥a，可设b＝λa＝(－2λ，3λ)．
设B(x，y)，则＝(x－1，y－2)＝b.
由
又B点在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0，所以B或.
答案：或
8．解析：因为a＝(1,2)，b＝(x,1)，
所以u＝a＋2b＝(1,2)＋2(x,1)＝(2x＋1,4)，
v＝2a－b＝2(1,2)－(x,1)＝(2－x,3)．
又因为u∥v，所以3(2x＋1)－4(2－x)＝0，解得x＝.
答案：
9．解：由已知可得M(2.5,2.5)，N(1.5,0.5)，
所以＝(2.5,2.5)，＝(－2.5，－2.5)．
又2.5×(－2.5)－2.5×(－2.5)＝0，所以，平行．
10．解：(1)因为点A，B，C不能构成三角形，
所以A，B，C三点共线，所以∥.
由题意得＝(3,1)，＝(2－x,1－y)，
所以3(1－y)＝2－x，即x－3y＋1＝0.
所以x，y满足的条件为x－3y＋1＝0.
(2)由题意得＝(－x－1，－y)，
由＝2得(2－x,1－y)＝2(－x－1，－y)，
所以解得
即x，y的值分别为－4，－1.
11．选A　设D(x，y)，则＝(x＋1，y－2)，
＝(x－2，y－8)，＝(－2，－3)．
∵⊥，∴－2(x＋1)－3(y－2)＝0，即2x＋3y＝4.∵∥，∴－3(x－2)＝－2(y－8)，即3x－2y＝－10.
联立解得
∴D.故选A.
12．选CD　∵a＝(2,1)，b＝(1，－1)，
∴a·b＝2－1＝1＞0，∴a与b的夹角为锐角，故A错误；∵a＝(2,1)，b＝(1，－1)，∴a·b＝1，|a|＝，|b|＝，∴向量a在b方向上的投影向量为|a|··＝b,故B错误；
∵a＝(2,1)，b＝(1，－1)，∴a－b＝(1,2)，
又(a－b)∥c，c＝(m－2，－n)，
∴－n＝2(m－2)，∴2m＋n＝4，故C正确；
∵2m＋n＝4，而m，n均为正数，
∴mn＝(2m·n)≤2＝2，
当且仅当2m＝n，即m＝1，n＝2时等号成立，
∴mn的最大值为2，故D正确．故选CD.
13．解析：由条件中的四边形ABCD的对边分别平行，可以判断该四边形ABCD是平行四边形．设D(x，y)，则有＝，
即(6,8)－(－2,0)＝(8,6)－(x，y)，
解得(x，y)＝(0，－2)，
即D点的坐标为(0，－2)．
答案：(0，－2)
14．解：(1)因为A(1,1)，B(－1,4)，C(a，b)，
所以＝(－2,3)，＝(a－1，b－1)．
因为A，B，C三点共线，则∥，所以－2(b－1)＝3(a－1)，即3a＋2b－5＝0.
故a与b满足的关系式为3a＋2b－5＝0.
(2)因为A，B，C三点共线，||＝2||，所以＝2或＝－2.
当＝2时，有(a－1，b－1)＝2(－2,3)，解得a＝－3，b＝7；
当＝－2时，有(a－1，b－1)＝(4，－6)，解得a＝5，b＝－5.
所以点C的坐标为(－3,7)或(5，－5)．
15．解：(1)因为a＝(1,1)，b＝(0，－2)，
所以ka－b＝(k，k)－(0，－2)＝(k，k＋2)，
a＋b＝(1,1)＋(0，－2)＝(1，－1)．
因为ka－b与a＋b共线，
所以k＋2－(－k)＝0，解得k＝－1.
(2)因为ka－b＝(k，k＋2)，a＋b＝(1，－1)，
所以|ka－b|＝，|a＋b|＝，
(ka－b)·(a＋b)＝k－(k＋2)＝－2.
因为ka－b与a＋b的夹角为120°，
所以cos 120°＝
＝＝－.
化简得k2＋2k－2＝0，解得k＝－1±.

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