资源简介

9.4向量应用 (教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学)
[课时目标]
1.掌握用向量法解决平面几何问题的方法.
2.能掌握用向量知识研究物理问题的一般思路与方法.
题型(一)　平面向量在物理中的应用
[例1]　如图,一条河两岸平行,河的宽度AC= km,一艘船从河边的A点出发到达对岸的B点,船只在河内行驶的路程AB=2 km,行驶时间为0.2 h.已知船在静水中的速度v1的大小为|v1|,水流的速度v2的大小为|v2|=2 km/h.求:
(1)|v1|;
(2)船在静水中的速度v1与水流速度v2夹角的余弦值.
听课记录:
|思|维|建|模|　向量方法解决物理问题的步骤
　　[针对训练]
1.设作用于同一点的三个力F1,F2,F3处于平衡状态,若|F1|=1,|F2|=2,且F1与F2的夹角为,
如图所示.
(1)求F3的大小;
(2)求F2与F3的夹角.
题型(二)　向量在平面几何证明中的应用
[例2]　如图所示,在正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点.
求证:AF⊥DE.
听课记录:
　　|思|维|建|模|
平面几何中利用向量证明的常见问题及方法
(1)常见的利用向量证明的问题
①利用共线向量定理证明线段平行或点共线;
②利用向量的模证明线段相等;
③利用向量的数量积为0证明线段垂直.
(2)常用的两个方法
①基向量法:选取已知的不共线的两个向量作为基向量,用基向量表示相关向量,转化为基向量之间的向量运算进行证明.
②坐标法:先建立直角坐标系,表示出点、向量的坐标,利用坐标运算进行证明.
　　[针对训练]
2.如图,已知AD,BE,CF是△ABC的三条高,且交于点O,DG⊥BE于G,DH⊥CF于H.求证:HG∥EF.
题型(三)　利用平面向量求几何中的长度问题
[例3]　已知Rt△ABC中,∠C=90°,设AC=m,BC=n.
(1)若D为AB的中点,求证:CD=AB;
(2)若E为CD的中点,连接AE并延长交BC于F,求AF的长度(用m,n表示).
听课记录:
　　|思|维|建|模|
利用向量法解决长度问题的策略
向量法求平面几何中的长度问题,即向量长度的求解.一是利用图形特点选择基底,向向量的数量积转化,用公式|a|2=a2求解;二是建立坐标系,确定相应向量的坐标,代入公式求解.若a=(x,y),则|a|=.
　　[针对训练]
3.如图,在平行四边形ABCD中,AD=1,AB=2,对角线BD=2,求对角线AC的长.
9.4　向量应用
[例1]　解:(1)因为船只在河内行驶的路程AB=2 km,行驶时间为0.2 h,所以船只沿AB方向的速度为|v|==10 km/h.
由AC= km,AB=2 km,根据勾股定理可得BC==1 km,所以∠BAC=30°,即=60°.
由v=v1+v2,得v1=v-v2,
所以|v1|==
==2.
(2)因为v=v1+v2,所以v2=(v1+v2)2,
即100=(2)2+2×2×2cos+22,解得cos=.即船在静水中的速度v1与水流速度v2夹角的余弦值为.
[针对训练]
1.解:(1)由题意|F3|=|F1+F2|,因为|F1|=1,|F2|=2,且F1与F2的夹角为,
所以|F3|=|F1+F2|
==.
(2)设F2与F3的夹角为θ,
因为F1=-(F2+F3),两边平方得
1=4+3+2×2×cos θ,所以cos θ=-.
所以θ=.
[例2]　证明:法一　设=a,=b,
则|a|=|b|,a·b=0.
又=+=-a+b,=+=b+a,所以·=·=-a2-a·b+b2=-|a|2+|b|2=0.
故⊥,即AF⊥DE.
法二　如图,建立平面直角坐标系,设正方形的边长为2,则A(0,0),D(0,2),E(1,0),F(2,1),=(2,1),=(1,-2).
因为·=(2,1)·(1,-2)=2-2=0,
所以⊥,即AF⊥DE.
[针对训练]
2.证明:∵⊥,⊥,∴∥.
设=λ(λ≠0),则=λ.同理=λ.
于是=-=λ(-)=λ,
∴∥,即HG∥EF.
[例3]　解:(1)证明:以C为坐标原点,以边CB,CA所在的直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,如图所示,则A(0,m),B(n,0).
∵D为AB的中点,
∴D.∴||= .
∵||=,
∴||=||,即CD=AB.
(2)∵E为CD的中点,∴E.
设F(x,0),则=,=(x,-m).
∵A,E,F三点共线,∴设=λ.
即(x,-m)=λ,
则
解得λ=,x=.∴F.
∴||= ,
即AF= .
[针对训练]
3.解:设=a,=b,则=a-b,=a+b.
∵||=|a-b|=
===2,∴5-2a·b=4,∴a·b=.又||2=|a+b|2=a2+2a·b+b2=1+4+2a·b=6,∴||=,即AC=.(共41张PPT)
9.4
向量应用
(教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学)
课时目标
1.掌握用向量法解决平面几何问题的方法.
2.能掌握用向量知识研究物理问题的一般思路与方法.
CONTENTS
目录
1
2
3
题型(一)　平面向量在物理中的应用
题型(二)　向量在平面几何证明
中的应用
题型(三)　利用平面向量求几何中的长度问题
4
课时跟踪检测
题型(一) 平面向量在物理中的应用
01
[例1]　如图,一条河两岸平行,河的宽度AC= km,一艘船从河边的A点出发到达对岸的B点,船只在河内行驶的路程AB=2 km,行驶时间为0.2 h.已知船在静水中的速度v1的大小为|v1|,水流的速度v2的大小为|v2|=2 km/h.求:
(1)|v1|;
解:因为船只在河内行驶的路程AB=2 km,行驶时间为0.2 h,
所以船只沿AB方向的速度为|v|==10 km/h.
由AC= km,AB=2 km,根据勾股定理可得BC==1 km,所以∠BAC=30°,即=60°.
由v=v1+v2,得v1=v-v2,
所以|v1|==
==2.
(2)船在静水中的速度v1与水流速度v2夹角的余弦值.
解:因为v=v1+v2,所以v2=(v1+v2)2,
即100=(2)2+2×2×2cos+22,解得cos=.即船在静水中的速度v1与水流速度v2夹角的余弦值为.
|思|维|建|模|
向量方法解决物理问题的步骤
针对训练
1.设作用于同一点的三个力F1,F2,F3处于平衡状态,若|F1|=1,|F2|=2,且F1与F2的夹角为,如图所示.
(1)求F3的大小;
解:由题意|F3|=|F1+F2|,
因为|F1|=1,|F2|=2,且F1与F2的夹角为,
所以|F3|=|F1+F2|==.
(2)求F2与F3的夹角.
解:设F2与F3的夹角为θ,因为F1=-(F2+F3),两边平方得1=4+3+2×2×cos θ,所以cos θ=-.所以θ=.
题型(二)　向量在平面几何证明
中的应用
02
[例2]　如图所示,在正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点.
求证:AF⊥DE.
证明:法一　设=a,=b,
则|a|=|b|,a·b=0.
又=+=-a+b,=+=b+a,所以·=
·=-a2-a·b+b2=-|a|2+|b|2=0.
故⊥,即AF⊥DE.
法二　如图,建立平面直角坐标系,设正方形的边长为2,则A(0,0),D(0,2),E(1,0),F(2,1),
=(2,1),=(1,-2).
因为·=(2,1)·(1,-2)=2-2=0,
所以⊥,即AF⊥DE.
|思|维|建|模|
平面几何中利用向量证明的常见问题及方法
(1)常见的利用向量证明的问题
①利用共线向量定理证明线段平行或点共线;
②利用向量的模证明线段相等;
③利用向量的数量积为0证明线段垂直.
(2)常用的两个方法
①基向量法:
选取已知的不共线的两个向量作为基向量,用基向量表示相关向量,转化为基向量之间的向量运算进行证明.
②坐标法:
先建立直角坐标系,表示出点、向量的坐标,利用坐标运算进行证明.
针对训练
2.如图,已知AD,BE,CF是△ABC的三条高,且交于点O,DG⊥BE于G,
DH⊥CF于H.求证:HG∥EF.
证明:∵⊥,⊥,∴∥.
设=λ(λ≠0),则=λ.同理=λ.
于是=-=λ(-)=λ,
∴∥,即HG∥EF.
题型(三)　利用平面向量求
几何中的长度问题
03
[例3]　已知Rt△ABC中,∠C=90°,设AC=m,BC=n.
(1)若D为AB的中点,求证:CD=AB;
解:(1)证明:以C为坐标原点,以边CB,CA所在的直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,
如图所示,则A(0,m),B(n,0).
∵D为AB的中点,∴D.
∴||= .
∵||=,
∴||=||,即CD=AB.
(2)若E为CD的中点,连接AE并延长交BC于F,求AF的长度(用m,n表示).
解:∵E为CD的中点,∴E.
设F(x,0),则=,=(x,-m).
∵A,E,F三点共线,∴设=λ.
即(x,-m)=λ,则
解得λ=,x=.∴F.
∴||= ,即AF= .
|思|维|建|模|
利用向量法解决长度问题的策略
向量法求平面几何中的长度问题,即向量长度的求解.一是利用图形特点选择基底,向向量的数量积转化,用公式|a|2=a2求解;二是建立坐标系,确定相应向量的坐标,代入公式求解.若a=(x,y),则|a|=.
针对训练
3.如图,在平行四边形ABCD中,AD=1,AB=2,对角线BD=2,求对角线AC的长.
解:设=a,=b,则=a-b,=a+b.
∵||=|a-b|=
===2,
∴5-2a·b=4,∴a·b=.
又||2=|a+b|2=a2+2a·b+b2
=1+4+2a·b=6,
∴||=,即AC=.
课时跟踪检测
04
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
A级——达标评价
1.某人骑自行车的速度为v1,风速为v2,则逆风行驶的速度为(　　)
A.v1-v2 B.v1+v2
C.|v1|-|v2| D.
解析:由向量加法法则可知,人骑自行车逆风行驶的速度为v1+v2.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
2.已知平面内作用于点O的三个力f1,f2,f3,且它们的合力为0,则三个力的分布图可能是 (　　)
解析:因为f1+f2=-f3,所以f1与f2的合力与f3方向相反,长度相等,则由平行四边形法则可知,只有D项满足.故选D.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
3.共点力F1=(lg 2,lg 2),F2=(lg 5,lg 2)作用在物体M上,产生位移s=(2lg 5,1),则共点力对物体做的功W为 (　　)
A.lg 2 B.lg 5
C.1 D.2
解析:因为F1+F2=(1,2lg 2),所以W=(F1+F2)·s=(1,2lg 2)·(2lg 5,1)=2lg 5+
2lg 2=2.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
4.在四边形ABCD中,若+=0,·=0,则四边形为(　　)
A.平行四边形 B.矩形
C.等腰梯形 D.菱形
解析:由题可知∥,||=||,所以四边形ABCD是平行四边形.又⊥,故四边形为菱形.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
5.如图,BC,DE是半径为1的圆O的两条直径,=2,
则·的值是(　　)
A.- B.-
C.- D.-
解析:因为=+,=+,且=-,所以·=
(+)·(+)=-=-1=-.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
6.坐标平面内一只小蚂蚁以速度v=(1,2)从点A(4,6)处移动到点B(7,12)处,其所用时间长短为　　　　.
解析:由题意得,速度的大小为|v|==,
又||==3,故所用时间t==3.
3
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
7.已知直角梯形ABCD中,AB⊥AD,AB=2,DC=1,AB∥DC,则当AC⊥BC时,
AD=　　　　.
1
解析:建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),
B(2,0).设AD=a,则C(1,a),=(1,a),=(-1,a).因为AC⊥BC,所以⊥.所以·=-1+
a2=0,解得a=1(舍负).
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
8.如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=2,点E为BC的中点,
点F在边CD上,若·=2,则·的值是　　　　.
2
解析:建立如图所示的坐标系,设DF=x,由图可得A(0,0),
B(2,0),E(2,),F(x,2),·=(2,0)·(x,2)=
2x=2,
即有x=1.即F(1,2),=(-1,2),则·=
(2,)·(-1,2)=2×(-1)+×2=-2+4=2.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
9.(10分)已知两个力F1=5i+3j,F2=-2i+j,F1,F2作用于同一质点,使该质点从点A(8,0)移动到点B(20,15)(其中i,j分别是x轴正方向、y轴正方向上的单位向量,力的单位:N,位移的单位:m).试求:
(1)F1,F2分别对质点所做的功;
解:根据题意,F1=5i+3j=(5,3),F2=-2i+j=(-2,1),=(12,15),
故F1对该质点做的功W1=F1·=60+45=105(J);
F2对该质点做的功W2=F2·=-24+15=-9(J).
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
(2)F1,F2的合力F对质点所做的功.
解:根据题意,F1,F2的合力F=F1+F2=(3,4),
故F1,F2的合力F对该质点做的功W=F·=3×12+4×15=96(J).
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
10.(10分)已知四边形ABCD是菱形,AC和BD是它的两条对角线.利用向量方法证明:AC⊥BD.
证明:法一　因为=+,=-,所以·=(+)·
(-)=||2-||2=0.所以⊥,即AC⊥BD.
法二　以B为原点,BC所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,则B(0,0),设A(a,b),C(c,0),则由|AB|=|BC|,
得a2+b2=c2.因为=-=(c,0)-(a,b)=(c-a,-b),
=+=(a,b)+(c,0)=(c+a,b),所以·=
c2-a2-b2=0.所以⊥,即AC⊥BD.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
B级——重点培优
11.在梯形ABCD中,∥,⊥,||=2,||=2||.若点P在线段BC上,则|+3|的最小值是(　　)
A. B.4
C. D.6
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
解析:如图所示,以B为原点,为x轴正方向,
为y轴正方向建立平面直角坐标系.
则B(0,0),A(0,2),C(2d,0),D(d,2),P(p,0)
(0≤p≤2d),所以=(2d-p,0),=(d-p,2).
所以+3=(5d-4p,6).所以|+3|=
≥6(当且仅当5d=4p时等号成立).所以|+3|的最小值是6.故选D.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
12.若非零向量与满足·=0,且·=,则△ABC为(　　)
A.三边均不等的三角形
B.直角三角形
C.底边和腰不相等的等腰三角形
D.等边三角形
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
解析:∵·=0,∴A的角平分线与BC垂直.∴AB=AC.∵cos A=
·=,∴∠A=30°,则△ABC是顶角为30°的等腰三角形,故选C.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
13.已知=a+b,=a-2b,|a|=2|b|=2,a,b的夹角为,则三角形ABC的BC边上中线的长为　　　　.
解析:设D为BC的中点,则2=+,
所以(2)2=(+)2.
所以4=(2a-b)2.
所以||==
=.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
14.(10分)(1)已知某人在静水中游泳的速度为4 km/h,河水的流速为4 km/h,现此人在河中游泳.如果他垂直游向河对岸,那么他实际沿什么方向前进
实际前进的速度为多少
解:如图1,设此人在静水中游泳的速度为,水流的速度为,以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,则此人的实际速度为+=.由题意,⊥且||=4,||=4,
所以||==8.
在Rt△OAC中,tan∠AOC==,所以∠AOC=60°.
故此人沿与河岸成60°的夹角顺着水流的方向前进,速度大小为8 km/h.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
(2)在 ABCD中,已知AD=1,AB=2,对角线BD=2,求对角线AC的长.
解:如图2,设=a,=b,则|a|=2,|b|=1,
从而=a-b,所以=(a-b)2=a2-2a·b+b2,即4=5-2a·b.
所以a·b=.又=a+b,所以=(a+b)2=a2+2a·b+b2=5+1=6.
所以||=,即对角线AC的长为.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
15.(12分)如图,在正方形ABCD中,P是对角线BD上的一点,四边形PECF是矩形,用向量证明:PA⊥EF.
证明:设正方形边长为a,
由于P是对角线BD上的一点,
可设=λ(0≤λ≤1).
则=-=-λ=-λ(+)
=(1-λ)-λ.
又因为=-=(1-λ)-λ,所以·=[(1-λ)-λ]·
[(1-λ)-λ]=(1-λ)2·-(1-λ)λ·-λ(1-λ)·+
λ2·=-λ(1-λ)a2+λ(1-λ)a2=0.因此⊥,故PA⊥EF.课时跟踪检测(十二)　向量应用
(满分100分,A级选填小题每题5分,B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1.某人骑自行车的速度为v1,风速为v2,则逆风行驶的速度为 (　　)
A.v1-v2 B.v1+v2
C.|v1|-|v2| D.
2.已知平面内作用于点O的三个力f1,f2,f3,且它们的合力为0,则三个力的分布图可能是 (　　)
3.共点力F1=(lg 2,lg 2),F2=(lg 5,lg 2)作用在物体M上,产生位移s=(2lg 5,1),则共点力对物体做的功W为 (　　)
A.lg 2 B.lg 5
C.1 D.2
4.在四边形ABCD中,若+=0,·=0,则四边形为 (　　)
A.平行四边形 B.矩形
C.等腰梯形 D.菱形
5.如图,BC,DE是半径为1的圆O的两条直径,=2,则·的值是 (　　)
A.- B.-
C.- D.-
6.坐标平面内一只小蚂蚁以速度v=(1,2)从点A(4,6)处移动到点B(7,12)处,其所用时间长短为　　　　.
7.已知直角梯形ABCD中,AB⊥AD,AB=2,DC=1,AB∥DC,则当AC⊥BC时,AD=　　　　.
8.如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=2,点E为BC的中点,点F在边CD上,若·=2,则·的值是　　　　.
9.(10分)已知两个力F1=5i+3j,F2=-2i+j,F1,F2作用于同一质点,使该质点从点A(8,0)移动到点B(20,15)(其中i,j分别是x轴正方向、y轴正方向上的单位向量,力的单位:N,位移的单位:m).试求:
(1)F1,F2分别对质点所做的功;
(2)F1,F2的合力F对质点所做的功.
10.(10分)已知四边形ABCD是菱形,AC和BD是它的两条对角线.利用向量方法证明:AC⊥BD.
B级——重点培优
11.在梯形ABCD中,∥,⊥,||=2,||=2||.若点P在线段BC上,则|+3|的最小值是 (　　)
A. B.4
C. D.6
12.若非零向量与满足·=0,且·=,则△ABC为 (　　)
A.三边均不等的三角形
B.直角三角形
C.底边和腰不相等的等腰三角形
D.等边三角形
13.已知=a+b,=a-2b,|a|=2|b|=2,a,b的夹角为,则三角形ABC的BC边上中线的长为　　　　.
14.(10分)(1)已知某人在静水中游泳的速度为4 km/h,河水的流速为4 km/h,现此人在河中游泳.如果他垂直游向河对岸,那么他实际沿什么方向前进 实际前进的速度为多少
(2)在 ABCD中,已知AD=1,AB=2,对角线BD=2,求对角线AC的长.
15.(12分)如图,在正方形ABCD中,P是对角线BD上的一点,四边形PECF是矩形,用向量证明:PA⊥EF.
课时跟踪检测(十二)
1．选B　由向量加法法则可知，人骑自行车逆风行驶的速度为v1＋v2.
2．选D　因为f1＋f2＝－f3，所以f1与f2的合力与f3方向相反，长度相等，则由平行四边形法则可知，只有D项满足．故选D.
3．选D　因为F1＋F2＝(1,2lg 2)，所以W＝(F1＋F2)·s＝(1,2lg 2)·(2lg 5,1)＝2lg 5＋2lg 2＝2.
4．选D　由题可知∥，||＝||，所以四边形ABCD是平行四边形．又⊥，故四边形为菱形．
5．选B　因为＝＋，＝＋，且＝－，所以·＝(＋)·(＋)＝2－2＝－1＝－.
6．解析：由题意得，速度的大小为|v|＝＝，
又||＝＝3，故所用时间t＝＝3.
答案：3
7．解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)．设AD＝a，则C(1，a)，＝(1，a)，＝(－1，a)．因为AC⊥BC，所以⊥.所以·＝－1＋a2＝0，解得a＝1(舍负)．
答案：1
8．解析：建立如图所示的坐标系，设DF＝x，由图可得A(0,0)，B(2,0)，E(2，)，F(x,2)，·＝(2,0)·(x,2)＝2x＝2，
即有x＝1.即F(1，2)，＝(－1,2)，则·＝(2，)·(－1，2)＝2×(－1)＋×2＝－2＋4＝2.
答案：2
9．解：(1)根据题意，F1＝5i＋3j＝(5,3)，F2＝－2i＋j＝(－2,1)，＝(12,15)，
故F1对该质点做的功W1＝F1·＝60＋45＝105(J)；
F2对该质点做的功W2＝F2·＝－24＋15＝－9(J)．
(2)根据题意，F1，F2的合力F＝F1＋F2＝(3,4)，
故F1，F2的合力F对该质点做的功W＝F·＝3×12＋4×15＝96(J)．
10．证明：法一　因为＝＋，＝－，所以·＝(＋)·(－)＝||2－||2＝0.所以⊥，即AC⊥BD.
法二　以B为原点，BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则B(0,0)，设A(a，b)，C(c,0)，则由|AB|＝|BC|，得a2＋b2＝c2.因为＝－＝(c,0)－(a，b)＝(c－a，－b)，＝＋＝(a，b)＋(c,0)＝(c＋a，b)，所以·＝c2－a2－b2＝0.所以⊥，即AC⊥BD.
11.选D　如图所示，以B为原点，为x轴正方向，为y轴正方向建立平面直角坐标系．则B(0,0)，A(0，2)，C(2d,0)，D(d,2)，P(p,0)(0≤p≤2d)，所以＝(2d－p,0)，＝(d－p,2)．所以＋3＝(5d－4p,6)．所以|＋3|＝≥6(当且仅当5d＝4p时等号成立)．所以|＋3|的最小值是6.故选D.
12．选C　∵·＝0，∴A的角平分线与BC垂直．∴AB＝AC.∵cos A＝·＝，∴∠A＝30°，则△ABC是顶角为30°的等腰三角形，故选C.
13．解析：设D为BC的中点，则2＝＋，所以(2)2＝(＋)2.所以4||2＝(2a－b)2.
所以||＝
＝＝.
答案：
14．解：(1)如图1，设此人在静水中游泳的速度为，水流的速度为，
以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则此人的实际速度为＋＝.由题意，⊥且||＝4，||＝4，所以||＝＝8.
在Rt△OAC中，tan∠AOC＝＝，所以∠AOC＝60°.故此人沿与河岸成60°的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8 km/h.
(2)如图2，设＝a，＝b，则|a|＝2，|b|＝1，
从而＝a－b，所以2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2，即4＝5－2a·b.
所以a·b＝.又＝a＋b，所以2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝5＋1＝6.
所以||＝，即对角线AC的长为.
15．证明：设正方形边长为a，
由于P是对角线BD上的一点，
可设＝λ(0≤λ≤1)．
则＝－＝－λ＝－λ(＋)＝(1－λ)－λ.
又因为＝－＝(1－λ)－λ，所以·＝[(1－λ)－λ]·
[(1－λ)·－λ]＝(1－λ)2·－(1－λ)·λ·－λ(1－λ)·＋λ2·＝
－λ(1－λ)a2＋λ(1－λ)a2＝0.因此⊥，故PA⊥EF.

展开更多......

收起↑