资源简介

10.1.2　两角和与差的正弦
第1课时　两角和与差的正弦 (教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学)
[课时目标]
1.能由两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式,了解它们的内在联系.
2.掌握两角和与差的正弦公式,并能灵活运用这些公式进行简单的恒等变换.
　　两角和与差的正弦公式
名称 简记符号 公式 使用条件
两角和的 正弦公式 S(α+β) sin(α+β)= ____________________________ α,β∈R
两角差的 正弦公式 S(α-β) sin(α-β)=____________________________ α,β∈R
|微|点|助|解| 　
1.两角和与差的正弦公式的结构特征
(1)公式中的角α,β都是任意角.
(2)一般情况下,两角和与差的正弦不能按分配律展开,即sin (α±β)≠sin α±sin β.
(3)注意公式的逆向运用和变形运用.
①公式的逆用:如sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β=sin[(α+β)-β]=sin α.
②公式的变形运用:变形运用涉及两个方面, 一个是公式本身的变形运用,如sin(α-β)+cos αsin β=sin αcos β;一个是角的变形运用,也称为角的拆分变换,如α=(α+β)-β,2α=(α+β)+(α-β)等,这些在某种意义上来说是一种整体思想的体现.
2.利用公式统一角的方法
f(x)=asin x+bcos x=sin(x+φ)(a,b不同时为0),其中cos φ=,sin φ= .
基础落实训练
1.sin 105°的值为 (　　)
A. B.
C. D.
2.化简sin 21°cos 81°-cos 21°sin 81°等于 (　　)
A.-　　B.-　　C.　　D.
3.若sin=,则sin α+cos α=　　　　.
题型(一)　给角求值
[例1]　(1)cos-sin= (　　)
A. B.
C. D.
(2)sin 52°cos 22°-sin 38°sin 158°= (　　)
A.- B.
C. D.-
(3)cos(70°+α)sin(170°-α)-sin(70°+α)cos(10°+α)= (　　)
A.- B.-
C. D.
听课记录:
　　|思|维|建|模|
掌握两个解题技巧
(1)利用诱导公式把不同的角转化为相同的角.
(2)注意公式的逆用或变形用.
　　[针对训练]
1.sin 2 023°cos 17°+cos 2 023°cos 73°= (　　)
A. B.-
C.- D.
2.sin 50°cos 170°-sin 40°sin 170°= (　　)
A.- B.
C. D.-
3.已知a=(2sin 35°,2cos 35°),b=(cos 5°,-sin 5°),则a·b= (　　)
A. B.1
C.2 D.2sin 40°
题型(二)　条件求值
[例2]　已知sin α=,cos β=-,且α为第一象限角,β为第二象限角,求sin(α+β)的值.
听课记录:
　　[变式拓展]
1.若本例条件不变,求sin(α-β)的值.
2.若本例条件“cos β=-”变为“cos(α+β)=-”,“α为第一象限角,β为第二象限角”变为“0<α<<β<π”,求sin β的值.
　　|思|维|建|模|
1.求角的三角函数值的一般思路是把“所求角”用“已知角”表示:
(1)当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式.
(2)当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.
2.常见的配角技巧:2α=(α+β)+(α-β),α=(α+β)-β,β=-,α=+,=-等.
　　[针对训练]
4.已知α∈,cos α=,则sin= (　　)
A. B.
C. D.
5.若α,β为锐角,且满足cos α=,cos(α+β)=,则sin β的值为 (　　)
A.- B.
C. D.
题型(三)　三角公式的应用
[例3]　已知函数f(x)=sin 2x-cos 2x.则下列判断正确的是 (　　)
A.关于直线x=对称　 B.关于直线x=对称
C.关于点对称　 D.关于点对称
听课记录:
　　|思|维|建|模|
对形如sin α±cos α,sin α±cos α的三角函数式均可利用特殊角的关系,运用和、差角的正弦、余弦公式化简为含一个三角函数式的形式,即y=Asin(ωx+φ)的形式.
[针对训练]
6.函数f=cos x-sin x的一个单调递增区间是 (　　)
A. B.
C. D.
7.(2024·全国甲卷)函数f(x)=sin x-cos x在[0,π]上的最大值是　　　　.
第1课时　两角和与差的正弦
课前预知教材
sin αcos β+cos αsin β　sin αcos β-cos αsin β
[基础落实训练]
1.D　2.A
3.解析:因为sin=sincos α+cossin α=,即cos α+sin α=,所以sin α+cos α=.
答案:
课堂题点研究
[例1]　解析:(1)cos-sin=cos-sin=coscos+sinsin-sincos+cossin=×+×-×+×=.
(2)sin 52°cos 22°-sin 38°sin 158°
=sin 52°cos 22°-cos 52°sin 22°
=sin(52°-22°)=sin 30°=.
(3)原式=cos(70°+α)sin[180°-(10°+α)]-sin(70°+α)cos(10°+α)=cos(70°+α)sin(10°+α)-sin(70°+α)cos(10°+α)=sin[(10°+α)-(70°+α)]=sin(-60°)=-sin 60°=-.
答案:(1)D　(2)B　(3)B
[针对训练]
1.选C　sin 2 023°cos 17°+cos 2 023°cos 73°=sin 2 023°cos 17°+cos 2 023°sin 17°=sin(2 023°+17°)=
sin 2 040°=sin 240°=-sin 60°=-.
2.选A　sin 50°cos 170°-sin 40°sin 170°=sin 50°cos 170°-cos 50°sin 170°=sin(50°-170°)=sin(-120°)=
-sin 120°=-.
3.选B　a·b=2sin 35°cos 5°-2cos 35°sin 5°=2sin(35°-5°)=2sin 30°=1.
[例2]　解:因为α为第一象限角,β为第二象限角,sin α=,cos β=-,
所以cos α=,sin β=.
所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β
=×+×=.
[变式拓展]
1.解:sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β
=×-×=-.
2.解:∵0<α<<β<π,∴<α+β<.
∵sin α=,cos(α+β)=-,
∴cos α=,sin(α+β)=±.
∴sin β=sin[(α+β)-α]
=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α,
当sin(α+β)=时,sin β=;
当sin(α+β)=-时,sin β=0.
∵<β<π,∴sin β=.
[针对训练]
4.选A　∵α∈,cos α=,
∴sin α==,
∴sin=sin α×-cos α×=×-×=,故选A.
5.选B　因为α,β为锐角,
且cos α=,cos(α+β)=,
所以sin α=,sin(α+β)=,
所以sin β=sin[(α+β)-α]
=×-×=,故选B.
[例3]　选C　f(x)=sin 2x-cos 2x=sin.因为f=sin=sin=≠±1,所以A不正确;
因为f=sin=sin=≠±1,所以B不正确;因为f=sin=sin 0=0,所以C正确;
因为f=sin=sin=1≠0,所以D不正确.故选C.
[针对训练]
6.选D　由函数f=cos x-sin x=2cos,令-π+2kπ≤x+≤2kπ,k∈Z,解得-+2kπ≤x≤2kπ-,k∈Z,
令k=1,可得≤x≤,即区间是函数的一个单调递增区间.
7.解析:由题意知f(x)=sin x-cos x=2sin,当x∈[0,π]时,x-∈,当x-=,即x=时,f(x)取得最大值2.故f(x)在[0,π]上的最大值为2.
答案:2(共56张PPT)
10.1.2
两角和与差的正弦
两角和与差的正弦
(教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学)
第1课时
课时目标
1.能由两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式,了解它们的内在联系.
2.掌握两角和与差的正弦公式,并能灵活运用这些公式进行简单的恒等变换.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
　　两角和与差的正弦公式
名称 简记符号 公式 使用条件
两角和 的正弦 公式 S(α+β) sin(α+β)=___________________ α,β∈R
两角差 的正弦 公式 S(α-β) sin(α-β)=___________________ α,β∈R
sin αcos β+cos αsin β
sin αcos β-cos αsin β
|微|点|助|解|
1.两角和与差的正弦公式的结构特征
(1)公式中的角α,β都是任意角.
(2)一般情况下,两角和与差的正弦不能按分配律展开,即sin (α±β)≠
sin α±sin β.
(3)注意公式的逆向运用和变形运用.
①公式的逆用:如sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β=sin[(α+β)-β]=sin α.
②公式的变形运用:变形运用涉及两个方面, 一个是公式本身的变形运用,如sin(α-β)+cos αsin β=sin αcos β;一个是角的变形运用,也称为角的拆分变换,如α=(α+β)-β,2α=(α+β)+(α-β)等,这些在某种意义上来说是一种整体思想的体现.
2.利用公式统一角的方法
f(x)=asin x+bcos x=sin(x+φ)(a,b不同时为0),其中cos φ=,
sin φ= .
基础落实训练
1.sin 105°的值为 (　　)
A. B.
C. D.
2.化简sin 21°cos 81°-cos 21°sin 81°等于 (　　)
A.- B.-
C. D.
√
√
3.若sin=,则sin α+cos α=　　　　.
解析:因为sin=sincos α+cossin α=,
即cos α+sin α=,所以sin α+cos α=.
课堂题点研究·迁移应用融通
题型(一)　给角求值
[例1]　(1)cos-sin=(　　)
A. B. C. D.
解析:cos-sin =cos-sin=coscos+sinsin-sincos+cossin=×+×-×+×=.
√
(2)sin 52°cos 22°-sin 38°sin 158°= (　　)
A.- B. C. D.-
解析:sin 52°cos 22°-sin 38°sin 158°
=sin 52°cos 22°-cos 52°sin 22°
=sin(52°-22°)=sin 30°=.
√
(3)cos(70°+α)sin(170°-α)-sin(70°+α)cos(10°+α)= (　　)
A.- B.- C. D.
解析:原式=cos(70°+α)sin[180°-(10°+α)]-sin(70°+α)cos(10°+α)=
cos(70°+α)sin(10°+α)-sin(70°+α)cos(10°+α)=sin[(10°+α)-(70°+α)]=
sin(-60°)=-sin 60°=-.
√
　　|思|维|建|模|
掌握两个解题技巧
(1)利用诱导公式把不同的角转化为相同的角.
(2)注意公式的逆用或变形用.
针对训练
1.sin 2 023°cos 17°+cos 2 023°cos 73°= (　　)
A. B.- C.- D.
解析:sin 2 023°cos 17°+cos 2 023°cos 73°=sin 2 023°cos 17°+
cos 2 023°sin 17°=sin(2 023°+17°)=sin 2 040°=sin 240°=-sin 60°
=-.
√
2.sin 50°cos 170°-sin 40°sin 170°= (　　)
A.- B.
C. D.-
解析:sin 50°cos 170°-sin 40°sin 170°=sin 50°cos 170°-
cos 50°sin 170°=sin(50°-170°)=sin(-120°)=-sin 120°=-.
√
3.已知a=(2sin 35°,2cos 35°),b=(cos 5°,-sin 5°),则a·b= (　　)
A. B.1
C.2 D.2sin 40°
解析:a·b=2sin 35°cos 5°-2cos 35°sin 5°=2sin(35°-5°)=
2sin 30°=1.
√
题型(二)　条件求值
[例2]　已知sin α=,cos β=-,且α为第一象限角,β为第二象限角,求sin(α+β)的值.
解:因为α为第一象限角,β为第二象限角,sin α=,cos β=-,
所以cos α=,sin β=.
所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β
=×+×=.
变式拓展
1.若本例条件不变,求sin(α-β)的值.
解:sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β
=×-×=-.
2.若本例条件“cos β=-”变为“cos(α+β)=-”,“α为第一象限角,
β为第二象限角”变为“0<α<<β<π”,求sin β的值.
解:∵0<α<<β<π,∴<α+β<.
∵sin α=,cos(α+β)=-,
∴cos α=,sin(α+β)=±.
∴sin β=sin[(α+β)-α]
=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α,
当sin(α+β)=时,sin β=;
当sin(α+β)=-时,sin β=0.
∵<β<π,∴sin β=.
|思|维|建|模|
1.求角的三角函数值的一般思路是把“所求角”用“已知角”表示:
(1)当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式.
(2)当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.
2.常见的配角技巧:2α=(α+β)+(α-β),α=(α+β)-β,β=-,α=+,
=-等.
针对训练
4.已知α∈,cos α=,则sin=(　　)
A. B. C. D.
解析:∵α∈,cos α=,
∴sin α==,
∴sin=sin α×-cos α×=×-×=,故选A.
√
5.若α,β为锐角,且满足cos α=,cos(α+β)=,则sin β的值为(　　)
A.- B. C. D.
解析:因为α,β为锐角,
且cos α=,cos(α+β)=,
所以sin α=,sin(α+β)=,
所以sin β=sin[(α+β)-α]
=×-×=,故选B.
√
题型(三)　三角公式的应用
[例3]　已知函数f(x)=sin 2x-cos 2x.则下列判断正确的是(　　)
A.关于直线x=对称 B.关于直线x=对称
C.关于点对称 D.关于点对称
√
解析:f(x)=sin 2x-cos 2x=sin.因为f=sin=
sin=≠±1,所以A不正确;
因为f=sin=sin =≠±1,所以B不正确;
因为f=sin=sin 0=0,所以C正确;
因为f=sin=sin=1≠0,所以D不正确.故选C.
|思|维|建|模|
　　对形如sin α±cos α,sin α±cos α的三角函数式均可利用特殊角的关系,运用和、差角的正弦、余弦公式化简为含一个三角函数式的形式,即y=Asin(ωx+φ)的形式.
针对训练
6.函数f=cos x-sin x的一个单调递增区间是(　　)
A. B.
C. D.
√
解析:由函数f=cos x-sin x
=2cos,令-π+2kπ≤x+≤2kπ,k∈Z,
解得-+2kπ≤x≤2kπ-,k∈Z,令k=1,
可得≤x≤,
即区间是函数的一个单调递增区间.
7.(2024·全国甲卷)函数f(x)=sin x-cos x在[0,π]上的最大值是　　　　.
解析:由题意知f(x)=sin x-cos x=2sin,当x∈[0,π]时,x-∈,当x-=,即x=时,f(x)取得最大值2.故f(x)在[0,π]上的最大值为2.
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课时跟踪检测
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A级——达标评价
1.sin 70°cos 25°-sin 20°sin 25°的值为(　　)
A.-1 B.- C. D.1
解析:sin 70°cos 25°-sin 20°sin 25°=sin 70°·cos 25°-
cos 70°sin 25°=sin=sin 45°=.
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2.已知sin α=,α∈,则sin=(　　)
A. B.- C. D.-
解析:因为sin α=,α∈,所以cos α==.
所以sin=sin αcos-cos αsin =×-×=.
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3.(多选)下列计算正确的是 (　　)
A.sin 15°-cos 15°=
B.sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=
C.sin-cos=-
D.sin 105°=
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解析:sin 15°-cos 15°=sin 15°cos 60°-sin 60°cos 15°=
sin(15°-60°)=sin(-45°)=-,A错误;
sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=sin 20°cos 10°+cos 20°sin 10°=
sin(20°+10°)=sin 30°=,B正确;
sin -cos=2=2sin=2sin=-,
C正确;
sin 105°=sin(60°+45°)=sin 60°cos 45°+cos 60°·sin 45°=×+
×=,D正确.
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4.已知函数f=sin ax+cos ax的最小正周期是3,则实数a的值为(　　)
A. B.
C.- D.±
解析:因为f=sin ax+cos ax=2=2sin,
所以最小正周期T==3,解得a=±.
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5.(多选)已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P,将角α的终边逆时针旋转90°得到角β,则下列结论正确的是(　　)
A.tan α= B.cos β=-
C.sin(α-β)=-1 D.sin=-
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解析:由题意知sin α=-,cos α=-,β=α+90°,则tan α==,故A正确;
cos β=cos(α+90°)=-sin α=,故B错误;
α-β=-90°,则sin(α-β)=sin(-90°)=-1,故C正确;
sin β=cos α=-,则sin=(sin β+cos β)=×=
×=,故D错误.故选AC.
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6.计算cos 15°-cos 75°=　　　　.
解析:cos 15°-cos 75°=sin 60°cos 15°-cos 60°sin 15°=
sin(60°-15°)=sin 45°=.
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7.已知α为锐角,且sin=sin,则tan α=　　　　　.
解析:因为sin=sin,
所以sin α+cos α=sin α-cos α,
即(+1)cos α=(-1)sin α,
所以tan α==2+.
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8.函数f(x)=sin 2x+cos+3的最小值是　　　　.
解析:f(x)=sin 2x+cos+3
=sin 2x+cos 2x-sin 2x+3
=sin 2x+cos 2x+3=sin+3,
∵sin∈[-1,1],
∴f(x)min=2.
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9.(10分)已知α,β均为锐角,sin α=,cos(α+β)=.
(1)求cos的值;
解:∵α为锐角,sin α=,
∴cos α==,
∴cos=cos αcos+sin αsin=×+×=.
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(2)求sin β的值.
解:∵α,β均为锐角,∴α+β∈(0,π),
由cos(α+β)=,
得sin(α+β)==,
∴sin β=sin[(α+β)-α]
=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α
=×-×=.
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10.(10分)已知函数f(x)=asin x+bcos x的图象经过点和.
(1)求实数a和b的值,并判断f(x)的周期性;
解:依题意,有
故f(x)=sin x-cos x=2sin.
∴f(x)的最小正周期为2π.
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(2)当x为何值时,f(x)取得最大值
解:由(1)知f(x)=2sin.
因此,当x-=2kπ+(k∈Z),
即x=2kπ+(k∈Z)时,f(x)取得最大值2.
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B级——重点培优
11.函数f(x)=sin+cos的最小正周期和最大值分别是(　　)
A.3π和 B.3π和2
C.6π和 D.6π和2
解析:因为f(x)=sin +cos =sin,所以最小正周期T==6π.
因为≤1,所以f(x)max=.故选C.
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12.设α∈,β∈,且tan α=,则(　　)
A.3α-β= B.3α+β=
C.2α-β= D.2α+β=
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解析:∵tan α==,
∴sin αcos β=cos α+cos αsin β,
∴sin(α-β)=cos α=sin,
又α-β∈,-α∈.
∴α-β=-α,即2α-β=.
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13.若点P(cos θ,sin θ)与点Q关于y轴对称,写出一个符合题意的θ=　　 　　　.
解析:因为点P(cos θ,sin θ)与点Q关于y轴对称,
所以
由cos=-cos θ,可得cos θcos-sin θsin=-cos θ,则cos θ=sin θ,
所以tan θ=.由sin=sin θ,
(答案不唯一)
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可得sin θcos +cos θsin =sin θ,
则cos θ=sin θ,所以tan θ=.
因此θ=+kπ,k∈Z,取θ=.
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14.(10分)已知锐角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边过点P(3,4).
(1)求sin的值;
解:因为角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P(3,4),
所以sin α=,cos α=,
所以sin=sincos α+cossin α
=×=.
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(2)若锐角β满足cos(α+β)=-,求sin β的值.
解:因为α,β均为锐角,所以α+β∈(0,π),
因为cos(α+β)=-<0,
所以α+β∈,所以sin(α+β)=.
所以sin β=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α=×+×=.
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15.(12分)已知<α<,0<β<,cos=-,sin=.
(1)求sin(α+β)的值;
解:∵<α<,<+α<π,
∴sin==.
∵0<β<,<+β<π,
∴cos=-=-,
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∴sin(α+β)=-sin(π+α+β)
=-sin
=-
=-=.
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(2)求cos(α-β)的值.
解:由(1)可知,sin=,cos=-,
∴sin
=sincos-cossin
=×-×=-.
又sin=sin
=-cos(α-β),从而cos(α-β)=.课时跟踪检测(十五)　两角和与差的正弦
(满分100分,A级选填小题每题5分,B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1.sin 70°cos 25°-sin 20°sin 25°的值为 (　　)
A.-1 B.-
C. D.1
2.已知sin α=,α∈,则sin= (　　)
A. B.-
C. D.-
3.(多选)下列计算正确的是 (　　)
A.sin 15°-cos 15°=
B.sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=
C.sin-cos =-
D.sin 105°=
4.已知函数f=sin ax+cos ax的最小正周期是3,则实数a的值为 (　　)
A. B.
C.- D.±
5.(多选)已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P,将角α的终边逆时针旋转90°得到角β,则下列结论正确的是 (　　)
A.tan α= B.cos β=-
C.sin(α-β)=-1 D.sin=-
6.计算cos 15°-cos 75°=　　　　.
7.已知α为锐角,且sin=sin,则tan α=　　　　　.
8.函数f(x)=sin 2x+cos+3的最小值是　　　　.
9.(10分)已知α,β均为锐角,sin α=,cos(α+β)=.
(1)求cos的值;
(2)求sin β的值.
10.(10分)已知函数f(x)=asin x+bcos x的图象经过点和.
(1)求实数a和b的值,并判断f(x)的周期性;
(2)当x为何值时,f(x)取得最大值
B级——重点培优
11.函数f(x)=sin +cos的最小正周期和最大值分别是 (　　)
A.3π和 B.3π和2
C.6π和 D.6π和2
12.设α∈,β∈,且tan α=,则 (　　)
A.3α-β= B.3α+β=
C.2α-β= D.2α+β=
13.若点P(cos θ,sin θ)与点Q关于y轴对称,写出一个符合题意的θ=　　　　　.
14.(10分)已知锐角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边过点P(3,4).
(1)求sin的值;
(2)若锐角β满足cos(α+β)=-,求sin β的值.
15.(12分)已知<α<,0<β<,cos=-,sin=.
(1)求sin(α+β)的值;
(2)求cos(α-β)的值.
课时跟踪检测(十五)
1．选C　sin 70°cos 25°－sin 20°sin 25°＝sin 70°·cos 25°－cos 70°sin 25°＝sin(70°－25°)＝sin 45°＝.
2．选A　因为sin α＝，α∈，所以cos α＝＝.所以sin＝
sin αcos －cos αsin ＝×－×＝.
3．选BCD　sin 15°－cos 15°＝sin 15°cos 60°－sin 60°cos 15°＝sin(15°－60°)＝sin(－45°)＝－，A错误；sin 20°·cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝，B正确；sin －cos ＝2＝2sin＝2sin＝－，C正确；sin 105°＝sin(60°＋45°)＝sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°＝×＋×＝，D正确．
4．选D　因为f＝sin ax＋cos ax＝2＝2sin，所以最小正周期T＝＝3，解得a＝±.
5．选AC　由题意知sin α＝－，cos α＝－，β＝α＋90°，则tan α＝＝，故A正确；cos β＝cos(α＋90°)＝－sin α＝，故B错误；α－β＝－90°，则sin(α－β)＝sin(－90°)＝－1，故C正确；sin β＝cos α＝－，则sin＝(sin β＋cos β)＝×＝×＝，故D错误．故选AC.
6．解析：cos 15°－cos 75°＝sin 60°cos 15°－cos 60°sin 15°＝sin(60°－15°)＝sin 45°＝.
答案：
7．解析：因为sin＝sin，
所以sin α＋cos α＝sin α－cos α，
即(＋1)cos α＝(－1)sin α，
所以tan α＝＝2＋.
答案：2＋
8．解析：f(x)＝sin 2x＋cos＋3
＝sin 2x＋cos 2x－sin 2x＋3
＝sin 2x＋cos 2x＋3＝sin＋3，∵sin∈[－1,1]，
∴f(x)min＝2.
答案：2
9．解：(1)∵α为锐角，sin α＝，
∴cos α＝＝，
∴cos＝cos αcos ＋sin αsin ＝×＋×＝.
(2)∵α，β均为锐角，∴α＋β∈(0，π)，
由cos(α＋β)＝，
得sin(α＋β)＝＝，
∴sin β＝sin[(α＋β)－α]
＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α
＝×－×＝.
10．解：(1)依题意，
有
故f(x)＝sin x－cos x＝2sin.
∴f(x)的最小正周期为2π.
(2)由(1)知f(x)＝2sin.
因此，当x－＝2kπ＋(k∈Z)，
即x＝2kπ＋(k∈Z)时，f(x)取得最大值2.
11．选C　因为f(x)＝sin ＋cos ＝sin，所以最小正周期T＝＝6π.因为≤1，所以f(x)max＝.故选C.
12．选C　∵tan α＝＝，
∴sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，
∴sin(α－β)＝cos α＝sin，
又α－β∈，－α∈.
∴α－β＝－α，即2α－β＝.
13．解析：因为点P(cos θ，sin θ)与点Q关于y轴对称，
所以
由cos＝－cos θ，可得cos θcos －sin θsin ＝－cos θ，则cos θ＝sin θ，
所以tan θ＝.由sin＝sin θ，
可得sin θcos ＋cos θsin ＝sin θ，
则cos θ＝sin θ，所以tan θ＝.
因此θ＝＋kπ，k∈Z，取θ＝.
答案：(答案不唯一)
14．解：(1)因为角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P(3,4)，
所以sin α＝，cos α＝，
所以sin＝sin cos α＋cos sin α
＝×＝.
(2)因为α，β均为锐角，所以α＋β∈(0，π)，
因为cos(α＋β)＝－＜0，
所以α＋β∈，所以sin(α＋β)＝.
所以sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝×＋×＝.
15．解：(1)∵<α<，<＋α<π，
∴sin＝ ＝.
∵0<β<，<＋β<π，
∴cos＝－＝－，
∴sin(α＋β)＝－sin(π＋α＋β)
＝－sin
＝－
＝－＝.
(2)由(1)可知，sin＝，
cos＝－，
∴sin
＝sincos－cos·sin＝×－×＝－.
又sin＝sin＝－cos(α－β)，从而cos(α－β)＝.

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