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(共32张PPT)
3.2　函数的基本性质
3.2.1　
函数的最大(小)值
第三章　函数的概念与性质
1.了解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.2.能够借助函数图象的直观性得出函数的最值.3.会借助函数的单调性求最值.4.能够利用函数的单调性解决日常生活中的问题.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
章节副标题
01
知识点　函数的最值
1.一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,如果存在实数M满足:
(1) x∈D,都有f(x) M;
(2) x0∈D,使得 .
那么,我们称M是函数y=f(x)的最大值.
≤
f(x0)=M
知识归纳
2.一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,如果存在实数M满足:
(1) x∈D,都有f(x) M;
(2) x0∈D,使得 .
那么,我们称M是函数y=f(x)的最小值.
≥
f(x0)=M
·疑难解惑·
(1)最大(小)值的几何意义:函数图象上最高(低)点的纵坐标.
(2)并不是所有的函数都有最大(小)值,比如y=x,x∈R.
(3)一个函数至多有一个最大(小)值,但取得最大(小)值时的x0可以有多个.
(4)研究函数最值需先研究函数的定义域和单调性.
(5)对于定义域内的任意x都满足f(x)≤M(f(x)≥M),那么M不一定是函数f(x)的最大(小)值,只有同时满足定义域内存在一点x0,使f(x0)=M时,M才是函数的最大(小)值,否则不是.比如f(x)=-x2≤3成立,但3不是f(x)的最大值,0才是它的最大值.
1.已知f(x)是定义在R上的函数,那么“存在实数M,使得对任意x∈R总有f(x)≤M”是“函数f(x)存在最大值”的(　　)
[A]充分不必要条件
[B]必要不充分条件
[C]充要条件
[D]既不充分也不必要条件
B
基础自测
【解析】 只有“存在实数M,使得对任意x∈R总有f(x)≤M”且“存在x0∈R,使得f(x0)=M”,这时f(x)的最大值才是M,所以充分性不满足;当f(x)的最大值是M时,对任意x∈R总有f(x)≤M恒成立,所以必要性满足,故“存在实数M,使得对任意x∈R总有f(x)≤M”是“函数f(x)存在最大值”的必要不充分条件.故选B.
B
3.函数f(x)=x2-2x,x∈[-1,1)的值域是(　　)
[A][-1,3] [B](-1,3]
[C](-1,3) [D][-1,3)
B
【解析】 由f(x)的解析式可知,对称轴方程为x=1,所以函数在[-1,1)上单调递减,又f(-1)=3,f(1)=-1,所以值域为(-1,3].故选B.
[A]-1 [B]0
[C]1 [D]2
A
【解析】 由已知,当x≤1时,f(x)=-x单调递减,f(1)=-1,此时f(x)≥-1,当x>1时,f(x)=x2单调递增,且f(x)>1,所以f(x)min=f(1)=-1.故选A.
关键能力·素养培优
章节副标题
02
题型一　利用图象求函数的最值
·解题策略·
利用图象求函数最值的方法
(1)根据函数解析式在函数定义域内作出函数图象.
(2)根据图象找出最高点和最低点.
(3)图象最高点的纵坐标是函数的最大值,最低点的纵坐标是函数的最小值.
由图可知,函数f(x)的单调递减区间为(-∞,0),单调递增区间为[0,+∞),值域为[-1,+∞).
【解】 函数f(x)的大致图象如下:
(1)判断函数f(x)在区间[-1,+∞)上的单调性,并用定义证明你的结论;
题型二　利用函数的单调性求函数的最值
(2)求f(x)在区间[-1,5]上的最值.
·解题策略·
(1)利用单调性求最值的一般步骤.
①判断函数的单调性;
②利用单调性写出最值.
(2)函数的最值与单调性的关系.
①若函数在闭区间[a,b]上单调递减,则f(x)在[a,b]上的最大值为f(a),最小值为f(b);
②若函数在闭区间[a,b]上单调递增,则f(x)在[a,b]上的最大值为f(b),最小值为f(a);
③求最值时一定要注意所给区间的开闭,若是开区间,则不一定有最大(小)值.
(1)证明:f(x)在(0,+∞)上单调递增;
(2)求f(x)在(1,3]上的值域.
[例3] 已知二次函数f(x)=x2-2(a-1)x+4.
(1)若a=2,求f(x)在[-2,3]上的最值;
【解】 (1)当a=2时,f(x)=x2-2x+4,x∈[-2,3].
因为f(x)图象的对称轴为直线x=1,所以f(x)在[-2,1]上单调递减,在[1,3]上单调递增.又f(-2)=12,f(1)=3,f(3)=7,
所以当x=1时,f(x)取得最小值f(1)=3,当x=-2时,f(x)取得最大值f(-2)=12.
题型三　二次函数的最值
【解】 (2)二次函数f(x)=x2-2(a-1)x+4图象的对称轴为直线x=a-1.
当a-1≤1,即a≤2时,f(x)在[1,2]上单调递增,所以f(x)min=f(1)=1-2(a-1)+4=7-2a;
当1所以f(x)min=f(a-1)=(a-1)2-2(a-1)2+4=-a2+2a+3;
当a-1≥2,即a≥3时,f(x)在[1,2]上单调递减,所以f(x)min=f(2)=22-4(a-1)+4=12-4a.
(2)求函数f(x)在[1,2]上的最小值.
含参数的一元二次函数的最值
以一元二次函数图象开口向上、对称轴方程为x=m为例,x∈[a,b].
当图象开口向下时,可用类似方法进行讨论,其实质是讨论对称轴与区间的位置关系.
·解题策略·
[变式训练] 已知二次函数f(x)=x2-2x+3.
(1)当x∈[-2,3]时,求f(x)的最值;
【解】 f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2.则f(x)的图象开口向上,其对称轴方程为x=1,
(1)f(x)在[-2,1]上单调递减,在(1,3]上单调递增,所以f(x)min=f(1)=2.
又因为f(-2)>f(3),所以f(x)max=f(-2)=11.
(2)当x∈[t,t+1]时,求f(x)的最小值g(t).
【解】 (2)①当t>1时,f(x)在[t,t+1]上单调递增,所以g(t)=f(t)=t2-2t+3;
②当t≤1≤t+1,即0≤t≤1时,g(t)=f(1)=2;
③当t+1<1,即t<0时,f(x)在[t,t+1]上单调递减,所以g(t)=f(t+1)=t2+2.
[例4] 某商场经营一批进价为30元/件的商品,在市场试销中发现,该商品销售单价x(不低于进价,单位:元)与日销售量y(单位:件)之间有如下关系:
x 45 50
y 27 12
(1)确定x与y的一个一次函数关系式 y=f(x)(注明函数定义域);
题型四　函数最值的实际应用
(2)若日销售利润为P元,根据(1)中的关系式写出P关于x的函数关系式,并指出当销售单价为多少元时,才能获得最大的日销售利润.
【解】 (2)由题意得,P=(x-30)y=(x-30)(162-3x)=-3x2+252x-4 860=
-3(x-42)2+432,x∈[30,54].
当x=42时,日销售利润最大,最大值为432元,即当销售单价为42元时,获得最大的日销售利润.
·解题策略·
解应用题的步骤是①审清题意;②建立数学模型,将实际问题转化为数学问题;③总结结论,回归题意.
[变式训练] 某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车,利润L(单位:万元)分别为L1=-x2+21x和L2=2x(其中x为销售量,单位:辆).若该公司在两地共销售15辆,则能获得的最大利润为(　　)
[A]90万元 [B]60万元
[C]120万元 [D]120.25万元
C
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