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3.3　幂函数
第三章　函数的概念与性质
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
章节副标题
02
知识点一　幂函数
一般地,函数 叫做幂函数,其中 是自变量, 是常数.
y=xα
x
α
知识归纳
知识点二　常见幂函数的图象和性质
定义域 R R R
值域 R R
奇偶性 函数 函数 函数 函数
函数
单调性 在(-∞,+∞) 上单调 在(-∞,0]上单调 ,在(0,+∞)上单调 在(-∞,+∞)上单调 在(-∞,0)上单调 ,在(0,+∞)上单调 在[0,+∞)上单调
定点
{x|x≠0}
[0,+∞)
[0,+∞)
{y|y≠0}
[0,+∞)
奇
偶
奇
奇
非奇非偶
递增
递减
递增
递增
递减
递减
递增
(1,1)
一般幂函数的图象和性质
当指数α=1时,y=x的图象是直线;当α=0时,y=x0=1是断直线(不过点(0,1)),除此以外幂函数的图象都是曲线.
『知识拓展』
奇偶性 奇函数 偶函数 非奇非
偶函数
在(0,+∞) 上的 单调性 当α<0时,单调递减;当α>0时,单调递增
1.已知f(x)=(a-1)xa为幂函数,则f(-2)等于(　　)
C
【解析】 因为f(x)是幂函数,所以a-1=1,得a=2,则f(x)=x2,f(-2)=4.故选C.
基础自测
2.以下结论中,正确的为(　　)
[A]当α=0时,函数y=xα的图象是一条直线
[B]幂函数的图象都经过(0,0),(1,1)两点
[C]若幂函数y=xα的图象关于原点对称,则y=xα在定义域内y随x的增大而增大
[D]幂函数的图象不可能在第四象限,但可能在第二象限
D
【解析】 当α=0时,函数y=xα的定义域为{x|x≠0,x∈R},故A不正确;当α<0时,函数y=xα的图象不过点(0,0),故B不正确;幂函数y=x-1的图象关于原点对称,但其在定义域内不是增函数,故C不正确.故选D.
A
3.下图给出4个幂函数的图象,则图象与函数大致对应的是(　　)
4.(人教A版必修第一册P91练习T2改编)比较大小.(用“<”或“>”连接)
<
(2)(-1.2)3　　　　(-1.25)3;
>
【解析】 (2)因为函数y=x3在R上是增函数,且-1.2>-1.25,
所以(-1.2)3>(-1.25)3.
(3)5.25-1　　　　5.26-1.
>
【解析】 (3)因为函数y=x-1在(0,+∞)上单调递减,且5.25<5.26,
所以5.25-1>5.26-1.
关键能力·素养培优
章节副标题
03
[例1] 现有下列函数:①y=x3;②y=4x2;③y=x5+1;④y=(x-1)2;⑤y=x.其中幂函数的个数为(　　)
[A]4 [B]3
[C]2 [D]1
C
【解析】 幂函数的一般表达式为y=xα,逐一对比可知题干中的幂函数有①y=x3,⑤y=x.故选C.
题型一　幂函数的概念
·解题策略·
幂函数解析式的特征
(1)xα的系数是1.
(2)xα的底数是自变量,指数α为常数.
(3)项数只有一项.
[变式训练] 已知函数f(x)=(m2-4m+5)xm+2m-n(m∈R)为幂函数,则n-m等于
(　　)
[A]-1 [B]1
[C]-2 [D]2
D
【解析】 由幂函数的定义得m2-4m+5=1,且2m-n=0,解得m=2,n=4,
故n-m=2.故选D.
B
题型二　幂函数的图象
·解题策略·
(1)幂函数的图象一定出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限内,图象最多只能同时出现在两个象限内,至于是否在第二或第三象限内出现要看幂函数的奇偶性.
(2)幂函数y=xα的图象分布与幂指数α的关系具有如下规律:在直线x=1的右侧,按逆时针方向,图象所对应的幂指数依次增大(如图).
(3)根据图象研究函数解析式时,应结合函数在第一象限的单调性确定y=xα中 α的符号,根据图象的对称性确定α是奇数还是偶数.
[变式训练] 若幂函数y=xm与y=xn在第一象限内的图象如图所示,则(　　)
[A]-1[B]n<-1,0[C]-11
[D]n<-1,m>1
B
【解析】 由图象知,y=xm在(0,+∞)上单调递增,所以m>0,y=xm的图象增长得越来越慢,所以m<1,y=xn在(0,+∞)上单调递减,所以n<0,又当x>1时,y=xn的图象在y=x-1图象的下方,所以n<-1.故选B.
[例3] (苏教版必修第一册P140例2)试比较下列各组数的大小:
(1)1.13,0.893;
【解】 (1)因为函数y=x3在区间[0,+∞)上单调递增,又1.1>0.89,
所以1.13>0.893.
题型三　利用幂函数单调性比较大小
利用幂函数单调性比较大小的三种基本方法
·解题策略·
[A]a>b>c>d [B]c>a>b>d
[C]a>c>b>d [D]c>a>d>b
B
(1)求f(x)的解析式;
题型四　幂函数性质的综合运用
(2)若f(3-a)>f(2a-1),求实数a的取值范围.
·解题策略·
(1)解答幂函数的综合问题时,应注意以下两点:
①充分利用幂函数的图象、性质,如图象所过定点、单调性、奇偶性等;
②注意运用常见的思想方法,如分类讨论、数形结合思想.
(2)解不等式时,一般不要代入求解,应该用单调性转化为不等式求解,另外要注意函数的定义域对变量的限制.
(1)求m和k的值;
(2)求满足(2a+1)-m<(3-2a)-m的实数a的取值范围.
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