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人教2019A版必修 第一册
1.1.1空间向量及其线性运算
空间向量与立体几何
书山有路勤为径，学海无涯苦作舟！
一
二
三
教学目标
经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的相关概念
经历由平面向量的线性运算与法则推广到空间向量的过程，掌握空间向量的线性运算
掌握空间向量的线性运算与简单运用
教学目标
书山有路勤为径，学海无涯苦作舟！
重难点、易错点
重点
掌握空间向量的线性运算
难点
掌握空间向量的线性运算与简单运用
易错点
空间向量的线性运算
书山有路勤为径，学海无涯苦作舟！
新课导入
在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向、大小各异的力，例如绳索的拉力、风力、重力等。显然，这些力不在同一个平面内。联想用平面向量解决物理问题的方法，能否把平面向量推广到空间向量，从而利用空间向量研究滑翔运动呢
下面我们类比平面向量研究空间向量，先从空间向量的概念和表示开始。
类比
书山有路勤为径，学海无涯苦作舟！
问题1 平面向量是什么？我们是如何表示平面向量的？
平面向量 空间向量
定义 平面中既有大小又有方向的量
表示 1.或者是 2.坐标表示
起点
终点
？
书山有路勤为径，学海无涯苦作舟！
概念生成
平面向量 空间向量
定义 平面中既有大小又有方向的量 空间中既有大小又有方向的量
表示 1.或者是 2.坐标表示
追问 空间向量的概念是什么？
书山有路勤为径，学海无涯苦作舟！
概念生成
问题2 你能回忆起平面向量中相关概念吗？
平面向量 空间向量
零向量
单位向量
相等向量
相反向量
共线向量 方向相同或相反的向量叫做共线向量，（平行向量），记 零向量与任意向量共线
长度为0的向量，记作:
模为1的向量.
模相等，方向相同的向量。记：
模相等，方向相反的向量。记：
空间向量中这些概念适用吗？

概念的本质是一样的
书山有路勤为径，学海无涯苦作舟！
探究二：我们学面向量相关的概念后，学面向量的线性运算，我们能否类比平面向量的线性运算得出空间向量的线性运算？
我们一起回忆一下平面向量的线性运算，类比的得出空间向量线性运算
书山有路勤为径，学海无涯苦作舟！
合作探究
问题4 请大家以小组形式进行讨论
1.回忆出平面向量的加减法运算及其运算法则，还有平面向量的运算律有哪些？
2.空间向量的加减法及其法则，运算与平面向量是否一致？
问题3 平面向量的线性运算有哪些？我们当时是如何探究这些运算？
加法，减法，数乘
定义
法则
运算律
比一比，看哪个小组列出又快又准！
书山有路勤为径，学海无涯苦作舟！
概念生成
平面向量 空间向量
加减法 定义：求两个平面向量的和与差的运算. 法则：三角形法则和平行四边形法则
A
B
C
O
书山有路勤为径，学海无涯苦作舟！
概念生成
平面向量 空间向量
数乘运算
书山有路勤为径，学海无涯苦作舟！
概念生成
平面向量 空间向量
运算法则
交换律：
结合律
分配律





由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，任意两个空间向量的运算就可以转化为平面向量的运算.
书山有路勤为径，学海无涯苦作舟！

问题4 请大家思考下，下面的结合律是该如何解释？
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
体对角线
书山有路勤为径，学海无涯苦作舟！
探究三 平面向量的线性运算可以解决平面中许多问题，那空间向量的线性运算能解决空间中哪些问题？
问题5 平面向量解决哪些问题？
平行，垂直，模长，角
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问题6 平面中两个共线向量的充要条件是什么？
直线的方向向量
空间向量同样适用
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概念生成
1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.
O
A
向量可以进行平移
平行即共面
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问题7 平面向量基本定理是什么？
平面向量基本定理：如果两个向量不共线,则向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y)使.
向量可以进行平移
平面向量基本定理也可以是共面向量定理
书山有路勤为径，学海无涯苦作舟！
概念生成
注意：
（1）向量可以进行平移的
（2）空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面的了。
(3)判断三个向量是否共面
向量共面的充要条件:如果两个向量不共线,则向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y)使.
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
书山有路勤为径，学海无涯苦作舟！
问题8 A,B,P三点共线的充要条件是什么？
问题9 P与A,B,C四点共面的充要条件是什么？
请同学们课后将推导过程详细描述，加分哟！~
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概念生成
书山有路勤为径，学海无涯苦作舟！
例1 如图,已知平行四边形ABCD,从平面AC外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，使
求证：E，F，G，H四点共面
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证明:
·
选择恰当的向量表示问题中的几何元素，通过向量运算得出几何元素的关系,是用向量解决立体几何问题的常用方法.
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向量的加法运算！
书山有路勤为径，学海无涯苦作舟！
加法
减法
对角线
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向量三角形法则
书山有路勤为径，学海无涯苦作舟！
（1）三角形法则与平行四边形法则熟练运用
（2）相等向量等量代换
（3）换同基底
书山有路勤为径，学海无涯苦作舟！
小结
1.空间向量的定义及表示方法
2.空间向量的线性运算与运算律
3.空间向量的简单运用
书山有路勤为径，学海无涯苦作舟！
很幸运,在最美好的年纪遇见最美好的你们!

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