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4.3.1　对数的概念
4.3　对　数
第四章　指数函数与对数函数
1.了解对数、常用对数、自然对数的概念.2.会进行对数式与指数式的互化.
3.会求简单的对数值.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
章节副标题
01
知识点一　对数的定义
一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作 ,其中a叫做对数的 ,N叫做 .
x=logaN
底数
真数
知识归纳
·疑难解惑·
(1)对数是由指数转化而来,故底数a、指数或对数x、幂或真数N的取值范围不变,只是位置和名称发生了变化.
(2)logaN的读法:以a为底N的对数.
1.以10为底的对数叫做常用对数,并把log10N记为 .
2.以无理数e=2.718 28…为底的对数称为自然对数,并把logeN记为 .
lg N
ln N
知识点二　两类特殊对数
1.loga1= (a>0,且a≠1).
2.logaa= (a>0,且a≠1).
3.负数和0没有对数.
0
1
N
x
知识点三　对数的性质
B
基础自测
2.下列说法正确的是(　　)
[A]因为12=1,所以log11=2
[B]因为32=9,所以log39=2
[C]因为(-3)2=9,所以log(-3)9=2
[D]因为32=9,所以log92=3
B
【解析】 当ab=N(a>0,且a≠1)时,b=logaN,选项A的底数为1,错误;选项C的底数为负数,错误;“32=9”的底数为3,所以化为对数后底数也应为3,所以B正确,D错误.故选B.
B
3.有以下四个结论,其中正确的是(　　)
[A]lg (lg 10)=1
[B]lg (ln e)=0
[C]若e=ln x,则x=e2
[D]ln (lg 1)=0
【解析】 因为lg 10=ln e=1,lg 1=0,故A错误,B正确;若e=ln x,则x=ee,故C错误;lg 1=0,而ln 0 没有意义,故D错误.故选B.
3
关键能力·素养培优
章节副标题
02
B
题型一　对数的概念
·解题策略·
C
[例2] 将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式:
(1)23=8;
【解】 (1)因为23=8,所以log28=3.
(2)105=100 000;
【解】 (2)因为105=100 000,所以lg 100 000=5.
题型二　对数式与指数式的互化
(3)ex=7;
【解】 (3)因为ex=7,所以ln 7=x.
(4)log232=5;
【解】 (4)因为log232=5,所以25=32.
(6)logxb=2(x>0,且x≠1).
【解】 (6)因为logxb=2,所以x2=b(x>0,且x≠1).
·解题策略·
指数式与对数式互化的思路
(1)指数式化为对数式:将指数式的幂作为真数,指数作为对数,底数不变,写出对数式.
(2)对数式化为指数式:将对数式的真数作为幂,对数作为指数,底数不变,写出指数式.
指数式与对数式相互转化的过程中,底数是相同的.
(3)e3=e3;
【解】 (3)ln e3=3.
(4)lg 1 000=3;
【解】 (4)103=1 000.
(5)ln a=b;
【解】 (5)eb=a.
(6)logxy=z(x>0,且x≠1;y>0).
【解】 (6)xz=y(x>0,且x≠1;y>0).
(2)logx16=-4(x>0,且x≠1);
题型三　利用对数的定义计算
(4)-ln e-3=x.
【解】(4)由题意,ln e-3=-x,即e-3=e-x,解得x=3.
·解题策略·
求对数式logaN(a>0,且a≠1;N>0)的值的步骤:
(1)设logaN=m.
(2)将logaN=m写成指数式am=N.
(3)将N写成以a为底的指数幂N=ab,则m=b,即logaN=b.
[变式训练] 求下列各式中x的值:
(1)-lg x=2;
(2)log0.61;
【解】(2)log0.61=log0.60.60=0.
题型四　对数的相关性质
[典例迁移1] 求下列各式中x的值:
(1)log8[log7(log2x)]=0;
【解】 (1)因为log8[log7(log2x)]=0,
所以log7(log2x)=1,所以log2x=7,解得x=27=128.
(2)log2[log3(log2x)]=1;
【解】(2)因为log2[log3(log2x)]=1,所以log3(log2x)=2,所以log2x=9,解得x=29=512.
[典例迁移2] 已知实数a,b,c满足logn(b2-a)=0(n>0,且n≠1),lg (a-c)=1,22b+c=16,求实数a,b,c的值.
·解题策略·
利用对数的性质求值的方法
(1)求解此类问题时,应根据对数的两个结论loga1=0和logaa=1(a>0,且a≠1),进行变形求解.若已知对数值求真数,则可将其化为指数式运算.
(2)已知多重对数式的值,求变量值,应从外到内求,逐步脱去“log ”后再
求解.
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