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4.1　指　数
第四章　指数函数与对数函数
1.理解n次方根及根式的概念,掌握根式的性质,能利用根式的性质对根式进行运算.2.理解分数指数幂的含义,掌握根式和分数指数幂的互化.3.掌握实数指数幂的运算性质,并能对代数式进行化简或求值.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
章节副标题
01
知识点一　根式的相关概念和性质
1.a的n次方根的定义
一般地,如果 ,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N*.
xn=a
知识归纳
[0,+∞)
2.a的n次方根的表示
a
4.根式的性质
根据n次方根的定义,根式具有如下性质:
a
|a|
3.根式的定义
(1)负数没有偶次方根.
·疑难解惑·
3.0的正分数指数幂等于 ,0的负分数指数幂 .
0
没有意义
知识点二　分数指数幂
(2)正数的负分数指数幂总表示正数,而不是负数.
(3)整数指数幂的运算性质可以推广到有理数指数幂,即有以下运算性质:
①aras=ar+s(a>0,r,s∈Q);②(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q);③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).
·疑难解惑·
『知识拓展』
知识点三　无理数指数幂
1.无理数指数幂:一般地,无理数指数幂aα(a>0,α为无理数)是一个确定的
.
2.实数指数幂的运算性质:
(1)aras=ar+s(a>0,r,s∈R).
(2)(ar)s=ars(a>0,r,s∈R).
(3)(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈R).
实数
『知识拓展』
[A][0,+∞) [B][1,+∞)
[C][2,+∞) [D]R
B
基础自测
B
2.(人教A版必修第一册P107练习T1改编)下列各等式中成立的是(　　)
[A]1 [B]-1
[C]3-2a [D]2a-3
C
B
关键能力·素养培优
章节副标题
02
题型一　n次方根
·解题策略·
[变式训练] 计算下列各式:
[例2] (湘教版必修第一册P97例5)用分数指数幂的形式表示下列根式的化简结果(式中字母都是正数):
题型二　根式与分数指数幂互化
·解题策略·
根式与分数指数幂互化的规律
(2)如果根式中含有多重根号,要依次用分数指数幂写出.
[变式训练] 用分数指数幂表示下列各式(式中字母均为正数):
[例3] 计算下列各式的值:
题型三　实数指数幂的运算
·解题策略·
关于指数式的化简、求值问题
(1)无论是化简还是求值,一般的运算顺序是先乘方,再乘除,最后加减.
(2)若式子中含有根式,一般把底数中的根式化为指数式,指数中的根式可以保留直接运算.
[例4] 已知x+x-1=3,求下列各式的值:
题型四　实数指数幂的综合运用
(3)x2-x-2.
(2)x2+x-2;
利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题时,常常运用完全平方公式及其变形公式.
整体代换法是数学变形与计算中常用的技巧方法,分析观察条件与结论的结构特点,灵活运用恒等式是关键.
·解题策略·
A
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