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(共45张PPT)
专项突破3 动态平衡 平衡中的临界
极值问题
考点一 动态平衡问题
考点二 平衡中的临界与极值问题
考点一 动态平衡问题
1.动态平衡问题的特征：通过控制某些物理量，使物体的状态发生缓慢
的变化，物体在这一变化过程中始终处于一系列的平衡状态中。
2.动态平衡问题基本思路是化“动”为“静”，“静”中求“动”。
3.三力平衡、合力与分力关系：、、 共点平衡，三力的合力为零，
则、的合力与等大反向，、、构成矢量三角形，即
为、的合力，也可以将、、 直接构成封闭三角形。
4.平衡中临界问题常见的种类：
（1）由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。
（2）绳子恰好绷紧，拉力 。
（3）刚好离开接触面，支持力 。
5.平衡中的极值问题：一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。
角度1 解析法与图解法
例1 (2022·浙江1月选考)如图所示，学校门口水平地面上有一质量为
的石墩，石墩与水平地面间的动摩擦因数为 ，工作人员用轻绳按图示
方式匀速移动石墩时，两平行轻绳与水平面间的夹角均为 ，重力加速
度大小为 ，则下列说法正确的是( )
B
A.轻绳的合拉力大小为
B.轻绳的合拉力大小为
C.减小夹角 ，轻绳的合拉力一定减小
D.轻绳的合拉力最小时，地面对石墩的摩擦力也最小
[解析] 对石墩进行受力分析，由平衡条件可知，， ，
，联立解得 ，A项错误，B项正确;合拉
力的大小，其中 ，可知当
时，拉力有最小值，即减小夹角 ，轻绳的合拉力不一定
减小，C项错误;摩擦力大小 ，可知增
大夹角 ，摩擦力一直减小，当 趋近于 时，摩擦力最小，故轻绳
的合拉力最小时，地面对石墩的摩擦力不是最小，D项错误。
归纳总结
例2 如图所示，一粗糙的固定斜杆与水平
方向成 角，一定质量的滑环 静止悬挂在
杆上某位置。现用一根轻质细绳 一端与
滑环相连，另一端与小球 相连，且轻绳
与斜杆垂直。另一轻质细绳 沿水平方
C
A.轻绳上的拉力先减小后增大 B.轻绳 上的拉力先增大后减小
C.斜杆对的支持力一直在减小 D.斜杆对 的摩擦力一直在减小
向拉小球，使小球保持静止。将水平细绳的 端沿圆弧缓慢移动
到竖直位置， 的位置始终不变，则在此过程中( )
[解析] 由题意知，小球 处于平衡状态，对小球受力分析如图甲所示，
轻绳 由水平方向缓慢变到竖直方向，由矢量三角形的动态分析可以
看出，轻绳上的拉力先减小后增大，轻绳 上的拉力一直在减小，
A、B两项错误。滑环处于静止状态，对 进行受力分析如图乙所示，
由于绳对的拉力一直在减小，故斜杆对 的支持力也一直在减小;
斜杆对的摩擦力一直等于 ，保持不变，C项正确，D项错误。
甲
乙
归纳总结
角度2 相似三角形法
适用情境 物体受三个力平衡:一个力大小和方向恒定、另外两个力的 方向同时变化,但物体（质点）的运动轨迹为某段圆弧,可作 “力的矢量三角形”与空间的某“几何三角形”总相似 受力分析 _________________________________________ ________________________________________________ ___________________________________________
力的矢量 三角形和 边的三角 形相似 __________________________________________ _______________________________________________ ____________________________________
比例关系
续表
例3 如图所示，质量为 的小球套在竖直固定的光滑圆环上，在圆环的
最高点有一个光滑小孔，一根轻绳的下端系着小球，上端穿过小孔用力
拉住，开始时绳与竖直方向的夹角为 ，小球处于静止状态，现缓慢
拉动轻绳，使小球沿光滑圆环上升一小段距离，重力加速度大小为 ，
则下列说法正确的是( )
D
A.绳与竖直方向的夹角为 时，
B.小球沿光滑圆环上升过程中，轻绳拉力逐渐增大
C.小球沿光滑圆环上升过程中，小球所受支持力逐渐增大
D.小球沿光滑圆环上升过程中，小球所受支持力大小不变
[解析] 绳与竖直方向的夹角为 时，小球受到竖直
向下的重力、圆环对小球沿半径向外的支持力
以及沿绳方向的拉力 ，画出力的示意图如图所示，
由平衡条件得 ，A项错误;小球沿光滑
圆环上升过程中，由三角形相似法有 ，
得不变，由于变短，所以 变小，D项正
确，B、C两项错误。
角度3 圆辅助分析法
适 用 情 境
方 法 等弦圆周角不变（注意直径的位 置） 作出三力矢量三角形,以大小
不变的力和大小、方向都不变
的力的交点为圆心，以大小不
变的力为半径作辅助圆，对变
化过程进行综合分析
续表
图 示 ______________________________________ __________________________________________
续表
例4 (2022·河北高考)如图，用两根等长的细绳将一匀质圆柱体悬挂在竖
直木板的点，将木板以底边 为轴向后方缓慢转动直至水平，绳与
木板之间的夹角保持不变，忽略圆柱体与木板之间的摩擦，在转动过程
中( )
B
A.圆柱体对木板的压力逐渐增大
B.圆柱体对木板的压力先增大后减小
C.两根细绳上的拉力均先增大后减小
D.两根细绳对圆柱体拉力的合力保持不变
[解析] 解法1（解析法）
圆柱体受到竖直向下的重力 ，设两绳
对圆柱体拉力的合力大小为 ，与木板
的夹角为 （不变），木板对圆柱体的
支持力大小为 。当木板转动角度
时，平移三个力组成矢量三角形（图甲），有
，即
。在角 由 增
大到 的过程中，可知 一直减小，两绳上的拉力一直减小，C、D
两项错误。在 时最大，故 先增大后减小，A项错误，
B项正确。
解法2（辅助圆法）
由于大小和方向不变，与 的夹角不变，用辅助圆的一竖直弦长
表示 的大小作出动态矢量图（图乙）可知：在木板由竖直转至水平
的过程中，一直减小，两绳上的拉力一直减小，C、D两项错误; 先
增大后减小，A项错误，B项正确。
强化 学科思维
两类杆与结
1.两类结模型
模型 模型示例与解读
“死结”模型 ____________________________________________________________
“死结”指不可以沿绳子移动的结点。
模型 模型示例与解读
“活结”模型 _________________________________________________________
“活结”指可以沿绳子移动的结点。“活结”一般是由绳
跨过滑轮或者绳上挂一光滑挂钩而形成的。
续表
角度1 “死”结问题
例5 （多选）如图所示，两根轻绳一端系于结点 ，另一
端分别系于固定圆环上的、两点，为圆心。 点下面
悬挂一物体，绳水平，拉力大小为，绳与绳
BC
A.逐渐增大 B. 先增大后减小
C.逐渐减小 D. 先减小后增大
的夹角 ，且绳的拉力大小为 。将两绳同时缓慢顺时针转
过 ，并保持两绳之间的夹角 始终不变，物体始终保持静止状态。
则在旋转过程中，下列说法正确的是( )
[解析] 如图所示，以结点 为研究对象进行受力分析。由正弦定理得
，其中 不变，则比值不变， 由钝角变为锐
角， 先变大后变小，则先增大后减小， 由 变为钝角，则
变小， 逐渐减小，B、C两项正确，A、D两项错误。
角度2 “活”结问题
例6 《天工开物》记录的测量拉弓所需力量的方法如
图所示。弦系在弓上、 两点，并挂在光滑秤钩上，
弓的下端系上重物。秤杆水平平衡时，挂秤砣处的刻
度值为，秤钩两侧弦的夹角为 ，已知重力加速度
大小为。则弦对 点的拉力大小为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 秤杆水平平衡时，挂秤砣处的刻度值为 ，此时秤钩对弦的拉力
大小为，设弦上受力为 ，秤钩相当于一个“活结点”，有
，则 ，B项正确。
2.两类杆模型
模型 模型示例与解读
“动杆”模型 ___________________________________________________________________________________________
模型 模型示例与解读
“定杆”模型 _____________________________________________________________________________________
续表
例7 （多选）图1中，轻杆 一端与墙上的光滑的铰链连接，另一端用
绳子系住，绳、杆之间夹角为 ，在点下方悬挂质量为 的重物。
图2中，轻杆 一端插入墙内，另一端装有小滑轮，现用绳子绕过滑轮
挂住质量为的重物，绳、杆之间夹角也为 。图1、图2中杆都垂直
于墙，则下列说法正确的是( )
A.两根杆中弹力方向均沿杆向右
B.图1中倾斜段绳子的拉力比图2中倾斜段
绳子的拉力小
C.图1中的杆的弹力大小为 ，图2中的
杆的弹力大小为
D.若图1、图2中绳子能承受的最大拉力相
同，则物体质量增加时，图1中绳子更容易
断裂
√
√
[解析] 题图1中的杆为“动杆”，弹力方向沿杆方向，题图2中的杆为“定
杆”，弹力方向不沿杆方向，而是沿两根绳合力的反方向，A项错误;对
点进行受力分析，点受竖直段绳子的拉力（等于）、轻杆对 点的弹
力和倾斜段绳子的拉力。两种情形的受力情况如图甲、乙所示。
甲图中倾斜段绳子的拉力 ，乙图中倾斜段绳子的拉
力 ，则甲图中倾斜段绳子拉力大，若甲、乙中绳子能承受的
最大拉力相同，则物体质量增加时，甲中倾斜段绳子更容易断裂，B项
错误，D项正确;甲图中杆的弹力 ，乙图中杆的弹
力 ，C项正确。
考点二 平衡中的临界与极值问题
解决临界与极值问题的三种方法
极限法 正确进行受力分析和变化过程分析，找到平衡的临界点和极值
点；临界条件必须在变化中寻找，不能在一个状态上研究临界
问题，要把某个物理量推向极大或极小
数学分 析法 通过对问题的分析，根据平衡条件列出物理量之间的函数关系
（画出函数图像），用数学方法求极值（如求二次函数极值、
公式极值、三角函数极值）
物理分 析法 根据平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利
用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值和最小值
例8 如图所示，一个倾角为 、底面粗糙、
斜面光滑的斜面体放在粗糙的水平面上，斜面
体的质量为 。轻绳的一端固定在天花板上，
另一端系住质量为 的小球，整个系统处于静
止状态，轻绳与竖直方向的夹角也为 。若
滑动摩擦力等于最大静摩擦力，则斜面体与水
平面间的动摩擦因数至少为( )
C
A. B. C. D.
[解析] 对小球进行受力分析，沿斜面方向由平衡条件得
，解得 ，对小球和斜面构
成的整体进行受力分析，由平衡条件得，水平方向满足 ，
竖直方向满足，当 时，斜面体与水平面间的
动摩擦因数最小，解得 ，C项正确。
例9 (2024·山东高考)如图所示，国产人形机器
人“天工”能平稳通过斜坡。若它可以在倾角不
大于 的斜坡上稳定地站立和行走，且最大
静摩擦力等于滑动摩擦力，则它的脚和斜面间
的动摩擦因数不能小于( )
B
A. B. C. D.
[解析] 根据题意可知机器人“天工”可以在倾角不大于 的斜坡上稳定
地站立和行走，对“天工”分析有 ，可得
，B项正确。
练创新试题 知命题导向
1. 起重机用三根长度均为 的轻绳，匀
速吊起质量为、边长为 的正三角形工件，如图所
示。重力加速度为 ，绳子中的张力为( )
D
A. B. C. D.
[解析] 作出四面体的高，如图。根据几何关系有 ，因此
。设绳子中的张力大小为 ，根据平衡条件，有
，解得 ，D项正确。
2. （多选）如图，质量为的小球 在水平向左的外力作用下，
与质量为的四分之一光滑圆弧形滑块 （底面粗糙）一起向左做匀速
直线运动，此时小球球心跟圆弧圆心连线与竖直方向的夹角为 ，重力
加速度为 。则以下说法正确的是( )
BC
A.对的支持力大小为
B.水平地面对的摩擦力大小为
C.水平地面与之间的动摩擦因数为
D.增大夹角 ，地面对 的支持力减小
[解析] 对 进行受力分析，如图，根据平衡条件，
可知对的支持力，A项错误;对 进行受
力分析，有 ，对、 整体进行受力分
析，可知水平地面对 的摩擦力大小
，B项正确;水平地面与 之间的
动摩擦因数 ，在竖直方向，根据平衡条件，
地面对的支持力大小等于、 的重力之和，即
，可得 ，C项正确，D项
错误。
3. 一质量为 的小球，用弹簧悬挂起来，最初弹簧处于竖直
方向。现向右侧缓慢地拉动小球，把小球拉到如图所示的位置，此时弹
簧和竖直方向成 角，弹簧始终在弹性限度内。重力加速度为 ，下列
说法正确的是( )
C
A.若拉力一直沿水平方向，则弹簧的长度先增大再减小
B.若拉力一直沿水平方向，则拉力一直减小
C.若拉力和弹簧弹力总垂直，则弹簧的长度一直减小
D.当小球被拉到图示位置时，最小拉力为
[解析] 如图甲所示，小球受重力、弹簧弹力和
水平向右的拉力作用，根据平衡条件，这三个
力构成一个三角形。图中三角形的斜边长代表
了弹簧的弹力，水平的直角边长代表了水平拉
力的大小，由图知当三角形的顶角增大时，斜
边和水平直角边长都增大，即弹簧的弹力和水平拉力都一直增大，因此
弹簧的伸长量一直增加，弹簧的长度一直增加，A、B两项错误。如图
乙所示，当拉力和弹力总垂直时，三角形的右顶点在半圆上移动，则当
小球上升时，弹力一直减小，弹簧的长度一直减小，C项正确。拉力和
弹力垂直时，拉力最小，如图乙所示，大小为 ，D项错误。
4. 将重物从高层楼房的窗外运到地面时，为安全起见，要求下降
过程中重物与楼墙保持一定的距离。如图，一种简单的操作方法是一人
在高处控制一端系在重物上的绳子 ，另一人在地面控制另一根一端系
在重物上的绳子，二人配合可使重物缓慢竖直下降。 绳与竖直方向
的夹角为 ，绳与竖直方向的夹角为 ，初始时 ，重物下降过
程中， 不断减小， 不断增大，则( )
D
A.绳拉力一定增大， 绳拉力可能增大
B.绳拉力可能增大， 绳拉力一定减小
C.绳拉力可能减小， 绳拉力一定增大
D.绳拉力一定减小， 绳拉力一定减小
[解析] 重物下降的过程中受力平衡，设此时、 绳中
拉力的大小分别为和 ，根据力的三角形与正弦定
理有， ，可得
，，由于 不断减
小， 不断增大，所以 减小， 增大，
减小，可知、 都一定减小，D项正确。专项突破3　动态平衡　平衡中的临界极值问题
考点一　动态平衡问题
1.动态平衡问题的特征：通过控制某些物理量，使物体的状态发生缓慢的变化，物体在这一变化过程中始终处于一系列的平衡状态中。
2.动态平衡问题基本思路是化“动”为“静”，“静”中求“动”。
3.三力平衡、合力与分力关系：F1、F2、F3共点平衡，三力的合力为零，则F1、F2的合力F3'与F3等大反向，F1、F2、F3'构成矢量三角形，即F3'为F1、F2的合力，也可以将F1、F2、F3直接构成封闭三角形。
4.平衡中临界问题常见的种类：
(1)由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。
(2)绳子恰好绷紧，拉力F=0。
(3)刚好离开接触面，支持力FN=0。
5.平衡中的极值问题：一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。
角度1　解析法与图解法
(2022·浙江1月选考)如图所示，学校门口水平地面上有一质量为m的石墩，石墩与水平地面间的动摩擦因数为μ，工作人员用轻绳按图示方式匀速移动石墩时，两平行轻绳与水平面间的夹角均为θ，重力加速度大小为g，则下列说法正确的是 (　　)
A.轻绳的合拉力大小为
B.轻绳的合拉力大小为
C.减小夹角θ，轻绳的合拉力一定减小
D.轻绳的合拉力最小时，地面对石墩的摩擦力也最小
归纳总结
如图所示，一粗糙的固定斜杆与水平方向成θ角，一定质量的滑环A静止悬挂在杆上某位置。现用一根轻质细绳AB一端与滑环A相连，另一端与小球B相连，且轻绳AB与斜杆垂直。另一轻质细绳BC沿水平方向拉小球B，使小球B保持静止。将水平细绳BC的C端沿圆弧缓慢移动到竖直位置，B的位置始终不变，则在此过程中 (　　)
A.轻绳AB上的拉力先减小后增大
B.轻绳BC上的拉力先增大后减小
C.斜杆对A的支持力一直在减小
D.斜杆对A的摩擦力一直在减小
归纳总结
角度2　相似三角形法
适用情境 物体受三个力平衡：一个力大小和方向恒定、另外两个力的方向同时变化，但物体(质点)的运动轨迹为某段圆弧，可作“力的矢量三角形”与空间的某“几何三角形”总相似
受力分析
力的矢量三角形和边的三角形相似
比例关系 == == ==
如图所示，质量为m的小球套在竖直固定的光滑圆环上，在圆环的最高点有一个光滑小孔，一根轻绳的下端系着小球，上端穿过小孔用力F拉住，开始时绳与竖直方向的夹角为θ，小球处于静止状态，现缓慢拉动轻绳，使小球沿光滑圆环上升一小段距离，重力加速度大小为g，则下列说法正确的是 (　　)
A.绳与竖直方向的夹角为θ时，F=mgcos θ
B.小球沿光滑圆环上升过程中，轻绳拉力逐渐增大
C.小球沿光滑圆环上升过程中，小球所受支持力逐渐增大
D.小球沿光滑圆环上升过程中，小球所受支持力大小不变
角度3　圆辅助分析法
适用 情境 物体在三个力的作用下平衡，其中一个力(F1)大小、方向都恒定(通常是重力，有多个恒力时可以先合成为一个恒力)，另外两个力(F2、F3)方向都变化，但其夹角不变 物体所受的三个力中，一个力F1大小、方向不变，另一个力F2大小不变的三力动态平衡问题
方法 等弦圆周角不变(注意直径的位置) 作出三力矢量三角形，以大小不变的力和大小、方向都不变的力的交点为圆心，以大小不变的力为半径作辅助圆，对变化过程进行综合分析
图示
(2022·河北高考)如图，用两根等长的细绳将一匀质圆柱体悬挂在竖直木板的P点，将木板以底边MN为轴向后方缓慢转动直至水平，绳与木板之间的夹角保持不变，忽略圆柱体与木板之间的摩擦，在转动过程中 (　　)
A.圆柱体对木板的压力逐渐增大
B.圆柱体对木板的压力先增大后减小
C.两根细绳上的拉力均先增大后减小
D.两根细绳对圆柱体拉力的合力保持不变
【强化·学科思维】
两类杆与结
1.两类结模型
模型 模型示例与解读
“死结” 模型 “死结”指不可以沿绳子移动的结点。
“活结” 模型 “活结”指可以沿绳子移动的结点。“活结”一般是由绳跨过滑轮或者绳上挂一光滑挂钩而形成的。
角度1　“死”结问题
(多选)如图所示，两根轻绳一端系于结点O，另一端分别系于固定圆环上的A、B两点，O为圆心。O点下面悬挂一物体M，绳OA水平，拉力大小为F1，绳OB与绳OA的夹角α=120°，且绳OB的拉力大小为F2。将两绳同时缓慢顺时针转过75°，并保持两绳之间的夹角α始终不变，物体始终保持静止状态。则在旋转过程中，下列说法正确的是 (　　)
A.F1逐渐增大　　　 B.F1先增大后减小
C.F2逐渐减小 D.F2先减小后增大
角度2　“活”结问题
《天工开物》记录的测量拉弓所需力量的方法如图所示。弦系在弓上a、b两点，并挂在光滑秤钩上，弓的下端系上重物。秤杆水平平衡时，挂秤砣处的刻度值为M，秤钩两侧弦的夹角为2θ，已知重力加速度大小为g。则弦对a点的拉力大小为(　　)
A.Mg B. C. D.
2.两类杆模型
模型 模型示例与解读
“动杆” 模型
“定杆” 模型
(多选)图1中，轻杆AB一端与墙上的光滑的铰链连接，另一端用绳子系住，绳、杆之间夹角为30°，在B点下方悬挂质量为m的重物。图2中，轻杆CD一端插入墙内，另一端装有小滑轮，现用绳子绕过滑轮挂住质量为m的重物，绳、杆之间夹角也为30°。图1、图2中杆都垂直于墙，则下列说法正确的是 (　　)
A.两根杆中弹力方向均沿杆向右
B.图1中倾斜段绳子的拉力比图2中倾斜段绳子的拉力小
C.图1中的杆的弹力大小为mg，图2中的杆的弹力大小为mg
D.若图1、图2中绳子能承受的最大拉力相同，则物体质量增加时，图1中绳子更容易断裂
考点二　平衡中的临界与极值问题
解决临界与极值问题的三种方法
极限法 正确进行受力分析和变化过程分析，找到平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中寻找，不能在一个状态上研究临界问题，要把某个物理量推向极大或极小
数学分析法 通过对问题的分析，根据平衡条件列出物理量之间的函数关系(画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)
物理分析法 根据平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值和最小值
如图所示，一个倾角为30°、底面粗糙、斜面光滑的斜面体放在粗糙的水平面上，斜面体的质量为2m。轻绳的一端固定在天花板上，另一端系住质量为m的小球，整个系统处于静止状态，轻绳与竖直方向的夹角也为30°。若滑动摩擦力等于最大静摩擦力，则斜面体与水平面间的动摩擦因数至少为 (　　)
A.
B.
C.
D.
(2024·山东高考)如图所示，国产人形机器人“天工”能平稳通过斜坡。若它可以在倾角不大于30°的斜坡上稳定地站立和行走，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则它的脚和斜面间的动摩擦因数不能小于 (　　)
A. B. C. D.
练创新试题·知命题导向
1.起重机用三根长度均为a的轻绳，匀速吊起质量为m、边长为a的正三角形工件，如图所示。重力加速度为g，绳子中的张力为 (　　)
A.mg B.mg
C.mg D.mg
2.(多选)如图，质量为m的小球A在水平向左的外力作用下，与质量为M的四分之一光滑圆弧形滑块B(底面粗糙)一起向左做匀速直线运动，此时小球球心跟圆弧圆心连线与竖直方向的夹角为θ，重力加速度为g。则以下说法正确的是 (　　)
A.B对A的支持力大小为mgcos θ
B.水平地面对B的摩擦力大小为mgtan θ
C.水平地面与B之间的动摩擦因数为
D.增大夹角θ，地面对B的支持力减小
3.一质量为m的小球，用弹簧悬挂起来，最初弹簧处于竖直方向。现向右侧缓慢地拉动小球，把小球拉到如图所示的位置，此时弹簧和竖直方向成α 角，弹簧始终在弹性限度内。重力加速度为g，下列说法正确的是 (　　)
A.若拉力一直沿水平方向，则弹簧的长度先增大再减小
B.若拉力一直沿水平方向，则拉力一直减小
C.若拉力和弹簧弹力总垂直，则弹簧的长度一直减小
D.当小球被拉到图示位置时，最小拉力为mgtan α
4.将重物从高层楼房的窗外运到地面时，为安全起见，要求下降过程中重物与楼墙保持一定的距离。如图，一种简单的操作方法是一人在高处控制一端系在重物上的绳子P，另一人在地面控制另一根一端系在重物上的绳子Q，二人配合可使重物缓慢竖直下降。P绳与竖直方向的夹角为α，Q绳与竖直方向的夹角为β，初始时β>α，重物下降过程中，α不断减小，β不断增大，则 (　　)
A.P绳拉力一定增大，Q绳拉力可能增大
B.P绳拉力可能增大，Q绳拉力一定减小
C.P绳拉力可能减小，Q绳拉力一定增大
D.P绳拉力一定减小，Q绳拉力一定减小
参考答案
例1　B　解析　对石墩进行受力分析，由平衡条件可知，Tcos θ=f，f=μN，Tsin θ+N=mg，联立解得T=，A项错误，B项正确；合拉力的大小T==，其中tan φ=，可知当θ+φ=90°时，拉力有最小值，即减小夹角θ，轻绳的合拉力不一定减小，C项错误；摩擦力大小f=Tcos θ==，可知增大夹角θ，摩擦力一直减小，当θ趋近于90°时，摩擦力最小，故轻绳的合拉力最小时，地面对石墩的摩擦力不是最小，D项错误。
例2　C　解析　由题意知，小球B处于平衡状态，对小球受力分析如图甲所示，轻绳BC由水平方向缓慢变到竖直方向，由矢量三角形的动态分析可以看出，轻绳BC上的拉力先减小后增大，轻绳AB上的拉力一直在减小，A、B两项错误。滑环A处于静止状态，对A进行受力分析如图乙所示，由于AB绳对A的拉力T一直在减小，故斜杆对A的支持力也一直在减小；斜杆对A的摩擦力一直等于mAgsin θ，保持不变，C项正确，D项错误。
甲 乙
例3　D　解析　绳与竖直方向的夹角为θ时，小球受到竖直向下的重力mg、圆环对小球沿半径向外的支持力FN以及沿绳方向的拉力F，画出力的示意图如图所示，由平衡条件得F=2mgcos θ，A项错误；小球沿光滑圆环上升过程中，由三角形相似法有==，得FN=mg不变，由于L变短，所以F变小，D项正确，B、C两项错误。
例4　B　解析　解法1(解析法)
圆柱体受到竖直向下的重力mg，设两绳对圆柱体拉力的合力大小为FT，与木板的夹角为α(不变)，木板对圆柱体的支持力大小为FN。当木板转动角度θ(0°<θ≤90°)时，平移三个力组成矢量三角形(图甲)，有==，即==。在角θ由0°增大到90°的过程中，可知FT一直减小，两绳上的拉力一直减小，C、D两项错误。在α+θ=90°时FN最大，故FN先增大后减小，A项错误，B项正确。
解法2(辅助圆法)
由于mg大小和方向不变，FT与FN的夹角不变，用辅助圆的一竖直弦长表示mg的大小作出动态矢量图(图乙)可知：在木板由竖直转至水平的过程中，FT一直减小，两绳上的拉力一直减小，C、D两项错误；FN先增大后减小，A项错误，B项正确。
例5　BC　解析　如图所示，以结点O为研究对象进行受力分析。由正弦定理得==，其中α=120°不变，则比值不变，γ由钝角变为锐角，sin γ先变大后变小，则F1先增大后减小，β由90°变为钝角，则sin β变小，F2逐渐减小，B、C两项正确，A、D两项错误。
例6　B　解析　秤杆水平平衡时，挂秤砣处的刻度值为M，此时秤钩对弦的拉力大小为Mg，设弦上受力为FT，秤钩相当于一个“活结点”，有2FTcos θ=Mg，则FT=，B项正确。
例7　CD　解析　题图1中的杆为“动杆”，弹力方向沿杆方向，题图2中的杆为“定杆”，弹力方向不沿杆方向，而是沿两根绳合力的反方向，A项错误；对B点进行受力分析，B点受竖直段绳子的拉力(等于G)、轻杆对B点的弹力和倾斜段绳子的拉力。两种情形的受力情况如图甲、乙所示。
甲图中倾斜段绳子的拉力FT1==2mg，乙图中倾斜段绳子的拉力FT1'=mg，则甲图中倾斜段绳子拉力大，若甲、乙中绳子能承受的最大拉力相同，则物体质量增加时，甲中倾斜段绳子更容易断裂，B项错误，D项正确；甲图中杆的弹力FN1==mg，乙图中杆的弹力FN2=mg，C项正确。
例8　C　解析　对小球进行受力分析，沿斜面方向由平衡条件得mgsin 30°=Tcos 30°，解得T=mgtan 30°=mg，对小球和斜面构成的整体进行受力分析，由平衡条件得，水平方向满足Tsin 30°=f，竖直方向满足N+Tcos 30°=3mg，当f=μN时，斜面体与水平面间的动摩擦因数最小，解得μ=，C项正确。
例9　B　解析　根据题意可知机器人“天工”可以在倾角不大于30°的斜坡上稳定地站立和行走，对“天工”分析有mgsin 30°≤μmgcos 30°，可得μ≥tan 30°=，B项正确。
练创新试题
1.D　解析　作出四面体的高OD，如图。根据几何关系有OD=a，因此cos∠COD=。设绳子中的张力大小为T，根据平衡条件，有3Tcos∠COD=mg，解得T=mg，D项正确。
2.BC　解析　对A进行受力分析，如图，根据平衡条件，可知B对A的支持力N=，A项错误；对A进行受力分析，有F=mgtan θ，对A、B整体进行受力分析，可知水平地面对B的摩擦力大小f=F=mgtan θ，B项正确；水平地面与B之间的动摩擦因数μ=，在竖直方向，根据平衡条件，地面对B的支持力大小等于A、B的重力之和，即FN=(M+m)g，可得μ=，C项正确，D项错误。
3.C　解析　如图甲所示，小球受重力、弹簧弹力和水平向右的拉力作用，根据平衡条件，这三个力构成一个三角形。图中三角形的斜边长代表了弹簧的弹力，水平的直角边长代表了水平拉力的大小，由图知当三角形的顶角增大时，斜边和水平直角边长都增大，即弹簧的弹力和水平拉力都一直增大，因此弹簧的伸长量一直增加，弹簧的长度一直增加，A、B两项错误。如图乙所示，当拉力和弹力总垂直时，三角形的右顶点在半圆上移动，则当小球上升时，弹力一直减小，弹簧的长度一直减小，C项正确。拉力和弹力垂直时，拉力最小，如图乙所示，大小为mgsin α，D项错误。
4.D　解析　重物下降的过程中受力平衡，设此时P、Q绳中拉力的大小分别为T1和T2，根据力的三角形与正弦定理有，==，可得T2=mg，T1=mg，由于α不断减小，β不断增大，所以sin α减小，sin(β-α)增大，减小，可知T1、T2都一定减小，D项正确。

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