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(共56张PPT)
第3讲 机械能守恒定律及其应用
考点一 机械能守恒定律的理解与判断
考点二 机械能守恒定律的应用
考点一 机械能守恒定律的理解与判断
理清 知识结构
知识梳理 构建体系
1.机械能
①______、②__________和③__________统称为机械能。
动能
重力势能
弹性势能
2.机械能守恒定律
（1）内容：在只有④________________的物体系统内，动能与势能可
以互相转化，而总的机械能保持不变。
重力或弹力做功
（2）各种形式的表达式
项目 表达式 物理意义 备注
守恒 角度 系统前后的机械能 相等 要选好重力势能的零势能面，
且初、末状态必须选同一零势
能面计算重力势能
系统的机械能没有 变化 项目 表达式 物理意义 备注
转化 角度 系统动能的增加量 （或减少量）等于 势能的减少量 （或增加量） 关键在于分清重力势能的增加
量和减少量，可不选零势能面
而直接计算初、末状态的势能
差
转移 角度 的机械能增加量 （或减少量）等于 的机械能的减少量 （或增加量） 解决两个或多个物体组成的系
统的机械能守恒问题，从转移
的角度列式比较方便
续表
考教衔接 以图说法
1.一辆汽车在水平路面上做匀速直线运动，发动机牵引力做正功，阻力
做负功，因汽车匀速运动，故汽车的动能未变，重力势能未变，则机械
能保持不变。从能量守恒的观念出发，你认为汽车的这种行为，严格意
义上讲机械能守恒吗？
[答案] 可以说汽车的机械能保持不变，但不能说汽车的机械能守恒。这
是因为动能与摩擦发热产生的内能存在能量形式的转化，严格意义上机
械能并不守恒。可见，物理学中物理量的“不变”与“守恒”还是有区别的。
“不变”仅仅是一种定量的数学结果，而“守恒”既包含数量上的相等关系，
又隐藏物理学的深层次意义。
2.如图所示，一个小球在真空中做自由
落体运动，另一个同样的小球在黏性较
大的液体中由静止开始下落。它们都由
高度为的地方下落到高度为 的地方。
在这两种情况下，重力做的功相等吗？
重力势能的变化相等吗？动能的变化相
等吗？重力势能分别转化成什么形式的能？
[答案] 两种情况重力做的功相等，重力势能的变化相等，但动能的变化
不相等，在真空中自由下落时动能的变化更大。在真空中自由下落时，
重力势能转化为小球的动能，且动能和重力势能之和保持不变;在黏性
液体中，重力势能一部分转化为小球的动能，一部分克服液体对它的阻
力做功，转化为小球和黏性液体的内能。
突破 考点题型
例1 （多选）关于机械能守恒的判断，下列说法正确的是( )
A.图1中，物体将弹簧压缩的过程中， 与弹簧组成的系统机械能守恒
B.图2中，光滑斜面置于光滑水平面上，物体沿斜面下滑，物体 的
机械能守恒
C.图3中，不计任何摩擦，忽略绳子及滑轮质量，且绳不可伸长，、
组成的系统机械能守恒
D.图4中，小球在竖直平面内做单摆运动时，忽略一切能量损耗，小球
的机械能守恒
√
√
√
[解析] 图1中，物体将弹簧压缩的过程中，重力和弹簧弹力做功， 与
弹簧组成的系统机械能守恒，A项正确;图2中，光滑斜面 置于光滑水平
面上，物体沿下滑，将向右运动，的动能增加，物体 的机械能减
少，B项错误;图3中，理想情形下，绳子对做负功，对 做正功，但总功
为零，、组成的系统只有重力做功，所以、 组成的系统机械能守恒，
C项正确;图4中，小球在竖直平面内做单摆运动时，忽略一切能量损耗，
小球的动能与重力势能之和不变，小球的机械能守恒，D项正确。
例2 （多选）如图所示，将一个内外侧均光滑
的弧形槽置于光滑的水平面上，槽的左侧有一
固定的竖直墙壁（不与槽粘连）。现让一小球
自左端槽口点的正上方由静止开始下落，从
BC
A.小球在弧形槽内运动的全过程中，只有重力对它做功
B.小球从 点向弧形槽的最低点运动的过程中，小球的机械能守恒
C.小球从 点经最低点向右侧最高点运动的过程中，小球与弧形槽组成
的系统机械能守恒
D.小球从下落到从右侧离开弧形槽的过程中，小球的机械能守恒
点与弧形槽相切进入槽内，则下列说法正确的是( )
[解析] 小球从弧形槽的最低点运动到弧形槽右侧最高点的过程中，小球
对弧形槽的力使弧形槽向右运动，弧形槽对小球的支持力对小球做负功，
小球的机械能不守恒，A、D两项错误;小球从 点向弧形槽最低点运动
的过程中，弧形槽静止，且只有重力做功，小球的机械能守恒，B项正
确;小球从 点经最低点向右侧最高点运动的过程中，小球与弧形槽组成
的系统只有重力做功，机械能守恒，C项正确。
核心归纳
关于机械能守恒的判断，要注意两个要点：一是研究对象
（单一物体或系统）；二是研究过程（存在局部守恒而全过程不守恒的
问题）。
例3 （多选）如图1所示，将轻质弹簧的一端固定在水平桌面上
的点，当弹簧处于自由状态时，弹簧另一端在 点。用一个金属小球
挤压弹簧至 点（如图2所示），由静止释放小球，随即小球被弹簧竖直
弹出，已知点为 的中点，则( )
ACD
A.从到 过程中，小球的机械能一直在增加
B.从到 过程中，小球的动能一直在增大
C.从到 过程中，小球和弹簧组成的系统机械能守恒
D.从到过程小球机械能的增加量大于从到 过程小
球机械能的增加量
[解析] 从到 的过程中，小球和弹簧组成的系统只有重力和弹簧弹力
做功，系统机械能守恒，弹簧的压缩量一直减小，故弹簧的弹性势能一
直减小，小球的机械能一直在增加,A项正确;从到 的过程中，开始阶
段弹簧的弹力大于小球的重力，小球向上做加速运动，弹簧的压缩量减
小，弹力减小，合力减小，故小球向上做加速度减小的加速运动，当弹
簧的弹力减小到与重力相等时，速度达到最大，此后弹簧的弹力小于小
球的重力，小球向上做减速运动，故小球的动能先增大后减小，B项错
误;从到 的过程中，小球和弹簧组成的系统只有重力和弹簧弹力做功，
系统机械能守恒，C项正确;系统机械能守恒，从到 过程弹簧弹性势
能的减少量大于从到过程弹簧弹性势能的减少量，所以从到 过程
小球机械能的增加量大于从到 过程小球机械能的增加量，D项正确。
归纳总结
关于机械能增减的判断,要注意两个角度：一是能量转化的角度;二
是做功的角度。
考点二 机械能守恒定律的应用
运用机械能守恒定律分析问题的思维流程
角度1 机械能守恒定律的简单应用
例4 (2024·全国高考甲卷)如图，一光滑大圆环固定
在竖直平面内，质量为 的小环套在大圆环上，小
环从静止开始由大圆环顶端经 点自由下滑至其底
部， 为竖直线与大圆环的切点。则小环下滑过程
中对大圆环的作用力大小( )
C
A.在点最大 B.在 点最小 C.先减小后增大 D.先增大后减小
[解析] 设大圆环半径为，小环在大圆环上某处
点 与圆环的作用力恰好为零，如图所示，设图
中夹角为 ，小环从大圆环顶端滑到 点过程中，
根据机械能守恒定律有 ，
在点，根据牛顿第二定律有 ，联
立解得，从大圆环顶端滑到 点过程中，小环速度较小，小环
重力沿着指向大圆环圆心方向的分力大于小环所需的向心力，所以大圆
环对小环的弹力背离圆心，不断减小;从 点滑到最低点过程，小环速度
变大，小环重力和大圆环对小环的弹力的合力提供向心力，所以大圆环
对小环的弹力逐渐变大;根据牛顿第三定律可知小环下滑过程中对大圆
环的作用力大小先减小后增大，C项正确。
归纳总结
机械能守恒定律与动能定理的比较
名称 机械能守恒定律 动能定理
表达式 、 、
应用范 围 只有重力或弹力做功 无条件限制
物理意 义 其他力（除重力和弹力）所做 的功是机械能变化的量度 合力对物体做的功是动能变
化的量度
名称 机械能守恒定律 动能定理
关注角 度 守恒的条件和始末状态机械能 的形式及大小 动能的变化及改变动能的方
式（合力做功）
相同点 只需考虑初、末状态，不用考虑中间过程 结论 能用机械能守恒定律解决的问题一般都能用动能定理解决； 能用动能定理解决的问题不一定都能用机械能守恒定律解 决；动能定理比机械能守恒定律应用更广泛，更普遍 续表
角度2 非质点类（流体、软绳或链条等）的机械能守恒问题
解决非质点类（流体、软绳或链条等）的机械能守恒问题的三个技巧
（1）流体、软绳或链条等连续介质构成的物体（简称“连续体”）一般
不可视为质点，若只有重力做功，则“连续体”整体的机械能守恒。
（2）在确定“连续体”重力势能的增量时，往往采用等效法（重心的变
化）处理。
（3）注意“连续体”各部分是否都在运动，运动的速率是否相同，若相
同，则“连续体”的动能才可表示为 。
例5 （多选）横截面积为的 形圆筒竖直放在水平面上，筒内装水，底
部阀门关闭时两侧水面高度分别为和 ，如图所示。已知水的密度
为 ，重力加速度大小为 ，不计水与筒壁间的摩擦阻力。现把连接两
筒的阀门 打开，最后两筒水面高度相等，则该过程中( )
ACD
A.水柱的重力做正功
B.大气压力对水柱做负功
C.水柱的机械能守恒
D.当两筒水面高度相等时，水柱的动能是
[解析] 从把连接两筒的阀门打开到两筒水面高度相等的过程中，大气压
力对左筒水柱做正功，对右筒水柱做负功，总功为零，B项错误。水柱
的机械能守恒，重力做的功等于重力势能的减少量，等于水柱增加的动
能，等效于把左筒高的水柱移至右筒，重心下降 ，重力所做
的功 ，A、C、D三项正确。
例6 如图所示，有一条长度为 的质量均匀分布的柔
软链条，开始时静止放在光滑梯形平台上，斜面上
的链条长为。已知重力加速度为， ，
。请用、、、 表示斜面上链条长
[答案] 由链条、地球组成的系统，除重力外，其他力不做功，系统机械
能守恒。设链条总质量为，则单位长度的链条质量为 。系统重力
势能的减少量等于系统动能的增加量
为时链条的速度大小（链条尚有一部分在平台上，且 ）。
如图所示，平台上链条长度减小 ，斜面
上链条增加 。由于其他部分链条的质心
未变，因此系统重力势能的减少量等效于
长度为 的链条由平台迁移至斜面上所减
少的重力势能。建立方程时以质心
长度之中点运动来处理，即 ，式中
，
解得 。
强化 学科思维
多物体组成的系统机械能守恒问题
角度1 速率相同
常见 情境 ___________________________________________________________________________________________________
三点 提醒 1.绳不可伸长，两物体（或小球）速率相等。
2.物体（或小球）位移与高度变化的关系。
3.单体机械能不守恒；外力中只有重力做功，系统机械能守恒
例7 如图所示，可视为质点的小球、 用不可伸长的细软轻线连接，
跨过固定在地面上、半径为的光滑圆柱，的质量为 质量的两倍。当
位于地面时，恰与圆柱轴心等高。将由静止释放， 上升的最大高
度是( )
C
A. B. C. D.
[解析] 当下落至地面时， 恰好上升到与圆柱轴心等高的位置，对两
球构成的系统，由机械能守恒定律有 。
接下来，做竖直上抛运动，上升的高度，联立解得。则
上升的最大高度 ，C项正确。
角度2 角速度相等
常见 情境 ___________________________________________________________________________________________________
三大 特点 1.角速度相等，由知，与 成正比。
2.杆的弹力对物体做功，单个物体的机械能不守恒。
3.对于杆和球组成的系统，外力中只有重力做功，系统机械能守
恒
例8 如图所示，半径为 ，质量不计的圆盘盘面与地面
垂直，圆心处有一个垂直盘面的光滑水平固定轴 ，在
盘的最右边缘处固定一个质量为的小球，在 点的
正下方离点处固定一个质量也为的小球 。放开盘
让其自由转动。求：
（1） 球转到最低点时的线速度大小。
[答案] 对系统，由机械能守恒定律有
两球角速度相同，则
解得 。
（2）在转动过程中半径 向左偏离竖直方向的最大角度。
[答案] 设半径向左偏离竖直方向的最大角度为 ，对系统，由机械
能守恒定律，有
即
解得， 。
角度3 速率不相同
常见 情境 ___________________________________________________________________________________________________
三大 特点 1.绳不可伸长，沿绳（或连接轻杆）方向的速率相等。
2.绳（或连接轻杆）的弹力对物体做功，单个物体的机械能不守
恒。
3.对于、 组成的系统，外力中只有重力做功，系统机械能守恒
例9 （多选）如图所示，轻绳通过固定的轻质小
滑轮，一端与套在竖直杆上的小物块 连接，另一端与
小球连接，初始时轻绳段长度为 且与水平方向
夹角为 。现将物块由静止释放，在 下降过程中小
球始终没有与相撞。已知物块与小球 的质量均为
，重力加速度取，忽略一切摩擦，则 由静止释放到细绳
段与水平方向夹角再次为 的过程中 ( )
A.物块减少的重力势能等于小球 增加的机械能
B.物块减少的重力势能大于小球 增加的机械能
C.轻绳对物块所做的功为
D.小球的动能增加
√
√
[解析] 由静止释放到细绳段与水平方向夹角再次为 的过程中，
段绳子的长度不变，即 的高度不变，重力势能不变，即全过程最终
是的重力势能转化为、的动能，A项错误，B项正确。设 的末速度
为，又因为、沿绳方向的分速度大小相等，则 的末速度
;根据、 组成的系统机械能守恒，有
，解得 ，
。设轻绳对物块所做的功为，对 ，根据动能定理有
，解得。小球 增加的动能
，C项正确，D项错误。
角度4 含弹簧系统的机械能守恒问题
题型 特点 由轻弹簧连接的物体系统，一般既有重力做功又有弹簧弹力做
功，这时系统内物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能之间相
互转化，系统机械能守恒
两点 提醒 1.若弹簧的劲度系数为 ，约定原长时势能为零，则弹簧的形变量
为时，弹性势能 。
2.物体运动的位移与弹簧的形变量或形变量的变化量有关
例10 如图所示，在竖直方向上、 物
体通过劲度系数为的轻质弹簧相连，
放在水平地面上，、 两物体通过轻质
细线绕过光滑轻质定滑轮相连， 放在
固定的光滑斜面上，斜面倾角为 。
用手拿住，使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证 段的细线竖直，
段的细线与斜面平行，已知的质量为，的质量为， 的质量
远大于，重力加速度为，开始时整个系统处于静止状态，释放 后它
沿斜面下滑，斜面足够长。求：
（1）当 物体的速度最大时，弹簧的伸长量。
[答案] 通过受力分析可知，当的速度最大时，其加速度为0，由、
连接方式可知，、速度大小相等，此时 的加速度也为0，则细线上
的拉力大小
此时弹簧处于伸长状态，设弹簧的伸长量为 ，由平衡条件，有
，则 。
（2） 物体的最大速度。
[答案] 设开始时弹簧压缩的长度为，由平衡条件，有 ，得
因的质量远大于，所以一直保持静止状态。物体 上升的距离以及
物体沿斜面下滑的距离均为
由于 ，弹簧处于压缩状态和伸长状态时的弹性势能相等，弹簧
弹力做的功为零，设物体的最大速度为 ，对系统由机械能守恒定
律，有
解得 。
练创新试题 知命题导向
1. （多选）如图1所示，
原长 的轻质弹簧的下
端固定在倾角为 的固定光滑斜
面的底部，在弹簧的上端处从静
AD
A.弹簧的劲度系数为 B.弹簧的劲度系数为
C.小球的最大动能为 D.弹簧的最大弹性势能为
止开始释放质量为的小球，小球的加速度大小与弹簧长度 间的关
系如图2所示。重力加速度取 ，则( )
[解析] 当时，由牛顿第二定律可得 ，
整理可得，结合图像，有 ，
，解得， ，A项正确，B项错误。
由图2可知小球在时，，小球的速度最大;在
时，。根据，由 图像中图线
与坐标轴所围面积有 ，小球的最
大动能。联立解得 ，C项错误。
当小球动能再次为0时，根据对称性，可知位于 处，运动至最
低点，弹簧具有最大弹性势能，对系统，根据机械能守恒定律，可知
，D项正确。
2. 如图所示，中心带孔、质量为 的小球套在固定
的光滑竖直圆轨道上。初始时，小球静止在轨道的最高点。
轻轻扰动小球，小球开始沿轨道运动。已知重力加速度大
小为 ，则下列说法正确的是( )
C
A.小球从最高点下降到最低点的过程中，始终处于失重状态
B.小球沿轨道运动的过程中，它的速率与它下降的高度成正比
C.小球沿轨道运动的过程中，轨道对小球的弹力大小为 的位置共
有4个
D.小球沿轨道运动的过程中，在最低点与最高点受到的轨道弹力大小的
差值为
[解析] 小球在下降过程中，加速度先是有竖直向下的
分量，然后有竖直向上的分量，不是始终处于失重状
态，A项错误;小球沿圆轨道运动的过程中，机械能守
恒，有， 为小球下降的高度，据此可知，
小球沿轨道运动的过程中，它的速率与它下降的高度
不成正比，B项错误;如图甲所示，从小球经过最高点开始计时，设经过
一段时间小球绕圆轨道的圆心转过的角度为 ，圆轨道的半径为 ，则
根据机械能守恒定律有 ，根据牛顿第二定律
有 ，联立可得
，画出 图像，如图乙所示，
由图可知，小球沿轨道运动的过程中，轨道对小球的弹力大小为
的位置共有4个，且在最低点与最高点受到轨道弹力大小的差值为 ，
C项正确，D项错误。
3. （多选）如图所示，光滑的斜面和竖直平面内的圆弧轨道
平滑连接，圆弧轨道的半径为， 为圆弧轨道的最高点。可看成质点
的小球从距地面高 处自由滑下，小球在圆弧轨道上运动时脱离轨道掉
了下来，则 的取值可能为( )
BC
A. B. C. D.
[解析] 如图，若小球恰好能够上升到 点，由
机械能守恒定律知，小球从斜面上下滑的高
度恰为，当下滑的高度小于 时，小球不会
脱落轨道;当小球恰能上升到 点时，由牛顿
第二定律有，设下落高度为 ，由
机械能守恒有，解得 ，则当下滑高度
在 范围内时，小球会脱离轨道，B、C两项符合题意。
4. （多选）在光滑的水平面上，质量
的物块在恒力 作用下运动，物块的一段
轨迹如图所示。已知物块经过、 两点时的速率
AC
A.恒力的大小为
B.物块从点运动到 点过程中机械能守恒
C.物块从点运动到点的过程中恒力做的功为
D.物块从点运动到点的过程中机械能减小了
均为，且物块在点的速度方向与连线的夹角 。
已知、两点间距离为，点是轨迹上距 最远的点（图中未画
出）。关于物块的运动，下列说法正确的是 ( )
[解析] 物块在恒力作用下运动，且在、 两点时的速率相等，故将物
块的运动（类竖直上抛运动）沿着方向和垂直 方向进行分解，物
块在方向上做匀速直线运动，在垂直 方向上做匀变速直线运动，
所以力垂直向下，在点处速度最小，只剩下沿着 方向的速度，
故有，垂直 方向上的速度
，已知、两点间距离为，则物块从 点
运动到点所用的时间，物块从点运动到 点所用的时
间为，故加速度，可得 ,A项正确;
物块经过、 两点时的速率相等，但过程中恒力先做负功再做正功，
故物块机械能先减小后增加，减少量与增加量相等，B、D两项错误;
到在垂直于方向上的距离 ，故恒力做的功
，C项正确。第3讲　机械能守恒定律及其应用
考点一　机械能守恒定律的理解与判断
【理清·知识结构】
【知识梳理】
1.机械能
①　　　　、②　　　　和③　　　　统称为机械能。
2.机械能守恒定律
(1)内容：在只有④　　　　　　　　　的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变。
(2)各种形式的表达式
项目 表达式 物理意义 备注
守恒 角度 E1=E2 系统前后的机械能相等 要选好重力势能的零势能面，且初、末状态必须选同一零势能面计算重力势能
ΔE=E2-E1=0 系统的机械能没有变化
转化 角度 ΔEk=-ΔEp 系统动能的增加量(或减少量)等于势能的减少量(或增加量) 关键在于分清重力势能的增加量和减少量，可不选零势能面而直接计算初、末状态的势能差
转移 角度 ΔEA=-ΔEB A的机械能增加量(或减少量)等于B的机械能的减少量(或增加量) 解决两个或多个物体组成的系统的机械能守恒问题，从转移的角度列式比较方便
【考教衔接】
1.一辆汽车在水平路面上做匀速直线运动，发动机牵引力做正功，阻力做负功，因汽车匀速运动，故汽车的动能未变，重力势能未变，则机械能保持不变。从能量守恒的观念出发，你认为汽车的这种行为，严格意义上讲机械能守恒吗
2.如图所示，一个小球在真空中做自由落体运动，另一个同样的小球在黏性较大的液体中由静止开始下落。它们都由高度为h1的地方下落到高度为h2的地方。在这两种情况下，重力做的功相等吗 重力势能的变化相等吗 动能的变化相等吗 重力势能分别转化成什么形式的能
【突破·考点题型】
(多选)关于机械能守恒的判断，下列说法正确的是 (　　)
A.图1中，物体A将弹簧压缩的过程中，A与弹簧组成的系统机械能守恒
B.图2中，光滑斜面A置于光滑水平面上，物体B沿斜面A下滑，物体B的机械能守恒
C.图3中，不计任何摩擦，忽略绳子及滑轮质量，且绳不可伸长，A、B组成的系统机械能守恒
D.图4中，小球在竖直平面内做单摆运动时，忽略一切能量损耗，小球的机械能守恒
(多选)如图所示，将一个内外侧均光滑的弧形槽置于光滑的水平面上，槽的左侧有一固定的竖直墙壁(不与槽粘连)。现让一小球自左端槽口A点的正上方由静止开始下落，从A点与弧形槽相切进入槽内，则下列说法正确的是 (　　)
A.小球在弧形槽内运动的全过程中，只有重力对它做功
B.小球从A点向弧形槽的最低点运动的过程中，小球的机械能守恒
C.小球从A点经最低点向右侧最高点运动的过程中，小球与弧形槽组成的系统机械能守恒
D.小球从下落到从右侧离开弧形槽的过程中，小球的机械能守恒
核心归纳 　　关于机械能守恒的判断，要注意两个要点：一是研究对象(单一物体或系统)；二是研究过程(存在局部守恒而全过程不守恒的问题)。
(多选)如图1所示，将轻质弹簧的一端固定在水平桌面上的O点，当弹簧处于自由状态时，弹簧另一端在A点。用一个金属小球挤压弹簧至B点(如图2所示)，由静止释放小球，随即小球被弹簧竖直弹出，已知C点为AB的中点，则 (　　)
A.从B到A过程中，小球的机械能一直在增加
B.从B到A过程中，小球的动能一直在增大
C.从B到C过程中，小球和弹簧组成的系统机械能守恒
D.从B到C过程小球机械能的增加量大于从C到A过程小球机械能的增加量
归纳总结 　　关于机械能增减的判断，要注意两个角度：一是能量转化的角度；二是做功的角度。
考点二　机械能守恒定律的应用
运用机械能守恒定律分析问题的思维流程
角度1　机械能守恒定律的简单应用
(2024·全国高考甲卷)如图，一光滑大圆环固定在竖直平面内，质量为m的小环套在大圆环上，小环从静止开始由大圆环顶端经Q点自由下滑至其底部，Q为竖直线与大圆环的切点。则小环下滑过程中对大圆环的作用力大小 (　　)
A.在Q点最大 B.在Q点最小
C.先减小后增大 D.先增大后减小
归纳总结 机械能守恒定律与动能定理的比较 名称机械能守恒定律动能定理表达式E1=E2、ΔEk=-ΔEp、ΔEA=-ΔEBW=ΔEk应用范围只有重力或弹力做功无条件限制物理意义其他力(除重力和弹力)所做的功是机械能变化的量度合力对物体做的功是动能变化的量度关注角度守恒的条件和始末状态机械能的形式及大小动能的变化及改变动能的方式(合力做功)相同点只需考虑初、末状态，不用考虑中间过程结论能用机械能守恒定律解决的问题一般都能用动能定理解决；能用动能定理解决的问题不一定都能用机械能守恒定律解决；动能定理比机械能守恒定律应用更广泛，更普遍
角度2　非质点类(流体、软绳或链条等)的机械能守恒问题
解决非质点类(流体、软绳或链条等)的机械能守恒问题的三个技巧
(1)流体、软绳或链条等连续介质构成的物体(简称“连续体”)一般不可视为质点，若只有重力做功，则“连续体”整体的机械能守恒。
(2)在确定“连续体”重力势能的增量时，往往采用等效法(重心的变化)处理。
(3)注意“连续体”各部分是否都在运动，运动的速率是否相同，若相同，则“连续体”的动能才可表示为mv2。
(多选)横截面积为S的U形圆筒竖直放在水平面上，筒内装水，底部阀门K关闭时两侧水面高度分别为h1和h2，如图所示。已知水的密度为ρ，重力加速度大小为g，不计水与筒壁间的摩擦阻力。现把连接两筒的阀门K打开，最后两筒水面高度相等，则该过程中 (　　)
A.水柱的重力做正功
B.大气压力对水柱做负功
C.水柱的机械能守恒
D.当两筒水面高度相等时，水柱的动能是ρgS(h1-h2)2
如图所示，有一条长度为l的质量均匀分布的柔软链条，开始时静止放在光滑梯形平台上，斜面上的链条长为x0。已知重力加速度为g，lx0)。
【强化·学科思维】
多物体组成的系统机械能守恒问题
角度1　速率相同
常见 情境
三点 提醒 1.绳不可伸长，两物体(或小球)速率相等。 2.物体(或小球)位移与高度变化的关系。 3.单体机械能不守恒；外力中只有重力做功，系统机械能守恒
如图所示，可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上、半径为R的光滑圆柱，A的质量为B质量的两倍。当B位于地面时，A恰与圆柱轴心等高。将A由静止释放，B上升的最大高度是 (　　)
A.2R　　　B.　　　C.　　　D.
角度2　角速度相等
常见情境
三大特点 1.角速度相等，由v=ωr知，v与r成正比。 2.杆的弹力对物体做功，单个物体的机械能不守恒。 3.对于杆和球组成的系统，外力中只有重力做功，系统机械能守恒
如图所示，半径为r，质量不计的圆盘盘面与地面垂直，圆心处有一个垂直盘面的光滑水平固定轴O，在盘的最右边缘处固定一个质量为m的小球A，在O点的正下方离O点处固定一个质量也为m的小球B。放开盘让其自由转动。求：
(1)A球转到最低点时的线速度大小。
(2)在转动过程中半径OA向左偏离竖直方向的最大角度。
角度3　速率不相同
常见 情境
三大 特点 1.绳不可伸长，沿绳(或连接轻杆)方向的速率相等。 2.绳(或连接轻杆)的弹力对物体做功，单个物体的机械能不守恒。 3.对于A、B组成的系统，外力中只有重力做功，系统机械能守恒
(多选)如图所示，轻绳通过固定的轻质小滑轮P，一端与套在竖直杆上的小物块A连接，另一端与小球B连接，初始时轻绳AP段长度为0.4 m且与水平方向夹角为30°。现将物块A由静止释放，在A下降过程中小球B始终没有与P相撞。已知物块A与小球B的质量均为1 kg，重力加速度g取10 m/s2，忽略一切摩擦，则A由静止释放到细绳AP段与水平方向夹角再次为30°的过程中 (　　)
A.物块A减少的重力势能等于小球B增加的机械能
B.物块A减少的重力势能大于小球B增加的机械能
C.轻绳对物块A所做的功为-0.8 J
D.小球B的动能增加2 J
角度4　含弹簧系统的机械能守恒问题
题型特点 由轻弹簧连接的物体系统，一般既有重力做功又有弹簧弹力做功，这时系统内物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能之间相互转化，系统机械能守恒
两点提醒 1.若弹簧的劲度系数为k，约定原长时势能为零，则弹簧的形变量为x时，弹性势能Ep=kx2。 2.物体运动的位移与弹簧的形变量或形变量的变化量有关
如图所示，在竖直方向上A、B物体通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，A放在水平地面上，B、C两物体通过轻质细线绕过光滑轻质定滑轮相连，C放在固定的光滑斜面上，斜面倾角为30°。用手拿住C，使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证ab段的细线竖直，cd段的细线与斜面平行，已知B的质量为m，C的质量为4m，A的质量远大于m，重力加速度为g，开始时整个系统处于静止状态，释放C后它沿斜面下滑，斜面足够长。求：
(1)当B物体的速度最大时，弹簧的伸长量。
(2)B物体的最大速度。
练创新试题·知命题导向
1.(多选)如图1所示，原长x0=0.3 m的轻质弹簧的下端固定在倾角为θ的固定光滑斜面的底部，在弹簧的上端处从静止开始释放质量为1 kg的小球，小球的加速度大小a与弹簧长度x间的关系如图2所示。重力加速度g取10 m/s2，则 (　　)
A.弹簧的劲度系数为60 N/m
B.弹簧的劲度系数为40 N/m
C.小球的最大动能为0.6 J
D.弹簧的最大弹性势能为1.2 J
2.如图所示，中心带孔、质量为m的小球套在固定的光滑竖直圆轨道上。初始时，小球静止在轨道的最高点。轻轻扰动小球，小球开始沿轨道运动。已知重力加速度大小为g，则下列说法正确的是 (　　)
A.小球从最高点下降到最低点的过程中，始终处于失重状态
B.小球沿轨道运动的过程中，它的速率与它下降的高度成正比
C.小球沿轨道运动的过程中，轨道对小球的弹力大小为0.5mg的位置共有4个
D.小球沿轨道运动的过程中，在最低点与最高点受到的轨道弹力大小的差值为6mg
3.(多选)如图所示，光滑的斜面和竖直平面内的圆弧轨道平滑连接，圆弧轨道的半径为R，A为圆弧轨道的最高点。可看成质点的小球从距地面高h处自由滑下，小球在圆弧轨道上运动时脱离轨道掉了下来，则h的取值可能为 (　　)
A. B.R
C.2R D.2R
4.(多选)在光滑的水平面上，质量m=1 kg的物块在恒力F作用下运动，物块的一段轨迹如图所示。已知物块经过P、Q两点时的速率均为v=4 m/s，且物块在P点的速度方向与PQ连线的夹角α=30°。已知P、Q两点间距离为4 m，
A点是轨迹上距PQ最远的点(图中未画出)。关于物块的运动，下列说法正确的是(　　)
A.恒力F的大小为2 N
B.物块从P点运动到Q点过程中机械能守恒
C.物块从P点运动到A点的过程中恒力F做的功为-2 J
D.物块从A点运动到Q点的过程中机械能减小了2 J
参考答案
考点一
知识梳理
①动能　②重力势能　③弹性势能　④重力或弹力做功
考教衔接
1.可以说汽车的机械能保持不变，但不能说汽车的机械能守恒。这是因为动能与摩擦发热产生的内能存在能量形式的转化，严格意义上机械能并不守恒。可见，物理学中物理量的“不变”与“守恒”还是有区别的。“不变”仅仅是一种定量的数学结果，而“守恒”既包含数量上的相等关系，又隐藏物理学的深层次意义。
2.两种情况重力做的功相等，重力势能的变化相等，但动能的变化不相等，在真空中自由下落时动能的变化更大。在真空中自由下落时，重力势能转化为小球的动能，且动能和重力势能之和保持不变；在黏性液体中，重力势能一部分转化为小球的动能，一部分克服液体对它的阻力做功，转化为小球和黏性液体的内能。
例1　ACD
例2　BC
例3　ACD　解析　从B到A的过程中，小球和弹簧组成的系统只有重力和弹簧弹力做功，系统机械能守恒，弹簧的压缩量一直减小，故弹簧的弹性势能一直减小，小球的机械能一直在增加，A项正确；从B到A的过程中，开始阶段弹簧的弹力大于小球的重力，小球向上做加速运动，弹簧的压缩量减小，弹力减小，合力减小，故小球向上做加速度减小的加速运动，当弹簧的弹力减小到与重力相等时，速度达到最大，此后弹簧的弹力小于小球的重力，小球向上做减速运动，故小球的动能先增大后减小，B项错误；从B到C的过程中，小球和弹簧组成的系统只有重力和弹簧弹力做功，系统机械能守恒，C项正确；系统机械能守恒，从B到C过程弹簧弹性势能的减少量大于从C到A过程弹簧弹性势能的减少量，所以从B到C过程小球机械能的增加量大于从C到A过程小球机械能的增加量，D项正确。
考点二
例4　C　解析　设大圆环半径为R，小环在大圆环上某处(P点)与圆环的作用力恰好为零，如图所示，设图中夹角为θ，小环从大圆环顶端滑到P点过程中，根据机械能守恒定律有mgR(1-cos θ)=mv2，在P点，根据牛顿第二定律有mgcos θ=m，联立解得cos θ=，从大圆环顶端滑到P点过程中，小环速度较小，小环重力沿着指向大圆环圆心方向的分力大于小环所需的向心力，所以大圆环对小环的弹力背离圆心，不断减小；从P点滑到最低点过程，小环速度变大，小环重力和大圆环对小环的弹力的合力提供向心力，所以大圆环对小环的弹力逐渐变大；根据牛顿第三定律可知小环下滑过程中对大圆环的作用力大小先减小后增大，C项正确。
例5　ACD　解析　从把连接两筒的阀门打开到两筒水面高度相等的过程中，大气压力对左筒水柱做正功，对右筒水柱做负功，总功为零，B项错误。水柱的机械能守恒，重力做的功等于重力势能的减少量，等于水柱增加的动能，等效于把左筒高的水柱移至右筒，重心下降，重力所做的功WG=ρgS=ρgS(h1-h2)2，A、C、D三项正确。
例6　解答　由链条、地球组成的系统，除重力外，其他力不做功，系统机械能守恒。设链条总质量为m0，则单位长度的链条质量为。系统重力势能的减少量等于系统动能的增加量
如图所示，平台上链条长度减小Δx，斜面上链条增加Δx。由于其他部分链条的质心未变，因此系统重力势能的减少量等效于长度为Δx的链条由平台迁移至斜面上所减少的重力势能。建立方程时以质心(Δx长度之中点)运动来处理，即Δm·gsin α=m0v2，式中Δm=Δx，Δx=x-x0
解得v=。
例7　C　解析　当A下落至地面时，B恰好上升到与圆柱轴心等高的位置，对两球构成的系统，由机械能守恒定律有2mgR-mgR=×(m+2m)v2。接下来，B做竖直上抛运动，上升的高度h=，联立解得h=。则B上升的最大高度H=h+R=，C项正确。
例8　解答　(1)对系统，由机械能守恒定律有mgr-mgr=m+m
两球角速度相同，则vB=
解得vA=。
(2)设半径OA向左偏离竖直方向的最大角度为θ，对系统，由机械能守恒定律，有mgrcos θ=mg(1+sin θ)
即5sin2θ+2sin θ-3=0
解得sin θ=，θ≈37°。
例9　BC　解析　A由静止释放到细绳AP段与水平方向夹角再次为30°的过程中，AP段绳子的长度不变，即B的高度不变，重力势能不变，即全过程最终是A的重力势能转化为A、B的动能，A项错误，B项正确。设B的末速度为vB，又因为A、B沿绳方向的分速度大小相等，则A的末速度vA==2vB；根据A、B组成的系统机械能守恒，有mg×2lAPsin 30°=m+m，解得vB= m/s，vA= m/s。设轻绳对物块A所做的功为W，对A，根据动能定理有mg×2lAPsin 30°+W=m，解得W=-0.8 J。小球B增加的动能ΔEkB=m-0=0.8 J，C项正确，D项错误。
例10　解答　(1)通过受力分析可知，当B的速度最大时，其加速度为0，由B、C连接方式可知，B、C速度大小相等，此时C的加速度也为0，则细线上的拉力大小F=4mg·sin 30°=2mg
此时弹簧处于伸长状态，设弹簧的伸长量为xA，由平衡条件，有kxA=F-mg，则xA=。
(2)设开始时弹簧压缩的长度为xB，由平衡条件，有kxB=mg，得xB=
因A的质量远大于m，所以A一直保持静止状态。物体B上升的距离以及物体C沿斜面下滑的距离均为h=xA+xB
由于xA=xB，弹簧处于压缩状态和伸长状态时的弹性势能相等，弹簧弹力做的功为零，设B物体的最大速度为vBm，对系统由机械能守恒定律，有4mghsin 30°-mgh=(m+4m)
解得vBm=2g。
练创新试题
1.AD　解析　当x<0.2 m时，由牛顿第二定律可得k(x0-x)-mgsin θ=ma，整理可得a=-+，结合图像，有-=，=12，解得k=60 N/m，sin θ=0.6，A项正确，B项错误。由图2可知小球在x2=0.2 m时，a=0，小球的速度最大；在x3=0.3 m时，a=gsin θ=6 m/s2。根据=2a(x3-x2)，由a-x图像中图线与坐标轴所围面积有a(x3-x2)=m2/s2=0.3 m2/s2，小球的最大动能E km=m。联立解得E km=0.3 J，C项错误。当小球动能再次为0时，根据对称性，可知位于x1=0.1 m处，运动至最低点，弹簧具有最大弹性势能，对系统，根据机械能守恒定律，可知Epm=mg(x3-x1)sin θ=1.2 J，D项正确。
2.C　解析　小球在下降过程中，加速度先是有竖直向下的分量，然后有竖直向上的分量，不是始终处于失重状态，A项错误；小球沿圆轨道运动的过程中，机械能守恒，有mgh=mv2，h为小球下降的高度，据此可知，小球沿轨道运动的过程中，它的速率与它下降的高度不成正比，B项错误；如图甲所示，从小球经过最高点开始计时，设经过一段时间小球绕圆轨道的圆心转过的角度为θ，圆轨道的半径为R，则根据机械能守恒定律有mgR(1-cos θ)=mv2，根据牛顿第二定律有mgcos θ+FN=m，联立可得FN=2mg-3mgcos θ(0≤θ≤2π)，画出FN-θ图像，如图乙所示，由图可知，小球沿轨道运动的过程中，轨道对小球的弹力大小为0.5mg的位置共有4个，且在最低点与最高点受到轨道弹力大小的差值为4mg，C项正确，D项错误。
乙
3.BC　解析　如图，若小球恰好能够上升到B点，由机械能守恒定律知，小球从斜面上下滑的高度恰为R，当下滑的高度小于R时，小球不会脱落轨道；当小球恰能上升到A点时，由牛顿第二定律有mg=，设下落高度为H，由机械能守恒有mgH=mg×2R+m，解得H=R，则当下滑高度在R4.AC　解析　物块在恒力作用下运动，且在P、Q两点时的速率相等，故将物块的运动(类竖直上抛运动)沿着PQ方向和垂直PQ方向进行分解，物块在PQ方向上做匀速直线运动，在垂直PQ方向上做匀变速直线运动，所以力F垂直PQ向下，在A点处速度最小，只剩下沿着PQ方向的速度，故有vmin=vPcos 30°=2 m/s，垂直PQ方向上的速度v'=vPsin 30°=2 m/s，已知P、Q两点间距离为4 m，则物块从P点运动到Q点所用的时间t= s=2 s，物块从P点运动到A点所用的时间为1 s，故加速度a===2 m/s2，可得F=2 N，A项正确；物块经过P、Q两点时的速率相等，但过程中恒力先做负功再做正功，故物块机械能先减小后增加，减少量与增加量相等，B、D两项错误；P到A在垂直于PQ方向上的距离h=Δt=1 m，故恒力做的功W=-Fh=-2 J，C项正确。

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