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第一章　勾股定理 质量评价
(考试时间：120分钟　满分：150分)
姓名：_______　　班级：_______　　分数：_______
一、单项选择题(每小题4分，共40分)
1．一个直角三角形两直角边分别为4，5，它的斜边长的平方x2的值为（ ）
A．41 B．9 C．21 D．29
2．在下列四组数中，属于勾股数的是（ ）
A．1，， B．3，4，5
C．2，8，10 D．0.3，0.4，0.5
3．如图，从电线杆离地面6 m处向地面拉一条10 m长的钢缆，则地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离AB是（ ）
A．6 m B．7 m C．8 m D．9 m
4．已知△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，∠A＋∠B＝∠C，则它的三边a，b，c的比可能为（ ）
A．1∶1∶2 B．1∶2∶3
C．3∶4∶5 D．13∶5∶14
5．如图，在边长为1的小正方形组成3×4的网格图中有a，b，c，d四条线段，下列能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）
A．a，b，c B．b，c，d
C．a，b，d D．a，c，d
6．如图，三角形是直角三角形，四边形是正方形，已知正方形A的面积是64，正方形B的面积是100，则半圆C的面积是（ ）
A．36 B．4.5π C．9π D．18π
7．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝ 90°，AC＝10，AB＝6，则图中五个小直角三角形的周长之和为（ ）
A．14 B．16 C．18 D．24
8. 如图，点E在△ACD的高AB上，且△ABD和△BCE都是等腰直角三角形，若BE＝5，CD＝17，则AC的长为（ ）
A．17 B．15 C．14 D．13
9．如图，长方体的底面边长分别为3 cm和9 cm，高为7 cm。若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（ ）
A．20 cm B．22 cm C．24 cm D．25 cm
10．如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论中不正确的是（ ）
A．∠PBQ＝60° B．∠PQC＝90°
C．∠APC＝120° D．∠APB＝150°
【解析】根据△ABC是等边三角形，得出∠ABC＝60°，根据△BQC≌△BPA，得出∠CBQ＝∠ABP，PB＝QB＝4，PA＝QC＝3，∠BPA＝∠BQC，求出∠PBQ＝60°；根据△BPQ是等边三角形，△PCQ是直角三角形，即可求解．
二、填空题(每小题4分，共20分)
11．已知两条线段的长分别为15 cm和8 cm，则当第三条线段的长取整数 cm时，这三条线段能组成一个直角三角形。
12．《九章算术》是我国古代的数学名著，其中“勾股”章有一题，大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺，门的对角线长10尺，那么门的高和宽各是多少？如果设门的宽为x尺，那么根据题意，可列方程为 。
13．在一个直角三角形中，若斜边长为10，一条直角边长为6，则这个三角形的面积为 。
14．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D，E分别在AC，BC上，且DE∥AB，将△ABC沿DE折叠，使C点落在斜边AB上的F处，则AF的长是 。
15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD是BC边上的高，若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC＋PQ的最小值是 。
【解析】由等腰三角形的三线合一可得出AD垂直平分BC，过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC＋PQ取最小值，最小值为BQ的长，在△ABC中，利用面积法可求出BQ的长度，即可求解。
三、解答题(共90分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(8分)在△ABC中，∠C＝90°，设AB＝c，BC＝a，AC＝b。
(1)已知a＝8，b＝15，求c；
(2)已知c＝13，b＝5，求a。
17．(6分)如图是证明勾股定理的一种方法：用4个全等的直角三角形拼成一个大正方形，请利用面积法证明勾股定理。
18．(8分)如图，在一次夏令营活动中，小明从营地A出发，沿北偏东53°方向走了400 m到达点B，然后再沿北偏西37°方向走了300 m到达目的地C。求A，C两点间的距离。
19．(8分)图①、图②均为3×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点A，B均为格点。分别在给定的网格中找一格点C，按下列要求作图：
(1)在图①中，连接AC，BC，使AC＝AB，∠BAC＝90°；
(2)在图②中，连接AC，BC，使AC＝BC，∠ACB＝90°。
20．(8分)如图，四边形ABCD是一块草坪，量得四边长AB＝3 m，BC＝4 m，DC＝12 m，AD＝13 m，∠B＝90°，求这块草坪的面积。
21．(9分)如图，已知等腰三角形ABC的底边BC＝10 cm，D是腰AB上一点，且CD＝8 cm，BD＝6 cm，求△ABC的周长。
22．(10分)如图，铁路上A，B两站相距35 km，C，D为两村庄，且DA⊥AB，CB⊥AB，已知AD＝20 km，CB＝15 km，在AB上是否存在一点E，使它到C，D两村庄的距离相等？若存在，求出此时AE的距离；若不存在，请说明理由。
23．(10分)分析下列各组勾股数：
当n＝2时，a＝2×2＝4，b＝22－1＝3，c＝22＋1＝5；
当n＝3时，a＝2×3＝6，b＝32－1＝8，c＝32＋1＝10；
当n＝4时，a＝2×4＝8，b＝42－1＝15，c＝42＋1＝17；
……
根据你发现的规律写出：
(1)当n＝10时的勾股数；
(2)用含n的代数式表示符合上述特点的勾股数，并加以说明。
24．(11分)定义：如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点。
(1)若AM＝1.5，MN＝2.5，BN＝2，则点M，N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由；
(2)若AM为直角边，AB＝24，AM＝6，求BN的长。
25．(12分)【问题情境】如图，在△ABC中，AB＝AC。
【特殊求证】(1)P为BC上的中点，试说明AB2－AP2＝PB·PC；
【探究说明】(2)若P为BC上的任意一点，(1)中的结论是否成立？并说明理由；
【拓展探究】(3)若P为BC延长线上一点，说明AB，AP，PB，PC之间的数量关系。第一章　勾股定理 质量评价
(考试时间：120分钟　满分：150分)
姓名：_______　　班级：_______　　分数：_______
一、单项选择题(每小题4分，共40分)
1．一个直角三角形两直角边分别为4，5，它的斜边长的平方x2的值为（A）
A．41 B．9 C．21 D．29
2．在下列四组数中，属于勾股数的是（B）
A．1，， B．3，4，5
C．2，8，10 D．0.3，0.4，0.5
3．如图，从电线杆离地面6 m处向地面拉一条10 m长的钢缆，则地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离AB是（C）
A．6 m B．7 m C．8 m D．9 m
4．已知△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，∠A＋∠B＝∠C，则它的三边a，b，c的比可能为（C）
A．1∶1∶2 B．1∶2∶3
C．3∶4∶5 D．13∶5∶14
5．如图，在边长为1的小正方形组成3×4的网格图中有a，b，c，d四条线段，下列能构成一个直角三角形三边的线段是（A）
A．a，b，c B．b，c，d
C．a，b，d D．a，c，d
6．如图，三角形是直角三角形，四边形是正方形，已知正方形A的面积是64，正方形B的面积是100，则半圆C的面积是（B）
A．36 B．4.5π C．9π D．18π
7．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝ 90°，AC＝10，AB＝6，则图中五个小直角三角形的周长之和为（D）
A．14 B．16 C．18 D．24
8. 如图，点E在△ACD的高AB上，且△ABD和△BCE都是等腰直角三角形，若BE＝5，CD＝17，则AC的长为（D）
A．17 B．15 C．14 D．13
9．如图，长方体的底面边长分别为3 cm和9 cm，高为7 cm。若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（D）
A．20 cm B．22 cm C．24 cm D．25 cm
10．如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论中不正确的是（C）
A．∠PBQ＝60° B．∠PQC＝90°
C．∠APC＝120° D．∠APB＝150°
【解析】根据△ABC是等边三角形，得出∠ABC＝60°，根据△BQC≌△BPA，得出∠CBQ＝∠ABP，PB＝QB＝4，PA＝QC＝3，∠BPA＝∠BQC，求出∠PBQ＝60°；根据△BPQ是等边三角形，△PCQ是直角三角形，即可求解．
二、填空题(每小题4分，共20分)
11．已知两条线段的长分别为15 cm和8 cm，则当第三条线段的长取整数17cm时，这三条线段能组成一个直角三角形。
12．《九章算术》是我国古代的数学名著，其中“勾股”章有一题，大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺，门的对角线长10尺，那么门的高和宽各是多少？如果设门的宽为x尺，那么根据题意，可列方程为x2＋(x＋6)2＝102。
13．在一个直角三角形中，若斜边长为10，一条直角边长为6，则这个三角形的面积为24。
14．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D，E分别在AC，BC上，且DE∥AB，将△ABC沿DE折叠，使C点落在斜边AB上的F处，则AF的长是3.6。
15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD是BC边上的高，若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC＋PQ的最小值是9.6。
【解析】由等腰三角形的三线合一可得出AD垂直平分BC，过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC＋PQ取最小值，最小值为BQ的长，在△ABC中，利用面积法可求出BQ的长度，即可求解。
三、解答题(共90分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(8分)在△ABC中，∠C＝90°，设AB＝c，BC＝a，AC＝b。
(1)已知a＝8，b＝15，求c；
(2)已知c＝13，b＝5，求a。
解：(1)在△ABC中，∠C＝90°，由勾股定理得
c2＝a2＋b2＝82＋152＝289，因为c＞0，所以c＝17。
(2)在△ABC中，∠C＝90°，由勾股定理得
a2＝c2－b2＝132－52＝144，因为a＞0，所以a＝12。
17．(6分)如图是证明勾股定理的一种方法：用4个全等的直角三角形拼成一个大正方形，请利用面积法证明勾股定理。
解：因为大正方形的面积可以表示为(a＋b)2，也可以表示为c2＋4×ab，
所以(a＋b)2＝c2＋4×ab，
即a2＋b2＋2ab＝c2＋2ab，所以a2＋b2＝c2。
18．(8分)如图，在一次夏令营活动中，小明从营地A出发，沿北偏东53°方向走了400 m到达点B，然后再沿北偏西37°方向走了300 m到达目的地C。求A，C两点间的距离。
解：过点B作BE∥AD。
所以∠DAB＝∠ABE＝53°，
因为37°＋∠CBA＋∠ABE＝180°，
所以∠CBA＝90°，
所以AC2＝BC2＋AB2＝3002＋4002＝5002，
所以AC＝500 m，即A，C两点间的距离为500 m。
19．(8分)图①、图②均为3×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点A，B均为格点。分别在给定的网格中找一格点C，按下列要求作图：
(1)在图①中，连接AC，BC，使AC＝AB，∠BAC＝90°；
(2)在图②中，连接AC，BC，使AC＝BC，∠ACB＝90°。
解：(1)如图①，点C即为所求。
(2)如图②，点C即为所求。
20．(8分)如图，四边形ABCD是一块草坪，量得四边长AB＝3 m，BC＝4 m，DC＝12 m，AD＝13 m，∠B＝90°，求这块草坪的面积。
解：连接AC，由题意得AB2＋BC2＝AC2，
所以AC＝5 m，
在△ADC中，AC2＋DC2＝169，AD2＝169，
所以AC2＋DC2＝AD2，且∠ACD＝90°，
所以草坪的面积为
S△ABC＋S△ADC＝AB·BC＋AC·DC＝36(m2)。
21．(9分)如图，已知等腰三角形ABC的底边BC＝10 cm，D是腰AB上一点，且CD＝8 cm，BD＝6 cm，求△ABC的周长。
解：设AB＝x cm。
因为BC2＝BD2＋CD2。
所以△BDC为直角三角形，∠BDC＝90°。
因为△ABC为等腰三角形，
所以AB＝AC＝x cm。
因为AC2＝AD2＋CD2，所以x2＝(x－6)2＋82。
所以x＝。
所以△ABC的周长为2AB＋BC＝ cm。
22．(10分)如图，铁路上A，B两站相距35 km，C，D为两村庄，且DA⊥AB，CB⊥AB，已知AD＝20 km，CB＝15 km，在AB上是否存在一点E，使它到C，D两村庄的距离相等？若存在，求出此时AE的距离；若不存在，请说明理由。
解：存在。设AE为x，则BE＝35－x。
因为C，D两村到E站距离相等，所以CE＝DE,
在Rt△DAE和Rt△CBE中，
DE2＝AD2＋AE2，CE2＝BE2＋BC2，
所以AD2＋AE2＝BE2＋BC2。
即x2＋202＝(35－x)2＋152，解得x＝15，
所以AE的距离为15 km。
23．(10分)分析下列各组勾股数：
当n＝2时，a＝2×2＝4，b＝22－1＝3，c＝22＋1＝5；
当n＝3时，a＝2×3＝6，b＝32－1＝8，c＝32＋1＝10；
当n＝4时，a＝2×4＝8，b＝42－1＝15，c＝42＋1＝17；
……
根据你发现的规律写出：
(1)当n＝10时的勾股数；
(2)用含n的代数式表示符合上述特点的勾股数，并加以说明。
解：(1)当n＝10时，a＝2×10＝20，b＝102－1＝99，
c＝102＋1＝101。
(2)a＝2n，b＝n2－1，c＝n2＋1。
理由：因为a＝2n，b＝n2－1，c＝n2＋1，
所以a2＝4n2，b2＝n4－2n2＋1，c2＝n4＋2n2＋1。
因为4n2＋n4－2n2＋1＝n4＋2n2＋1，
所以a2＋b2＝c2。
所以a＝2n，b＝n2－1，c＝n2＋1是勾股数。
24．(11分)定义：如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点。
(1)若AM＝1.5，MN＝2.5，BN＝2，则点M，N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由；
(2)若AM为直角边，AB＝24，AM＝6，求BN的长。
解：(1)是。理由：因为AM2＋BN2＝1.52＋22＝6.25，MN2＝2.52＝6.25，
所以AM2＋NB2＝MN2。
所以以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形。
所以点M，N是线段AB的勾股分割点。
(2)设BN＝x，则MN＝24－AM－BN＝18－x。
①当MN为最长线段时，依题意得MN2＝AM2＋NB2，
即(18－x)2＝36＋x2，解得x＝8。
②当BN为最长线段时，依题意得BN2＝AM2＋MN2，
即x2＝36＋(18－x)2，解得x＝10。
综上所述，BN＝8或10。
25．(12分)【问题情境】如图，在△ABC中，AB＝AC。
【特殊求证】(1)P为BC上的中点，试说明AB2－AP2＝PB·PC；
【探究说明】(2)若P为BC上的任意一点，(1)中的结论是否成立？并说明理由；
【拓展探究】(3)若P为BC延长线上一点，说明AB，AP，PB，PC之间的数量关系。
解：(1)如图①，连接AP，由题意，得
AP⊥BC，BP＝CP，所以AB2－AP2＝BP2，
又因为BP＝CP，所以BP·CP＝BP2，
所以AB2－AP2＝PB·PC。
(2)成立．理由：如图②，连接AP，作AD⊥BC，交BC于点D，所以BD＝CD,
AB2－AP2＝AD2＋BD2－(AD2＋DP2)＝BD2－DP2，
又因为BP＝BD＋DP，CP＝CD－DP＝BD－DP，
所以BP·CP＝(BD＋DP)(BD－DP)＝BD2－DP2，
所以AB2－AP2＝PB·PC。
(3)AP2－AB2＝PB·PC。
如图③，P是BC延长线上一点，连接AP，并作AD⊥BC于点D，所以BD＝CD,
AP2－AB2＝(AD2＋DP2)－(AD2＋DB2)
＝PD2－BD2，
又因为BP＝BD＋DP，CP＝DP－CD＝DP－BD，
所以BP·CP＝DP2－BD2，
所以AP2－AB2＝PB·PC。

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