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期末复习（一）　勾股定理
一、考点过关
考点1　勾股定理的应用
1.如图，已知地面上A，B在一条直线上，AB＝40米，当无人机从A处竖直上升30米时，无人机到B处的距离为（　 　）.
A.60米 B.50米 C.45米 D.40米
2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则斜边上的高是（　 　）.
A.1.2 B.2.4 C.2.5 D.5
3.某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙DE时，梯子底端A到左墙的距离AE为0.7 m，梯子顶端D到地面的距离DE为2.4 m，若梯子底端A保持不动，将梯子斜靠在右墙BC上，梯子顶端C到地面的距离CB为2 m，则这两面直立墙壁之间的安全通道的宽BE为（　 　）.
A.2.2 m B.2 m C.1.5 m D.2.5 m
考点2　勾股定理的逆定理
4.下列四组线段首尾顺次相接不能围成直角三角形的是（　 　）.
A.a＝8，b＝15，c＝17 B.a＝9，b＝12，c＝15
C.a＝3，b＝4，c＝5 D.a＝4，b＝6，c＝8
5.观察以下几组勾股数，并寻找规律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……，请你根据以上规律写出第⑤组勾股数：　 　.
考点3　勾股定理中的分类讨论
6.如图是由5个边长为1的正方形拼成的图形，现将其按甲、乙两种方式沿虚线剪开，再各自分别拼接，若需拼接一个面积为5的大正方形，则这两种剪法中（　 　）.
A.只有甲行 B.只有乙行
C.甲、乙都行 D.甲、乙都不行
7.在△ABC中，AB＝10，BC＝2，∠A＝30°，则△ABC的面积是　 　.
考点4　勾股定理的实际应用
8.如图是一个内壁长4 m、宽3 m、高2 m的长方体仓库，在其内壁的A（长的四等分）处有一只壁虎，B（宽的三等分）处有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处的最短路程为（　 　）.
第8题图
A.3 m B.4 m C.5 m D.6 m
9.如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是（　 　）.
第9题图
A.5 B.25 C.10＋5 D.35
考点5　勾股定理的验证
10.我国是最早了解勾股定理的国家之一，根据《周髀算经》的记载，勾股定理的公式与证明是在周朝由商高发现的，故又称之为“商高定理”.下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（　 　）.
A B C D
11.如图是“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形.如果AB＝10，AH＝6，那么EF＝（　 　）.
A.8 B.6 C.4 D.2
二、核心突破
12.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，现将△ABC沿BD进行翻折，使点A刚好落在BC上，则CD＝　 　.
13.如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，连接三个格点得到△ABC.
（1）求△ABC的周长；
（2）BC边上的高是多少？
14.【问题情境】消防云梯的作用是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层救援现场，如图，已知一架云梯AB长25 m，斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙角的距离OB＝20 m，∠AOB＝90°.
【深入探究】
（1）消防员接到命令，按要求将云梯从顶部A下滑到A'位置上（云梯长度不改变），则底部B沿水平方向向前滑动到B'位置上，若AA'＝8 m，求BB'的长度.
【问题解决】
（2）在演练中，墙边距地面24 m的窗口有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员.经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全，在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达24 m高的窗口去救援被困人员？
三、能力提升
15.赵爽在《周髀算经》中介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1），并根据该图证明了勾股定理.弦图之美，美在简约而深厚，经典而久远，被誉为“中国数学界的图腾”.
（1）“勾股定理”用文字叙述是　 　；
（2）类比“赵爽弦图”构造出图2，△ABC为等边三角形，AD，BE，CF围成的△DEF是等边三角形.点D，E，F分别是BE，CF，AD的中点，若△DEF的面积为2，求△ABC的面积；
（3）如图3，在长方形ABCD内部嵌入了3个全等的“赵爽弦图”.其中点M，N，P，Q分别在长方形的边BC，CD，AB，AD上，当AB＝34，BC＝29时，求小正方形的边PQ的长度.
16.有一辆装满货物的卡车，高2.5 m，宽1.6 m，要开进如图所示的上边是半圆，下边是长方形的桥洞.已知半圆的直径为2 m，长方形的另一条边长是2.3 m.
（1） 这辆卡车能否通过此桥洞？试说明你的理由；
（2） 为了适应车流量的增加，想把桥洞改为双行道，并且要使宽1.2 m，高2.8 m的卡车能安全通过，那么此桥洞的宽至少应增加到多少米？
参考答案
1.B　2.B　3.A　4.D　5.11，60，61　6.C
7.10或15
8.C　
解析：如图1，展开前面与上面，
∵A是长的四等分点，B是宽的三等分点，长4 m、宽3 m、高2 m，
∴AC＝3 m，BD＝2 m，BC＝CD＋BD＝2＋2＝4（m），
∴AB＝＝＝5（m）；
图1
如图2，展开前面与左边，过点B作BC⊥AD于点C，
∵AC＝5 m，BC＝2 m，
∴AB＝＝＝（m）；
图2
其余的展开方式要展开三个面，AB更长.
∵5＜，
∴最短路程为5 m.故选C.
9.B　10.C　11.D
12.5　
解析：∵在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，
∴根据勾股定理可得BC＝＝＝10，
由折叠的性质可得∠DA'B＝∠A＝90°，A'B＝AB＝6，DA'＝DA，
∴∠CA'D＝180°－∠DA'B＝180°－90°＝90°.
设CD＝x，则DA'＝DA＝AC－CD＝8－x，CA'＝BC－A'B＝10－6＝4，
在Rt△CA'D中，根据勾股定理可得CD2＝DA'2＋CA'2，
即x2＝（8－x）2＋42，解得x＝5，
∴CD＝5.故答案为5.
13.解：（1）由勾股定理，得AC＝＝，BC＝＝，AB＝＝2，
∴△ABC的周长为2＋2.
（2）设BC边上的高是h.∵S△ABC＝3×3－×1×3×2－×2×2＝4，
∴BC·h＝4，
∴h＝.∴BC边上的高是.
14.解：（1）在Rt△OAB中，
OA＝＝＝15（m），
∵AA'＝8 m，
∴OA'＝OA－AA'＝15－8＝7（m）.
在Rt△A'OB'中，
OB'＝＝＝24（m），
∴BB'＝OB'－OB＝24－20＝4（m）.
答：BB'的长度为4 m.
解：（2）当云梯的顶端到达24 m高的窗口时，根据勾股定理得云梯的底端距离墙的距离为＝7（m），
∵25×＝5 m，7 m＞5 m ，
∴在相对安全的前提下，云梯的顶端能到达24 m高的窗口去救援被困人员.
15.解：（1）“勾股定理”用文字叙述是：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.
（2）如图，连接BF，DC，AE.∵点D，E，F分别是BE，CF，AD的中点，
∴S△BDF＝S△DEF＝S△ABF＝S△BDC＝S△DEC＝S△AEF＝S△AEC，
∴S△ABC＝7S△DEF.
∵S△DEF＝2，
∴S△ABC＝14.
（3）设弦图中每个小直角三角形的较大的直角边长为x，较小的直角边长为y.∵AB＝34，BC＝29，
∴解得
∴小正方形的边长为＝13.
16.解：（1）能通过.
理由： AB为卡车的宽度，分别作DA⊥AB，CB⊥AB交半圆于点D，C，记半圆的圆心为点O，连接OC，OE的长度为卡车宽的一半，如图1所示. 当桥洞中心线两边各为0.8 m时，设EC＝x米；在Rt△OEC中，由勾股定理，得0.82＋x2＝12，解得x＝0.6.因为2.5＜2.3＋0.6，所以卡车能通过.
（2）如图2所示，改为双行道后，在Rt△OEC中，已知OE＝1.2 m，CE＝BC－BE＝2.8－2.3＝0.5（m）.由勾股定理，得OC2＝OE2＋CE2＝1.22＋0.52＝1.32，解得OC＝1.3.因为是双行道，所以桥洞的宽至少应增加到1.3×2＝2.6（m）.

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