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人教版高中数学必修一第一章单元培优测试卷
一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．
1．若集合中只有一个元素，则实数（ ）
A．1 B．0 C．2 D．0或1
2．已知命题p：，；命题q：若，则下列命题为真命题的是（ ）
A． B． C． D．
3．设a，b是实数，集合，，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．设集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
5．已知命题，命题，若是的充分不必要条件，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．设全集U，有以下四个关系式：甲：A∩B＝A；乙：A∪B＝B；丙：；丁：．
如果有且只有一个不成立，则该式是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
7．已知x∈R，则“成立”是“成立”的（ ）条件．
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要
8．设、、、、是均含有个元素的集合，且，，记，则中元素个数的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知集合或，则的必要不充分条件可能是（ ）
A． B． C． D．
10．设集合是实数集的子集，如果点满足：对任意，都存在，使得，称为集合的聚点，则在下列集合中，以0为聚点的集合有（ ）
A． B．
C． D．
11．已知，集合，集合，则下列正确的是（ ）
A．若，则实数的取值范围是 B．若，则实数的取值范围是
C．若，则实数的取值范围是 D．若，则实数的取值范围是
三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知条件，，p是q的充分条件，则实数k的取值范围是 ．
13．已知集合，若，则的最小值为 ．
14．设集合，其中为实数，令，，若中的所有元素之和为6，中的所有元素之积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．已知全集．
(1)求；
(2)若且，求的取值范围．
16．已知集合，集合．
(1)若，求实数的取值范围；
(2)命题，命题，若p是q成立的充分不必要条件，求实数的取值范围．
17．已知命题，为假命题．
(1)求实数a的取值集合A；
(2)设集合，若“”是“”的必要不充分条件，求m的取值范围．
18．设数集由实数构成，且满足：若（且），则.
(1)若，试证明中还有另外两个元素；
(2)集合是否为双元素集合，并说明理由；
(3)若中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合.
19．集合A为非空数集，定义：，．
(1)若集合，直接写出集合S、T；
(2)若集合，，且，求证：；
(3)若集合，，记为集合A中元素的个数，求的最大值．
答案解析
一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．
1．若集合中只有一个元素，则实数（ ）
A．1 B．0 C．2 D．0或1
【答案】D
【分析】分类讨论，确定方程有一解时满足的条件求解.
【详解】当时，由可得，满足题意；
当时，由只有一个根需满足，
解得.
综上，实数的取值为0或1.
故选：D
2．已知命题p：，；命题q：若，则下列命题为真命题的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先判断出命题的真假，然后逐项判断含有逻辑联结词的复合命题的真假.
【详解】解：命题，使成立，故命题为真命题；
当，时，成立，但不成立，故命题为假命题；
故命题，，均为假命题，命题为真命题．
故选：B．
3．设a，b是实数，集合，，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】解绝对值不等式得到集合，再利用集合的包含关系得到不等式，解不等式即可得解.
【详解】集合，
或
又，所以或
即或，即
所以的取值范围为
故选：D
4．设集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用最小公倍数排除A，B，利用奇数和偶数排除C，求解即可.
【详解】易知集合，，
则中前面的系数应为的最小公倍数，故排除A，B，
对于C，当时，集合为，
而令，可得不为整数，故不含有7，
可得中不含有7，故C错误，
故选：D
5．已知命题，命题，若是的充分不必要条件，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对条件进行化简，再根据充分条件、必要条件的定义即可判断.
【详解】，即为，
是的充分不必要条件，
．
解得，
故选：D
【点睛】本题考查充分必要条件的判定与应用，考查推理能力与计算能力，属于基础题．
6．设全集U，有以下四个关系式：
甲：A∩B＝A；乙：A∪B＝B；丙：；丁：．
如果有且只有一个不成立，则该式是（ ）
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
【答案】C
【分析】先将甲、乙、丙、丁的关系转化为集合的包含关系，分析即得解
【详解】由题意，甲：A∩B＝A
乙：A∪B＝B
丙：
丁：
由于甲、乙、丁是等价的，故如果有且只有一个不成立，则该式是丙
故选：C
7．已知x∈R，则“成立”是“成立”的（ ）条件．
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充分必要 D．既不充分也不必要
【答案】C
【分析】先证充分性，由 求出x的取值范围，再根据x的取值范围化简即可，再证必要性，若，即，再根据绝对值的性质可知．
【详解】充分性：若，则2≤x≤3，
，
必要性：若，又，
，
由绝对值的性质：若ab≤0，则，
∴，
所以“成立”是“成立”的充要条件，
故选：C．
8．设、、、、是均含有个元素的集合，且，，记，则中元素个数的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设、、、是集合互不相同的元素，分析可知，然后对的取值由小到大进行分析，验证题中的条件是否满足，即可得解.
【详解】解：设、、、是集合互不相同的元素，若，则，不合乎题意.
①假设集合中含有个元素，可设，则，
，这与矛盾；
②假设集合中含有个元素，可设，，
，，，满足题意.
综上所述，集合中元素个数最少为.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题考查集合元素个数的最值的求解，解题的关键在于对集合元素的个数由小到大进行分类，对集合中的元素进行分析，验证题中条件是否成立即可.
二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知集合或，则的必要不充分条件可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】分别在、的情况下，根据求得的范围，即为的充要条件，再根据选项即可得解．
【详解】解：因为集合或，
当时，，解得，此时，
当时，，解得，若，则，解得，
又，则，
则的充要条件为，
所以的必要不充分条件可能是，，
故选：AB．
10．设集合是实数集的子集，如果点满足：对任意，都存在，使得，称为集合的聚点，则在下列集合中，以0为聚点的集合有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根据集合聚点的定义，逐一分析每个集合中元素的性质，并判断是否满足集合聚点的定义，从而得到答案.
【详解】对于集合，对任意的，都存在，使得，
所以0是集合的聚点，A选项正确；
对于集合，对于某个实数，比如，
此时对任意的，都有，
也就是说不可能，从而0不是集合的聚点，B选项错误；
对于集合，对任意的，都存在，即，
使，所以0是集合的聚点，C选项正确；
对于集合，，随着n增大而增大，
的最小值为，故当时，即不存在x，使得，D选项错误.
故选：AC
【点睛】关键点点睛：集合新定义的应用，其中解答中认真审题，正确理解集合的新定义——集合中聚点的含义，结合集合的表示及集合中元素的性质，逐项判定是解答的关键，着重考查推理与论证能力.
11．已知，集合，集合，则下列正确的是（ ）
A．若，则实数的取值范围是
B．若，则实数的取值范围是
C．若，则实数的取值范围是
D．若，则实数的取值范围是
【答案】AD
【分析】由交集、并集和补集的定义对选项一一判断即可得出答案.
【详解】，集合，集合，则A，
若，则实数的取值范围是；
若，则实数的取值范围是，
故选：AD.
三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知条件，，p是q的充分条件，则实数k的取值范围是 ．
【答案】
【分析】设，，则，再对分两种情况讨论得解.
【详解】记，，
因为p是q的充分条件，所以.
当时，，即，符合题意；
当时，，由可得，所以，即.
综上所述，实数的k的取值范围是．
故答案为：．
13．已知集合，若，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】由可得，解出集合后结合集合的关系计算即可得.
【详解】由，故，
由，得，
故有，即，即，
即的最小值为.
故答案为：.
14．设集合，其中为实数，令，，若中的所有元素之和为6，中的所有元素之积为 ．
【答案】
【分析】根据中的元素的和为6可得的元素，从而可求中的元素，从而可得各元素的积，注意分类讨论.
【详解】因为，而，故，
所以，
若，则或（舍），此时，
故中的所有元素之积为.
若，则，这与或，
这与中的所有元素之和为6矛盾.
若，则或（舍），此时，
这与中的所有元素之和为6矛盾.
若，则，则，
即，无解.
故答案为：.
【点睛】思路点睛：对于集合中元素的确定问题，注意利用元素的互异性、确定性和无序性来分类讨论.
四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．已知全集．
(1)求；
(2)若且，求的取值范围．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）先求出集合，再求即可，
（2）先求出，然后由，对和两种情况讨论求解即可.
【详解】（1）因为，
所以或，
因为，
所以或
（2）因为
所以或，
当时，成立，此时，解得，
当时，因为，
所以，或，解得，
综上，的取值范围为
16．已知集合，集合．
(1)若，求实数的取值范围；
(2)命题，命题，若p是q成立的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）讨论，两种情况，结合交集运算的结果得出实数的取值范围；
（2）由p是q成立的充分不必要条件，得出是的真子集，再由包含关系得出实数的取值范围．
【详解】（1）由，得
①若，即时，，符合题意；
②若，即时，需或，解得．
综上，实数的取值范围为．
（2）由已知是的真子集，知两个端不同时取等号，解得．
由实数的取值范围为．
17．已知命题，为假命题．
(1)求实数a的取值集合A；
(2)设集合，若“”是“”的必要不充分条件，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据一元二次方程无解的条件即求解即可；
（2）根据题意先求得 ，再分情况求得的范围即可．
【详解】（1）解：命题的否命题为，为真，
且，
解得．
∴．
（2）解：由解得
，
若“”是“”的必要不充分条件，
则 ，
∴当时，即，
解得；
当时，，
解得，
综上：或．
18．设数集由实数构成，且满足：若（且），则.
(1)若，试证明中还有另外两个元素；
(2)集合是否为双元素集合，并说明理由；
(3)若中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合.
【答案】(1)证明见解析；
(2)不是，理由见解析；
(3).
【分析】（1）利用集合与元素之间的关系证明即可；
（2）根据条件求出元素间的规律即可；
（3）先利用求出集合中元素个数，再根据所有元素和求解即可.
【详解】（1）由题意得若，则；
又因为，所以；
即集合中还有另外两个元素和.
（2）由题意，若（且），则，则，若则；
所以集合中应包含，故集合不是双元素集合.
（3）由（2）得集合中的元素个数应为3或6，
因为且中有一个元素的平方等于所有元素的积，
所以中应有6个元素，且其中一个元素为，
由结合条件可得，
又因为，所以剩余三个元素和为，即，
解得，
故.
19．集合A为非空数集，定义：，．
(1)若集合，直接写出集合S、T；
(2)若集合，，且，求证：；
(3)若集合，，记为集合A中元素的个数，求的最大值．
【答案】(1)，
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据定义直接求解出集合S、T；
（2）根据两集合相等即可找到的关系；
（3）通过假设集合，，求出相应的，，通过建立不等关系求出相应的值.
【详解】（1）根据定义：，，
所以，；
（2）由于集合，，且，
所以也只有四个元素，
即，
所以其余的则应满足，
所以，即；
（3）设满足题意，其中，
则，
所以，
因为，
，
因为，
所以，
中最小的元素为，最大的元素为，
，
所以，
，
实际上当时满足题意，
证明如下：
设，，
则，，
依题意有，解得，
的最小值为674，
于是当时，中元素最多，
即时满足题意，
综上所述，集合中元素的个数的最大值为.
【点睛】本题考查了集合的新定义，解题时首先要理解题目所给出的定义，结合第（1）问理清定义，其次结合集合的性质、集合常见的运算等得出集合中元素的个数，要求有较强的逻辑推理思维.

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