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期末复习（四）　一次函数
一、考点过关
考点1　函数的概念
1.弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）间有下面的关系：
x 0 1 2 3 4 5
y 10 10.5 11 11.5 12 12.5
下列说法不正确的是（　 　）.
A.x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量
B.弹簧不挂重物时的长度为0 cm
C.物体质量每增加1 kg，弹簧长度y增加0.5 cm
D.所挂物体质量为7 kg时，弹簧长度为13.5 cm
2.下列各图给出了变量x与y之间的对应关系，y不是x的函数的是（　 　）.
A B C D
3.汽车由北京驶往相距120千米的天津，它的平均速度是30千米/时，则汽车距天津的路程s（千米）与行驶时间t（小时）的函数关系及自变量的取值范围是（　 　）.
A.s＝120－30t（0≤t≤4） B.s＝30t（0≤t≤4）
C.s＝120－30t（t＞0） D.s＝30t（t＝4）
考点2　一次函数及其图象与性质
4.（2024·光明区实验学校月考）一次函数y＝mx＋n与y＝mnx（mn≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　 　）.
A B C D
5.（2024·罗湖区外国语学校初中部期中）已知直线y＝－3x＋2过点（－1，y1）和点（－3，y2），则y1和y2的大小关系是（　 　）.
A.y1＞y2 B.y1＜y2 C.y1＝y2 D.不能确定
6.（2024·宝安区富源学校期中）下列叙述中，正确的个数有（　 　）.
①正比例函数y＝2x的图象经过二、四象限；
②一次函数y＝2x－3中，y随x的增大而增大；
③函数y＝3x＋1中，当x＝－1时，函数值为y＝－2；
④一次函数y＝x＋1的图象与x轴的交点为（－1，0）.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
7.已知直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，点A（－1，a）与点B（3，b）在此直线上，则a　 　b（填“＞”“＝”或“＜”）.
8.已知一次函数y＝（2m＋1）x＋m＋3.
（1）当m＝　 　时，它是正比例函数；
（2）若一次函数图象经过点（－1，1），求m的值，并在如图所示的平面直角坐标系中画出这个函数图象.
考点3　函数的关系式
9.已知矩形周长为18，其中一边长为x，设其邻边长为y，则y与x的函数关系式为　 　.
10.已知y与x＋2成正比例，当x＝4时，y＝4.
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若点（a，6）在这个函数的图象上，求a的值.
11.高山地区海拔高，空气稀薄，所以大气压低于一个标准大气压，水的沸点随高原气压的减小而降低.下表是各个城市的海拔高度及水的沸点统计情况，请根据表中提供的数据，解答下列问题.
城市 A地 B地 C地 D地
海拔x（m） 0 300 600 1 500
沸点y（度） 100 99 98 95
（1）写出y与x之间的关系式；
（2）若E地海拔1 800 m，求出该地水的沸点的度数.
考点4　由函数图象获取信息解决实际问题
12.第11届中国矿物宝石国际博览会在郴州市举行，小方一家上午9：00开车前往会展中心参观.途中汽车发生故障，原地修车花了一段时间.车修好后，他们继续开车赶往会展中心.以下是他们从家出发后离家的距离与时间的函数图象.分析图中信息，下列说法正确的是（　 　）.
A.途中修车花了30 min
B.修车之前的平均速度是500 m/min
C.车修好后的平均速度是800 m/min
D.车修好后的平均速度是修车之前的平均速度的1.5倍
13.（2024·光明区期末）甲、乙两队举行了“庆祝改革开放45周年”的赛龙舟比赛，两队在比赛时的路程s（米）与时间t（分钟）之间的函数关系如图所示，请你根据图象判断，下列说法正确的是（　 　）.
A.甲队率先到达终点
B.甲队比乙队多走了200米
C.乙队比甲队少用0.2分钟
D.比赛中两队从出发到2.2分钟时间段，乙队的速度比甲队的速度大
14.如图所示，是反映了爷爷每天晚饭后从家中出发去散步的时间与距离之间的关系的一幅图.
（1）下图反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）爷爷从家里出发后20分钟到30分钟可能在做什么？
（3）爷爷每天散步多长时间？
（4）爷爷散步时最远离家多少米？
（5）分别计算爷爷离开家后的20分钟内、30分钟内、45分钟内的平均速度.
15.甲同学从图书馆出发，沿笔直路线慢跑锻炼，已知他离图书馆的距离s（千米）与时间t（分钟）之间的关系如图所示，请根据图象直接回答下列问题：
（1）在这个过程中反映了两个变量之间的关系，自变量是　 　，因变量是　 　；
（2）甲同学离图书馆的最远距离是　 　千米，在此处停留的时间为　 　分钟；
（3）甲同学在CD路段内的跑步速度是每小时多少千米？
二、核心突破
16.甲同学的饭卡原有208元，在学校消费为周一到周五，平均每天消费35元，他的卡内余额y（元）与在校天数x（0≤x≤5）之间的关系式为　 　.
17.（1）若函数y＝x＋m＋1是正比例函数，求m的值；
（2）若函数y＝（m－2）＋m＋1是一次函数，求m的值.
18.（2024·深圳市哈工大实验学校期中）如图1，11月10日晚，“深爱万物”——2023深圳人才嘉年华活动正式启动，千余架无人机在深圳人才公园上空上演“天空之舞”，为人才喝彩、向人才致敬.如图2的平面直角坐标系中，线段OA，BC分别表示1号、2号无人机在队形变换中飞行高度y1，y2（m）与飞行时间x（s）的函数关系，其中y2＝－4x＋150，线段OA与BC相交于点P，AB⊥y轴于点B，点A的横坐标为25.求在第多少秒时1号和2号无人机在同一高度.
19.老师告诉小红：“离地面越高，温度越低”.并给小红出示了下面的表格：
距离地面高度/km 0 1 2 3 4 5
温度/℃ 20 14 8 2 －4 －10
根据上表，老师还给小红提出了下面几个问题，请你和小红一起来回答.
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）如果用h表示距离地面的高度，用t表示温度，请你用关于h的式子表示t；
（3）请你利用（2）的结论求距离地面8.5 km的温度.
三、能力提升
20.某电信公司手机的A类收费标准如下：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费12元，另外，通话费按0.2元/min计.B类收费标准如下：没有月租费，但通话费按0.25元/min计.
（1）根据函数的概念，我们首先将问题中的两个变量分别设为通话时间x（min）和手机话费y（元），请写出A，B两种计费方式分别对应的函数表达式；
（2）月通话时间为多长时，两种计费方式收费一样？
（3）若每月平均通话时长为300分钟，选择哪类方式收费较少？
21.如图，在平面直角坐标系中，直线l1的表达式为y＝－x，直线l2与l1交于点A（a，－a），与y轴交于点B（0，b），其中a，b满足（a＋3）2＋＝0.
（1）求直线l2的表达式；
（2）在平面直角坐标系中第二象限内有一点P（x，5），使得S△AOP＝S△AOB，请求出点P的坐标；
（3）已知y轴左侧有一平行于y轴的动直线，分别与l1，l2交于点M，N，且点M在点N的下方，点Q为y轴上一动点，且△MNQ为等腰直角三角形，请求出满足条件的点Q的坐标.
参考答案
1.B　2.B　3.A　4.C　5.B　6.C　7.＞
8.解：（1）－3
（2）将点（－1，1）的坐标代入可得1＝－（2m＋1）＋m＋3，解得m＝1，
∴y＝3x＋4.
令x＝0，则y＝4，
∴图象经过点（－1，1），（0，4），如图.
9.y＝9－x
10.解：（1）∵y与x＋2成正比例，
∴设y＝k（x＋2）.
∵当x＝4时，y＝4，
∴k（4＋2）＝4，解得k＝，
∴y＝（x＋2）＝x＋，
故y与x之间的函数关系式为y＝x＋.
（2）∵点（a，6）在这个函数的图象上，
∴a＋＝6，解得a＝7，故a的值为7.
11.解：（1）由表得，海拔每上升300 m，沸点降低1度，
∴y与x的关系式为y＝100－.
（2）当x＝1 800时，y＝100－＝100－6＝94（度），
∴该地水的沸点的度数为94度.
12.D　13.C　
14.解：（1）反映了爷爷散步的时间与距离之间的关系；时间是自变量，距离是因变量.
（2）爷爷从家里出发后20分钟到30分钟可能在某处休息.
（3）爷爷每天散步45分钟.
（4）爷爷散步时最远离家900米.
（5）爷爷离开家后，
①20分钟内的平均速度：900÷20＝45（米/分）；
②30分钟内的平均速度：900÷30＝30（米/分）；
③45分钟内的平均速度：900×2÷45＝40（米/分）.
15.解：（1）时间；甲同学离图书馆的距离
（2）3；20
（3）CD路段内的路程为3－1.5＝1.5（千米）.
所用的时间为＝（小时）.
所以甲同学在CD路段内的跑步速度是1.5÷＝4.5（千米/时）.
16.y＝208－35x
17.解：（1）∵y＝x＋m＋1是正比例函数，
∴m＋1＝0，解得m＝－1.
（2）∵y＝（m－2）＋m＋1是一次函数，
∴m2－3＝1，m－2≠0，解得m＝－2.
18.解：当x＝0时， y2＝150，
∴点B的坐标为（0，150）.
由题意知点A的坐标为（25，150），设y1＝kx（k≠0），
将（25，150）代入y1＝kx，得150＝25x，
∴x＝6，
∴y1＝6x，
∴线段OA对应的函数表达式为y1＝6x.
由6x＝－4x＋150，解得x＝15，
∴在第15秒时1号和2号无人机在同一高度.
19.解：（1）题表反映了温度和距离地面的高度之间的关系，距离地面的高度是自变量，温度是因变量.
（2）由表可知，每上升1 km，温度降低6 ℃，
可得t＝20－6h.
（3）由（2）可知，当h＝8.5时，t＝20－6h＝20－6×8.5＝－31（℃）.
20.解：（1）由题意可知，A类：y＝0.2x＋12，B类：y＝0.25x.
（2）令0.2x＋12＝0.25x，解得x＝240.
所以当通话时间为240 min时，两种计费方式收费相等.
（3）当x＝300时，y＝0.2x＋12＝72，y＝0.25x＝75.
因为72＜75，所以选择A种计费方式收费较少.
21.解：（1）由（a＋3）2＋＝0，得a＝－3，b＝4，
∴A（－3，3），B（0，4）.
设直线l2的表达式为y＝kx＋b，
将点A，B的坐标代入表达式，得
解得
∴直线l2的表达式为y＝x＋4.
（2）如图1，作PB∥AO，则P到AO的距离等于B到AO的距离，S△AOP＝S△AOB.
∵PB∥AO，PB过点B（0，4），
∴直线PB的表达式为y＝－x＋4，当y＝5时，5＝－x＋4，解得x＝－1，
∴P（－1，5）.
作点B关于x轴的对称点B'，过点B'作B'P'∥OA，则S△AOB＝S△AOP'，易得直线B'P'的表达式为y＝－x－4，令y＝5，则5＝－x－4，解得x＝－9，
∴P'（－9，5）.
图1 图2
综上，点P的坐标为（－1，5）或（－9，5）.
（3）设点M的坐标为（m，－m），N.
∵点M在点N的下方，
∴MN＝m＋4－（－m）＝＋4.
如图2，当∠NMQ＝90°时，MQ∥x轴，NM＝MQ，即＋4＝－m，解得m＝－，
即M，
∴Q；
如图3，当∠MNQ＝90°时，NQ∥x轴，NM＝NQ，即＋4＝－m，解得m＝－，
即N，
∴Q；
如图4，当∠MQN＝90°时，NM∥y轴，MQ＝NQ，
∴m＋2＝－m，解得m＝－，
∴Q.
综上所述，点Q的坐标为或或.

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