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期末复习（七）　命题与证明
一、考点过关
考点1　推理与论证
1.某密码锁的密码是一个三位数，小亮说：“它是254.”小明说：“它是964.”小强说：“它是357.”最后由小颖揭秘说：“你们每人都只猜对了不同数位的一个数字.”则这个密码锁的密码是　 　.
2.甲、乙、丙、丁4人进行乒乓球单循环比赛（每两个人都要比赛一场），结果甲胜了丁，并且甲、乙、丙胜的场数相同，则丁胜的场数是（　 　）.
A.3 B.2 C.1 D.0
3.现有A，B，C，D，E五名同学，他们分别来自一中、二中、三中.已知：（1）每所学校至少有他们中的一名学生；（2）在二中的联欢会上，A，B，E作为被邀请的客人演奏了小提琴；（3）B过去曾在三中学习，后来转学了，现在同D在同一个班学习；（4）D，E是同一所学校的三好学生.根据以上叙述，可以判断E所在的学校为　 　.
考点2　命题及其真假判断
4.下列语句是命题的是（　 　）.
A.负数小于零 B.画一个角等于已知角
C.把16开平方 D.垂线段最短吗
5.在下列四个命题中，为真命题的是（　 　）.
A.数轴上的点和有理数是一一对应的
B.在Rt△ABC中，已知两边长分别是3和4，则第三条边长为5
C.钝角大于它的补角
D.两条直线被第三条直线所截，内错角相等
6.下列命题：①实数与数轴上的点是一一对应的；②平方根和立方根相等的数有1和0；③带根号的数是无理数；④无限小数都是无理数；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑥内错角相等.其中真命题的个数是（　 　）.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
考点3　命题的证明
7.老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：
证明：如图，∵b⊥a，∴∠1＝90°.
∵c⊥a，∴∠2＝90°，∴∠1＝∠2，∴b∥c.
已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（　 　）.
A.在同一平面内，若b⊥a，且c⊥a，则b∥c
B.在同一平面内，若b∥c，且b⊥a，则c⊥a
C.两直线平行，同位角不相等
D.两直线平行，同位角相等
8.（2024·广州期末）求证：三角形一边的两端点到这边的中线所在的直线的距离相等.（解题要求：补全已知、求证，写出证明）
已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，　　　　　　　.
求证：　　　　　　　.
证明：
考点4　平行公论及其推论
9.下列命题中，是真命题的有（　 　）.
①同位角相等；②对顶角相等；③在同一平面内，如果直线l1∥l2，直线l2∥l3，那么l1∥l3；④同一平面内，如果直线l1⊥l2，直线l2⊥l3，那么l1∥l3.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
10.已知：在同一平面内，三条直线a，b，c.下列四个命题为真命题的是　 　.（填写所有真命题的序号）
①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；
②如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；
③如果a∥b，c∥b，那么a∥c；
④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c.
考点5　平行线的判定
11.如图，下列条件中，不能判断直线a∥b的是（　 　）.
A.∠1＝∠3 B.∠2＝∠3
C.∠4＝∠5 D.∠2＋∠4＝180°
12.在同一平面内，过直线l外一点P作l的垂线m，再过点P作m的垂线n，则直线l与n的位置关系是（　 　）.
A.相交 B.相交且垂直 C.平行 D.不能确定
13.如图，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，且BF＝CE，AE＝DF.求证：AB∥CD.
考点6　平行线的性质
14.如图，如果∠1＝∠2，DE∥BC，则下列结论：①FG∥DC；②∠AED＝∠ACB；③CD平分∠ACB；④∠1＋∠B＝90°；⑤∠BFG＝∠BDC.正确的有（　 　）.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
15.如图，下列推理不正确的是（　 　）.
A.∵AD∥BC，∴∠1＝∠4
B.∵∠2＝∠3，∴AE∥DC
C.∵∠ABC＋∠5＝180°，∴AD∥BC
D.∵AE∥DC，∴∠5＝∠BCD
16.如图，已知点C，E，F，B在同一直线上，AB∥CD，BF＝CE，∠A＝∠D，则AE＝DF.完成下面的说理过程（填空）.
证明：∵AB∥CD（已知），
∴∠B＝∠C（　 　）.
∵BF＝CE（已知），
∴BF＋　 　＝CE＋　 　，
即BE＝　 　.
在△ABE和△DCF中，
∵
∴△ABE≌△DCF（　 　）.
∴AE＝DF（　 　）.
考点7　三角形内角和定理及三角形的外角
17.定理：三角形的三个内角的和等于180°.
已知：如图1，有锐角△ABC.求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.
证法1：如图2，过点C作CD∥AB. ∴∠ACD＝∠A（两直线平行，内错角相等）， ∠B＋∠ACB＋∠ACD＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴∠B＋∠ACB＋∠A＝180°（等量代换）， 即∠A＋∠B＋∠ACB＝180°.
证法2：如图3，延长BC到点E. ∴∠ACE＝∠A＋∠B（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）. ∵∠ACB＋∠ACE＝180°（邻补角定义）， ∴∠A＋∠B＋∠ACB＝180°（等量代换）.
下列说法正确的是（　 　）.
A.证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整
B.证法1严谨地推理证明了该定理
C.证法2简单合理地证明了该定理
D.在证明该定理时不能同时添加证法1与证法2中的辅助线
18.如图所示，有一块直角三角板DEF（足够大），其中∠EDF＝90°，把直角三角板DEF放置在锐角△ABC上，三角板DEF的两边DE，DF恰好分别经过点B，C.
（1）若∠A＝40°，则∠ABC＋∠ACB＝　 　°，∠DBC＋∠DCB＝　 　°，∠ABD＋∠ACD＝　 　°；
（2）若∠A＝55°，则∠ABD＋∠ACD＝　 　°；
（3）请你猜想一下∠ABD＋∠ACD与∠A之间满足的数量关系.
二、核心考题
19.我市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务.图1是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图2是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，∠BCD＝60°，∠BAC＝50°，当∠MAC为（　 　）°时，AM∥BE.
A.15 B.65 C.70 D.115
20.给出下列命题：①直角都相等；②若ab＞0且a＋b＞0，则a＞0，b＞0；③一个角的补角大于这个角.其中为真命题的有　 　.（填写序号）
21.如图所示，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，若∠1＝50°，则∠CDB的度数是　 　.
22.如图，AB∥CD，点E为两直线之间的一点.
（1）如图1，若∠BAE＝35°，∠DCE＝20°，求∠AEC的度数；
（2）如图2，试说明∠BAE＋∠AEC＋∠ECD＝360°；
（3）如图3，若∠BAE的平分线与∠DCE的平分线相交于点F，判断∠AEC与∠AFC之间的数量关系，并说明理由.
三、能力提升
23.（2023·罗湖区期中）已知，直线AB∥DC，点P为平面内一点，连接AP与CP.
（1）如图1，点P在直线AB，CD之间，当∠BAP＝60°，∠DCP＝20°时，求∠APC的度数；
（2）如图2，点P在直线AB，CD之间，∠BAP与∠DCP的平分线相交于点K，写出∠AKC与∠APC之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，点P在CD外，∠BAP与∠DCP的平分线相交于点K，∠AKC与∠APC有何数量关系？并说明理由.
参考答案
1.267　2.D　3.一中　4.A　5.C　6.A　7.A
8.已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，分别过点B，C作AD的垂线，交AD和AD的延长线于点P，E.
求证：BP＝CE.
证明：由题意可得∠CED＝∠BPD＝90°，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
在△BDP和△CDE中，
∴△BDP≌△CDE（AAS），
∴BP＝CE.
故答案为分别过点B，C作AD的垂线，交AD和AD的延长线于点P，E；BP＝CE.证明过程见上面内容.
9.D　10.①③④　11.B　12.C
13.证明：∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠AEB＝∠DFC＝90°.
∵BF＝CE，
∴BF－EF＝CE－EF，即BE＝CF.
在△ABE和△DCF中，
∴△ABE≌△DCF（SAS）∴∠B＝∠C，
∴AB∥CD.
14.C　15.C
16.两直线平行，内错角相等　EF　EF　CF　∠A＝∠D　
BE＝CF　AAS　全等三角形的对应边相等
17.A
18.解：（1）140；90；50.　
（2）35.
（3）∠ABD＋∠ACD与∠A之间的数量关系为∠ABD＋∠ACD＝90°－∠A.证明如下：
在△ABC中，∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A.
在△DBC中，∠DBC＋∠DCB＝90°，
∴∠ABC＋∠ACB－（∠DBC＋∠DCB）＝180°－∠A－90°，
∴∠ABD＋∠ACD＝90°－∠A.
19.C　20.①②　21.80°
22.解：（1）如图1，过点E作直线MN∥AB，
∵AB∥CD，
∴MN∥AB∥CD，
∴∠AEM＝∠BAE，∠CEM＝∠DCE.
∵∠AEC＝∠AEM＋∠CEM，
∴∠AEC＝∠BAE＋∠DCE＝35°＋20°＝55°.
（2）如图2，过点E作EG∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EG，
∴∠A＋∠1＝180°，∠C＋∠2＝180°，
∴∠A＋∠1＋∠2＋∠C＝360°，
即∠BAE＋∠AEC＋∠ECD＝360°.
（3）2∠AFC＋∠AEC＝360°，理由如下：
由（1）可得∠AFC＝∠BAF＋∠DCF，
∵AF平分∠BAE，CF平分∠DCE，
∴∠BAE＝2∠BAF，∠DCE＝2∠DCF，
∴∠BAE＋∠DCE＝2∠AFC，
由（2）可知，∠BAE＋∠AEC＋∠DCE＝360°，
∴2∠AFC＋∠AEC＝360°.
23.解：（1）如图1，过点P作PE∥AB.
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠APE＝∠BAP，∠CPE＝∠DCP，
∴∠APC＝∠APE＋∠CPE＝∠BAP＋∠DCP＝60°＋20°＝80°.
（2）∠AKC＝∠APC.
理由：如图2，过点K作KE∥AB.
∵AB∥CD，
∴KE∥AB∥CD，
∴∠AKE＝∠BAK，∠CKE＝∠DCK，
∴∠AKC＝∠AKE＋∠CKE＝∠BAK＋∠DCK.
过点P作PF∥AB.
同理可得，∠APC＝∠BAP＋∠DCP.
∵∠BAP与∠DCP的平分线相交于点K，
∴∠BAK＋∠DCK＝∠BAP＋∠DCP＝（∠BAP＋∠DCP）＝∠APC，
∴∠AKC＝∠APC.
（3）∠AKC＝∠APC，
理由：如图3，过点K作KE∥AB.
∵AB∥CD，
∴KE∥AB∥CD，
∴∠BAK＝∠AKE，
∠DCK＝∠CKE，
∴∠AKC＝∠AKE－∠CKE＝∠BAK－∠DCK.
过点P作PF∥AB.
同理可得，∠APC＝∠BAP－∠DCP.
∵∠BAP与∠DCP的平分线相交于点K，
∴∠BAK－∠DCK＝∠BAP－∠DCP＝（∠BAP－∠DCP）＝∠APC，
∴∠AKC＝∠APC.

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