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1　探索勾股定理
第1课时　探索勾股定理
认识勾股定理
1.(2025抚顺一中期中)下列说法正确的是(　　)
A.在△ABC中,若∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,则a2+b2=c2
B.在Rt△ABC中,若∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,则a2+b2=c2
C.在Rt△ABC中,若∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,∠A=90°,则a2+b2=c2
D.在Rt△ABC中,若∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,∠A=90°,则c2+b2=a2
2.如图是单位长度为1的正方形网格,格点上A,B两点间的距离为 (　　)
A.4 B.4.5 C.5 D.6
3.写出图中直角三角形未知边的长度:b=　　　　,c=　　　　。
4.(原创题)如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,AD平分∠BAC。求AD的长度。
勾股定理与面积计算
5.如图,以直角三角形的三边为边分别向外作正方形。已知正方形中的数据分别为其对应的面积,则根据图中数据,可得出正方形A的面积是 (　　)
A.12 B.24 C.30 D.10
6.如图,点E在正方形ABCD的边AB上,若EB=1,EC=2,则S正方形ABCD= (　　)
A.1 B.3 C.4 D.5
7.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,分别以AB,AC,BC为直径向外作半圆,它们的面积分别记作S1,S2,S3,其中S1=25π,S2=16π,S3=　　　　。(用含π的代数式表示)
1.如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形,其中阴影部分的面积是 (　　)
A.16 B.25 C.144 D.169
2.(易错题)若一直角三角形的两边长分别为12和5,则第三边长的平方是 (　　)
A.169 B.169或119
C.13或15 D.15
3.如图,△ABC的顶点A,B,C在边长为1的正方形网格的格点上,BD⊥AC于点D,则BD的长为 (　　)
A.　　　　　 B. C.　　　　　 D.
4.(2024大庆中考)如图①,直角三角形的两个锐角分别是40°和50°,其三边上分别有一个正方形。执行下面的操作:由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形,再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形。图②是1次操作后的图形。图③是重复上述步骤若干次后得到的图形,人们把它称为“毕达哥拉斯树”。若图①中的直角三角形斜边长为2,则10次操作后图形中所有正方形的面积和为 　　　　。
　
　　　②　　　　 　　③
5.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,D为AC上一点。若BD是∠ABC的平分线,则AD=
　　　　。
6.如图,已知在△ABC中,∠ACB=90°,AB=5 cm,BC=3 cm,CD⊥AB于点D,求CD的长。
7.如图,有一块四边形草坪ABCD,∠B=∠D=90°,AB=20 m,BC=15 m,CD=7 m。求这块草坪ABCD的面积。
8.(推理能力)定义:如图,点M,N把线段AB分割成AM,MN,NB三部分,若以AM,MN,NB为边的三角形是一个直角三角形,则称点M,N是线段AB的勾股分割点。
(1)已知点M,N把线段AB分割成AM,MN,NB三部分,若AM=2,MN=4,NB2=12,则点M,N是线段AB的勾股分割点吗 请说明理由。
(2)已知点M,N是线段AB的勾股分割点,且AM为直角边,若AB=12,AM=5,求NB的长。
【详解答案】
基础达标
1.D　2.C　3.12　30
4.解:因为AB=AC,AD平分∠BAC,
所以AD⊥BC,BD=DC=BC=3。
在Rt△ABD中,AD2=AB2-BD2=52-32=42,所以AD=4。
5.B　6.B　7.9π
能力提升
1.B　解析:阴影部分的面积=空白大正方形的面积=132-122=169-144=25。故选B。
2.B　解析:当12是直角边长时,第三边长的平方=122+52=169;当12是斜边长时,第三边长的平方=122-52=119。综上所述,第三边长的平方是169或119。故选B。
3.C　解析:如图,过点A作AE⊥BC于点E。S△ABC=×BC×AE=×AC×BD。因为AE=4,AC2=42+32=52,所以AC=5。又因为BC=4,所以×4×4=×BD×5。解得BD=。故选C。
4.48　解析:把图②中各个小正方形标上字母,设正方形A的边长为x,正方形B的边长为y。所以正方形A的面积为x2,正方形B的面积为y2。由题意,得正方形C的边长为2,并且是直角三角形的斜边。所以正方形C的面积为4。根据勾股定理可得x2+y2=22=4。所以正方形A的面积+正方形B的面积=4;所以图①中所有正方形的面积和=4+4=8。同理可得,正方形E的面积+正方形F的面积=正方形A的面积,正方形G的面积+正方形H的面积=正方形B的面积,所以正方形E的面积+正方形F的面积+正方形G的面积+正方形H的面积=正方形A的面积+正方形B的面积=4。所以图②中所有正方形的面积和=图①中所有正方形的面积和+4=12,即1次操作后所有正方形的面积和=图①中所有正方形的面积和+4=12。同理可得2次操作后增加的8个小正方形的面积和也是4。所以2次操作后所有正方形的面积和=图①中所有正方形的面积和+2×4=8+8=16。所以10次操作后所有正方形的面积和=图①中所有正方形的面积和+10×4=8+40=48。
　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①　　　　②
5.5　解析:如图,过点D作DE⊥AB于点E,则∠DEB=90°。
因为BD是∠ABC的平分线,所以∠CBD=∠EBD。在△BCD和△BED中,所以△BCD≌△BED(AAS)。所以BC=BE=6。在Rt△ABC中,AB2=AC2+BC2=82+62=102,所以AB=10。所以AE=AB-BE=10-6=4。设CD=DE=x,则AD=AC-CD=8-x。在Rt△ADE中,AE2+DE2=AD2,所以42+x2=(8-x)2。解得x=3。所以AD=8-x=5。
6.解:因为△ABC是直角三角形,AB=5 cm,BC=3 cm,
由勾股定理,得
AC2=AB2-BC2,
所以AC=4 cm。
又因为S△ABC=AB·CD=BC·AC,
所以CD= cm。
所以CD的长是 cm。
7.解:如图,连接AC。
由题意,得AC2=AB2+BC2=202+152=625。
又AD2=AC2-CD2=625-49=576=242,
所以AD=24 m。所以这块草坪ABCD的面积=AB×BC+AD×DC=×20×15+×24×7=234(m2)。
8.解:(1)点M,N是线段AB的勾股分割点。理由如下:
因为AM2+NB2=22+12=16,MN2=42=16,
所以AM2+NB2=MN2。
所以以AM,MN,NB为边的三角形是一个直角三角形。
故点M,N是线段AB的勾股分割点。
(2)设NB=x,则MN=12-AM-NB=7-x。
①当MN为最长线段时,依题意,得MN2=AM2+NB2,即(7-x)2=25+x2。
解得x=。
②当NB为最长线段时,依题意,得NB2=AM2+MN2,即x2=25+(7-x)2。
解得x=。
综上所述,NB的长为或。第2课时　勾股定理的验证及简单应用
勾股定理的验证
1.(数学文化)我国古代数学家赵爽用数形结合的方法,给出了勾股定理的证明。如图,从图1变换到图2,可以用下列式子来表示的是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
图1　　　　　图2
A.a2+b2+4×ab=c2+4×ab
B.4×ab+(b-a)2=c2
C.(a+b)2=2×ab+c2
D.(a+b)2=2×ab+c2
2.(2025深圳盐田区期中)用如图1所示的4个形状、大小完全一样的直角三角形拼一拼、摆一摆,可以摆成如图2所示的正方形。下面我们利用这个图形验证勾股定理。
　　　　　　　　　　　　　　　　　图1　　　图2
(1)图2中大正方形的边长为　　　　,里面小正方形的边长为　　　　;
(2)大正方形面积可以表示为　　　　,也可以表示为　　　　　　;
(3)对比这两种表示方法,可得出　　　　　　　　　　,整理得　　　　。
勾股定理的简单应用
3.如图,有两棵树,一棵高8 m,另一棵高2 m,两树相距8 m,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,则它至少要飞行的距离为 (　　)
A.6 m B.8 m C.10 m D.12 m
4.如图是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图,根据图中标出的尺寸(单位:mm),计算两圆孔中心A和B的距离为　　　　mm。
5.如图,将长为13 m的梯子AC斜靠在墙上,BC长为5 m,求梯子上端A到墙的底端B的距离AB。
1.意大利著名画家达·芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理。若设图1中空白部分的面积为S1,图2中空白部分的面积为S2,则下列等式成立的是 (　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图1　　　　　　图2
A.S2=c2
B.S2=c2+ab
C.S1=a2+b2+ab
D.S1=a2+b2+2ab
2.(2024南通中考)“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理。如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形。设直角三角形的两条直角边长分别为m,n(m>n)。若小正方形面积为5,(m+n)2=21,则大正方形面积为(　　)
A.12 B.13 C.14 D.15
3.(跨学科)如图,∠AOB=90°,OA=25 m,OB=5 m,一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O,机器人立即从点B出发,沿直线匀速前进拦截小球,恰好在点C处截住了小球。如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等,那么机器人行走的路程BC是 (　　)
A.12 m B.13 m C.14 m D.15 m
4.如图,有一个绳索拉直的木马秋千,绳索AB的长度为5 m,若将它沿水平方向向前推进3 m(即DE=3 m),且绳索保持拉直的状态,则此时木马上升的高度为 (　　)
A.1 m B.1.5 m C.2 m D.4 m
5.图1中有一首古算诗,根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度,其示意图如图2,其中AB=AB',AB⊥B'C于点C,BC=0.5尺,B'C=2尺。设AC的长度为x尺,可列方程为　　　　　　　。
　
　　　　　　　　　　　　　　　　图1　　　　　　　　　　图2
6.勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧妙各有不同,其中的“面积法”给了小明灵感,他惊喜地发现,当四个全等的直角三角形如图摆放时,可以用“面积法”来验证a2+b2=c2。请你写出验证过程。
7.(应用意识)八(1)班开展了手工制作竞赛,每个同学都在规定时间内完成一件手工作品。陈莉同学在制作手工作品的第一、二个步骤:
①先裁下了一张长BC=20 cm,宽AB=16 cm的长方形纸片ABCD;
②如图,将纸片沿着直线AE折叠,点D恰好落在BC边上的F处。
请你根据①②步骤计算EC,FC的长。
【详解答案】
基础达标
1.B
2.(1)a+b　c
(2)(a+b)2　ab×4+c2
(3)(a+b)2=ab×4+c2　c2=a2+b2
3.C　4.100
5.解:由题意,得AB2=AC2-BC2=132-52=169-25=144。所以AB=12 m。
所以梯子上端A到墙的底端B的距离AB为12 m。
能力提升
1.C　解析:由题图可得,S1=S2,S1=a2+b2+ab,S2=c2+×ab×2=c2+ab。故选C。
2.B　解析:由题意可知,中间小正方形的边长为m-n,所以(m-n)2=5,即m2+n2-2mn=5①。因为(m+n)2=21,所以m2+n2+2mn=21②。①+②,得2(m2+n2)=26,所以大正方形的面积为m2+n2=13。故选B。
3.B　解析:设AC=x m,则OC=(25-x)m。依题意知BC=AC=x m,在Rt△OBC中,OC2+OB2=BC2,即(25-x)2+52=x2。解得x=13。所以BC=13 m。故选B。
4.A　解析:如图,过点C作CF⊥AB于点F。
所以∠AFC=90°,CF=DE=3 m。因为AB=AC=5 m,所以AF2=AC2-CF2=52-32=25-9=16。所以AF=4 m。所以BF=AB-AF=5-4=1(m),即此时木马上升的高度为1 m。故选A。
5.x2+22=(x+0.5)2　解析:在Rt△AB'C中,由勾股定理得,AC2+B'C2=AB'2,即x2+22=(x+0.5)2。
6.解:如图,因为S五边形ABCDE=S梯形ABCF+S梯形AFDE=S正方形ABGE+2S△BCG,
即(b+a+b)×b+(a+a+b)×a=c2+2×ab,
所以ab+b2+a2+ab=c2+ab。
所以a2+b2=c2。
7.解:由折叠的性质可知,
DE=FE,AD=AF。
因为四边形ABCD是长方形,
所以CD=AB=16 cm,AF=AD=BC=20 cm,∠B=90°。
在Rt△ABF中,由勾股定理,得BF=12 cm。
所以FC=20-12=8(cm)。
设EC=x cm,则DE=EF=(16-x)cm。
在Rt△CEF中,由勾股定理,得
(16-x)2=82+x2。
解得x=6。
所以EC=6 cm。

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