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(共26张PPT)
浙教版八年级上册
3.2 不等式的基本性质
基本事实：
从实数运算角度来讲，我们依据实数运算的结果，
两实数大小的关系有以下定义：
如果a-b是正数，那么a>b;
如果a-b=0,那么a=b;
如果a-b是负数，那么a数学语言：
a-b>0
a>b
a-b=0
a=b
a-b<0
a如果在数轴上两个不同的点A与B分别对应不同的实数a与b,
那么右边的点对应的实数比左边的点对应的实数大
A
a
B
b
点A在点B的右边
a>b
两个数比较大小：
①作差法
② 画图法
（1）已知:a（1）已知:aa位置：表示数c的点在表示数a的点的右边
法1：画图法（借助数轴，直观感知）
B
b
A
a
c
C
法2：作差法
aa-b<0 ①
bb-c<0 ②
依据：负数小于零，负数+负数=负数
①+② 得：
（a-b)+(b-c)<0
a-c<0
不等式的基本性质1：若a＜b，b＜c，则a＜c。
a（2）比较大小
3___5； 3＋2___5＋2； 3－2___5－2
7___4 ； 7＋(－2)___4＋(－2)； 7－(－2)___4－(－ 2)
若a＞b，那么a＋c＿＿b＋c，a－c＿＿b－c.
＜
＜
＜
＞
＞
＞
＞
＞
若a＜b，那么a＋c＿＿b＋c，a－c＿＿b－c.
＜
＜
① 如果a＞b，那么a+c＞b+c，a-c＞b-c；
② 如果a＜b，那么a+c＜b+c，a-c＜b-c.
不等式的两边都加上(或减去)同一个数,所得到的不等式仍成立.
（不等号方向不变）
你有哪几种方法证明上述命题？
① 如果a＞b，那么a+c＞b+c，a-c＞b-c；
② 如果a＜b，那么a+c＜b+c，a-c＜b-c.
法1：作差法
a+c＞b+c
（a+c)-(b+c)=a+c-b-c=a-b>0,
①
(a-c)-(b-c)=a-c-b+c=a-b>0,
(a-c)>(b-c)
把a>b表示在数轴上，
不妨设c>0
法2：画图法
b
a
b
a
b+c
c
a+c
c
∴a+c>b+c
C
b-c
C
a-c
∴a-c>b-c
3<5
则3×2______5×2；
＜
＜
3× ______5× ；
3÷ ______5÷ ；
<
＞
3÷ ______5÷ .
3×(-2)______5×(-2)；
＞
3× ______5× .
＞
（3）用“＜”或“＞”填空
你发现了什么？
运算中的不变性
不等式的基本性质（3）
对不等式两边进行乘除运算
在不等式的两边施加乘法运算（或除法运算），发现的规律是运算后所保持的不等号方向不变或要求不等号方向必须改变
如果a＞b，c>0，那么ac____bc（或 ）.
＞
不等式的基本性质3①：
不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
不等式的基本性质3②：
不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
用字母表示：
用字母表示：
如果a＞b，c＜0，那么ac ___bc（或 ）.
.
如果a＞b，c>0，那么ac____bc（或 ）.
＞
如果a＞b，c＜0，那么ac ___bc（或 ）.
.
证明不等式的基本性质3.
<
归纳：不等式的基本性质：
性质3：不等式的两边都乘(或都除以)同一个正数,所得到的不等式仍成立；
不等式的两边都乘(或都除以)同一个负数,必须把不等号的方向改变,所得到的不等式成立.
性质1：若a＜b，b＜c，则a＜c。
性质2：不等式的两边都加上(或减去)同一个数,所得到的不等式仍成立.
（不等号方向不变）
（不等号方向不变）
（不等号方向改变）
（传递性）
例1.将下列不等式化成“x > a”或“x < a”的形式：
（1）x - 5 > -1. （2）-2x > 3.
解：（1）根据不等式的基本性质1，在不等式两边都加5，得x - 5 + 5 > -1 + 5，即x > 4.
学以致用：
（2）根据不等式的基本性质3，在不等式两边都除以 -2，得 x < -
。
解：(1)不等式的两边都减去2x，由不等式基本性质2，
.变式：将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式：
(1) 3x < 2x －3 (2)－x＜ (3) x＜3
(3) 根据不等式的基本性质3，两边都乘以2，
得x≤6.
得 3x －2x < 2x－3－2x，
即 x < －3.
（2）根据不等式的基本性质3，两边都除以－1，
得x>－
例2　已知a<0 ，试比较2a与a的大小.
你有哪几种方法证明上述命题，多多益善？
解法二：（借助数轴）
例2　已知a<0 ，试比较2a与a的大小.
解法一：（不等式的基本性质3）
∵2＞1，a＜0，
∴2a＜a.
　如图,在数轴上分别表示2a和a的点(a＜0).
2a位于a的左边，所以2a＜a.
0
a
2a
∣a∣
∣a∣
解法三：（利用不等式基本性质2）
∵a＜0，
∴ a+a＜0+a，
即2a ＜a.
　已知a<0 ，试比较2a与a的大小.
解法四: （作差法）
∵2a－a=a ＜0，
∴2a＜a.
解法5：特殊值法:
设a=-1，则 2a=-2.
∵-2＜-1，∴2a ＜a.
　已知a<0 ，试比较2a与a的大小.
1.选择适当的不等号填空：
（1）∵0 __ 1,
　∴ a___a＋1(不等式的基本性质2）；
（2）∵(a－1)2___ 0,
　∴(a － 1)2 －2___－2( )
＜
＜
≥
≥
不等式的基本性质2
当堂检测：
夯实基础，稳扎稳打
清楚地，对不等式的两端同步施加什么运算
＜
＜
＞
＜
＞
2、已知 a﹤b，用“＜”或“＞”号填空：
(1) a－4____b－4； (2)3a____3b；
(3)－a－2____－b －2； (4)a－b____0；
(5)－—a____－—b；
（6）ac2_____bc2 ( c 为有理数 )
（7）a（c2+1） ____b（c2 +1) ( c 为有理数 )
1
3
1
3
≤
<
清楚地，对不等式的两端同步施加什么运算
D
3.有一道这样的题：“由★x＞1得到 x＜ ”，
则题中★表示的是(　　)
A．非正数 B．正数
C．非负数 D．负数
4.若 x 比较 2-3x 与2-3y 的大小，并说明理由。
解：∵x＜y
∴-3x＞-3y
（不等式性质3）
∴2-3x＞2-3y
（不等式性质2）
连续递推，豁然开朗
5.若 x ，且（a-3)x
解：∵x＜y， （a-3）x＞（a-3）y
∴a-3＜0
（不等式性质3）
∴a＜3
（不等式性质2）
6.如果 , 那么xy 0.
（依据 ）
.
＞
不等式的基本性质3
7.如果b<0，你能比较a－b，a+b的大小吗？
a-b＞a+b
作差法比较大小：
（a-b)-(a+b)=a-b-a-b=-2b
.
8.小明和小华在探究数学问题.
小明说： “ 3y＞4y ”.
小华认为小明说错了，应该是3y＜4y，
聪明的你觉得呢
谁做对了
当y＞0时, 3y ＜ 4y;
当y= 0时, 3y = 4y;
当y ＜ 0时, 3y ＞4y.
谢谢
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