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山东省烟台市招远市2024-2025学年下学期期末考试八年级数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列式子是一元一次不等式的是（ ）
A． B． C． D．
2．观察下列作图痕迹，所作线段为的角平分线的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．若，则 B．全等三角形的周长相等
C．任何一个直角三角形中，都没有钝角 D．对应角相等的三角形是全等三角形
4．下列说法不一定成立的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
5．如图，≌，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．将不等式组的解集在数轴上表示，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图所示，在中，的垂直平分线分别交、于、两点，且，，则的周长是（ ）

A． B． C． D．
8．若不等式组有解，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．如图所示的网格是的正方形网格，点，，，均落在格点上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在锐角中，是边上的高．，且，连接，交的延长线于点，连接，下列结论：；；；是中点．其中一定正确的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
二、填空题
11．一元一次不等式的最大整数解是 ．
12．用一条长细绳（不留余绳）围成一个等腰三角形，若一边长是另一边长的倍，则底边的长为 ．
13．在平面直角坐标系中，直线经过点，则关于的不等式的解集是 ．
14．如图，小明与小颖玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点（即跷跷板的中点）至地面的距离是，小明和小颖分别坐在距离支点相等的位置玩跷跷板当小颖从水平位置下降时，这时小明离地面的高度是 ．
15．运行程序如图所示,规定:从“输入一个值x"”到“结果是否为一次程序如果程序操作进行了三次才停止，那么x的取值范围是
16．若一个三角形中一个角的度数是另一个角的度数的3倍，则称这样的三角形为“和谐三角形”．例如，三个内角分别为的三角形是“和谐三角形”，如图，，，当是“和谐三角形”时，的度数是 ．

三、解答题
17．计算：
(1)解方程组：；
(2)解不等式组：，将解集在数轴上表示出来，并写出最小整数解．
18．已知：如图，四边形，E为边上一点．
求作：四边形内一点P，使，且点P到的距离相等．
19．我们定义：如果两个一元一次不等式有公共解，那么称这两个不等式互为“云不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“云不等式”．
(1)不等式______（选填“是”或“不是”）的“云不等式”；
(2)若关于的不等式与不等式互为“云不等式”，且有个公共的整数解，求的取值范围．
20．如图，四边形中，，点为的中点，连接并延长交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)连接，当，，时，求的长．
21．如图是一款落地的平板支撑架，垂直水平地面，，是可转动的支撑杆，调整支撑杆使得其侧面示意图如图所示，此时平板，，．
(1)请求出的度数；
(2)先将支撑杆调整至图所示位置，调整过程中，和大小不变，，再顺时针调整平板至，使得，请求出平板旋转的角度的度数．
22．如图，平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点．
(1)求，的值；
(2)当时，的取值范围是______；
(3)请求出当取何值时，满足不等式组．
23．项目化学习
【项目主题】优化运输方案：探究运输商品和总运费之间的关系．
【项目背景】近年来，物流公司使某企业节省了货运成本某校综合实践活动小组以探究“优化某企业运输方案”为主题开展项目学习．
【研究步骤】
（1）收集某公司每月运往各地商品的信息；
（2）对收集的信息，用适当的方法描述；
（3）信息分析，形成结论．
【数据信息】
信息，某物流公司每月要将某企业的件商品分别运往A，，三地，其中运往地的件数是运往地件数的倍；
信息，各地的运费如表所示：
运送地点 A地 地 地
运费元件
【问题解决】
(1)设运往地的商品（件），总运费为（元），试求出与的函数关系式；
(2)若某月计划总运费不超过元，最多可运往地的商品为多少件？
24．【图形定义】
若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为“勾股高三角形”，两边交点为勾股顶点，如图，在中，，为边上的高，，则为勾股高三角形．
【性质探究】
为勾股高三角形，
，即，
又为的高，
在中，根据勾股定理得：，
，即．
【概念理解】
（1）等腰直角三角形______勾股高三角形（请填写“是”或者“不是”）；
【性质运用】
（2）如图，已知为勾股高三角形，其中为勾股顶点，是边上的高，，若，请求出线段的长；
【拓展提升】
（3）如图，等腰为勾股高三角形，其中点为勾股顶点，，为边上的高，过点作边的平行线与边交于点若，请求出线段的长．
25．如图，中，，，，若点从点A出发，以每秒速度沿折线运动，设运动时间为秒．
(1)线段的长度为______；
(2)若点恰好在的角平分线上，求此时的值；
(3)在点的运动过程中，直接写出为何值时，为等腰三角形．
山东省烟台市招远市2024-2025学年下学期期末考试八年级数学试题参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C D C B C D B B A
1．A
【详解】解：选项A：，含有一个未知数x，次数为1，且为不等式，符合定义，故该选项符合题意，
选项B：，是等式而非不等式，故该选项不符合题意，
选项C：，含有两个未知数x和y，不符合“一元”条件，故该选项不符合题意，
选项D：，未知数x的次数为2，不符合“一次”条件，故该选项不符合题意，
故选：A．
2．C
【详解】：所作线段为AB边上的高，选项错误；
B：做图痕迹为AB边上的中垂线，CD为AB边上的中线，选项错误；
C：CD为的角平分线，满足题意。
D：所作线段为AB边上的高，选项错误
故选：Ｃ.
3．D
【详解】解：选项A：逆命题为“若，则”，
当时，但，故逆命题为假；
选项B：逆命题为“周长相等的三角形是全等三角形”，
反例：边长为3、4、5的三角形与边长为4、4、4的三角形周长均为，但二者不全等，故逆命题为假；
选项C：逆命题为“没有钝角的三角形是直角三角形”，
反例：三个角均为的等边三角形无钝角，但不是直角三角形，故逆命题为假；
选项D：逆命题为“全等三角形的对应角相等”，
根据全等三角形的性质，全等三角形对应角相等，故逆命题为真．
故选：D．
4．C
【详解】解：A. 若，两边同减3，不等式方向不变，故一定成立；
B. 若，两边同减3，不等式方向不变，故一定成立；
C. 若，两边同乘以时，不等式方向需改变，正确结论应为，而选项C中显然错误，因此该命题一定不成立；
D. 若，两边同除以3（正数），不等式方向不变，故一定成立．
故选：C．
5．B
【详解】解：，，
，
，
，
故选：B．
6．C
【详解】解：，
解不等式得，，
不等式组的集为．
将不等式组的解集在数轴上表示，如图所示：
故选：C．
7．D
【详解】解：是的垂直平分线，
，
，，
的周长
，
故选：．
8．B
【详解】解：解第一个不等式，得：，
解第二个不等式，得：，
若不等式组有解，则需满足，
解得：．
故选：B．
9．B
【详解】解：记与的交点为点F，如图，
在和中，
，
≌，
，
，
，
∴，
．
故选：B．
10．A
【详解】解：如图，设与交于点，作于点，的延长线于点，
，
，即，
，，
，
，故①正确；
，
，
又，，
，
，故②正确；
，
，
，
，故③正确；
，，
，
，，
，
，
同理，，
，
，
，，
，
，
即是的中点，故④正确．
综上所述正确的有①②③④，共4个；
故选A．
11．
【详解】解：，
去分母，得，
移项，合并同类项，得，
不等式的最大整数解为，
故答案为：．
12．
【详解】解：设较短的边长是，则较长的边长是，
如果等腰三角形的腰长是底边长的倍，
，
，
此时等腰三角形的三边长分别是、、，满足三角形三边关系；
如果等腰三角形的底边长是腰长的倍，
，
，
此时等腰三角形的三边长分别是、、，不满足三角形三边关系，不能围成一个等腰三角形；
综上所述，等腰三角形的底边长是，
故答案为：．
13．
【详解】解：将代入得，
，
当时，．
所以关于的不等式的解集是．
故答案为：．
14．
【详解】解：如图：
是和的中点，
，
在和中，
，
，
，
又，
，
小明离地面的高度支点到地面的高度，
故答案为：．
15．
【详解】解：根据题意前两次输入值都小于19，第三次值大于19可得不等式组为：
，解得
故答案为：.
16．或或或．
【详解】解：∵，
∴．
当是“和谐三角形”时，分四种情况：
①当时，，
∴，
∴；
②当时，，
∴；
③当时，
∵
∴，
∴．
④当时，，
∴．
综上所述，的度数是或或或．
故答案为：或或或．
17．(1)
(2)，见解析，．
【详解】（1）解：，
整理得，
得，，
解得，
把代入中，解得，
方程组的解为；
（2）解：，
解不等式得，，
解不等式得，，
不等式组的解集为，
把不等式组的解集表示在数轴上，如图所示：
，不等式组的最小整数解为．
18．见解析
【详解】解：作的平分线，以E为顶点，为一边作，交于P，如图，点P即为所求．
19．(1)不是
(2)的取值范围为
【详解】（1）解：与没有公共解，
不等式不是的“云不等式”，
故答案为：不是；
（2）解：解不等式，得；
解不等式，得；
这两个不等式互为“云不等式”，
，
又它们有个公共的整数解，
其公共整数解为和，
由题意得：，
，
的取值范围为．
20．(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：，
，，
点为的中点，
，
在和中，
，
；
（2）解：由可知：，
，，
，
，，
，
，，
是的垂直平分线，
．
21．(1)
(2)．
【详解】（1）如图：过点作，
，
∵，
∴，
，
，
，
，，
；
（2）解：如图：延长交于点，
是的一个外角，
，
∵
，
，
，
．
22．(1)，
(2)
(3)
【详解】（1）解：由题意，把点代入中得：，
点的坐标为．
把点代入中得：，
．
答：，；
（2）解：由题意，，
此时的图象在的下方．
结合图象可得，．
故答案为：；
（3）解：由（1）可知：，
其与轴的交点坐标为．
由图象可得：当时，．
与轴的交点坐标为，
由图象可得：当时，．
当时，满足不等式组．
23．(1)
(2)．
【详解】（1）解：运往地的商品件，运往地的商品件，
根据题意，得，
与的函数关系式为；
（2）解：根据题意，得，
解得，
最多可运往地的商品为件．
24．（1）是
（2）线段的长为
（3）
【详解】（1）等腰直角三角形是勾股高三角形．
故答案为：是；
（2）为勾股高三角形，，
由其性质可知：，
，
，
在中，根据勾股定理得：，
即，
，
线段的长为；
（3）过点A作，垂足为点，
，
等腰为勾股高三角形，，
只能满足，由其性质可知：，
为边上的高，
，
又，
，
在和中，
，
∴，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
．
25．(1)3
(2)或
(3)或或或
【详解】（1）解：在中，，，，
．
故答案为：；
（2）解：如图，当点恰好在的角平分线上且在边上时，
过作于，
平分，，
，，
又∵，
∴，
∴，
，
设，则，
在中，，
，
解得，
，
，
当点与点重合时，点也在的角平分线上，
此时，．
综上所述，点恰好在的角平分线上，的值为或；
（3）解：分四种情况：
如图，当在上且时，
∴，
而，，
，
，
是的中点，即，
；
如图，当在上且时，
；
如图，当在上且时，过作于，
则，
中，，
，
；
如图，当在上且时，，
．
综上所述，当或或或时，为等腰三角形．

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