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2025年人教版八年级上册第13章《三角形》单元检测卷
满分120分 时间120分钟
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（共30分）
1．下列长度的三条线段能组成三角形的是( )
A．、、 B．、、
C．、、 D．、、
2．亮亮说：“三角形的个内角最多有两个角是锐角．”下面图形可以说明亮亮的说法是错误的是（ ）
A． B． C． D．
3．用三角板作的边上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．如果一个三角形的三个内角度数之比为，则该三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
5．如图，在中，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，点D在的延长线上，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．在中，是中线，与的周长差为7．若，则（ ）
A．10 B．12 C．14 D．15
8．如图，在中，是边上的中线，是的中点，若的面积为，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，将直角三角形纸片的直角C沿折叠，点C落在纸片内部的点P处．如果，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，与的平分线交于点，的外角平分线所在的直线与的平分线相交于点，与的外角平分线相交于点，则下列结论①；②；③；④．正确的有：（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（共18分）
11．若三角形三个内角的比为，则这个三角形按角分类是 三角形．
12．如图，，垂足为E，，，则 ．
13．如图，D、E分别是的边、的中点，连接、，则： ．
14．如图，若，则，，，，之间的关系为 ．
15．在中，为边上的高，，，则 度．
16．如图，点是的内角和的平分线的交点，点是的内角和的角平分线的交点，同样点是的内角和的角平分线的交点，若，那么 ．
三、解答题（共72分）
17．（8分）利用网格中的点A，B，C，D，E，在下面的方框中画三角形：
(1)在第一个方框中画锐角三角形；
(2)在第二个方框中画直角三角形；
(3)在第三个方框中画钝角三角形．
18．（8分）已知的三边长分别为．
(1)化简：；
(2)若，第三边的长为奇数，判断的形状．
19．（8分）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点A，B，C都是格点（小正方形的顶点），完成下列画图．
(1)画出的重心P．
(2)在已知网格中找出一个格点D，使与的面积相等．
20．（8分）如图，在中，，，垂足为，平分．
(1)若，，求的度数；
(2)若，求证：．
21．（8分）如图，在中，为边上的高，为边上的中线，平分，交于点．
(1)若，的面积为20，求的长；
(2)若，，求的度数．
22．（10分）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法．
(1)如图1，在中，，，，，，垂足为点，则的长是_______；
(2)如图2，在中，，，则的高与的比是________；
(3)如图3，在中，，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，，求的值．
23．（10分）【问题背景】（1）小明在学习多边形时，把如图1的图形看成“8”字形，并得出如下结论：，请你说明理由；
【尝试应用】（2）如图2，、分别平分、，若，，求的度数；
【拓展延伸】（3）如图3，已知，，，，其中，且为整数，请利用上述结论或方法直接写出的度数．（用含n，，的代数式表示）
24．（12分）（1）如图1，在中，和的平分线交于点O，求与的关系，请说明理由．
（2）如图2，在中，内角的平分线和外角的平分线交于点O，请直接写出与的关系，不必说明理由．
（3）如图3，分别平分，，求与（）的关系，请说明理由．
（4）如图4，分别平分，，请直接写出与，的关系，不必说明理由．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C D A B C B D D D
1．C
【分析】本题考查了三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，逐一验证各选项即可．
【详解】A．最大边为，检验，等于第三边，不满足两边之和大于第三边，无法构成三角形．
B．最大边为，检验，小于，不满足两边之和大于第三边，无法构成三角形．
C．最大边为，检验，满足两边之和大于第三边；
其他组合和均成立，因此可以构成三角形．
D．最大边为，检验，小于，不满足两边之和大于第三边，无法构成三角形．
综上，只有选项C符合条件．
故选：C．
2．C
【分析】本题考查了三角形的三个内角，亮亮说：“三角形的个内角最多有两个角是锐角．”要想说明亮亮的说法错误，需要用锐角三角形说明．
【详解】解：A选项：直角三角形有一个直角，两个锐角，不能说明亮亮的说法错误，故A选项不符合题意；
B选项：钝角三角形有一个钝角，两个锐角，不能说明亮亮的说法错误，故B选项不符合题意；
C选项：锐角三角形的三个角都是锐角，能说明亮亮的说法错误，故C选项符合题意；
D选项：钝角三角形有一个钝角，两个锐角，不能说明亮亮的说法错误，故D选项不符合题意；
故选：C．
3．D
【分析】本题主要考查了画三角形的高，过三角形的一个顶点作其对边的垂线，顶点与垂足的连线段叫做对边上的高，据此可得答案．
【详解】解：由三角形高的定义可得，四个选项中只有D选项中的图形符合题意，
故选：D．
4．A
【分析】本题考查了三角形内角和定理．
根据三角形内角和定理，将角度比转化为具体度数，判断最大角的类型即可确定三角形的类别．
【详解】解：设三个内角的度数分别为、、，
根据三角形内角和为，可得：
解得：
因此，三个内角分别为：，，
最大角为，小于，
故三个角均为锐角，
因此，该三角形是锐角三角形，
故选A．
5．B
【分析】本题考查了直角三角形两个锐角互余，掌握直角三角形两个锐角互余是解题的关键．
根据直角三角形两个锐角互余即可求解．
【详解】解：∵中，，
，
故选：B．
6．C
【分析】本题考查了三角形外角的定义，由图可知，是的外角，根据即可求出答案．
【详解】∵，，
∴．
故选：C．
7．B
【分析】本题考查的是三角形的中线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．根据三角形的中线的概念得到，再根据三角形的周长公式计算即可．
【详解】解：是△的中线，
，
与的周长差为7，
，
，
，
，
故选：B．
8．D
【分析】此题考查了三角形中线的性质，利用中线等分三角形的面积进行求解即可，解题的关键是熟练掌握三角形中线的性质及其应用．
【详解】解：∵是边上的中线，
∴，
∵是的中点，
∴，
故选：．
9．D
【分析】本题考查的是三角形的折叠问题，注意折叠前后的两个图形完全重合．由折叠可得：，，再根据三角形的内角和求出，最后根据平角数为定义即可求解．
【详解】解： 由翻折得到，，
，，
，
．
故选：D．
10．D
【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟练掌握角平分线的定义和三角形的外角性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．由角平分线的定义可得，再由三角形的内角和定理可求解，即可判定①；由角平分线的定义可得，结合三角形外角的性质可判定②；由三角形外角的性质可得，再利用角平分线的定义及三角形的内角和定理可判定③；利用三角形外角的性质可得，结合可判定④．
【详解】解：∵，的平分线交于点，
∴，，
∴，
∴，
故①正确，符合题意；
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故②正确，符合题意；
∵，，，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故③正确，符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，
故④正确，符合题意；
综上正确的有：①②③④．
故选：D．
11．直角
【分析】本题考查了三角形的内角和，三角形的分类，根据三角形三个内角的比求出每个角的度数，即可判断三角形的类型．
【详解】解：设一份为，则三个内角的度数分别为，，，
则，
解得，
所以，，即三个内角的度数分别为，，，
故这个三角形是直角三角形．
故答案为：直角．
12．22
【分析】此题考查了三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余，解题的关键是掌握以上知识点．
首先根据三角形内角和定理求出，然后根据直角三角形两锐角互余求解即可．
【详解】解：∵，，
∴
∵
∴
∴．
故答案为：22．
13．
【分析】本题考查三角形中线的判定和性质，连接顶点和对边中点的线段是三角形的中线，中线把三角形面积分成相等的两个部分；由中线可得与面积相等，与面积相等，即的面积是面积的．
【详解】解： 、分别是的边、的中点，
是的中线，是的中线，
，，
．
故答案为： ．
14．
【分析】设的交点为M，的交点为Q，连接并延长到点N，
，利用三角形外角性质表示，的关系，解答即可．
本题考查了三角形内角和定理，三角形外角性质，熟练掌握定理和性质是解题的关键．
【详解】解：设的交点为M，的交点为Q，连接并延长到点N，
则，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
15．34或74
【分析】本题考查求角度问题，在没有图形的情况下，必须考虑清楚各种不同的情况，根据题意分情况讨论是解决问题的关键．根据题意，由于类型不确定，需分三种情况：高在三角形内部、高在三角形边上和高在三角形外部讨论求解．
【详解】解：根据题意，分三种情况讨论：
高在三角形内部，如图所示：
在中，为边上的高，，
，
，
；
高在三角形边上，如图所示：
可知，
，
故此种情况不存在，舍弃；
高在三角形外部，如图所示：
在中，为边上的高，，
，
，
；
综上所述：或，
故答案为：或．
16．
【分析】本题是找规律的题目，主要考查了三角形的外角性质及三角形的内角和定理，平分线的定义等知识，根据角平分线的定义，三角形的外角性质及三角形的内角和定理可知，，…，依此类推可知的度数，即可求解．
【详解】解：∵和的平分线交于点，
∴，
∵，
∴
；
同理可得，，
…，
∴，
∴
故答案为：．
17．(1)画图见解析
(2)画图见解析
(3)画图见解析
【分析】本题考查的是画三角形，三角形的分类；
（1）根据锐角三角形的定义画锐角三角形的即可；
（2）根据直角三角形的定义画直角三角形的即可；
（3）根据钝角三角形的定义画钝角三角形的即可；
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求；
（3）解：如图，即为所求；
18．(1)
(2)是等腰三角形
【分析】本题主要考查整式的加减运算、绝对值的意义、三角形的三边关系及三角形的分类，熟练掌握整式的加减运算、绝对值的意义、三角形的三边关系及三角形的分类是解题的关键；
（1）根据三角形的三边关系可得，然后可去绝对值，进而问题可求解；
（2）根据三角形的三边关系可得，则有，然后问题可求解．
【详解】（1）解：∵的三边长分别为，
∴，
∴
；
（2）解：∵，
∴根据三角形三边关系可得，
∵第三边的长为奇数，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
19．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了作图—应用与设计，三角形的面积，三角形的重心等知识，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）重心是三角形中线的交点，作的中线，交于点，点即为所求；
（2）根据等高模型解决问题即可．
【详解】（1）解：如图，点即为所求，
（2）解：如图，点或（）即为所求，
．
20．(1)
(2)见解析
【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的高的定义；
（1）在中，由，得出，由平分得出；
（2）根据角平分线以及三角形的高的定义，含的式子求出的度数即可；
【详解】（1）在中，，
平分
（2）证明：在中，

平分


即．
21．(1)
(2)
【分析】此题考查了三角形的中线和高、角平分线有关的三角形内角和问题，熟练掌握三角形相关线段的性质是解题的关键．
（1）根据三角形的面积求出，再根据三角形中线得到的长；
（2）求出，由和三角形内角和定理即可求出答案．
【详解】（1）解：∵为边上的高，的面积为20，
∴，
∵，
∴，
∵点为边上的中点，
∴．
（2）∵为边上的高，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
22．(1)
(2)
(3)5
【分析】本题主要考查了求三角形的面积，熟练掌握等面积法求线段的长是解题的关键．
（1）根据题意可得，即可求解；
（2）根据题意可得，即可求解；
（3）根据可得，再由，可得，即可求解．
【详解】（1）解：∵在中，， ，
∴，
∵，，，
∴；
故答案为：；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
（3）解：∵，
且，
∴，
又∵，
∴，
∵ ，，
∴．
23．（1）见解析 （2）30° （3）
【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，对顶角相等，利用类比的思想解答是解题的关键．
（1）根据三角形的内角和定理，对顶角相等，即可求证；
（2），得，再由角平分线的定义，得到 ，即可求解；
（3）利用（1）的结论及（2）的思路得、；结合、，推出、；代入得到含、、的两个等式①②；对①式乘后与②式相加，消去、，整理得 。
【详解】解：（1）和，
，．
，
（2）分别平分，
，
由（1）可知：
由①+②可得，
，即，
，，
．
（3）直接写出结论：．
由（1）可知：，
，
，，
，，
①，
②，
由①②得：
，
．
24．（2），理由见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析；（4）
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的性质、角的和差等知识点，弄清角之间的关系成为解题的关键．
（1）由三角形内角和定理可得，再根据角平分线的定义可得、，易得，然后再根据三角形内角和定理即可解答；
（2）由角平分线的定义可得，易得，然后根据等量代换以及角的和差即可解答；
（3）由角平分线的定义可得，再根据三角形外角的性质可得，进而得到；同理可得，再根据等量代换即可解答；
（4）由角平分线的定义可得，再结合三角形内角和定理以及等量代换可得，再结合，运用等量代换即可解答．
【详解】解：（1），理由如下：
∵在中，，
∴，
∵是∠ABC的平分线，
∴，
同理可得：
∴，
∵在中，，
∴；
（2），理由如下：
∵是的角平分线，
∴．
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
（3），理由如下：
∵分别平分，
∴，
∵是和的外角，
∴，
∴，
∴，
∵是和的外角，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（4），理由如下：
∵分别平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
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