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2024-2025学年山东省德州市庆云县七年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各数中，是无理数的是( )
A. B. C. D.
2.某市为尽快了解义务教育阶段劳动课程开设及实施的情况，现面向全市义务教育阶段的学校进行抽样调查，下列抽样方式较合适的是
A. 随机抽取城区三分之一的学校 B. 随机抽取乡村三分之一的学校
C. 调查全体学校 D. 随机抽取三分之一的学校
3.如果，那么下列不等式正确的是( )
A. B. C. D.
4.如图，三根木条，，相交成，，固定木条，，将木条绕点顺时针转动至如图所示，使木条与木条平行，则可将木条旋转( )
A. B. C. D.
5.把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是( )
A. B.
C. D.
6.如图，已知点，，平移线段，使点落在点处，则点的对应点的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
7.孙子算经中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，木长多少尺？若设绳子长尺，木长尺，所列方程组正确的是( )
A. B. C. D.
8.如果点在轴上，那么点所在的象限是( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
9.健康骑行越来越受到大家的喜欢，如图是某自行车车架的示意图，已知，，点在上，，，则的度数为( )
A. B. C. D.
10.已知关于的不等式组，下面是某小组给出的结论：
结论：当时，此不等式组无解；
结论：若不等式组的解集是，则；
结论：若此不等式组有整数解，则；
结论：若不等式组的整数解只有，，，则．
其中结论正确的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.如图，用不等式表示该零件长度单位：的合格尺寸范围为______．
12.如图所示的是某商场门前的台阶，现该商场经理要在台阶上铺上一块矩形红地毯，则这块红地毯的长至少为______．
13.关于的方程的解为正数，则的取值范围为______．
14.如图，；；；；以上四个条件中能判定的有______．
15.定义：在平面直角坐标系中，点，，若为常数，则称点为点的“级位移点“如：点为点的“级位移点”如图，，若点的“级位移点”在线段上，则的取值范围是______．
三、解答题：本题共8小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
计算：
；
解不等式组．
17.本小题分
学校为了响应国家“五育并举”的号召，增强学生体质，计划开展阳光体育锻炼活动学校准备开设以下四个球类项目：羽毛球，乒乓球，篮球，排球，要求每位学生必须参加，且只能选择其中并将调查结果绘制成如下统计图，请你结合图中信息解答下列问题：
本次调查的学生人数是______人；
请把条形统计图补充完整；
在扇形统计图中，对应的圆心角为______度；
已知该学校共有名学生，请根据样本估计全校选择篮球的人数是多少？
18.本小题分
如图，这是某学校的平面示意图，大门的位置为，食堂的位置为．
根据所给的条件在图中建立适当的平面直角坐标系；
在图中标出图书馆的位置；
用坐标表示位置：宿舍楼______，实验室______．
19.本小题分
如图，直线，相交于点，，平分．
若，求的度数；
若：：，求的度数．
20.本小题分
每年月日是世界读书日，为了增强班级读书氛围，每个班级建立了如图所示的书架，已知书架的长度是，在该书架上按图示方式摆放科技类书和文学书，每本科技类书厚，每本文学书厚．
如果科技类书和文学书共本恰好摆满该书架，求书架上科技类书和文学书各多少本；
如果书架上已摆放本文学书，那么科技类书最多还可以摆多少本？
21.本小题分
如图，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点坐标为，点的坐标，且点在第一象限内，点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿着的路线移动．
求点的坐标；
当点移动到秒时，请求出点的坐标；
当点移动到距离轴个单位长度时，求点移动的时间．
22.本小题分
综合与实践：
【问题情境】
某学校大力开展社团活动，其中该校“百变魔方”社团准备去商店购买，两种魔方．
【素材展现】
素材：某商店在无促销活动时，若购买个种魔方和个种魔方共需元；购买个种魔方所需款数和购买个种魔方所需款数相同．
素材：该商店开展促销活动：
活动一：“疯狂打折”：种魔方八折，种魔方四折；
活动二：“买一送一”：购买一个种魔方送一个种魔方．
【解决问题】
该商店在无促销活动时，求、这两种魔方的销售单价各是多少元？
【拓展提升】
结合同学们的需求，社团决定购买、两种魔方共个其中种魔方不超过个设购买种魔方个，按活动一购买所需费用为______元；按活动二购买所需费用为______元均用含的代数式表示
【综合应用】
请你帮小明算一算，在的条件下，购买种魔方的数量在什么范围内时，活动二更实惠？
23.本小题分
【学科融合】物理学光的反射现象中，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等如图，一束平行光线与射向一个水平镜面后被反射，此时，．
【问题解决】
判断与是否平行．
答：平行．
理由：已知，
，依据是______；
，已知，
，依据是______；
反射光线与平行，依据是______．
【尝试探究】
利用这个规律人们制作了潜望镜，图是潜望镜工作原理示意图，、是平行放置的两面平面镜已知光线经过平面镜反射时，有，，请证明进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线平行．
【拓展应用】
如图，改变两平面镜、之间的位置，若镜子与的夹角，经过两次反射后，，，仍可以使入射光线与反射光线平行但方向相反求的度数．
答案和解析
1.
解：是整数，是有限小数，是分数，它们不是无理数，
是无限不循环小数，它是无理数，
故选：．
2.
解：根据抽样调查样本的普遍性和代表性可知，选项D相比较具有普遍性和代表性．
故选：．
3.
解：、，，故A选项正确；
B、，，故B选项错误；
C、，，故C选项错误；
D、由判断不出和的大小关系，故D选项错误．
故选：．
4.
解：如图所示，
，
旋转后，
要使木条与平行，木条绕点顺时针旋转的度数是．
故选：．
5.
解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为：，
该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
故选：．
6.
解：点，，平移线段，点落在点处，
先向下移动个单位，再向左移动个单位，
，
，即，
故选：．
7.
解：用绳子去量长木，绳子还剩余尺，
；
将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，
．
所列方程组为．
故选：．
8.
解：由题意得，，
解得，，
，，
在第四象限．
故选：．
9.
解：，
，
，
，
，
故选：．
10.
解：由得，
由得；
结论：当时，此不等式组无解，结论正确，故本选项符合题意；
结论：若不等式组的解集是，则，结论正确，故本选项符合题意；
结论：若此不等式组有整数解，则，原结论错误，故本选项不符合题意；
结论：若不等式组的整数解只有，，，则原结论错误，故本选项不符合题意．
故选：．
11.
解：由题意可知，，
，即，
故答案为：．
12.
解：利用平移线段，把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，长宽分别为米，米，
故地毯的长度为米．
故答案为：．
13.
解；，
，
，
关于的方程的解为正数，
，
，
故答案为：．
14.
解：；
；
；
；
；
；
，
能判定的有．
故答案为：．
15.
解：由题知，
因为点的坐标为，
所以点的“级位移点”的坐标为．
因为点，，且点的“级位移点”在线段上，
所以，，
则，
解得．
故答案为：．
16.；
．
原式
；
，
由得，，
由得，，
故不等式组的解集为：．
17.；
详见解答；
；
．
人，
故答案为：；
样本中选择乒乓球的人数为人，
补全条形统计图如下：

，
故答案为：；
人，
答：该学校名学生中选择篮球的人数大约有人．
18.建立的平面直角坐标系见解答；
图书馆的位置见解答；
；．
解：建立的平面直角坐标系如图所示；
图书馆的位置如图所示；
由坐标系可知，
表示宿舍楼的坐标为；表示实验室的坐标为，
故答案为：；．
19.解：平分，，
，
；
：：，
设，则，
，
，
解得：，
，，
，
，
解得：．
20.书架上科技类书有本，则有文学书本；
科技类书最多还可以摆本．
设书架上科技类书有本，则有文学书本，
根据题意，可得 ，
整理得，，
解得，
有文学书，
答：书架上科技类书有本，则有文学书本；
设科技类书摆本，
根据题意，可得 ，
整理得，，
解得 ，
答：如果书架上已摆放本文学书，那么科技类书最多还可以摆本．
21.；
；
秒或秒．
四边形是长方形，点坐标为，点的坐标，
，，
点在第一象限内，
点的坐标为．
点秒移动的长度为个长度单位，
，
点在上，
个长度单位，
点的坐标为．
当点位于上时，由可知，点移动的时间为秒，
当点位于上时，点移动的时间为秒，
当点移动到距离轴个单位长度时，点移动的时间为秒或秒．
22.种魔方的单价为元，种魔方的单价为元．
；．
当时，选择优惠活动二购买更实惠．
设种魔方的单价为元，种魔方的单价为元，
依题意得，
解得．
答：种魔方的单价为元，种魔方的单价为元．
依题意得：活动一：；
活动二：．
故答案为：；．
当时，
解得：，
又，
；
当时，
解得：，
又，
．
答：当时，选择优惠活动二购买更实惠．
23.两直线平行，同位角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行； 见解析； ．
解：平行，
理由：已知，
，依据是两直线平行，同位角相等；
，已知，
，依据是等量代换；
反射光线与平行，依据是同位角相等，两直线平行；
故答案为：两直线平行，同位角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行；
证明：，
，
，，
，
，
即，
；
，
，
，
，
，，
，
．

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