资源简介

浙江省宁波市2025年九年级三模数学试卷
一、单选题
1．（2025·宁波三模）下列四个有理数中，既是整数又是负数的是（　　）
A．4 B． C． D．0
2．（2025·宁波三模）国家能源局发布数据，2024年全国累计光伏发电量达到7830000000千瓦时，将7830000000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·宁波三模）如图是由6个大小相同的小正方体组成的几何体，该几何体的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025·宁波三模）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．2
5．（2025·宁波三模）甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数（单位：米）与方差如下表所示．
运动员 甲 乙 丙 丁
1.90 1.85 1.90 1.85
2.9 2.65 0.16 7.85
根据表中数据，从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．（2025·宁波三模）下列选项中，可以用来说明命题是假命题的反例是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·宁波三模）一张三角形纸片如图所示，已知，若沿着虚线剪掉阴影部分纸片，记，则下列选项正确的是（　　）
A． B．
C． D．无法比较α和的大小
8．（2025·宁波三模）已知数轴上的点A，B分别表示数a，，其中，．若，数在数轴上用点表示，则点A，B，C在数轴上的位置可能是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2025·宁波三模）已知点在反比例函数（为常数）的图象上，若，且，则（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·宁波三模）如图，在中，是的中线，延长至点，使，连接，若，，则的长为（　　）
A．2 B．3 C． D．
二、填空题
11．（2025·宁波三模）分解因式：　 　．
12．（2025·宁波三模）如图，已知A、B、C是⊙O上的三个点，∠ACB=110°，则∠AOB=　 　．
13．（2025·宁波三模）分式方程的解为　 　．
14．（2025·宁波三模）不透明的袋子中只装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出两个球，则恰好抽到一个红球和一个白球的概率是　 　．
15．（2025·宁波三模）如图，在中，，为的中点，若为上一点，使得，且，则　 　．
16．（2025·宁波三模）如图，在矩形中，为对角线的中点，，将绕着点顺时针旋转得到，连结交于点交于点．当时，则与四边形的面积比为　 　．
三、解答题
17．（2025·宁波三模）计算：
18．（2025·宁波三模）解不等式组：
19．（2025·宁波三模）已知：如图，是的一条对角线．延迟至点，反向延迟至点，使得．
（1）求证：．
（2）若，，求的度数．
20．（2025·宁波三模）教育部印发《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》，明确要求初中生每天睡眠时间应达9小时．某初级中学为了解学生睡眠时间情况，从本校学生中随机抽取500名进行问卷调查，调查问卷和统计结果描述如下：
调查问卷 1．近两周你平均每天睡眠时间大约是 ▲ 小时． 如果你平均每天睡眠时间不足9小时，请回答第2个问题． 2．影响你睡眠时间的主要原因是 ▲ （单选）． A．校内课业负担重 B．校外学习任务重 C．学习效率低 D．其他
500名学生平均每天睡眠时间统计表
组别 睡眠时间（小时） 人数
① 30
② 125
③ 145
④ 150
⑤ 50
睡眠不足9小时的学生中影响睡眠时间的主要原因统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查中，平均每天睡眠时间的中位数落在第 ▲ 组中，睡眠不足9小时学生人数占被调查人数的百分比为 ▲ ．
（2）若该校学生有3000学生，根据统计信息，平均每天睡眠时间不足9小时的学生中，估计睡眠时间受“学习效率低”影响的学生人数．
21．（2025·宁波三模）如图，在中，，利用尺规以点为圆心，线段的长为半径作弧，交于点，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线，交边于点．
（1）求证：．
（2）求的长．
22．（2025·宁波三模）小明和小白两人从同一地方出发，分别自驾前往外的景点游玩，小明与小白在服务区均休息了一次，每人每次休息30分钟．行驶过程中，两人的速度始终保持不变，具体时间与路程信息如图所示．
（1）求两人的行驶速度．
（2）求小白休息后的（段）行驶路程关于时间x的函数．
（3）求小明追上小白时的时间a．
23．（2025·宁波三模）如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点．
（1）求二次函数解析式和顶点坐标．
（2）坐标平面内存在点P，满足向左、向右或向下平移个单位后均落在二次函数图象上，求平移的距离．
（3）在二次函数图象上取点（不与点重合），使得在之间的图象上（含两点），该二次函数最大值与最小值的和等于1，请直接写出点的坐标．
24．（2025·宁波三模）如图，四边形为圆的内接四边形，连结和，在的延长线上取一点，连结，延长交于点．
（1）若为的中点，，求的度数．
（2）当时，
①求证：．
②若点为的中点，求证：．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】自然数及整数的概念；正数、负数的概念与分类
【解析】【解答】解：A. 4既是整数又是正数，该选项不符合题意；
B.-5.5既是分数又是负数，该选项不符合题意；
C. -2既是整数又是负数，该选项符合题意；
D. 0是整数不是负数，该选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据整数和负数的定义对每个选项逐一判断求解即可.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 7830000000=7.83×109，
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数。根据科学记数法的定义计算求解即可.
3．【答案】A
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：根据从正面看的图形是主视图可知该几何体的主视图是
，
故答案为：A.
【分析】根据从正面看的图形是主视图对每个选项逐一判断求解即可.
4．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A.，运算错误，不符合题意；
B.，运算错误，不符合题意；
C.，运算正确，符合题意；
D.，运算错误，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用同底数幂的乘除法则，幂的乘方，积的乘方以及合并同类项法则计算求解即可.
5．【答案】C
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：∵1.90＞1.85，
∴甲和丙的平均数大于乙和丁的平均数，
∴从甲和丙中选择一人参加比赛，
∵2.9＞0.16，
∴甲的方差大于乙的方差，
∴应该选择丙参加比赛，
故答案为：C.
【分析】结合表格中的数据，根据平均数和方差求解即可.
6．【答案】B
【知识点】举反例判断命题真假；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：A.当a=2时，|a|=a，不能说明命题是假命题，不符合题意；
B.当a=-4时，|a|=-a，能说明命题是假命题，符合题意；
C.当a=0时，|a|=a，不能说明命题是假命题，不符合题意；
D.当a=5时，|a|=a，不能说明命题是假命题，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据绝对值的性质，对每个选项逐一判断求解即可.
7．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解： ∵∠B+∠C=180°-∠A，∠1+∠2=180°-∠A，
∴∠B+∠C=∠1+∠2，
∵，，
∴ ，
故答案为：A.
【分析】根据三角形的内角和求出∠B+∠C=180°-∠A，∠1+∠2=180°-∠A，再求出∠B+∠C=∠1+∠2，最后计算求解即可.
8．【答案】D
【知识点】有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：∵，，
∴点A在-1和0之间，点B在0和1之间，-1＜-b＜0，
∴-2＜a-b＜0，
∴选项D符合题意，
故答案为：D.
【分析】根据题意先求出点A在-1和0之间，点B在0和1之间，-1＜-b＜0，再求出-2＜a-b＜0，最后对每个选项逐一判断求解即可.
9．【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵ 点在反比例函数（为常数）的图象上，
∴，
∴ ，
故答案为：B.
【分析】根据题意先求出，再求出，最后判断求解即可.
10．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；解直角三角形；三角形的中线
【解析】【解答】解：如图，延长CD交AE于点G，过点B作BF⊥AB于点F，
∴∠AFB=90°，
∵，
∴∠ADG=∠BDC=45°，∠ABF=90°-∠EAB=45°，
∴∠AGD=180°-∠EAB-∠ADG=90°，AG=DG，AF=BF，
∴CG//BF，
∵，
∴，，
∴，
∴FG=AF-AG=3，
∵CG//BF，
∴，
∵，
∴，
∴EF=9，
∴，
∴，
故答案为：D.
【分析】根据题意先求出∠ADG=∠BDC=45°，∠ABF=90°-∠EAB=45°，再根据平行线分线段成比例求出，最后利用勾股定理计算求解即可.
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】提公因式a，分解即可。
12．【答案】140°
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，取点D，连接AD，BD，
∴∠ADB+∠ACB=180°，
∵∠ACB=110°，
∴∠ADB=180°-∠ACB=70°，
∴∠AOB=2∠ADB=140°，
故答案为：140°.
【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠ADB+∠ACB=180°，再求出∠ADB=180°-∠ACB=70°，最后根据圆周角的定理计算求解即可.
13．【答案】x=1
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解： 分式方程 ，
两边都乘以（x-3）得，2+x-3=0，
解得：x=1，
经检验x=1是原方程的根，
所以分式方程的解为x=1，
故答案为：x=1.
【分析】先去分母求出2+x-3=0，再解方程并检验求解即可.
14．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：设红球为A，2个白球为B1，B2，列表如下：
　 A B1 B2
A / （A，B1） （A，B2）
B1 （B1，A） / （B1，B2）
B2 （B2，A） （B2，B1） /
由表格可知，共有6种等可能的结果，其中恰好抽到一个红球和一个白球的情况有4种，
∴ 恰好抽到一个红球和一个白球的概率是，
故答案为：.
【分析】先列表，再求出共有6种等可能的结果，其中恰好抽到一个红球和一个白球的情况有4种，最后利用概率公式计算求解即可.
15．【答案】13
【知识点】三角形外角的概念及性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵， D为AC的中点，
∴BD=AD=CD，
∴∠CBD=∠C，
∵∠AEB=∠ADB，∠AEB=∠EAC+∠C，∠ADB=∠DBC+∠C，
∴∠DBC=∠EAC=∠C，
∴AE=CE，
∵，
∴，
故答案为：13.
【分析】根据直角三角形斜边上的中线求出BD=AD=CD，再根据三角形的外角性质求出∠AEB=∠EAC+∠C，∠ADB=∠DBC+∠C，最后利用勾股定理计算求解即可.
16．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图所示，连接OD，
由题意可得：△AOD≌△EOF，
∴∠DAO=∠E，∠ADO=∠F，AD=EF，AO=OE，
设AB=3m，则BC=AD=EF=4m，
∴，
∴AO=OC=OD=，
∴，
∴∠OAD=∠BDA，
∴∠E=∠DAO=∠F=∠ADO，
∵∠E=∠AOM，∠ENM=∠DAO，
∴∠E=∠AOM=∠ENM=∠DAO=∠F=∠ADO，
∴，AM=OM，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】利用全等三角形的性质求出∠DAO=∠E，∠ADO=∠F，AD=EF，AO=OE，再利用勾股定理求出，最后根据相似三角形的判定与性质计算求解即可.
17．【答案】解：
【知识点】负整数指数幂；化简含绝对值有理数；开立方（求立方根）
【解析】【分析】利用绝对值，立方根和负整数指数幂计算求解即可.
18．【答案】解：
解不等式①，得：x≤-3，
解不等式②，得：x＜-5，
所以不等式组的解集为：x＜-5.
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】利用不等式的性质求出x≤-3，x＜-5，再求出不等式组的解集即可.
19．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，
∴∠ACB=∠CAD，
∵∠BCF=180°-ACB，∠DAE=180°-∠CAD，
∴∠DAE=∠BCF，
∵在△ADE和△CBF中，AD=BC，∠DAE=∠BCF，AE=CF，
∴△ADE≌△CBF（SAS）.
（2）解：∵△ADE≌△CBF，
∴∠E=∠F=15°，
∵∠DAC=35°，
∴∠EDA=∠DAC-∠E=20°.
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质求出AD=BC，AD//BC，再求出∠DAE=∠BCF，最后利用SAS证明三角形全等即可；
（2）根据全等三角形的性质求出∠E=∠F=15°，再根据∠DAC=35°计算求解即可.
20．【答案】（1）③；60%
（2）解：3000×60%=1800（人），
1800×（1-35%-37%-18%）=180（人）
答：睡眠时间受“学习效率低”影响的学生人数约为180人.
【知识点】用样本估计总体；频数（率）分布表；扇形统计图；中位数
【解析】【解答】解：（1）∵ 从本校学生中随机抽取500名进行问卷调查，
∴中位数应为该组数据按从小到大或从大到小排列的第250和251个数据的平均数，
∵30+125=155＜250，30+125+145=300＞251，
∴ 本次调查中，平均每天睡眠时间的中位数落在第③组中，
由题意可得：30+125+145=300（人），
∴睡眠不足9小时学生人数占被调查人数的百分比为：，
故答案为：③；60%。
【分析】（1）根据题意先求出中位数应为该组数据按从小到大或从大到小排列的第250和251个数据的平均数，再结合表格数据计算求解即可；
（2）先求出平均每天睡眠时间不足9小时的学生人数，再根据样本估计总体计算求解即可.
21．【答案】（1）证明：如图，连接AD，BE，DE，
∴AB=AD，BE=DE，
∴点A、E在线段BD的垂直平分线上，
∴AE垂直平分BD，
∴AE⊥BC.
（2）解：设BF=DF=x，则CF=BC-BF=6-x，
∵∠AFB=∠AFC=90°，
∴，
解得：，
∴，
∴.
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】（1）根据图形先求出AB=AD，BE=DE，再求出点A、E在线段BD的垂直平分线上，最后证明求解即可；
（2）利用勾股定理求出，再解方程求出x的值，最后计算求解即可.
22．【答案】（1）解：30分钟=0.5小时，
小明的行驶速度为：，
小白的行驶速度为：.
（2）解：由题意可得：1+0.5=1.5，
∴点A的坐标为（1.5，80），
设小白休息后的（段）行驶路程关于时间x的函数解析式为y=80x+b，
∴80=80×1.5+b，
解得：b=-40，
∴小白休息后的（段）行驶路程关于时间x的函数解析式为y=80x-40.
（3）解：设小白休息后的行驶路程关于时间x的函数解析式为y=100x+m，
将（2.2，120）代入y=100x+m，得：120=100×2.2+m，
解得：m=-100，
∴y=100x-100，
由题意可得：80x-40=100x-100，
解得：x=3，
∴ 小明追上小白时的时间a=3.
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）根据“路程÷时间=速度”结合函数图象计算求解即可；
（2）先求出点A的坐标为（1.5，80），再利用待定系数法求函数解析式即可；
（3）利用待定系数法求出y=100x-100，再求出80x-40=100x-100，最后计算求解即可.
23．【答案】（1）解：∵ 二次函数的图象与轴交于两点，
∴将点A和点B的坐标代入可得：，
解得：，
∴二次函数的解析式为：，
∵，
∴顶点坐标为（1，-4）.
（2）解：∵ 点P满足向左、向右或向下平移个单位后均落在二次函数图象上，
∴点P在对称轴上，
设P（1，m-4），
∴点P向右平移m个单位后的坐标为（m+1，m-4），
∴，
解得：m=0（舍去）或m=1，
即平移的距离m=1.
（3）解：点D的坐标为或.
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一元二次方程的综合应用；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点D的坐标为或.理由如下：
∵当x=0时，y=-3，
∴点C的坐标为（0，-3），
当点D在点C左侧时，二次函数的最小值为-3，
∵ 在之间的图象上（含两点），该二次函数最大值与最小值的和等于1，
∴点D的纵坐标为4，
∴，
解得：（舍去）或，
∴点D的坐标为；
当点D在对称轴右侧时，二次函数的最小值为-4，
∵ 在之间的图象上（含两点），该二次函数最大值与最小值的和等于1，
∴点D的纵坐标为5，
∴，
解得：（舍去）或（舍去），
∴点D的坐标为（4，5），
当点D在点C右侧且在对称轴左侧时，二次函数的最大值为-3，不符合题意，舍去，
综上所述：点D的坐标为或.
【分析】（1）将点A和点B的坐标代入计算求解即可；
（2）先求出点P在对称轴上，再求出点P向右平移m个单位后的坐标为（m+1，m-4），最后解方程计算求解即可；
（3）先求出点C的坐标为（0，-3），再分类讨论，计算求解即可.
24．【答案】（1）解：∵四边形ABCD 为圆的内接四边形，为的中点，
∴，
∴∠CDB=∠BAC=∠CAD=25°，
∵，
∴∠BAC=∠CAD=25°，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=50°，
∵AD=BD，
∴∠BAD=∠DBA=50°，
∴∠ADB=180°-∠BAD-∠DBA=80°.
（2）①证明：∵ 四边形为圆的内接四边形，延长交于点，
∴∠DAB+∠DCB=180°，∠DCB+∠FCD=180°，
∴∠DAB=∠FCD，
∵∠DAB=∠ABD，
∴∠FCD=∠ABD，
∵DE//AB，
∴∠FDB=∠ABD，
∴∠FDB=∠FCD，
∵∠DFC=∠BFD，
∴.
②∵，
∴∠BAC=∠BDC，
∴∠CDE=∠DAE，
∵∠AED=∠DEC，
∴，
∴，
∴，
∵AB//DE，
∴，
∴，
∵点F为DE的中点，
∴DE=2EF，
∴，
∴，
∵∠DCF=∠DAB，
∴∠DAB=∠ABD，
∵∠ABD=∠ACD，
∴∠DCF=∠ACD，
∵∠FDC=∠DAC，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵AD=BD，
∴．
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据题意先求出∠CDB=∠BAC=∠CAD=25°，再求出∠BAC=∠CAD=25°，最后利用三角形的内角和定理计算求解即可；
（2）①根据圆内接四边形的性质求出∠DAB+∠DCB=180°，∠DCB+∠FCD=180°，再根据平行线的性质求出∠FDB=∠ABD，最后根据相似三角形的判定方法证明求解即可；
②根据相似三角形的判定方法求出，再根据相似三角形的性质求出，最后证明求解即可.
1 / 1浙江省宁波市2025年九年级三模数学试卷
一、单选题
1．（2025·宁波三模）下列四个有理数中，既是整数又是负数的是（　　）
A．4 B． C． D．0
【答案】C
【知识点】自然数及整数的概念；正数、负数的概念与分类
【解析】【解答】解：A. 4既是整数又是正数，该选项不符合题意；
B.-5.5既是分数又是负数，该选项不符合题意；
C. -2既是整数又是负数，该选项符合题意；
D. 0是整数不是负数，该选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据整数和负数的定义对每个选项逐一判断求解即可.
2．（2025·宁波三模）国家能源局发布数据，2024年全国累计光伏发电量达到7830000000千瓦时，将7830000000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 7830000000=7.83×109，
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数。根据科学记数法的定义计算求解即可.
3．（2025·宁波三模）如图是由6个大小相同的小正方体组成的几何体，该几何体的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：根据从正面看的图形是主视图可知该几何体的主视图是
，
故答案为：A.
【分析】根据从正面看的图形是主视图对每个选项逐一判断求解即可.
4．（2025·宁波三模）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．2
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A.，运算错误，不符合题意；
B.，运算错误，不符合题意；
C.，运算正确，符合题意；
D.，运算错误，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用同底数幂的乘除法则，幂的乘方，积的乘方以及合并同类项法则计算求解即可.
5．（2025·宁波三模）甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数（单位：米）与方差如下表所示．
运动员 甲 乙 丙 丁
1.90 1.85 1.90 1.85
2.9 2.65 0.16 7.85
根据表中数据，从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：∵1.90＞1.85，
∴甲和丙的平均数大于乙和丁的平均数，
∴从甲和丙中选择一人参加比赛，
∵2.9＞0.16，
∴甲的方差大于乙的方差，
∴应该选择丙参加比赛，
故答案为：C.
【分析】结合表格中的数据，根据平均数和方差求解即可.
6．（2025·宁波三模）下列选项中，可以用来说明命题是假命题的反例是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】举反例判断命题真假；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：A.当a=2时，|a|=a，不能说明命题是假命题，不符合题意；
B.当a=-4时，|a|=-a，能说明命题是假命题，符合题意；
C.当a=0时，|a|=a，不能说明命题是假命题，不符合题意；
D.当a=5时，|a|=a，不能说明命题是假命题，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据绝对值的性质，对每个选项逐一判断求解即可.
7．（2025·宁波三模）一张三角形纸片如图所示，已知，若沿着虚线剪掉阴影部分纸片，记，则下列选项正确的是（　　）
A． B．
C． D．无法比较α和的大小
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解： ∵∠B+∠C=180°-∠A，∠1+∠2=180°-∠A，
∴∠B+∠C=∠1+∠2，
∵，，
∴ ，
故答案为：A.
【分析】根据三角形的内角和求出∠B+∠C=180°-∠A，∠1+∠2=180°-∠A，再求出∠B+∠C=∠1+∠2，最后计算求解即可.
8．（2025·宁波三模）已知数轴上的点A，B分别表示数a，，其中，．若，数在数轴上用点表示，则点A，B，C在数轴上的位置可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：∵，，
∴点A在-1和0之间，点B在0和1之间，-1＜-b＜0，
∴-2＜a-b＜0，
∴选项D符合题意，
故答案为：D.
【分析】根据题意先求出点A在-1和0之间，点B在0和1之间，-1＜-b＜0，再求出-2＜a-b＜0，最后对每个选项逐一判断求解即可.
9．（2025·宁波三模）已知点在反比例函数（为常数）的图象上，若，且，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵ 点在反比例函数（为常数）的图象上，
∴，
∴ ，
故答案为：B.
【分析】根据题意先求出，再求出，最后判断求解即可.
10．（2025·宁波三模）如图，在中，是的中线，延长至点，使，连接，若，，则的长为（　　）
A．2 B．3 C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；解直角三角形；三角形的中线
【解析】【解答】解：如图，延长CD交AE于点G，过点B作BF⊥AB于点F，
∴∠AFB=90°，
∵，
∴∠ADG=∠BDC=45°，∠ABF=90°-∠EAB=45°，
∴∠AGD=180°-∠EAB-∠ADG=90°，AG=DG，AF=BF，
∴CG//BF，
∵，
∴，，
∴，
∴FG=AF-AG=3，
∵CG//BF，
∴，
∵，
∴，
∴EF=9，
∴，
∴，
故答案为：D.
【分析】根据题意先求出∠ADG=∠BDC=45°，∠ABF=90°-∠EAB=45°，再根据平行线分线段成比例求出，最后利用勾股定理计算求解即可.
二、填空题
11．（2025·宁波三模）分解因式：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】提公因式a，分解即可。
12．（2025·宁波三模）如图，已知A、B、C是⊙O上的三个点，∠ACB=110°，则∠AOB=　 　．
【答案】140°
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，取点D，连接AD，BD，
∴∠ADB+∠ACB=180°，
∵∠ACB=110°，
∴∠ADB=180°-∠ACB=70°，
∴∠AOB=2∠ADB=140°，
故答案为：140°.
【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠ADB+∠ACB=180°，再求出∠ADB=180°-∠ACB=70°，最后根据圆周角的定理计算求解即可.
13．（2025·宁波三模）分式方程的解为　 　．
【答案】x=1
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解： 分式方程 ，
两边都乘以（x-3）得，2+x-3=0，
解得：x=1，
经检验x=1是原方程的根，
所以分式方程的解为x=1，
故答案为：x=1.
【分析】先去分母求出2+x-3=0，再解方程并检验求解即可.
14．（2025·宁波三模）不透明的袋子中只装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出两个球，则恰好抽到一个红球和一个白球的概率是　 　．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：设红球为A，2个白球为B1，B2，列表如下：
　 A B1 B2
A / （A，B1） （A，B2）
B1 （B1，A） / （B1，B2）
B2 （B2，A） （B2，B1） /
由表格可知，共有6种等可能的结果，其中恰好抽到一个红球和一个白球的情况有4种，
∴ 恰好抽到一个红球和一个白球的概率是，
故答案为：.
【分析】先列表，再求出共有6种等可能的结果，其中恰好抽到一个红球和一个白球的情况有4种，最后利用概率公式计算求解即可.
15．（2025·宁波三模）如图，在中，，为的中点，若为上一点，使得，且，则　 　．
【答案】13
【知识点】三角形外角的概念及性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵， D为AC的中点，
∴BD=AD=CD，
∴∠CBD=∠C，
∵∠AEB=∠ADB，∠AEB=∠EAC+∠C，∠ADB=∠DBC+∠C，
∴∠DBC=∠EAC=∠C，
∴AE=CE，
∵，
∴，
故答案为：13.
【分析】根据直角三角形斜边上的中线求出BD=AD=CD，再根据三角形的外角性质求出∠AEB=∠EAC+∠C，∠ADB=∠DBC+∠C，最后利用勾股定理计算求解即可.
16．（2025·宁波三模）如图，在矩形中，为对角线的中点，，将绕着点顺时针旋转得到，连结交于点交于点．当时，则与四边形的面积比为　 　．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图所示，连接OD，
由题意可得：△AOD≌△EOF，
∴∠DAO=∠E，∠ADO=∠F，AD=EF，AO=OE，
设AB=3m，则BC=AD=EF=4m，
∴，
∴AO=OC=OD=，
∴，
∴∠OAD=∠BDA，
∴∠E=∠DAO=∠F=∠ADO，
∵∠E=∠AOM，∠ENM=∠DAO，
∴∠E=∠AOM=∠ENM=∠DAO=∠F=∠ADO，
∴，AM=OM，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】利用全等三角形的性质求出∠DAO=∠E，∠ADO=∠F，AD=EF，AO=OE，再利用勾股定理求出，最后根据相似三角形的判定与性质计算求解即可.
三、解答题
17．（2025·宁波三模）计算：
【答案】解：
【知识点】负整数指数幂；化简含绝对值有理数；开立方（求立方根）
【解析】【分析】利用绝对值，立方根和负整数指数幂计算求解即可.
18．（2025·宁波三模）解不等式组：
【答案】解：
解不等式①，得：x≤-3，
解不等式②，得：x＜-5，
所以不等式组的解集为：x＜-5.
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】利用不等式的性质求出x≤-3，x＜-5，再求出不等式组的解集即可.
19．（2025·宁波三模）已知：如图，是的一条对角线．延迟至点，反向延迟至点，使得．
（1）求证：．
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，
∴∠ACB=∠CAD，
∵∠BCF=180°-ACB，∠DAE=180°-∠CAD，
∴∠DAE=∠BCF，
∵在△ADE和△CBF中，AD=BC，∠DAE=∠BCF，AE=CF，
∴△ADE≌△CBF（SAS）.
（2）解：∵△ADE≌△CBF，
∴∠E=∠F=15°，
∵∠DAC=35°，
∴∠EDA=∠DAC-∠E=20°.
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质求出AD=BC，AD//BC，再求出∠DAE=∠BCF，最后利用SAS证明三角形全等即可；
（2）根据全等三角形的性质求出∠E=∠F=15°，再根据∠DAC=35°计算求解即可.
20．（2025·宁波三模）教育部印发《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》，明确要求初中生每天睡眠时间应达9小时．某初级中学为了解学生睡眠时间情况，从本校学生中随机抽取500名进行问卷调查，调查问卷和统计结果描述如下：
调查问卷 1．近两周你平均每天睡眠时间大约是 ▲ 小时． 如果你平均每天睡眠时间不足9小时，请回答第2个问题． 2．影响你睡眠时间的主要原因是 ▲ （单选）． A．校内课业负担重 B．校外学习任务重 C．学习效率低 D．其他
500名学生平均每天睡眠时间统计表
组别 睡眠时间（小时） 人数
① 30
② 125
③ 145
④ 150
⑤ 50
睡眠不足9小时的学生中影响睡眠时间的主要原因统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查中，平均每天睡眠时间的中位数落在第 ▲ 组中，睡眠不足9小时学生人数占被调查人数的百分比为 ▲ ．
（2）若该校学生有3000学生，根据统计信息，平均每天睡眠时间不足9小时的学生中，估计睡眠时间受“学习效率低”影响的学生人数．
【答案】（1）③；60%
（2）解：3000×60%=1800（人），
1800×（1-35%-37%-18%）=180（人）
答：睡眠时间受“学习效率低”影响的学生人数约为180人.
【知识点】用样本估计总体；频数（率）分布表；扇形统计图；中位数
【解析】【解答】解：（1）∵ 从本校学生中随机抽取500名进行问卷调查，
∴中位数应为该组数据按从小到大或从大到小排列的第250和251个数据的平均数，
∵30+125=155＜250，30+125+145=300＞251，
∴ 本次调查中，平均每天睡眠时间的中位数落在第③组中，
由题意可得：30+125+145=300（人），
∴睡眠不足9小时学生人数占被调查人数的百分比为：，
故答案为：③；60%。
【分析】（1）根据题意先求出中位数应为该组数据按从小到大或从大到小排列的第250和251个数据的平均数，再结合表格数据计算求解即可；
（2）先求出平均每天睡眠时间不足9小时的学生人数，再根据样本估计总体计算求解即可.
21．（2025·宁波三模）如图，在中，，利用尺规以点为圆心，线段的长为半径作弧，交于点，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线，交边于点．
（1）求证：．
（2）求的长．
【答案】（1）证明：如图，连接AD，BE，DE，
∴AB=AD，BE=DE，
∴点A、E在线段BD的垂直平分线上，
∴AE垂直平分BD，
∴AE⊥BC.
（2）解：设BF=DF=x，则CF=BC-BF=6-x，
∵∠AFB=∠AFC=90°，
∴，
解得：，
∴，
∴.
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】（1）根据图形先求出AB=AD，BE=DE，再求出点A、E在线段BD的垂直平分线上，最后证明求解即可；
（2）利用勾股定理求出，再解方程求出x的值，最后计算求解即可.
22．（2025·宁波三模）小明和小白两人从同一地方出发，分别自驾前往外的景点游玩，小明与小白在服务区均休息了一次，每人每次休息30分钟．行驶过程中，两人的速度始终保持不变，具体时间与路程信息如图所示．
（1）求两人的行驶速度．
（2）求小白休息后的（段）行驶路程关于时间x的函数．
（3）求小明追上小白时的时间a．
【答案】（1）解：30分钟=0.5小时，
小明的行驶速度为：，
小白的行驶速度为：.
（2）解：由题意可得：1+0.5=1.5，
∴点A的坐标为（1.5，80），
设小白休息后的（段）行驶路程关于时间x的函数解析式为y=80x+b，
∴80=80×1.5+b，
解得：b=-40，
∴小白休息后的（段）行驶路程关于时间x的函数解析式为y=80x-40.
（3）解：设小白休息后的行驶路程关于时间x的函数解析式为y=100x+m，
将（2.2，120）代入y=100x+m，得：120=100×2.2+m，
解得：m=-100，
∴y=100x-100，
由题意可得：80x-40=100x-100，
解得：x=3，
∴ 小明追上小白时的时间a=3.
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）根据“路程÷时间=速度”结合函数图象计算求解即可；
（2）先求出点A的坐标为（1.5，80），再利用待定系数法求函数解析式即可；
（3）利用待定系数法求出y=100x-100，再求出80x-40=100x-100，最后计算求解即可.
23．（2025·宁波三模）如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点．
（1）求二次函数解析式和顶点坐标．
（2）坐标平面内存在点P，满足向左、向右或向下平移个单位后均落在二次函数图象上，求平移的距离．
（3）在二次函数图象上取点（不与点重合），使得在之间的图象上（含两点），该二次函数最大值与最小值的和等于1，请直接写出点的坐标．
【答案】（1）解：∵ 二次函数的图象与轴交于两点，
∴将点A和点B的坐标代入可得：，
解得：，
∴二次函数的解析式为：，
∵，
∴顶点坐标为（1，-4）.
（2）解：∵ 点P满足向左、向右或向下平移个单位后均落在二次函数图象上，
∴点P在对称轴上，
设P（1，m-4），
∴点P向右平移m个单位后的坐标为（m+1，m-4），
∴，
解得：m=0（舍去）或m=1，
即平移的距离m=1.
（3）解：点D的坐标为或.
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一元二次方程的综合应用；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点D的坐标为或.理由如下：
∵当x=0时，y=-3，
∴点C的坐标为（0，-3），
当点D在点C左侧时，二次函数的最小值为-3，
∵ 在之间的图象上（含两点），该二次函数最大值与最小值的和等于1，
∴点D的纵坐标为4，
∴，
解得：（舍去）或，
∴点D的坐标为；
当点D在对称轴右侧时，二次函数的最小值为-4，
∵ 在之间的图象上（含两点），该二次函数最大值与最小值的和等于1，
∴点D的纵坐标为5，
∴，
解得：（舍去）或（舍去），
∴点D的坐标为（4，5），
当点D在点C右侧且在对称轴左侧时，二次函数的最大值为-3，不符合题意，舍去，
综上所述：点D的坐标为或.
【分析】（1）将点A和点B的坐标代入计算求解即可；
（2）先求出点P在对称轴上，再求出点P向右平移m个单位后的坐标为（m+1，m-4），最后解方程计算求解即可；
（3）先求出点C的坐标为（0，-3），再分类讨论，计算求解即可.
24．（2025·宁波三模）如图，四边形为圆的内接四边形，连结和，在的延长线上取一点，连结，延长交于点．
（1）若为的中点，，求的度数．
（2）当时，
①求证：．
②若点为的中点，求证：．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD 为圆的内接四边形，为的中点，
∴，
∴∠CDB=∠BAC=∠CAD=25°，
∵，
∴∠BAC=∠CAD=25°，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=50°，
∵AD=BD，
∴∠BAD=∠DBA=50°，
∴∠ADB=180°-∠BAD-∠DBA=80°.
（2）①证明：∵ 四边形为圆的内接四边形，延长交于点，
∴∠DAB+∠DCB=180°，∠DCB+∠FCD=180°，
∴∠DAB=∠FCD，
∵∠DAB=∠ABD，
∴∠FCD=∠ABD，
∵DE//AB，
∴∠FDB=∠ABD，
∴∠FDB=∠FCD，
∵∠DFC=∠BFD，
∴.
②∵，
∴∠BAC=∠BDC，
∴∠CDE=∠DAE，
∵∠AED=∠DEC，
∴，
∴，
∴，
∵AB//DE，
∴，
∴，
∵点F为DE的中点，
∴DE=2EF，
∴，
∴，
∵∠DCF=∠DAB，
∴∠DAB=∠ABD，
∵∠ABD=∠ACD，
∴∠DCF=∠ACD，
∵∠FDC=∠DAC，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵AD=BD，
∴．
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据题意先求出∠CDB=∠BAC=∠CAD=25°，再求出∠BAC=∠CAD=25°，最后利用三角形的内角和定理计算求解即可；
（2）①根据圆内接四边形的性质求出∠DAB+∠DCB=180°，∠DCB+∠FCD=180°，再根据平行线的性质求出∠FDB=∠ABD，最后根据相似三角形的判定方法证明求解即可；
②根据相似三角形的判定方法求出，再根据相似三角形的性质求出，最后证明求解即可.
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