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2024-2025学年海南省海口市龙华区华侨中学九年级（上）期中数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
1．（3分）如果收入200元记作+200元，那么支出50元记作（　　）
A．+150元 B．﹣150元 C．+50元 D．﹣50元
2．（3分）若代数式x+7的值为1，则x的值为（　　）
A．6 B．﹣6 C．8 D．﹣8
3．（3分）下列运算正确的是（　　）
A． B．3a2﹣2a2＝a2
C．（a2）3＝a5 D．2a2 3a＝6a2
4．（3分）2014年超强台风“威马逊”给海南省的文昌和海口以重创，估算造成直接经济损失达43700000000元人民币．这笔款额用科学记数法表示正确的是（　　）
A．0.473×1011 B．4.4×1010
C．4.37×1010 D．43.7×109
5．（3分）分式方程的解是（　　）
A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝2 D．x＝﹣2
6．（3分）抛物线y＝x2+1先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得的抛物线解析式为（　　）
A．y＝x2+4x+4 B．y＝x2﹣4x+4 C．y＝x2﹣4x+3 D．y＝x2+4x+5
7．（3分）如图，直线l∥m，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，若∠1＝25°，则∠2的度数为（　　）
A．20° B．25° C．30° D．35°
8．（3分）如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC且EF∥AB，AD：DB＝2：3，那么BF：FC的值为（　　）
A．2：3 B．2：5 C．3：5 D．5：7
9．（3分）如图，菱形ABCD的边长为4，∠A＝45°，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，直线MN交AD于点E，连接CE，则CE的长是（　　）
A． B． C． D．
10．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B两点，对称轴是直线x＝1，下列说法正确的是（　　）
A．a＞0
B．当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大
C．点B的坐标为（4，0）
D．4a+2b+c＞0
11．（3分）如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于（　　）
A． B． C． D．
12．（3分）如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿矩形的边由B→C→D→A运动，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，把y看作x的函数，函数的图象如图2所示，则△ABC的面积为（　　）
A．15 B．16 C．20 D．30
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13．（3分）因式分解：a3﹣4a＝　 　．
14．（3分）已知一元二次方程x2﹣6x+c＝0的一个根为x1＝2，另一根x2＝ 　 　．
15．（3分）函数y＝x2﹣6x+8（0≤x≤4）的最大值为 　 　．
16．（3分）如图，在正方形ABCD中，AF⊥BG，BG⊥CH，CH⊥DE，DE⊥AF垂足分别是F，G，H，E，∠ABF＞∠BAF．
（1）若点F为GB的中点，则＝ 　 　；
（2）连接BE，若，正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1：n，则n＝ 　 　．
三、解答题：本题共6小题，共72分。
17．（12分）（1）计算：；
（2）解不等式组．
18．（10分）如图，在长为100m，宽为50m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路（阴影部分），若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是3600m2，求小路的宽是多少？
19．（10分）如图，已知△ABC中，AB＝AC，BC＝5，D为AB上一点，CD＝4，BD＝3．
（1）求证：∠BDC＝90°；
（2）求AC的长．
20．（10分）某广场的声控喷泉是由若干个垂直于地面的柱形喷泉装置组成的．每个柱形喷泉装置上都有上下两个喷头，这两个喷头朝向一致，喷出的水流均呈抛物线型．当围观游人喊声较小时，下喷头喷水；当围观游人喊声较大时，上下两个喷头都喷水．如图所示，点A和点B是一个柱形喷泉装置OB上的两个喷头，A喷头喷出的水流的落地点为C．以O为原点，以OC所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．（柱形喷泉装置的粗细忽略不计）
已知：OA＝1m，OB＝2m，OC＝3m，从A喷头和B喷头各喷出的水流的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式分别是y＝﹣x2+bx+c和y＝﹣x2+bx+c'；
（1）求A喷头喷出的水流的最大高度；
（2）一名游人站在点D处，OD＝4m．当围观游人喊声较大时，B喷头喷出的水流是否会落在该游人所站的点D处？
21．（16分）已知：二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（﹣3，0），与y轴交于点C，点D（﹣2，﹣3）在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴上有一点P，使△PAD周长最小，求P点坐标；
（3）Q为直线BD下方抛物线上一点，求△BDQ面积的最大值；
（4）抛物线的对称轴上有一动点M，当△MAD是以AD边为腰的等腰三角形时，直接写出M点坐标．
22．（14分）在平面内，把一个图形绕着一个定点旋转一定的角度，可以将这个图形转换到另一个位置，从而易于解题．请你阅读学习这种旋转变换方法，并运用其解答问题：
（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，AE⊥BC于E，求证：AE＝EC；
证明：∵AB＝AD，可将图1中的△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADE′，如图2，请你利用图2完成第（1）题；
（2）根据第（1）题的数学活动经验，尝试用旋转变换解答下面的问题；
①如图3，在直角△ABC中，D为斜边AB上一点，AD＝2，BD＝1，四边形DECF是正方形，设△ADE和△BDF的面积分别为S1，S2，求S1+S2的值；
②如图4，已知：∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝1，∠APB＝∠BPC＝∠APC，求PA+PB+PC的值．
2024-2025学年海南省海口市龙华区华侨中学九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
1．（3分）如果收入200元记作+200元，那么支出50元记作（　　）
A．+150元 B．﹣150元 C．+50元 D．﹣50元
【答案】D
2．（3分）若代数式x+7的值为1，则x的值为（　　）
A．6 B．﹣6 C．8 D．﹣8
【答案】B
3．（3分）下列运算正确的是（　　）
A． B．3a2﹣2a2＝a2
C．（a2）3＝a5 D．2a2 3a＝6a2
【答案】B
4．（3分）2014年超强台风“威马逊”给海南省的文昌和海口以重创，估算造成直接经济损失达43700000000元人民币．这笔款额用科学记数法表示正确的是（　　）
A．0.473×1011 B．4.4×1010
C．4.37×1010 D．43.7×109
【答案】C．
5．（3分）分式方程的解是（　　）
A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝2 D．x＝﹣2
【答案】A
6．（3分）抛物线y＝x2+1先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得的抛物线解析式为（　　）
A．y＝x2+4x+4 B．y＝x2﹣4x+4 C．y＝x2﹣4x+3 D．y＝x2+4x+5
【答案】A
7．（3分）如图，直线l∥m，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，若∠1＝25°，则∠2的度数为（　　）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【答案】A
8．（3分）如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC且EF∥AB，AD：DB＝2：3，那么BF：FC的值为（　　）
A．2：3 B．2：5 C．3：5 D．5：7
【答案】A
9．（3分）如图，菱形ABCD的边长为4，∠A＝45°，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，直线MN交AD于点E，连接CE，则CE的长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
10．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B两点，对称轴是直线x＝1，下列说法正确的是（　　）
A．a＞0
B．当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大
C．点B的坐标为（4，0）
D．4a+2b+c＞0
【答案】D
11．（3分）如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
12．（3分）如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿矩形的边由B→C→D→A运动，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，把y看作x的函数，函数的图象如图2所示，则△ABC的面积为（　　）
A．15 B．16 C．20 D．30
【答案】A
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13．（3分）因式分解：a3﹣4a＝　a（a+2）（a﹣2）　．
14．（3分）已知一元二次方程x2﹣6x+c＝0的一个根为x1＝2，另一根x2＝ 　4　．
15．（3分）函数y＝x2﹣6x+8（0≤x≤4）的最大值为 　8　．
16．（3分）如图，在正方形ABCD中，AF⊥BG，BG⊥CH，CH⊥DE，DE⊥AF垂足分别是F，G，H，E，∠ABF＞∠BAF．
（1）若点F为GB的中点，则＝ 　　；
（2）连接BE，若，正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1：n，则n＝ 　3　．
【答案】
解：（1）∵四边形ABCD，EFGH都为正方形，
∴AB＝BC，∠AFB＝∠CGB＝90°，∠ABC＝90°．
∴∠ABF+∠GBC＝90°，∠GBC+∠GCB＝90°，
∴∠ABF＝∠BCG．
在△ABF和△BCG中，
，
∴△ABF≌△BCG（AAS），
∴BF＝GC，
∵点F为GB的中点，
∴BF＝GF，
∴＝；
故答案为：；
（2）∵BF＝CG，
∴设BF＝GC＝a，GF＝b，则BG＝a+b，EF＝b，
∵，
∴＝（）2，
∴a2+ab＝b2．
∵BG2+GC2＝BC2，
∴BC2＝a2+（a+b）2＝2a2+2ab+b2＝3b2，
∴正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为＝＝，
∴n＝3．
故答案为：3．
三、解答题：本题共6小题，共72分。
17．（12分）（1）计算：；
（2）解不等式组．
【答案】
解：（1）原式＝1+5﹣3﹣1．
＝2；
（2）解不等式①得：x＜3，
解不等式②得：x＜﹣，
∴不等式组的解集是x＜﹣．
18．（10分）如图，在长为100m，宽为50m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路（阴影部分），若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是3600m2，求小路的宽是多少？
【答案】
解：设小路的宽是x m，则余下的部分可合成长为（100﹣2x）m，宽为（50﹣2x）m的矩形，
根据题意得：（100﹣2x）（50﹣2x）＝3600，
整理得：x2﹣75x+350＝0，
解得：x1＝5，x2＝70（不符合题意，舍去），
∴小路的宽是5m．
故答案为：5．
19．（10分）如图，已知△ABC中，AB＝AC，BC＝5，D为AB上一点，CD＝4，BD＝3．
（1）求证：∠BDC＝90°；
（2）求AC的长．
【答案】
（1）证明：∵BC＝5，CD＝4，BD＝3，
∴42+32＝52，
∴∠BDC＝90°；
（2）解：在Rt△ADC中，∠ADC＝180°﹣90°＝90°，
依题意有AC2＝（AB﹣3）2+CD2，即AC2＝（AC﹣3）2+42，
解得AC＝．
故AC的长为．
20．（10分）某广场的声控喷泉是由若干个垂直于地面的柱形喷泉装置组成的．每个柱形喷泉装置上都有上下两个喷头，这两个喷头朝向一致，喷出的水流均呈抛物线型．当围观游人喊声较小时，下喷头喷水；当围观游人喊声较大时，上下两个喷头都喷水．如图所示，点A和点B是一个柱形喷泉装置OB上的两个喷头，A喷头喷出的水流的落地点为C．以O为原点，以OC所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．（柱形喷泉装置的粗细忽略不计）
已知：OA＝1m，OB＝2m，OC＝3m，从A喷头和B喷头各喷出的水流的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式分别是y＝﹣x2+bx+c和y＝﹣x2+bx+c'；
（1）求A喷头喷出的水流的最大高度；
（2）一名游人站在点D处，OD＝4m．当围观游人喊声较大时，B喷头喷出的水流是否会落在该游人所站的点D处？
【答案】
解：根据题意，令x＝0，易得c＝1，c'＝2；
令x＝3，y＝﹣x2+bx+c＝﹣3+3b+1＝0，可求得b＝；
因此，A喷头和B喷头各喷出的水流的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式分别是y＝﹣x2+x+1和y＝﹣x2+x+2；
（1）函数y＝﹣x2+x+1的对称轴为x＝1，此时y＝，
因此，A喷头喷出的水流的最大高度为m；
（2）函数y＝﹣x2+x+2，令x＝4，y＝﹣×42+×4+2＝﹣，
因此，B喷头喷出的水流不会落在该游人所站的点D处．
21．（16分）已知：二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（﹣3，0），与y轴交于点C，点D（﹣2，﹣3）在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴上有一点P，使△PAD周长最小，求P点坐标；
（3）Q为直线BD下方抛物线上一点，求△BDQ面积的最大值；
（4）抛物线的对称轴上有一动点M，当△MAD是以AD边为腰的等腰三角形时，直接写出M点坐标．
【答案】
解：（1）由点C、D的坐标知，C、D关于抛物线对称轴对称，
则抛物线的对称轴为直线x＝（﹣2+0）＝﹣1，则点B（1，0），
则抛物线的表达式为：y＝（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3；
（2）点D关于抛物线的对称轴的对称点为点C，连接AC交抛物线对称轴于点P，则点P为所求点，
理由：△PAD周长＝AD+PA+PD＝AD+PA+PC＝AD+AC为最小，
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣x﹣3，
当x＝﹣1时，y＝﹣2，即点P（﹣1，﹣2）；
（3）过点Q作QH∥y轴交BD于点H，
由点B、D的坐标得，直线BD的表达式为：y＝x﹣1，
设点H（x，x﹣1），则点Q（x，x2+2x﹣3），
则HQ＝﹣x2﹣x+2，
则△BDQ面积＝HQ×（xB﹣xD）＝×（﹣x2﹣x+2）＝﹣（x+）2+≤，
即△BDQ面积的最大值为；
（4）设点M（﹣1，m），
由点A、M、D的坐标得，AD2＝10，AM2＝m2+4，MD2＝1+（m+3）2，
当AD＝AM时，则10＝m2+4，则m＝±，
即点M（﹣1，）或（﹣1，﹣）；
当AD＝MD时，
同理可得：m2+4＝1+（m+3）2，
解得：m＝﹣6，
即点M（﹣1，﹣6），
综上，M（﹣1，）或（﹣1，﹣）或（﹣1，﹣6）．
22．（14分）在平面内，把一个图形绕着一个定点旋转一定的角度，可以将这个图形转换到另一个位置，从而易于解题．请你阅读学习这种旋转变换方法，并运用其解答问题：
（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，AE⊥BC于E，求证：AE＝EC；
证明：∵AB＝AD，可将图1中的△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADE′，如图2，请你利用图2完成第（1）题；
（2）根据第（1）题的数学活动经验，尝试用旋转变换解答下面的问题；
①如图3，在直角△ABC中，D为斜边AB上一点，AD＝2，BD＝1，四边形DECF是正方形，设△ADE和△BDF的面积分别为S1，S2，求S1+S2的值；
②如图4，已知：∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝1，∠APB＝∠BPC＝∠APC，求PA+PB+PC的值．
【答案】
（1）证明：如图2，易得△ABE≌△ADE'，
∴∠E'＝∠AEB＝90°，∠ADE'＝∠B，∠E'AD＝∠BAE，
∵∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴∠B+∠ADC＝180°，
∴∠ADE'+∠ADC＝180°，即C，D，E'在同一条直线上，
∵∠AEC＝∠C＝∠E'＝90°，AE'＝AE，
∴四边形AECE'为正方形，
∴AE＝EC；
（2）解：①如图3，将△BDF绕点D逆时针旋转90°，得△DEF'，
易得△DEF'≌△DFB，
∴S1+S2＝S△ADF'，
∵DF'＝BD＝1，S△ADF'＝AD DF'＝×2×1＝1，
∴S1+S2＝1；
②如图4，以点A为旋转中心，将△ABP顺时针旋转60度，得到△ANM，连接BN，PM，易得△ABP≌△ANM，
∴△APM，△ABN均为等边三角形，
∵∠BAC＝60°，AC＝1，
∴PA＝PM，AN＝AB＝BN＝2，BC＝，
∵∠ABN＝60°，
∴∠CBN＝90°，
∵∠APB＝∠BPC＝∠APC，
∴∠APB＝∠BPC＝∠APC＝120°，
∠APM＝∠AMP＝60°，
∴C，P，M，N在一条直线上，
∵PA＝PM，PB＝MN，CP+PB+PA＝CN，
在直角△BCN中，CN＝＝，
∴PA+PB+PC的值为．
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