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2024-2025学年江苏省南京师大附中新城中学八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（2分）下面四个博物馆图标中不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2分）正方形的面积是13，估计它的边长大小在（　　）
A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间
3．（2分）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列条件能判断△ABC为直角三角形的是（　　）
A．c2＝a2﹣b2 B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
C．a：b：c＝7：40：41 D．∠A＝40°，∠B＝70°
4．（2分）在△ABC中，已知∠A＝70°，若△ABC是等腰三角形，则∠B的度数是（　　）
A．70° B．55°
C．55°或70° D．40°或55°或70°
5．（2分）如图，若△ABC≌△DEF，四个点B、E、C、F在同一直线上，BF＝9，EC＝5，则CF的长是（　　）
A．2 B．3 C．5 D．7
6．（2分）如图，图1是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为22，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（　　）
A．38 B．40 C．42 D．44
7．（2分）如图，已知△ABC中，AB＝6，AC＝10，BC＝14，若过△ABC的顶点的一条直线将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为6的等腰三角形，则这样的直线最多可画（　　）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
8．（2分）下列条件中，能判断两个三角形全等的是（　　）
A．两个面积相等的等腰三角形
B．两边及第三边上的中线对应相等
C．两个周长相等的等腰三角形
D．两边及第三边上的高线对应相等
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．（2分）9的算术平方根是 　 　．
10．（2分）比较大小：﹣　 　﹣3．（填：“＞、＜、＝”）
11．（2分）等腰三角形的对称轴是　 　．
12．（2分）已知等腰三角形的两边长分别为5cm、10cm，则该等腰三角形的周长为 　 　cm．
13．（2分）如图，在△ABC中，D为AC上一点，且AD＝CD＝BD．若∠C＝25°，则∠ADB的度数为 　 　°．
14．（2分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB＝8，AC＝6，且△ABD的面积为4，则△ABC的面积为 　 　．
15．（2分）在△ABC中，AB＝6，AC＝5，边AB上的高为3，则BC＝ 　 　．
16．（2分）如图，△ABC≌△DEC，点E在线段AB上，∠B＝75°，则∠ACD的度数为 　 　°．
17．（2分）如图，在同一平面内，直线l同侧有三个正方形A，B，C，若A，C的面积分别为25和9，则阴影部分的总面积为 　 　．
18．（2分）如图，△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G．则下列结论①BF＝AC；②；③DG＝FG；④BD+DF＝BC；其中正确的有 　 　．（填序号）
三、解答题（本大题共7小题，共64分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E分别在边AB、AC上，且BD＝CE．求证：BE＝CD．
20．（8分）如图，已知△ABC（AB＜BC），用不带刻度的直尺和圆规完成下列作图．（不写作法，保留作图痕迹）
（1）在图1中，作△ABC的高BD；
（2）在图2中，在边BC上求作一点E，使得△ABE与△ACE的面积相等．
21．（8分）如图，在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，E是BC的中点，F是CD上一点，且，求证：∠AEF＝90°．
22．（8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点都在小正方形的顶点上．
（1）在图中利用无刻度直尺画出线段AB的垂直平分线EF；
（2）在图中利用无刻度直尺画出线段BC的垂直平分线l．
23．（10分）如图，在△ABC中，点D在边BC上，且BD＝BA，点E在BC的延长线上，且CE＝CA．
（1）求证：；
（2）当点D在CB延长线上时，其他条件不变，直接写出∠DAE与∠BAC的关系．
24．（12分）阅读材料：勾股定理a2+b2＝c2本身就是一个关于a、b、c的方程，我们知道这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解（a，b，c）通常叫做勾股数组，我国古籍《周髀算经》中记载的“勾三股四弦五”中的“3，4，5”就是一组最简单的勾股数．为了进一步了解勾股数的奥秘，数学刘老师给出下面的两个表格．（以下a，b，c为Rt△ABC的三边，且a＜b＜c）
表1
a b c
3 4 5
5 12 13
7 24 25
表2
a b c
6 8 10
8 15 17
10 24 26
（1）请你根据上述表格的规律写出勾股数：11、　 　、　 　；
（2）当a＝2n+1（n为奇数，且n≥3）时，若b＝ 　 　，c＝ 　 　时可以构造出勾股数（用含n的代数式表示）；并证明你的猜想；
（3）构造勾股数的方法很多，请你寻找当a或b＝20时，c＝ 　 　．（写出所有满足条件的c）．
25．（10分）数学书第69页数学活动《折纸与证明》中提到：折纸，常常能够为证明一个命题提供思路和方法．
【初步体验】
操作①：取一张矩形A4纸ABMN，将AB边折叠到BM边上，折痕为BD，点A的对应点为C．（如图1所示）
操作②：将BD折叠到BM边上，折痕为BO．（如图2所示）
（1）若BD与BM恰好重合，则AN：AB＝ 　 　．
【初步探究】
在操作①中，沿CD剪开，易得一张正方形纸ABCD，让我们继续折叠下去…
操作③：把正方形ABCD对折后再展开，折痕为EF；
操作④：点N在边AB上，翻折△CBN，使得点B落在折痕EF上的点H处，连接BH，则△CBH是等边三角形．（如图3所示）
（2）求证：△CBH是等边三角形；
【深入探究】
操作⑤：把正方形ABCD对折后再展开，折痕为EF；
操作⑥：将AB沿BE翻折到BP位置，延长EP交CD于点Q，则点Q是CD的三等分点．（如图4所示）
（3）通过计算证明：点Q是CD的三等分点．
2024-2025学年江苏省南京师大附中新城中学八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（2分）下面四个博物馆图标中不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
2．（2分）正方形的面积是13，估计它的边长大小在（　　）
A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间
【答案】B
3．（2分）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列条件能判断△ABC为直角三角形的是（　　）
A．c2＝a2﹣b2 B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
C．a：b：c＝7：40：41 D．∠A＝40°，∠B＝70°
【答案】A
4．（2分）在△ABC中，已知∠A＝70°，若△ABC是等腰三角形，则∠B的度数是（　　）
A．70° B．55°
C．55°或70° D．40°或55°或70°
【答案】D
5．（2分）如图，若△ABC≌△DEF，四个点B、E、C、F在同一直线上，BF＝9，EC＝5，则CF的长是（　　）
A．2 B．3 C．5 D．7
【答案】A
6．（2分）如图，图1是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为22，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（　　）
A．38 B．40 C．42 D．44
【答案】B
7．（2分）如图，已知△ABC中，AB＝6，AC＝10，BC＝14，若过△ABC的顶点的一条直线将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为6的等腰三角形，则这样的直线最多可画（　　）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
【答案】C
8．（2分）下列条件中，能判断两个三角形全等的是（　　）
A．两个面积相等的等腰三角形
B．两边及第三边上的中线对应相等
C．两个周长相等的等腰三角形
D．两边及第三边上的高线对应相等
【答案】B
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．（2分）9的算术平方根是 　3　．
10．（2分）比较大小：﹣　＞　﹣3．（填：“＞、＜、＝”）
11．（2分）等腰三角形的对称轴是　底边上的高（顶角平分线或底边的中线）所在的直线　．
12．（2分）已知等腰三角形的两边长分别为5cm、10cm，则该等腰三角形的周长为 　25　cm．
13．（2分）如图，在△ABC中，D为AC上一点，且AD＝CD＝BD．若∠C＝25°，则∠ADB的度数为 　50　°．
14．（2分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB＝8，AC＝6，且△ABD的面积为4，则△ABC的面积为 　7　．
15．（2分）在△ABC中，AB＝6，AC＝5，边AB上的高为3，则BC＝ 　或　．
16．（2分）如图，△ABC≌△DEC，点E在线段AB上，∠B＝75°，则∠ACD的度数为 　30　°．
17．（2分）如图，在同一平面内，直线l同侧有三个正方形A，B，C，若A，C的面积分别为25和9，则阴影部分的总面积为 　15　．
18．（2分）如图，△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G．则下列结论①BF＝AC；②；③DG＝FG；④BD+DF＝BC；其中正确的有 　①②④　．（填序号）
三、解答题（本大题共7小题，共64分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E分别在边AB、AC上，且BD＝CE．求证：BE＝CD．
【答案】
证明：∵AB＝AC，
∴∠DBC＝∠ECB，
在△DBC和△ECB中，
，
∴△DBC≌△ECB（SAS），
∴BE＝CD．
20．（8分）如图，已知△ABC（AB＜BC），用不带刻度的直尺和圆规完成下列作图．（不写作法，保留作图痕迹）
（1）在图1中，作△ABC的高BD；
（2）在图2中，在边BC上求作一点E，使得△ABE与△ACE的面积相等．
【答案】
解：（1）如图1，BD即为所求．
（2）如图2，作线段BC的垂直平分线，交BC于点E，
则点E即为所求．
21．（8分）如图，在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，E是BC的中点，F是CD上一点，且，求证：∠AEF＝90°．
【答案】
证明：∵AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，E是BC的中点，且CF＝CD，
∴BE＝EC＝2，CF＝1，
在Rt△ABE中，由勾股定理可得AE2＝AB2+BE2＝20，
同理可得：EF2＝EC2+FC2＝5，AF2＝AD2+DF2＝25，
∵AE2+EF2＝AF2，
∴△AEF为直角三角形，
∴∠AEF＝90°．
22．（8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点都在小正方形的顶点上．
（1）在图中利用无刻度直尺画出线段AB的垂直平分线EF；
（2）在图中利用无刻度直尺画出线段BC的垂直平分线l．
【答案】
解：（1）如图，直线EF即为所求；
（2）如图，直线l即为所求．
23．（10分）如图，在△ABC中，点D在边BC上，且BD＝BA，点E在BC的延长线上，且CE＝CA．
（1）求证：；
（2）当点D在CB延长线上时，其他条件不变，直接写出∠DAE与∠BAC的关系．
【答案】
（1）证明：∵CE＝CA，
∴∠E＝∠CAE，
∴∠BAE＝∠BAC+∠E，
∵BD＝BA，
∴∠BAD＝∠BDA，
∵∠BDA＝∠DAE+∠E，
∴∠BAD＝∠DAE+∠E，
∵∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD，
∴∠DAE＝（∠BAC+∠E）﹣（∠DAE+∠E）＝∠BAC﹣∠DAE，
∴2∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE＝∠BAC；
（2）解：如图，∠BAC＝2∠DAE﹣180°，理由如下：
设∠CAD＝m，∠DAE＝n，
∴∠CAE＝∠DAE﹣∠CAD＝n﹣m，
∵CA＝CE，
∴∠E＝∠CAE＝n﹣m，
∴∠ADC＝180°﹣∠E﹣∠DAE＝180°﹣（n﹣m）﹣n＝180°﹣2n+m，
∵BD＝BA，
∴∠BAD＝∠ADC＝180°﹣2n+m，
∴∠BAC＝∠DAE﹣∠BAD﹣∠CAE＝n﹣（180°﹣2n+m）﹣（n﹣m）＝2n﹣180°，
∴∠BAC＝2∠DAE﹣180°．
24．（12分）阅读材料：勾股定理a2+b2＝c2本身就是一个关于a、b、c的方程，我们知道这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解（a，b，c）通常叫做勾股数组，我国古籍《周髀算经》中记载的“勾三股四弦五”中的“3，4，5”就是一组最简单的勾股数．为了进一步了解勾股数的奥秘，数学刘老师给出下面的两个表格．（以下a，b，c为Rt△ABC的三边，且a＜b＜c）
表1
a b c
3 4 5
5 12 13
7 24 25
表2
a b c
6 8 10
8 15 17
10 24 26
（1）请你根据上述表格的规律写出勾股数：11、　60　、　61　；
（2）当a＝2n+1（n为奇数，且n≥3）时，若b＝ 　2n2+2n　，c＝ 　2n2+2n+1；　时可以构造出勾股数（用含n的代数式表示）；并证明你的猜想；
（3）构造勾股数的方法很多，请你寻找当a或b＝20时，c＝ 　101或52或29　．（写出所有满足条件的c）．
【答案】
解：（1）∵112＝121＝（60+61）（60﹣61），
∴勾股数：11，60，61，
故答案为：60；61；
（2）根据表1，32＝4+5，52＝12+13，72＝24+25，……，
∴a2＝b+c，且c＝b+1，
∴当a＝2n+1时，a2＝4n2+4n+1，
又∵c＝b+1．
∴b＝2n2+2n，c＝2n2+2n+1，
故答案为：2n2+2n，2n2+2n+1；
证明：∵a＝2n+1，b＝2n2+2n，c＝2n2+2n+1，
∴b+c＝4n2+4n+1，b﹣c＝1，
∵a2＝（b+c）（b﹣c）＝b2﹣c2，
∵c2＝a2+b2；
（3）当a＝20时，a2+b2＝c2 a2＝（c+b）（c﹣b）＝400，
∵a＜b＜c，
∴，……，
∴c＝101或c＝52或c＝29或c＝25（舍去），
当b＝20时，b2＝（c+a）（c﹣a）＝400，
同理可得c＝101或c＝52或c＝29，
故答案为：101或52或29．
25．（10分）数学书第69页数学活动《折纸与证明》中提到：折纸，常常能够为证明一个命题提供思路和方法．
【初步体验】
操作①：取一张矩形A4纸ABMN，将AB边折叠到BM边上，折痕为BD，点A的对应点为C．（如图1所示）
操作②：将BD折叠到BM边上，折痕为BO．（如图2所示）
（1）若BD与BM恰好重合，则AN：AB＝ 　　．
【初步探究】
在操作①中，沿CD剪开，易得一张正方形纸ABCD，让我们继续折叠下去…
操作③：把正方形ABCD对折后再展开，折痕为EF；
操作④：点N在边AB上，翻折△CBN，使得点B落在折痕EF上的点H处，连接BH，则△CBH是等边三角形．（如图3所示）
（2）求证：△CBH是等边三角形；
【深入探究】
操作⑤：把正方形ABCD对折后再展开，折痕为EF；
操作⑥：将AB沿BE翻折到BP位置，延长EP交CD于点Q，则点Q是CD的三等分点．（如图4所示）
（3）通过计算证明：点Q是CD的三等分点．
【答案】
解：（1）根据折叠的性质，∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝45°，AB＝BC，∠A＝∠BCD＝90°，
∴△ABD和△CBD都是等腰直角三角形．
∴四边形ABCD为正方形．
∴BD＝AB．
又∵D、M两点关于BO对称，
∴BD＝BM．
根据矩形的性质，BM＝AN．
∴AN＝BD＝AB．
∴AN：AB＝：1．
（2）根据翻折的性质，NC是线段HB的垂直平分线，
∴HC＝BC，
同理，EF为线段BC的垂直平分线，
∴HC＝HB，
∴HC＝HB＝BC，
∴△CBH是等边三角形．
（3）如图，连接BQ，EC.
根据折叠的性质，△ABE≌△PBE，∴AB＝BP＝BC，∠BPE＝∠BAE＝90°．在Rt△BPQ和Rt△BCQ中，BP＝BC，QB＝QB，
∴Rt△BPQ≌Rt△BCQ（HL）．
∴PQ＝CQ．
证法一：采用勾股定理．
设CD＝2m，QC＝n，则DE＝m，DQ＝2m﹣n，EQ＝EP+PQ＝AE+QC＝m+n．
在Rt△EDQ中，由勾股定理得：DE2+DQ2＝EQ2．
即m2+（2m﹣n）2＝（m+n）2．
整理得2m（2m﹣3n）＝0．
解得2m＝3n．
∴CD＝3QC．
证法二：面积法．
根据矩形和正方形的性质，S△ABE＝S矩形ABFE＝S ABCD．
∴S四边形ABPE＝S△ABE+S△PBE＝2S△ABE＝S ABCD．
∴S△DQE+S四边形BCQP＝S ABCD＝S△DQE+S四边形EFCQ．
∴S四边形BCQP＝S四边形EFCQ．
∵S△EQC＝QC CF＝QC BC ＝S△BCQ，
S△BCQ＝S四边形BCQP＝S四边形EFCQ，S△EFC＝S△DCE．
∴S△EQC＝S四边形EFCQ＝S△EFC＝S△DCE．
∴QC＝CD．
故点Q是CD的三等分点．
第16页（共17页）

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