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2024-2025学年江西省南昌外国语学校教育集团九年级（上）期中
数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.每小题只有一个正确选项）
1．（3分）中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，如图四幅作品分别代表“立春”，“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）已知m是关于x的方程x2﹣2x﹣4＝0的一个根，则2m2﹣4m+2＝（　　）
A．5 B．10 C．﹣10 D．6
3．（3分）将关于x的一元二次方程x2+x＝2（x﹣3）化成一般形式后，一次项系数和常数项分别为（　　）
A．1，﹣4 B．﹣1，6 C．﹣1，﹣6 D．1，﹣6
4．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠AOD＝50°，则∠BCD的度数为（　　）
A．20° B．50° C．70° D．65°
5．（3分）在平面直角坐标系中，如果抛物线y＝﹣x2+2x﹣1经过平移可以与抛物线y＝﹣x2互相重合，那么这个平移是（　　）
A．向上平移1个单位 B．向下平移1个单位
C．向左平移1个单位 D．向右平移1个单位
6．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，下列四个结论：
①abc＜0；
②4a﹣2b+c＜0；
③3a+c＝0；
④当﹣3＜x＜1时，ax2+bx+c＜0．
其中正确结论的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 　 　．
8．（3分）如图，△ABC与△A'B'C'成中心对称，ED是△ABC的中位线，E'D'是△A'B'C'的中位线，已知BC＝4，则E'D'＝　 　．
9．（3分）如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D．若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆心O到直线AB的距离为6，则AC＝ 　 　．
10．（3分）定义运算：m&n＝m2﹣mn+5．例如1&2＝12﹣1×2+5＝4，则方程x&6＝0的解为 　 　．
11．（3分）已知二次函数y＝x2﹣（m+1）x+1，当x＞2时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是 　 　．
12．（3分）如图，O是等边三角形ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△ADC，连接OD，当α为　 　度时，△AOD是等腰三角形．
三、简答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）解方程：
（1）x2﹣6x﹣4＝0；
（2）5（x﹣2）2＝x2﹣4．
14．（6分）已知抛物线y＝﹣x2+4x+7．
（1）将y＝﹣x2+4x+5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
15．（6分）如图，已知点A，B，C均在圆上，请用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹，不需写出画法）．
（1）如图1，若点D是AC的中点，作出∠ABC的平分线；
（2）如图2，若AC∥BD，作出∠ABC的平分线．
16．（6分）如图，三角形ABC经过某种变换后得到三角形DEF，点A、B、C的对应点分别是点D、E、F，请观察它们之间的关系，完成以下问题：
（1）请分别写出点A，D的坐标：A 　 　，D 　 　；
（2）若三角形ABC内任意一点M的坐标是（x，y），点M经过这种变换后得到点N，点N的坐标是 　 　；
（3）在上述变换情况下，点P（a+3，﹣b+6）与点Q（2b﹣3，﹣2a）为对应点，求a+b的值．
17．（6分）关于x的一元二次方程x2﹣（3+m）x+3m＝0．
（1）试判断该方程根的情况；
（2）若x1，x2是该方程的两个实数根，且2x1﹣x1x2+2x2＝12，求m的值．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°．将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．
（1）求证：EF＝FM；
（2）当AE＝1时，求EF的长．
19．（8分）如图，点P在以MN为直径的⊙O上，MN＝8，PQ⊥MN交⊙O于点Q，垂足H，PQ≠MN，．
（1）连接OP，证明△OPH为等腰直角三角形；
（2）连接CD，若点C，D在⊙O上，且，求证：OP∥CD．
20．（8分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）．
（1）求m的值及抛物线的顶点坐标．
（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（9分）如图，在⊙O中，弦AC⊥BC，延长BC到D，使DC＝BC，连接AD交⊙O于点E，连接CE、BE．
（1）求证：EC＝BC；
（2）若AD＝5，BD＝6，求BE的长．
22．（9分）综合与应用
如果将运动员的身体看作一点，则他在跳水过程中运动的轨迹可以看作为抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系xOy，运动员从点A（0，10）起跳，从起跳到入水的过程中，运动员的竖直高度y（m）与水平距离x（m）满足二次函数的关系．
（1）在平时的训练完成一次跳水动作时，运动员甲的水平距离x与竖直高度y的几组数据如表：
水平距离x（m） 0 1 1.5
竖直高度y（m） 10 10 6.25
根据上述数据，求出y关于x的关系式；
（2）在（1）的这次训练中，求运动员甲从起点A到入水点的水平距离OD的长；
（3）信息1：记运动员甲起跳后达到最高点B到水面的高度为k（m），从到达到最高点B开始计时，则他到水面的距离h（m）与时间t（s）之间满足h＝﹣5t2+k．
信息2：已知运动员甲在达到最高点后需要1.6s的时间才能完成极具难度的270C动作．
问题解决：
①请通过计算说明，在（1）的这次训练中，运动员甲能否成功完成此动作？
②运动员甲进行第二次跳水训练，此时他的竖直高度y（m）与水平距离x（m）的关系为y＝ax2﹣ax+10（a＜0），若选手在达到最高点后要顺利完成270C动作，则a的取值范围是 　 　．
六、解答题（本大题12分）
23．（12分）如图①，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形ABC中，CA＝CB，∠C＝90°，过点B作射线BD⊥AB，垂足为B，点P在CB上．
（1）【动手操作】
如图②，若点P在线段CB上，画出射线PA，并将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E，根据题意在图中画出图形，图中∠PBE的度数为 　 　度；
（2）【问题探究】
根据（1）所画图形，探究线段PA与PE的数量关系，并说明理由；
（3）【拓展延伸】
如图③，若点P在射线CB上移动，将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E，探究线段BA，BP，BE之间的数量关系，并说明理由．
2024-2025学年江西省南昌外国语学校教育集团九年级（上）期中
数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.每小题只有一个正确选项）
1．（3分）中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，如图四幅作品分别代表“立春”，“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
2．（3分）已知m是关于x的方程x2﹣2x﹣4＝0的一个根，则2m2﹣4m+2＝（　　）
A．5 B．10 C．﹣10 D．6
【答案】B
3．（3分）将关于x的一元二次方程x2+x＝2（x﹣3）化成一般形式后，一次项系数和常数项分别为（　　）
A．1，﹣4 B．﹣1，6 C．﹣1，﹣6 D．1，﹣6
【答案】B
4．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠AOD＝50°，则∠BCD的度数为（　　）
A．20° B．50° C．70° D．65°
【答案】D
5．（3分）在平面直角坐标系中，如果抛物线y＝﹣x2+2x﹣1经过平移可以与抛物线y＝﹣x2互相重合，那么这个平移是（　　）
A．向上平移1个单位 B．向下平移1个单位
C．向左平移1个单位 D．向右平移1个单位
【答案】C
6．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，下列四个结论：
①abc＜0；
②4a﹣2b+c＜0；
③3a+c＝0；
④当﹣3＜x＜1时，ax2+bx+c＜0．
其中正确结论的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 　k＜4　．
8．（3分）如图，△ABC与△A'B'C'成中心对称，ED是△ABC的中位线，E'D'是△A'B'C'的中位线，已知BC＝4，则E'D'＝　2　．
9．（3分）如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D．若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆心O到直线AB的距离为6，则AC＝ 　8﹣2　．
10．（3分）定义运算：m&n＝m2﹣mn+5．例如1&2＝12﹣1×2+5＝4，则方程x&6＝0的解为 　x＝5或x＝1　．
11．（3分）已知二次函数y＝x2﹣（m+1）x+1，当x＞2时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是 　m≤3　．
12．（3分）如图，O是等边三角形ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△ADC，连接OD，当α为　110或140或125　度时，△AOD是等腰三角形．
三、简答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）解方程：
（1）x2﹣6x﹣4＝0；
（2）5（x﹣2）2＝x2﹣4．
【答案】
解：（1）x2﹣6x﹣4＝0，
x2﹣6x＝4，
x2﹣6x+9＝13，
（x﹣3）2＝13，
x﹣3＝±，
所以x1＝3+，x2＝3﹣；
（2）5（x﹣2）2＝x2﹣4．
5（x﹣2）2﹣（x+2）（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（5x﹣10﹣x﹣2）＝0，
x﹣2＝0或5x﹣10﹣x﹣2＝0，
所以x1＝2，x2＝3．
14．（6分）已知抛物线y＝﹣x2+4x+7．
（1）将y＝﹣x2+4x+5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
【答案】
解：（1）由题意，∵y＝﹣x2+4x+7＝﹣x2+4x﹣4+4+7＝﹣（x﹣2）2+11，
∴y＝﹣（x﹣2）2+11；
（2）由题意，∵y＝﹣x2+4x+7＝﹣x2+4x﹣4+4+7＝﹣（x﹣2）2+11，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝2，抛物线的顶点坐标为（2，11）．
15．（6分）如图，已知点A，B，C均在圆上，请用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹，不需写出画法）．
（1）如图1，若点D是AC的中点，作出∠ABC的平分线；
（2）如图2，若AC∥BD，作出∠ABC的平分线．
【答案】
解：（1）如图1，连接OD并延长，交⊙O于点E，作射线BE，
则射线BE即为所求．
（2）如图2，连接AD交BC于点M，连接OM并延长，交⊙O于点N，作射线BN，
则射线BN即为所求．
16．（6分）如图，三角形ABC经过某种变换后得到三角形DEF，点A、B、C的对应点分别是点D、E、F，请观察它们之间的关系，完成以下问题：
（1）请分别写出点A，D的坐标：A 　（5，4）　，D 　（﹣5，﹣4）　；
（2）若三角形ABC内任意一点M的坐标是（x，y），点M经过这种变换后得到点N，点N的坐标是 　（﹣x，﹣y）　；
（3）在上述变换情况下，点P（a+3，﹣b+6）与点Q（2b﹣3，﹣2a）为对应点，求a+b的值．
【答案】
解：（1）由平面直角坐标系得点A的坐标是（5，4），点D的坐标是（﹣5，﹣4），
故答案为：（5，4）；（﹣5，﹣4）；
（2）∵点A（5，4）与点D（﹣5，﹣4），点B（4，0）与点E（﹣4，0），点C（1，2）与点F（﹣1，﹣2），两点的横纵坐标互为相反数，
∴这三组对应点均关于原点对称，
∴若三角形ABC内任意一点M的坐标是（x，y），点M经过这种变换后得到点N，点N的坐标是（﹣x，﹣y），
故答案为：（﹣x，﹣y）；
（3）根据题意得，
，
解得，
∴a+b＝4﹣2＝2．
17．（6分）关于x的一元二次方程x2﹣（3+m）x+3m＝0．
（1）试判断该方程根的情况；
（2）若x1，x2是该方程的两个实数根，且2x1﹣x1x2+2x2＝12，求m的值．
【答案】
解：（1）Δ＝[﹣（3+m）]2﹣4×3m×1＝m2+6m+9﹣12m＝（m﹣3）2，
∴当m＝3时，Δ＝0，方程有两个相等的实数根；
当m≠3时，△＞0，方程有两个不相等的实数根．
（2）由题意得，
∵2x1﹣x1x2+2x2＝12，
∴2（3+m）﹣3m＝12，
解得：m＝﹣6．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°．将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．
（1）求证：EF＝FM；
（2）当AE＝1时，求EF的长．
【答案】
解：（1）证明：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，
∴∠FCM＝∠FCD+∠DCM＝180°，
∴F、C、M三点共线，
∴DE＝DM，∠EDM＝90°，
∴∠EDF+∠FDM＝90°，
∵∠EDF＝45°，
∴∠FDM＝∠EDF＝45°，
在△DEF和△DMF中，
，
∴△DEF≌△DMF（SAS），
∴EF＝MF；
（2）设EF＝MF＝x，
∵AE＝CM＝1，且BC＝3，
∴BM＝BC+CM＝3+1＝4，
∴BF＝BM﹣MF＝BM﹣EF＝4﹣x，
∵EB＝AB﹣AE＝3﹣1＝2，
在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2＝EF2，
即22+（4﹣x）2＝x2，
解得：x＝，
则EF＝．
19．（8分）如图，点P在以MN为直径的⊙O上，MN＝8，PQ⊥MN交⊙O于点Q，垂足H，PQ≠MN，．
（1）连接OP，证明△OPH为等腰直角三角形；
（2）连接CD，若点C，D在⊙O上，且，求证：OP∥CD．
【答案】
证明：（1）∵MN为直径，PQ⊥MN，PQ＝4，
∴PH＝PQ＝2，
∵MN＝8，
∴OP＝MN＝4，
∴OH＝＝2，
∴PH＝OH，
∵PH⊥MN，
∴△OPH为等腰直角三角形；
（2）连接OQ，OQ交CD于A，
∵＝，
∴OQ⊥CD，
∵△OPH为等腰直角三角形，
∴∠OPQ＝45°，
∵OP＝OQ，
∴△OPQ为等腰直角三角形，
∴∠POQ＝90°，
∴OP⊥OQ，
∴OP∥CD．
20．（8分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）．
（1）求m的值及抛物线的顶点坐标．
（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标．
【答案】
解：（1）把点B的坐标为（3，0）代入抛物线y＝﹣x2+mx+3得：0＝﹣32+3m+3，
解得：m＝2，
∴y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点坐标为：（1，4）．
（2）连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时PA+PC的值最小，
设直线BC的解析式为：y＝kx+b，
∵点C（0，3），点B（3，0），
∴，
解得：，
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，
当x＝1时，y＝﹣1+3＝2，
∴当PA+PC的值最小时，点P的坐标为：（1，2）．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（9分）如图，在⊙O中，弦AC⊥BC，延长BC到D，使DC＝BC，连接AD交⊙O于点E，连接CE、BE．
（1）求证：EC＝BC；
（2）若AD＝5，BD＝6，求BE的长．
【答案】
（1）证明：∵弦AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∴∠AEB＝∠ACB＝90°，
∴∠DEB＝180°﹣∠AEB＝90°，
∵DC＝BC，
∴EC＝BD，
∴EC＝BC；
（2）解：∵CD＝BC，BD＝6，
∴CD＝BD＝3，
∵∠ACD＝180°﹣∠ACB＝90°，AD＝5，
∴AC＝＝＝4，
∵sin∠BDE＝sin∠ADC，
∴＝，
∴＝，
∴BE＝．
22．（9分）综合与应用
如果将运动员的身体看作一点，则他在跳水过程中运动的轨迹可以看作为抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系xOy，运动员从点A（0，10）起跳，从起跳到入水的过程中，运动员的竖直高度y（m）与水平距离x（m）满足二次函数的关系．
（1）在平时的训练完成一次跳水动作时，运动员甲的水平距离x与竖直高度y的几组数据如表：
水平距离x（m） 0 1 1.5
竖直高度y（m） 10 10 6.25
根据上述数据，求出y关于x的关系式；
（2）在（1）的这次训练中，求运动员甲从起点A到入水点的水平距离OD的长；
（3）信息1：记运动员甲起跳后达到最高点B到水面的高度为k（m），从到达到最高点B开始计时，则他到水面的距离h（m）与时间t（s）之间满足h＝﹣5t2+k．
信息2：已知运动员甲在达到最高点后需要1.6s的时间才能完成极具难度的270C动作．
问题解决：
①请通过计算说明，在（1）的这次训练中，运动员甲能否成功完成此动作？
②运动员甲进行第二次跳水训练，此时他的竖直高度y（m）与水平距离x（m）的关系为y＝ax2﹣ax+10（a＜0），若选手在达到最高点后要顺利完成270C动作，则a的取值范围是 　　．
【答案】
（1）解：由运动员的竖直高度y（m）与水平距离x（m）满足二次函数的关系，
设二次函数的关系为y＝ax2+bx+c，
代入（0，10），（1，10），（1.5，6.25），
得，
解得，
∴y关于x的关系式为y＝﹣5x2+5x+10；
（2）把y＝0代入y＝﹣5x2+5x+10，
得﹣5x2+5x+10＝0，
解得x1＝2，x2＝﹣1（不合题意，舍去），
∴运动员甲从起点A到入水点的水平距离OD的长为2米；
（3）①运动员甲不能成功完成此动作，理由如下：
由运动员的竖直高度y（m）与水平距离x（m）满足二次函数的关系为y＝﹣5x2+5x+10，
整理得，
得运动员甲起跳后达到最高点B到水面的高度k为m，即，
把h＝0代入，
得，
解得t1＝1.5，t2＝﹣1.5（不合题意，舍去），
∵1.5＜1.6，
∴运动员甲不能成功完成此动作；
②由运动员甲进行第二次跳水训练，竖直高度y（m）与水平距离x（m）的关系为y＝ax2﹣ax+10（a＜0），
得顶点为，
得，
得，
把h＝0代入，
得，
由运动员甲在达到最高点后需要1.6s的时间才能完成极具难度的270C动作，得t≥1.6，
则t2≥1.62，即，
解得．
故答案为：．
六、解答题（本大题12分）
23．（12分）如图①，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形ABC中，CA＝CB，∠C＝90°，过点B作射线BD⊥AB，垂足为B，点P在CB上．
（1）【动手操作】
如图②，若点P在线段CB上，画出射线PA，并将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E，根据题意在图中画出图形，图中∠PBE的度数为 　135　度；
（2）【问题探究】
根据（1）所画图形，探究线段PA与PE的数量关系，并说明理由；
（3）【拓展延伸】
如图③，若点P在射线CB上移动，将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E，探究线段BA，BP，BE之间的数量关系，并说明理由．
【答案】
解：（1）画出图形如下：
∵CA＝CB，∠C＝90°，
∴∠ABC＝45°，
∵BD⊥AB，
∴∠ABD＝90°，
∴∠PBE＝∠ABC+∠ABD＝45°+90°＝135°；
故答案为：135；
（2）PA＝PE，理由如下：
过P作PM∥AB交AC于M，如图：
∴∠MPC＝∠ABC＝45°，
∴△PCM是等腰直角三角形，
∴CP＝CM，∠PMC＝45°，
∴CA﹣CM＝CB﹣CP，即AM＝BP，∠AMP＝135°＝∠PBE，
∵∠APE＝90°，
∴∠EPB＝90°﹣∠APC＝∠PAC，
∴△APM≌△PEB（ASA），
∴PA＝PE；
（3）当P在线段BC上时，过P作PM∥AB交AC于M，如图：
由（2）可知，BE＝PM，BP＝AM，
∵AB＝（AM+CM），
∴AB＝BP+CM，
∵PM＝CM，
∴AB＝BP+BE；
当P在线段CB的延长线上时，过P作PN⊥BC交BE于N，如图：
∵∠ABD＝90°，∠ABC＝45°，
∴∠PBN＝180°﹣∠ABC﹣∠ABD＝45°，
∴△BPN是等腰直角三角形，∠ABP＝135°，
∴BP＝NP，BN＝BP，∠PNB＝45°，
∴∠PNE＝135°＝∠ABP，
∵∠APE＝90°，
∴∠EPN＝90°﹣∠APN＝∠APB，
∴△EPN≌△APB（ASA），
∴EN＝BA，
∵BE＝EN+BN，
∴BE＝BA+BP；
综上所述，当P在线段BC上时，AB＝BP+BE；当P在线段CB的延长线上时，BE＝BA+BP．
第22页（共22页）

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