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2024-2025学年江苏省南京市建邺区金陵中学河西分校八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分）
1．（2分）没有哪一门学科能像数学这样，利用如此多的符号展现一系列完备且完美的世界．下列几种著名的数学曲线中，不是轴对称的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2分）已知图中的两个三角形全等，则∠α等于（　　）
A．72° B．60° C．58° D．50°
3．（2分）下列四个数中，无理数是（　　）
A．﹣2 B． C． D．0.5
4．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于点E，下列结论错误的是（　　）
A．BD平分∠ABC
B．点D是线段AC的中点
C．AD＝BD＝BC
D．△BCD的周长等于AB+BC
5．（2分）如图，在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，D为BC延长线上一点，EC⊥AC且AC＝CE，垂足为C，连接BE，若BC＝6，则△BCE的面积为（　　）
A． B．9 C．18 D．36
6．（2分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝4．分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4等于（　　）
A．12 B．14 C．16 D．18
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，满分20分）
7．（2分）9的算术平方根是 　 　．
8．（2分）一个等腰三角形的两边长分别是2和4，它的周长是　 　．
9．（2分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，CD＝5，则AB＝　 　．
10．（2分）若一个正数的平方根是2a﹣3和4﹣a，则这个正数是 　 　．
11．（2分）用四舍五入法取近似值，将130541精确到千位的结果是 　 　．
12．（2分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，下列条件：①∠A＝∠B﹣∠C；②（a+b）（a﹣b）＝c2；③a＝32，b＝42，c＝52．其中可以判定△ABC是直角三角形的是 　 　（填序号）．
13．（2分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将∠A折叠，使点A落在边CB上的点A′处，折痕为CD；若∠A′DC＝84°，则∠B＝　 　°．
14．（2分）如图，在四边形ABCD中，对角线分别为AC，BD，且AC⊥BD于点O，若AD＝2，BC＝6，则AB2+CD2＝　 　．
15．（2分）如图，在同一平面内，直线l同侧有三个正方形A，B，C，若A，C的面积分别为25和9，则阴影部分的总面积为 　 　．
16．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F，若AC＝3，AB＝5，则CE的长为　 　．
三、解答题：（本大题共10小题，满分68分）
17．（6分）求下列各式中的x．
（1）16x2﹣25＝0；
（2）3（x+5）3＝﹣81．
18．（6分）计算：
（1）；
（2）．
19．（6分）已知点A、F、E、D在同一条直线上，AF＝DE，BE∥CF，BE＝CF．求证：AB＝CD．
20．（6分）如图，已知D为BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F为垂足，且BE＝CF，∠BDE＝30°，求证：△ABC是等边三角形．
21．（6分）如图，已知线段a，b，∠1，用直尺和圆规求作△ABC，使得△ABC的两边分别为a，b，一内角等于∠1．
22．（6分）如图，在△ABC中，AB边上的垂直平分线DE与AB、AC分别交于点D、E，且CB2＝AE2﹣CE2．
（1）求证：∠C＝90°；
（2）若AC＝8，BC＝6，求CE的长．
23．（6分）阅读下面的文字，解答问题：
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用（﹣1）来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？
事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：∵，即，
∴的整数部分为2，小数部分为．
请解答：
（1）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值；
（2）已知：，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的值．
24．（8分）如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE．
（1）则∠CAD＝ 　 　°；
（2）求证：DE平分∠ADC；
（3）若AB＝4，AD＝3，CD＝5，且S△ACD＝6，则△ABE的面积为 　 　．
25．（8分）如图，△ABC中，BC＝6cm，AC＝8cm，AB＝10cm，若动点M从点C出发，沿着△ABC的三条边顺时针走一圈回到C点，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．
（1）当t＝ 　 　s时，BM平分∠ABC；
（2）求t为何值时，△BCM为等腰三角形？
（3）另有一点N，从点C开始，沿着△ABC的三条边逆时针走方向运动，且速度为每秒2cm，若M、N两点同时出发，当M、N中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t＝ 　 　s时，直线MN把△ABC的周长分成相等的两部分？
26．（10分）数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的．
（1）【经历体验】已知m，n均为正实数、且m+n＝4，求+的最小值．通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，AB＝4，AC＝1，BD＝2，AC⊥AB，BD⊥AB，点E是线段AB上的动点，且不与端点重合，连接CE，DE，设AE＝m，BE＝n．
①用含m的代数式表示CE＝ 　 　，用含n的代数式表示DE＝ 　 　；
②据此写出的最小值是 　 　；
（2）【类比应用】根据上述的方法，代数式的最小值是 　 　；
（3）【感悟探索】
①已知a，b，c为正数，且a+b+c＝1，试运用构图法，画出图形，并写出的最小值；
②若a，b为正数，写出以，，为边的三角形的面积是 　 　．
2024-2025学年江苏省南京市建邺区金陵中学河西分校八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分）
1．（2分）没有哪一门学科能像数学这样，利用如此多的符号展现一系列完备且完美的世界．下列几种著名的数学曲线中，不是轴对称的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
2．（2分）已知图中的两个三角形全等，则∠α等于（　　）
A．72° B．60° C．58° D．50°
【答案】D
3．（2分）下列四个数中，无理数是（　　）
A．﹣2 B． C． D．0.5
【答案】B
4．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于点E，下列结论错误的是（　　）
A．BD平分∠ABC
B．点D是线段AC的中点
C．AD＝BD＝BC
D．△BCD的周长等于AB+BC
【答案】B
5．（2分）如图，在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，D为BC延长线上一点，EC⊥AC且AC＝CE，垂足为C，连接BE，若BC＝6，则△BCE的面积为（　　）
A． B．9 C．18 D．36
【答案】B
6．（2分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝4．分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4等于（　　）
A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】A
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，满分20分）
7．（2分）9的算术平方根是 　3　．
8．（2分）一个等腰三角形的两边长分别是2和4，它的周长是　10　．
9．（2分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，CD＝5，则AB＝　10　．
10．（2分）若一个正数的平方根是2a﹣3和4﹣a，则这个正数是 　25　．
11．（2分）用四舍五入法取近似值，将130541精确到千位的结果是 　1.31×105　．
12．（2分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，下列条件：①∠A＝∠B﹣∠C；②（a+b）（a﹣b）＝c2；③a＝32，b＝42，c＝52．其中可以判定△ABC是直角三角形的是 　①②　（填序号）．
13．（2分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将∠A折叠，使点A落在边CB上的点A′处，折痕为CD；若∠A′DC＝84°，则∠B＝　39　°．
14．（2分）如图，在四边形ABCD中，对角线分别为AC，BD，且AC⊥BD于点O，若AD＝2，BC＝6，则AB2+CD2＝　40　．
15．（2分）如图，在同一平面内，直线l同侧有三个正方形A，B，C，若A，C的面积分别为25和9，则阴影部分的总面积为 　15　．
16．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F，若AC＝3，AB＝5，则CE的长为　　．
三、解答题：（本大题共10小题，满分68分）
17．（6分）求下列各式中的x．
（1）16x2﹣25＝0；
（2）3（x+5）3＝﹣81．
【答案】
解：（1）16x2﹣25＝0，
16x2＝25，
，
x＝；
（2）3（x+5）3＝﹣81，
（x+5）3＝﹣27，
x+5＝﹣3，
x＝﹣8．
18．（6分）计算：
（1）；
（2）．
【答案】
解：（1）
＝
＝；
（2）
＝
＝
＝5．
19．（6分）已知点A、F、E、D在同一条直线上，AF＝DE，BE∥CF，BE＝CF．求证：AB＝CD．
【答案】
证明：∵AF＝DE，
∴AF+EF＝DE+EF，
即AE＝DF，
∵BE∥CF，
∴∠AEB＝∠DFC，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴AB＝CD．
20．（6分）如图，已知D为BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F为垂足，且BE＝CF，∠BDE＝30°，求证：△ABC是等边三角形．
【答案】
证明：∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴△BED和△CFD都是直角三角形，
在Rt△BED和Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC（等角对等边）．
∵∠BDE＝30°，DE⊥AB，
∴∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
21．（6分）如图，已知线段a，b，∠1，用直尺和圆规求作△ABC，使得△ABC的两边分别为a，b，一内角等于∠1．
【答案】
解：
作法1，如图，△ABC为所求，
作法2，如图，△ABC为所求，
．
22．（6分）如图，在△ABC中，AB边上的垂直平分线DE与AB、AC分别交于点D、E，且CB2＝AE2﹣CE2．
（1）求证：∠C＝90°；
（2）若AC＝8，BC＝6，求CE的长．
【答案】
（1）证明：连接BE，如图：
∵AB边上的垂直平分线为DE，
∴AE＝BE，
∵CB2＝AE2﹣CE2，
∴CB2＝BE2﹣CE2，
∴CB2+CE2＝BE2，
∴C＝90°；
（2）设CE＝x，则AE＝BE＝8﹣x，
∴在Rt△BCE中，
EC2+BC2＝BE2，
即x2+62＝（8﹣x）2
解得：，
则．
23．（6分）阅读下面的文字，解答问题：
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用（﹣1）来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？
事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：∵，即，
∴的整数部分为2，小数部分为．
请解答：
（1）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值；
（2）已知：，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的值．
【答案】
解：（1）∵42＜17＜52，
∴4＜＜5，
∴a＝﹣4；
∵62＜39＜72，
∴6＜＜7，
∴b＝6；
∴a+b﹣＝﹣4+6﹣＝2；
∴的值为2；
（2）∵22＜5＜32，
∴2＜＜3，
∴14＜12+＜15，
∴x＝14，y＝﹣2，
∴x﹣y＝14﹣（﹣2）＝16﹣，
∴x﹣y的值为16﹣．
24．（8分）如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE．
（1）则∠CAD＝ 　40　°；
（2）求证：DE平分∠ADC；
（3）若AB＝4，AD＝3，CD＝5，且S△ACD＝6，则△ABE的面积为 　3　．
【答案】
（1）解∵EF⊥AB，∠AEF＝50°，
∴∠EAF＝90°﹣50°＝40°，
∵∠BAD＝100°，
∴∠CAD＝180°﹣100°﹣40°＝40°；
故答案为：40；
（2）证明：过E作EM⊥BC于M，EN⊥AD于N，
∵∠EAF＝∠CAD＝40°，
∴AC平分∠DAF，
∵EN⊥AD，EF⊥AF，
∴EF＝EN，
同理：EM＝FE，
∴EN＝EM，
∵EM⊥BC，EN⊥AD，
∴DE平分∠ADC；
（3）解：∵△ADE的面积+△CDE的面积＝△ACD的面积，
∴AD EN+CD EM＝6，
∴（AD+CD）×EM＝6，
∵AD＝3，CD＝5，
∴EM＝，
∴EF＝，
∴△ABE的面积＝AB EF＝×4×＝3．
故答案为：3．
25．（8分）如图，△ABC中，BC＝6cm，AC＝8cm，AB＝10cm，若动点M从点C出发，沿着△ABC的三条边顺时针走一圈回到C点，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．
（1）当t＝ 　3　s时，BM平分∠ABC；
（2）求t为何值时，△BCM为等腰三角形？
（3）另有一点N，从点C开始，沿着△ABC的三条边逆时针走方向运动，且速度为每秒2cm，若M、N两点同时出发，当M、N中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t＝ 　4或12　s时，直线MN把△ABC的周长分成相等的两部分？
【答案】
解：（1）作MD⊥AB于D，如图1所示：
则∠ADM＝∠BDM＝90°，
∵BM平分∠ABC，
∴∠MBD＝∠MBC，
在△MBD和△MBC中，
，
∴△MBD≌△MBC（AAS），
∴BD＝BC＝6cm，
∴AD＝AB﹣BD＝4cm，
设MC＝MD＝x cm，则AM＝（8﹣x）cm，
在Rt△ADM中，由勾股定理得：x2+42＝（8﹣x）2，
解得：x＝3，
∴t＝3，
即当t为3时，BM平分∠ABC；
（2）①当点M在AC上，如图，CB＝CM时，CM＝6cm，
则t＝6；
②当点M在AB上，如图3，CB＝CM时，过C作CD⊥AB于D，
∵S△ABC＝AC BC＝AB CD，
∴CD＝＝（cm），
在Rt△ADC中，BD＝＝（cm），
∵CB＝CM，CD为AB边上的高，
∴BD＝MD＝（cm），
∴AM＝10﹣﹣＝（cm），
∴AC+AM＝8+＝（cm），
则t＝，
当BC＝BM＝6cm时，AM＝4cm，
∴AC+AM＝8+4＝12cm，
∴t＝12，
当CM＝BM时，
如图，作MH⊥BC于H，
则BH＝CH，
∵MH∥AC，
∴AM＝MB＝5（cm），
∴AM+AC＝8+5＝13（cm），
∴t＝13，
③在边BC上时，不能构成三角形；
综上所述，当t＝6或或12或13时，△ACP为等腰三角形；
（3）分两种情况：
①M、N相遇前，当M点在AC上，N在AB上，如图所示：
则t+2t＝12，
∴t＝4；
②当M、N相遇后，当M点在AB上，N在AC上，如图所示：
则t+2t＝12+24，
∴t＝12；
∴t为4或12时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分．
故答案为：4或12．
26．（10分）数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的．
（1）【经历体验】已知m，n均为正实数、且m+n＝4，求+的最小值．通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，AB＝4，AC＝1，BD＝2，AC⊥AB，BD⊥AB，点E是线段AB上的动点，且不与端点重合，连接CE，DE，设AE＝m，BE＝n．
①用含m的代数式表示CE＝ 　　，用含n的代数式表示DE＝ 　　；
②据此写出的最小值是 　5　；
（2）【类比应用】根据上述的方法，代数式的最小值是 　20　；
（3）【感悟探索】
①已知a，b，c为正数，且a+b+c＝1，试运用构图法，画出图形，并写出的最小值；
②若a，b为正数，写出以，，为边的三角形的面积是 　2ab．　．
【答案】
解：（1）①在Rt△ACE中，CE＝，
在Rt△BDE中，DE＝＝，
故答案为：，；
②连接CD，
由①得＝CE+DE，
而CE+DE≥CD（当且仅当C、E、D共线时取等号），
作DH⊥CA交CA的延长线于H，如图1，易得四边形ABDH为矩形，
∴AH＝BD＝2，DH＝AB＝4，
在Rt△CHD中，CD＝＝＝5，
∴CE+DE的最小值为5，
即的最小值是5；
故答案为：5；
（2）如图，
设AB＝16，CA＝5，BD＝7，AE＝x，则BE＝16﹣x，
在Rt△ACE中，CE＝＝，
在Rt△BDE中，DE＝＝+49；
∴+＝CE+DE，
而CE+DE≥CD（当且仅当C、E、D共线时取等号），
作DH⊥CA交CA的延长线于H，易得四边形ABDH为矩形，
∴AH＝BD＝7，DH＝AB＝16，
在Rt△CHD中，CD＝＝＝20，
∴CE+DE的最小值为20，
即+的最小值为20．
故答案为：20；
（3）画出边长为1的正方形，在边上截取出长为a，b．c的线段，作图如下：
则a+b+c＝1，AB＝，BC＝，CD＝，
∴AB+BC+CD＝，
利用两点之间线段最短可知：AB+BC+CD≥AD（当且仅当A、B、C、D共线时取等号），
∵AD＝＝，
∴AB+BC+CD的最小值为，
∴的最小值为；
②分别以2a，2b为边长作出矩形ABCD，则AB＝2a，AD＝2b，取AB的中点为E，AD的中点为F，连接EF，FC，EC，如图，
则AE＝a，AF＝DF＝b，BE＝2a，BC＝2b，CD＝AB＝3a，BC＝AD＝2b，
∴EF＝＝，
FC＝＝，
EC＝＝，
∴以，，为边的三角形的面积＝S△EFC，
∵S△EFC＝S矩形ABCD﹣S△AEF﹣S△DFC﹣S△BEC
＝3a 2b﹣ab﹣ 3a b﹣ 2a 2b
＝6ab﹣ab﹣ab﹣2ab
＝2ab，
∴以，，为边的三角形的面积为2ab，
故答案为：2ab．
第22页（共22页）

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