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2024-2025学年宁夏银川外国语实验学校九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列四组线段是成比例线段的是（　　）
A．lcm，2cm，3cm，4cm B．2cm，3cm，4cm，6cm
C．5cm，6cm，7cm，8cm D．7cm，8cm，9cm，10cm
2．（3分）如图，直线a∥b∥c，直线AC分别交a，b、c于点A，B，C，直线DF分别交a，b，c于点D，E，F，若DE＝2EF，AC＝9，则AB的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（3分）如图，AD、BC相交于点O，由下列条件不能判定△AOB与△DOC相似的是（　　）
A．AB∥CD B．∠A＝∠D C． D．
4．（3分）下列图形相似的是（　　）
A．两个等腰三角形 B．两个矩形
C．两个正方形 D．两个菱形
5．（3分）若点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝2，则BC＝（　　）
A． B．
C． D．或
6．（3分）在一次篮球联赛中，每个小组的各队都要与同组的其他队比赛两场，然后决定小组出线的球队．如果某一小组共有x个队，该小组共赛了90场，那么列出正确的方程是（　　）
A． B．x（x﹣1）＝90
C． D．x（x+1）＝90
7．（3分）如图，小程的爸爸用一段10m长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长5.5m）的矩形鸭舍，其面积为15m2，在鸭舍侧面中间位置留一个1m宽的门（由其它材料制成），则BC长为（　　）
A．5m或6m B．2.5m或3m C．5m D．3m
8．（3分）用圆中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏，分别转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是（　　）
A． B． C． D．
9．（3分）已知：如图，E（﹣4，2），F（﹣1，﹣1），以O为位似中心，相似比为，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标为（　　）
A．（8，﹣4） B．（8，﹣4）或（﹣8，4）
C．（2，﹣1） D．（2，﹣1）或（﹣2，1）
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，分析下列四个结论：
①△AEF∽△CAB；
②CF＝2AF；
③FC＝DC；
④．
其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每小题3分，共30分）
11．（3分）已知方程（m﹣3）x|m﹣1|﹣bx﹣1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为 　 　．
12．（3分）若t是方程x2﹣x﹣1＝0的一个实数根，则代数式2t2﹣2t+2024的值为 　 　．
13．（3分）如果线段a、b满足＝，那么的值等于 　 　．
14．（3分）如图，在△ABC中，点E在AB边上，已知AC∥BD，添加一个条件，使△BDE∽△ABC．你添加的条件是 　 　．
15．（3分）如图，在正方形网格中有四个三角形，其中与△ABC相似（不包括△ABC本身）的三角形有 　 　个．
16．（3分）在一个暗箱里放有a个除颜色外其它完全相同的球，这a个球中红球只有3个．每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%，那么可以推算出a大约是 　 　．
17．（3分）如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551米2，求修建的路宽．设路宽为x m，可列方程 　 　．
18．（3分）有一种流感病毒，若一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患流感．如果设每轮传染中平均一个人传染x个人，那么可列方程为 　 　．
19．（3分）如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝12m，高AD＝8m，要把它加工成一个正方形零件，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上．则该正方形的边长是 　 　m．
20．（3分）如图，等边△ABC被矩形DEFG所截，EF∥BC，线段AB被截成三等份．若△ABC的面积为12cm2，图中阴影部分的面积为 　 　cm2．
三、解答题（共60分）
21．（8分）用合适的方法解方程：
（1）（x﹣2）2＝18；
（2）x2﹣2x﹣2＝0（配方法）；
（3）x2+4x+5＝0；
（4）（3x﹣1）2＝2（3x﹣1）．
22．（4分）已知a、b、c是△ABC的三边长，且，求：
（1）的值．
（2）若△ABC的周长为24，求各边的长并判断该三角形的形状．
23．（4分）已知：△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0的两个实数根，第三边BC的长为5．k为何值时，△ABC是等腰三角形？并求△ABC的周长．
24．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣4，1），B（﹣2，0），C（﹣1，2）．
（1）以原点O为位似中心，画出△ABC的位似三角形，使它与△ABC的相似比为2：1；
（2）△ABC与其位似三角形的面积比为 　 　．
25．（6分）为了培养青少年体育兴趣、体育意识，某校初中开展了“阳光体育活动”，决定开设篮球、足球、乒乓球、羽毛球、排球这五项球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题：
（1）本次被调查的学生有 　 　名，补全条形统计图；
（2）扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数 　 　；
（3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，则甲和乙同学同时被选中的概率是多少？
26．（6分）某数学兴趣小组在测量学校旗杆的高度时，让一名同学直立在点F处，手拿一块直角三角板CDE，保持斜边CE与地面BF平行，延长CE交AB于点G，如图，并沿着射线CD的方向观察，刚好看到旗杆的顶端A点，已知该同学的身高CF为1.6米，点F到旗杆底端的距离BF为12米，CE＝50cm，CD＝40cm，求旗杆AB的高度．
27．（6分）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，AD上，EF⊥CE于点E
（1）求证：△AEF∽△BCE．
（2）若，求的值．
28．（6分）某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨0.5元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
29．（8分）若关于x的方程的若干个解中，存在两个不相等的解，且这两个解为互为相反数，则称这两个解为这个方程的对称解，这个方程称为对称解方程．例如方程：x＝2和x＝﹣2是方程x2﹣4＝0的对称解，则x2﹣4＝0为对称解方程．
（1）下列方程是对称解方程的有 　 　；
①x3﹣4x＝0；
②2x2+x﹣1＝0；
③．
（2）已知关于x的方程|2x+b|＝1恰好是对称解方程，若函数y＝|2x+b|﹣1与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，求△ABC的面积．
30．（8分）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，∠C＝90°，动点P从点B出发，以每秒5个单位长的速度沿BA向点A运动，过点P作PQ⊥BC于点Q，以PQ为边向右作矩形PQFE，使，点F落在射线BC上．设点P的运动时间为t（t＞0）秒．
（1）求PQ的长（用含t的代数式表示）；
（2）求点E落在△ABC区域（含边界）内的时长；
（3）连接PC，当△CPQ与△ABC相似时，求t的值；
（4）当PQ将△ABC的面积分成1：3两部分时，直接写出点E到AC的距离．
2024-2025学年宁夏银川外国语实验学校九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列四组线段是成比例线段的是（　　）
A．lcm，2cm，3cm，4cm B．2cm，3cm，4cm，6cm
C．5cm，6cm，7cm，8cm D．7cm，8cm，9cm，10cm
【答案】B
2．（3分）如图，直线a∥b∥c，直线AC分别交a，b、c于点A，B，C，直线DF分别交a，b，c于点D，E，F，若DE＝2EF，AC＝9，则AB的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
3．（3分）如图，AD、BC相交于点O，由下列条件不能判定△AOB与△DOC相似的是（　　）
A．AB∥CD B．∠A＝∠D C． D．
【答案】D
4．（3分）下列图形相似的是（　　）
A．两个等腰三角形 B．两个矩形
C．两个正方形 D．两个菱形
【答案】C
5．（3分）若点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝2，则BC＝（　　）
A． B．
C． D．或
【答案】D
6．（3分）在一次篮球联赛中，每个小组的各队都要与同组的其他队比赛两场，然后决定小组出线的球队．如果某一小组共有x个队，该小组共赛了90场，那么列出正确的方程是（　　）
A． B．x（x﹣1）＝90
C． D．x（x+1）＝90
【答案】B
7．（3分）如图，小程的爸爸用一段10m长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长5.5m）的矩形鸭舍，其面积为15m2，在鸭舍侧面中间位置留一个1m宽的门（由其它材料制成），则BC长为（　　）
A．5m或6m B．2.5m或3m C．5m D．3m
【答案】C
8．（3分）用圆中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏，分别转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
9．（3分）已知：如图，E（﹣4，2），F（﹣1，﹣1），以O为位似中心，相似比为，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标为（　　）
A．（8，﹣4） B．（8，﹣4）或（﹣8，4）
C．（2，﹣1） D．（2，﹣1）或（﹣2，1）
【答案】D
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，分析下列四个结论：
①△AEF∽△CAB；
②CF＝2AF；
③FC＝DC；
④．
其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
二、填空题（每小题3分，共30分）
11．（3分）已知方程（m﹣3）x|m﹣1|﹣bx﹣1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为 　﹣1　．
12．（3分）若t是方程x2﹣x﹣1＝0的一个实数根，则代数式2t2﹣2t+2024的值为 　2026　．
13．（3分）如果线段a、b满足＝，那么的值等于 　　．
14．（3分）如图，在△ABC中，点E在AB边上，已知AC∥BD，添加一个条件，使△BDE∽△ABC．你添加的条件是 　∠BDE＝∠ABC或∠BED＝∠ACB　．
15．（3分）如图，在正方形网格中有四个三角形，其中与△ABC相似（不包括△ABC本身）的三角形有 　1　个．
16．（3分）在一个暗箱里放有a个除颜色外其它完全相同的球，这a个球中红球只有3个．每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%，那么可以推算出a大约是 　12　．
17．（3分）如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551米2，求修建的路宽．设路宽为x m，可列方程 　（30﹣x）（20﹣x）＝551　．
18．（3分）有一种流感病毒，若一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患流感．如果设每轮传染中平均一个人传染x个人，那么可列方程为 　（1+x）2＝81　．
19．（3分）如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝12m，高AD＝8m，要把它加工成一个正方形零件，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上．则该正方形的边长是 　4.8　m．
20．（3分）如图，等边△ABC被矩形DEFG所截，EF∥BC，线段AB被截成三等份．若△ABC的面积为12cm2，图中阴影部分的面积为 　4　cm2．
三、解答题（共60分）
21．（8分）用合适的方法解方程：
（1）（x﹣2）2＝18；
（2）x2﹣2x﹣2＝0（配方法）；
（3）x2+4x+5＝0；
（4）（3x﹣1）2＝2（3x﹣1）．
【答案】
解：（1）（x﹣2）2＝18，
x﹣2＝±3，
x﹣2＝3或x﹣2＝﹣3，
x1＝2+3，x2＝2﹣3；
（2）x2﹣2x﹣2＝0，
x2﹣2x＝2，
x2﹣2x+1＝2+1，
（x﹣1）2＝3，
x﹣1＝±，
x﹣1＝或x﹣1＝﹣，
x1＝1+，x2＝1﹣；
（3）x2+4x+5＝0，
∵a＝1，b＝4，c＝5，
Δ＝b2﹣4ac＝16﹣4×1×5＝﹣4＜0，
∴此方程无实数根；
（4）（3x﹣1）2＝2（3x﹣1），
（3x﹣1）2﹣2（3x﹣1）＝0，
（3x﹣1）（3x﹣1﹣2）＝0，
3x﹣1＝0或3x﹣1﹣2＝0，
x1＝，x2＝1．
22．（4分）已知a、b、c是△ABC的三边长，且，求：
（1）的值．
（2）若△ABC的周长为24，求各边的长并判断该三角形的形状．
【答案】
解：（1）∵，
设a＝3x，b＝5x，c＝4x，
∴；
（2）设a＝3x，b＝5x，c＝4x，
∵△ABC的周长为24，
可得3x+5x+4x＝24，
12x＝24，
解得：x＝2，
∴a＝3x＝6，b＝5x＝10，c＝4x＝8，
∵a2+c2＝b2，
∴△ABC是直角三角形．
23．（4分）已知：△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0的两个实数根，第三边BC的长为5．k为何值时，△ABC是等腰三角形？并求△ABC的周长．
【答案】
解：分两种情况：
①当AB＝AC时，Δ＝b2﹣4ac＝0，
∴（2k+3）2﹣4（k2+3k+2）＝0，
解得k不存在；
②当AB＝BC时，即AB＝5，
，
解得 或，
则△ABC的周长为：5+5+4＝14或5+5+6＝16．
综上所述，当k＝3或4时，△ABC是等腰三角形．其相应的△ABC的周长是14或16．
24．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣4，1），B（﹣2，0），C（﹣1，2）．
（1）以原点O为位似中心，画出△ABC的位似三角形，使它与△ABC的相似比为2：1；
（2）△ABC与其位似三角形的面积比为 　　．
【答案】
解：（1）如图，△A′B′C′即为所求．
（2）∵△ABC与△A′B′C′的相似比为1：2，
∴△ABC与△A′B′C′的面积比为．
故答案为：．
25．（6分）为了培养青少年体育兴趣、体育意识，某校初中开展了“阳光体育活动”，决定开设篮球、足球、乒乓球、羽毛球、排球这五项球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题：
（1）本次被调查的学生有 　100　名，补全条形统计图；
（2）扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数 　36°　；
（3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，则甲和乙同学同时被选中的概率是多少？
【答案】
解：（1）本次被调查的学生人数为30÷30%＝100（名）．
选择“足球”的人数为35%×100＝35（名）．
补全条形统计图如下：
（2）扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数为 ×360°＝36°．
故答案为：36°．
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中甲和乙同学同时被选中的结果有2种，
∴甲和乙同学同时被选中的概率为＝．
26．（6分）某数学兴趣小组在测量学校旗杆的高度时，让一名同学直立在点F处，手拿一块直角三角板CDE，保持斜边CE与地面BF平行，延长CE交AB于点G，如图，并沿着射线CD的方向观察，刚好看到旗杆的顶端A点，已知该同学的身高CF为1.6米，点F到旗杆底端的距离BF为12米，CE＝50cm，CD＝40cm，求旗杆AB的高度．
【答案】
解：由题意得：CF⊥BF，AB⊥BF，CG⊥AB，
∴∠BFC＝∠ABF＝BGC＝90°，
∴四边形CFBG是矩形，
∴CG＝FB＝12m，CF＝GB＝1.6m，
∵∠CDE＝90°，CE＝50cm，CD＝40cm，
∴DE＝＝＝30cm，
∵∠CDE＝∠CGA＝90°，∠DCE＝∠ACG，
∴△CDE∽△CGA，
∴＝，
∴＝，
∴GA＝9m，
∴AB＝AG+BG＝9+1.6＝10.6m，
答：旗杆AB的高度为10.6米．
27．（6分）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，AD上，EF⊥CE于点E
（1）求证：△AEF∽△BCE．
（2）若，求的值．
【答案】
解：（1）∵∠A＝∠B＝90°，∠FEC＝90°，
∴∠AEF+∠AFE＝90°，∠AEF+∠CEB＝90°．
∴∠AFE＝∠CEB．
∴△AEF∽△BCE；
（2）由，设BE＝x，则AE＝2x，AB＝3x＝BC．
∵△AEF∽△BCE，
∴＝．
28．（6分）某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨0.5元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
【答案】
解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，依题意得：150（1+x）2＝216，
解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去），
答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%；
（2）设该品牌头盔的实际售价为y元/个，
依题意得：，
整理得y2﹣130y+4000＝0，
解得y1＝80（不合题意，舍去），y2＝50，
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个．
29．（8分）若关于x的方程的若干个解中，存在两个不相等的解，且这两个解为互为相反数，则称这两个解为这个方程的对称解，这个方程称为对称解方程．例如方程：x＝2和x＝﹣2是方程x2﹣4＝0的对称解，则x2﹣4＝0为对称解方程．
（1）下列方程是对称解方程的有 　①③　；
①x3﹣4x＝0；
②2x2+x﹣1＝0；
③．
（2）已知关于x的方程|2x+b|＝1恰好是对称解方程，若函数y＝|2x+b|﹣1与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，求△ABC的面积．
【答案】
解：（1）①x3﹣4x＝0，因式分解得x（x2﹣4）＝0，
即x（x+2）（x﹣2）＝0，
解得x＝0或x＝2或x＝﹣2，
则x3﹣4x＝0为对称解方程；
②2x2+x﹣1＝0，因式分解得（2x﹣1）（x+1）＝0，
解得或x＝﹣1，
则2x2+x﹣1＝0不是对称解方程；
③，解得x＝4或x＝﹣4，
则为对称解方程；
故答案为：①③；
（2）解方程|2x+b|＝1，得，，
∵x的方程|2x+b|＝1恰好是对称解方程．
又∵x1+x2＝0，即，
∴b＝0，
则函数y＝|2x+b|﹣1为y＝|2x|﹣1，
令y＝0，则|2x|﹣1＝0，
解得或，
令x＝0，则y＝﹣1，
∴函数y＝|2x+b|﹣1与x轴的交点为，，
与y轴的交点为C（0，﹣1），
∴△ABC的面积为．
30．（8分）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，∠C＝90°，动点P从点B出发，以每秒5个单位长的速度沿BA向点A运动，过点P作PQ⊥BC于点Q，以PQ为边向右作矩形PQFE，使，点F落在射线BC上．设点P的运动时间为t（t＞0）秒．
（1）求PQ的长（用含t的代数式表示）；
（2）求点E落在△ABC区域（含边界）内的时长；
（3）连接PC，当△CPQ与△ABC相似时，求t的值；
（4）当PQ将△ABC的面积分成1：3两部分时，直接写出点E到AC的距离．
【答案】
解：（1）在△ABC中，AB＝10，AC＝8，∠C＝90°，动点P从点B出发，以每秒5个单位长的速度沿BA向点A运动，PQ⊥BC于点Q，
∴PQ∥AC，
∴△ABC∽△PBQ，
∴，
由题意可知，BP＝5t，则，
∴PQ＝4t；
（2）在Rt△ABC中，AB＝10，AC＝8，由勾股定理得：
，
当点E在AC上时，F和C重合，在△ABC的边界上，若再继续向点A运动，则点E不在△ABC内，如图1，
此时，BP＝5t，PQ＝4t，则PE＝2t，PA＝10﹣5t，
∵四边形PQFE是矩形，
∴PE∥BC，EF＝PQ＝4t，则AE＝8﹣4t，
∴△APE∽△ABC，
∴，即：，
解得：，
即：点E落在△ABC区域（含边界）内的时长为秒；
（3）由（1）可知，BP＝5t，PQ＝4t，则，
则CQ＝6﹣3t，
∵∠ACB＝∠CQP＝90°，
当△CPQ与△ABC相似时，分两种情况讨论：当时，△ABC∽△CPQ；当时，△ABC∽△PCQ；
①当时，△ABC∽△CPQ，即：，
解得：；
②当时，△ABC∽△PCQ，即：，
解得：t＝1；
综上，当△CPQ与△ABC相似时，t的值为或1；
（4），
当PQ将△ABC的面积分成1：3两部分时，
分两种情况讨论：S△PBQ：S梯形PQCA＝1：3或S△PBQ：S梯形PQCA＝3：1；
当S△PBQ：S梯形PQCA＝1：3时，S△PBQ：S△ABC＝1：4，
∴，
解得：t＝1，
此时，BQ＝3，PE＝QF＝2t＝2，则BF＝5，
∴点F在线段BC上，则CF＝BC﹣BF＝1，
即：点E到AC的距离为1；
当S△PBQ：S梯形PQCA＝3：1时，S△PBQ：S△ABC＝3：4，
∴，
解得：，
此时，，，则，
∴点F在射线BC上，则，
即：点E到AC的距离为；
综上，点E到AC的距离为1或．
第22页（共22页）

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