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2024-2025学年湖南省长沙市雨花区广益实验中学九年级（上）期中
数学试卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1．（4分）下列汽车标志中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（4分）下列关于直线y＝2x﹣5的说法正确的是（　　）
A．经过第一、二、四象限 B．与x轴交于点（2，0）
C．y随x的增大而减小 D．与y轴交于点（0，﹣5）
3．（4分）在菱形ABCD中MN分别在AB、CD上且AM＝CN，MN与AC交于点O，连接BO，若∠DAC＝62°，则∠OBC的度数为（　　）
A．28° B．52° C．62° D．72°
4．（4分）已知直线y＝x+b经过点P（4，﹣1），则直线y＝2x+b的图象不经过第几象限？（　　）
A．一 B．二 C．三 D．四
5．（4分）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件中不能说明△ABC是直角三角形的是（　　）
A．a＝32，b＝42，c＝52 B．a＝9，b＝12，c＝15
C．∠A：∠B：∠C＝5：2：3 D．∠C﹣∠B＝∠A
6．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（　　）
A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm
7．（4分）如图， ABCD中，AB＝3，BC＝5，AE平分∠BAD交BC于点E，则CE的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（4分）如图，点O（0，0），A（0，1）是正方形OAA1B的两个顶点，以OA1对角线为边作正方形OA1A2B1，再以正方形的对角线OA2作正方形OA1A2B1，…，依此规律，则点A2018的坐标是（　　）
A．（﹣2018，0） B．（21009，0）
C．（21008，﹣21008） D．（0，21009）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9．（4分）如图，△ABC，△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，将△ADE绕点A在平面内自由旋转，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点，若AD＝3，AB＝7，则线段MN的取值范围是 　 　．
10．（4分）如图，把正方形纸片对折得到矩形ABCD，点E在BC上，把△ECD沿ED折叠，使点C恰好落在AD上点C′处，点M、N分别是线段AC′与线段BE上的点，把四边形ABNM沿NM向下翻折，点A落在DE的中点A′处．若原正方形的边长为12，则线段MN的长为　 　．
11．（4分）△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，若DE＝2，则BC＝　 　．
12．（4分）已知m是一元二次方程x2﹣x﹣4＝0的一个根，则代数式2+m﹣m2的值是　 　．
13．（4分）若关于x的方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有实数解，则k的取值范围是　 　．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14．（12分）（1）化简：（1﹣）．
（2）若（1）中x的值是不等式“”的一个负整数解，请你在其中选一个你喜欢的数代入（1）中求值．
15．（8分）如图，要在长、宽分别为50米、40米的矩形草坪内建一个正方形的观赏亭．为方便行人，分别从东，南，西，北四个方向修四条宽度相同的矩形小路与亭子相连，若小路的宽是正方形观赏亭边长的，小路与观赏亭的面积之和占草坪面积的，求小路的宽．
16．（8分）先化简，再求值：，其中x＝．
17．（10分）为弘扬中华传统文化，了解学生整体听写能力，某校组织全校1000名学生进行一次汉字听写大赛初赛，从中抽取部分学生的成绩进行统计分析，根据测试成绩绘制出了频数分布表和频数分布直方图：
分组/分 频数 频率
50≤x＜60 6 0.12
60≤x＜70 a 0.28
70≤x＜80 16 0.32
80≤x＜90 10 0.20
90≤x≤100 c b
合计 50 1.00
（1）表中的a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　；
（2）把上面的频数分布直方图补充完整，并画出频数分布折线图；
（3）如果成绩达到90及90分以上者为优秀，可推荐参加进入决赛，那么请你估计该校进入决赛的学生大约有多少人．
18．（10分）如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．
（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；
（2）求证：∠DHF＝∠DEF．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19．（4分）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 　 　．
20．（4分）已知长方形的面积为6m2+60m+150（m＞0），长与宽的比为3：2，则这个长方形的周长为　 　．
21．（4分）关于x的方程的解是负数，则a的取值范围是　 　．
22．（4分）若菱形的对两条对角线长分别是10cm和24cm，则这菱形的面积为　 　．
23．（4分）已知点P（a，﹣4）与点Q（﹣3，b）关于y轴对称，则a+b＝　 　．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24．（8分）某校计划成立下列学生社团：A．合唱团；B．英语俱乐部；C．动漫创作社；D．文学社；E．航模工作室．为了解同学们对上述学生社团的喜爱情况，某课题小组在全校学生中随机抽取了部分同学，进行“你最喜爱的一个学生社团”的调查，根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图．
请根据以上信息，解决下列问题：
（1）本次接受调查的学生共有 　 　人；
（2）补全条形统计图，扇形统计图中D选项所对应扇形的圆心角为 　 　°．
（3）若该学校共有学生3000人，估计该学校学生中喜爱合唱团和动漫创作社的总人数．
25．（10分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝DC，∠B＝60°．
（1）求证：AB⊥AC；
（2）若DC＝2，求梯形ABCD的面积．
26．（12分）已知反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点B（3，2），点B与点C关于原点O对称，BA⊥x轴于点A，CD⊥x轴于点D．
（1）求这个反比例函数的解析式；
（2）求△ACD的面积．
2024-2025学年湖南省长沙市雨花区广益实验中学九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1．（4分）下列汽车标志中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
2．（4分）下列关于直线y＝2x﹣5的说法正确的是（　　）
A．经过第一、二、四象限 B．与x轴交于点（2，0）
C．y随x的增大而减小 D．与y轴交于点（0，﹣5）
【答案】D
3．（4分）在菱形ABCD中MN分别在AB、CD上且AM＝CN，MN与AC交于点O，连接BO，若∠DAC＝62°，则∠OBC的度数为（　　）
A．28° B．52° C．62° D．72°
【答案】A
4．（4分）已知直线y＝x+b经过点P（4，﹣1），则直线y＝2x+b的图象不经过第几象限？（　　）
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】B
5．（4分）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件中不能说明△ABC是直角三角形的是（　　）
A．a＝32，b＝42，c＝52 B．a＝9，b＝12，c＝15
C．∠A：∠B：∠C＝5：2：3 D．∠C﹣∠B＝∠A
【答案】A
6．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（　　）
A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm
【答案】C
7．（4分）如图， ABCD中，AB＝3，BC＝5，AE平分∠BAD交BC于点E，则CE的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
8．（4分）如图，点O（0，0），A（0，1）是正方形OAA1B的两个顶点，以OA1对角线为边作正方形OA1A2B1，再以正方形的对角线OA2作正方形OA1A2B1，…，依此规律，则点A2018的坐标是（　　）
A．（﹣2018，0） B．（21009，0）
C．（21008，﹣21008） D．（0，21009）
【答案】B
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9．（4分）如图，△ABC，△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，将△ADE绕点A在平面内自由旋转，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点，若AD＝3，AB＝7，则线段MN的取值范围是 　2≤MN≤5　．
10．（4分）如图，把正方形纸片对折得到矩形ABCD，点E在BC上，把△ECD沿ED折叠，使点C恰好落在AD上点C′处，点M、N分别是线段AC′与线段BE上的点，把四边形ABNM沿NM向下翻折，点A落在DE的中点A′处．若原正方形的边长为12，则线段MN的长为　2　．
11．（4分）△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，若DE＝2，则BC＝　4　．
12．（4分）已知m是一元二次方程x2﹣x﹣4＝0的一个根，则代数式2+m﹣m2的值是　﹣2　．
13．（4分）若关于x的方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有实数解，则k的取值范围是　k≤5　．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14．（12分）（1）化简：（1﹣）．
（2）若（1）中x的值是不等式“”的一个负整数解，请你在其中选一个你喜欢的数代入（1）中求值．
【答案】
解：（1）原式＝＝x+1
（2）解不等式”得x≥﹣3
∴其负整数解是﹣3、﹣2、﹣1，
∴当x＝﹣3时，原式＝﹣3+1＝﹣2．
15．（8分）如图，要在长、宽分别为50米、40米的矩形草坪内建一个正方形的观赏亭．为方便行人，分别从东，南，西，北四个方向修四条宽度相同的矩形小路与亭子相连，若小路的宽是正方形观赏亭边长的，小路与观赏亭的面积之和占草坪面积的，求小路的宽．
【答案】
解：设小路的宽为x米，
由题意得，（5x）2+（40+50）x﹣2×x×5x＝×40×50
解得，x＝2或x＝﹣8（不合题意，舍去）
答：小路的宽为2米．
16．（8分）先化简，再求值：，其中x＝．
【答案】
解：当x＝时
原式＝÷
＝
＝
＝
17．（10分）为弘扬中华传统文化，了解学生整体听写能力，某校组织全校1000名学生进行一次汉字听写大赛初赛，从中抽取部分学生的成绩进行统计分析，根据测试成绩绘制出了频数分布表和频数分布直方图：
分组/分 频数 频率
50≤x＜60 6 0.12
60≤x＜70 a 0.28
70≤x＜80 16 0.32
80≤x＜90 10 0.20
90≤x≤100 c b
合计 50 1.00
（1）表中的a＝　14　，b＝　0.08　，c＝　4　；
（2）把上面的频数分布直方图补充完整，并画出频数分布折线图；
（3）如果成绩达到90及90分以上者为优秀，可推荐参加进入决赛，那么请你估计该校进入决赛的学生大约有多少人．
【答案】
解：（1）根据题意得：a＝6÷0.12×0.28＝14，b＝1﹣（0.12+0.28+0.32+0.20）＝0.08，c＝6÷0.12×0.08＝4；
故答案为：14；0.08；4；
（2）频数分布直方图、折线图如图，
（3）根据题意得：1000×（4÷50）＝80（人），
则你估计该校进入决赛的学生大约有80人．
18．（10分）如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．
（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；
（2）求证：∠DHF＝∠DEF．
【答案】
证明：（1）∵点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，
∴DE、EF都是△ABC的中位线，
∴EF∥AB，DE∥AC，
∴四边形ADEF是平行四边形；
（2）∵四边形ADEF是平行四边形，
∴∠DEF＝∠BAC，
∵D，F分别是AB，CA的中点，AH是边BC上的高，
∴DH＝AD，FH＝AF，
∴∠DAH＝∠DHA，∠FAH＝∠FHA，
∵∠DAH+∠FAH＝∠BAC，
∠DHA+∠FHA＝∠DHF，
∴∠DHF＝∠BAC，
∴∠DHF＝∠DEF．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19．（4分）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 　x≥3　．
20．（4分）已知长方形的面积为6m2+60m+150（m＞0），长与宽的比为3：2，则这个长方形的周长为　10m+50　．
21．（4分）关于x的方程的解是负数，则a的取值范围是　a＜6且a≠4　．
22．（4分）若菱形的对两条对角线长分别是10cm和24cm，则这菱形的面积为　120cm2　．
23．（4分）已知点P（a，﹣4）与点Q（﹣3，b）关于y轴对称，则a+b＝　﹣1　．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24．（8分）某校计划成立下列学生社团：A．合唱团；B．英语俱乐部；C．动漫创作社；D．文学社；E．航模工作室．为了解同学们对上述学生社团的喜爱情况，某课题小组在全校学生中随机抽取了部分同学，进行“你最喜爱的一个学生社团”的调查，根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图．
请根据以上信息，解决下列问题：
（1）本次接受调查的学生共有 　200　人；
（2）补全条形统计图，扇形统计图中D选项所对应扇形的圆心角为 　72　°．
（3）若该学校共有学生3000人，估计该学校学生中喜爱合唱团和动漫创作社的总人数．
【答案】
解：（1）本次接受调查的学生共有90÷45%＝200（人），
故答案为：200；
（2）D社团人数为200﹣（26+90+34+10）＝40（人），
补全图形如下：
扇形统计图中D选项所对应扇形的圆心角为360°×＝72°，
故答案为：72；
（3）（人），
答：该学校学生中喜爱合唱团和动漫创作社的总人数为900人．
25．（10分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝DC，∠B＝60°．
（1）求证：AB⊥AC；
（2）若DC＝2，求梯形ABCD的面积．
【答案】
（1）证明：∵AD∥BC，AB＝DC，∠B＝60°，
∴∠DCB＝∠B＝60°，∠DAC＝∠ACB，
∵AD＝DC，
∴∠DAC＝∠DCA，
∴∠DCA＝∠ACB＝＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣（∠B+∠ACB）＝180°﹣（60°+30°）＝90°，
∴AB⊥AC；
（2）解：过点A作AE⊥BC于E，
∵∠B＝60°，
∴∠BAE＝30°，
∵AB＝DC＝2，
∴BE＝1，
∴AE＝＝，
∵∠ACB＝30°，AB⊥AC，
∴BC＝2AB＝4，
∴S梯形ABCD＝（AD+BC） AE＝×（2+4）×＝3．
26．（12分）已知反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点B（3，2），点B与点C关于原点O对称，BA⊥x轴于点A，CD⊥x轴于点D．
（1）求这个反比例函数的解析式；
（2）求△ACD的面积．
【答案】
解：（1）将B点坐标代入函数解析式，得
＝2，
解得k＝6，
反比例函数的解析式为y＝；
（2）由B（3，2），点B与点C关于原点O对称，得
C（﹣3，﹣2）．
由BA⊥x轴于点A，CD⊥x轴于点D，
得A（3，0），D（﹣3，0）．
S△ACD＝AD CD＝[3﹣（﹣3）]×|﹣2|＝6．
第15页（共15页）

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