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2024-2025学年广东省广州市番禺区广雅集团、祈福新村学校联考九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）下列图形属于中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）已知⊙O的半径为5．若OP＝6，则点P与⊙O的位置关系是（　　）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法判断
3．（3分）将二次函数y＝5x2的图象向下平移2个单位，得到的函数图象的解析式为（　　）
A．y＝5x2+2 B．y＝5x2﹣2 C．y＝5（x+2）2 D．y＝5（x﹣2）2
4．（3分）若关于x的一元二次方程x2+x+a﹣2＝0的一个根是0，则a的值为（　　）
A．﹣2 B．1 C．2 D．0
5．（3分）如图，AB是⊙O的弦，若AB＝12，点O到AB的距离是8，则⊙O的半径是（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
6．（3分）已知点A（1，y1），B（2，y2），C（﹣3，y3）都在二次函数y＝﹣2x2+4的图象上，则（　　）
A．y2＞y3＞y1 B．y1＞y2＞y3 C．y3＞y2＞y1 D．y1＞y3＞y2
7．（3分）青山村种的水稻2023年平均每公顷产720kg，2025年平均每公顷产845kg，求水稻每公顷产量的年平均增长率．若设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则根据题意列出方程为（　　）
A．720（1+x）2＝845 B．720（1+2x）＝845
C．720x+720x2＝845 D．720（1+x2）＝845
8．（3分）如图，将Rt△ABC绕其直角顶点C按顺时针方向旋转90°后得到Rt△DEC，连接AD，若∠B＝55°，则∠ADE等于（　　）
A．5° B．10° C．15° D．20°
9．（3分）设a、b是两个整数，若定义一种运算“△”，a△b＝a2+b2+ab，则方程（x+2）△x＝1的实数根是（　　）
A．x1＝x2＝1 B．x1＝0，x2＝1
C．x1＝x2＝﹣1 D．x1＝1，x2＝﹣2
10．（3分）如图，菱形ABCD的对角线交于原点O，，．将菱形绕原点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转结束时，点C的坐标为（　　）
A．（2，） B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）
11．（3分）抛物线y＝3（x﹣1）2+8的顶点坐标为　 　．
12．（3分）已知点A（m，2）与点B（﹣3，n）关于原点对称，则m+n的值为 　 　．
13．（3分）若a是方程x2﹣2x﹣1＝0的解，则代数式﹣3a2+6a+2024的值为 　 　．
14．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为DC延长线上一点．若∠BCE＝110°，则∠BOD的度数为 　 　．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5cm，BC＝12cm，将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，连接DC交AB于点F，则△ACF与△BDF的周长之和为　 　cm．
16．（3分）如图①，点A、B是⊙O上两定点，圆上一动点P从定点B出发，沿逆时针方向匀速运动到点A，运动时间是x（s），线段AP的长度是y（cm）．图②是y随x变化的关系图象，则图中m的值是 　 　．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（4分）解方程：x2﹣2x﹣1＝0．
18．（4分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上．将△ABC绕原点逆时针旋转90°可得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标．
19．（6分）如图：＝，D、E分别是半径OA和OB的中点，求证：CD＝CE．
20．（6分）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）有两个相等的实数根，求的值．
21．（8分）如图所示，某学校有一道长为12米的墙，计划用26米长的围栏靠墙围成一个面积为80平方米的矩形草坪ABCD，求AB的长．
22．（10分）由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．某公司设计了一款新型汽车，现在对它的刹车性能（车速不超过150km/h）进行测试，测得数据如表：
车速x（km/h） 0 30 60 90 120 150
刹车距离y（m） 0 7.8 19.2 34.2 52.8 75
（1）以车速x为横坐标，刹车距离y为纵坐标，在坐标系中描出表中各组数值所对应的点，并用平滑曲线连接这些点；
（2）若车速和刹车距离的函数关系近似看作二次函数，请求出这个函数的解析式（不要求写出x的取值范围）；
（3）若该型汽车某次测试的刹车距离为40m，请根据（2）中求出的函数解析式，估计该车的速度．
23．（10分）如图所示，AB为⊙O的直径，在△ABC中，AB＝BC，AC交⊙O于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为点E．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）已知AD＝8，点P为⊙O上一个动点，若点P到弦AD的距离最大值为8．
①尺规作图：作出点P到弦AD的距离最大时的位置，保留作图痕迹；
②求DE的长．
24．（12分）已知抛物线y＝﹣x2+mx+m+与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣），点
P为抛物线在直线AC上方图象上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△PAC面积的最大值，并求此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线y＝﹣x2+mx+m+在点A、B之间的部分（含点A、B）沿x轴向下翻折，得到图象G．现将图象G沿直线AC平移，得到新的图象M与线段PC只有一个交点，求图象M的顶点横坐标n的取值范围．
25．（12分）在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，CA＝CB，点D是△ABC外一动点（点B，点D位于AC两侧），连接CD，AD．
（1）如图1，点O是AB的中点，连接OC，OD，当△AOD为等边三角形时，∠ADC的度数是 　 　；
（2）如图2，连接BD，当∠ADC＝135°时，探究线段BD，CD，DA之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，⊙O是△ABC的外接圆，点D在上，点E为AB上一点，连接CE，DE，当AE＝1，BE＝7时，直接写出△CDE面积的最大值及此时线段BD的长．
2024-2025学年广东省广州市番禺区广雅集团、祈福新村学校联考九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）下列图形属于中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
2．（3分）已知⊙O的半径为5．若OP＝6，则点P与⊙O的位置关系是（　　）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法判断
【答案】C
3．（3分）将二次函数y＝5x2的图象向下平移2个单位，得到的函数图象的解析式为（　　）
A．y＝5x2+2 B．y＝5x2﹣2 C．y＝5（x+2）2 D．y＝5（x﹣2）2
【答案】B
4．（3分）若关于x的一元二次方程x2+x+a﹣2＝0的一个根是0，则a的值为（　　）
A．﹣2 B．1 C．2 D．0
【答案】C
5．（3分）如图，AB是⊙O的弦，若AB＝12，点O到AB的距离是8，则⊙O的半径是（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
6．（3分）已知点A（1，y1），B（2，y2），C（﹣3，y3）都在二次函数y＝﹣2x2+4的图象上，则（　　）
A．y2＞y3＞y1 B．y1＞y2＞y3 C．y3＞y2＞y1 D．y1＞y3＞y2
【答案】B
7．（3分）青山村种的水稻2023年平均每公顷产720kg，2025年平均每公顷产845kg，求水稻每公顷产量的年平均增长率．若设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则根据题意列出方程为（　　）
A．720（1+x）2＝845 B．720（1+2x）＝845
C．720x+720x2＝845 D．720（1+x2）＝845
【答案】A
8．（3分）如图，将Rt△ABC绕其直角顶点C按顺时针方向旋转90°后得到Rt△DEC，连接AD，若∠B＝55°，则∠ADE等于（　　）
A．5° B．10° C．15° D．20°
【答案】B
9．（3分）设a、b是两个整数，若定义一种运算“△”，a△b＝a2+b2+ab，则方程（x+2）△x＝1的实数根是（　　）
A．x1＝x2＝1 B．x1＝0，x2＝1
C．x1＝x2＝﹣1 D．x1＝1，x2＝﹣2
【答案】C
10．（3分）如图，菱形ABCD的对角线交于原点O，，．将菱形绕原点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转结束时，点C的坐标为（　　）
A．（2，） B． C． D．
【答案】C
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）
11．（3分）抛物线y＝3（x﹣1）2+8的顶点坐标为　（1，8）　．
12．（3分）已知点A（m，2）与点B（﹣3，n）关于原点对称，则m+n的值为 　1　．
13．（3分）若a是方程x2﹣2x﹣1＝0的解，则代数式﹣3a2+6a+2024的值为 　2021　．
14．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为DC延长线上一点．若∠BCE＝110°，则∠BOD的度数为 　140°　．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5cm，BC＝12cm，将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，连接DC交AB于点F，则△ACF与△BDF的周长之和为　42　cm．
16．（3分）如图①，点A、B是⊙O上两定点，圆上一动点P从定点B出发，沿逆时针方向匀速运动到点A，运动时间是x（s），线段AP的长度是y（cm）．图②是y随x变化的关系图象，则图中m的值是 　　．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（4分）解方程：x2﹣2x﹣1＝0．
【答案】
解：解法一：∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1
∴b2﹣4ac＝4﹣4×1×（﹣1）＝8＞0
∴
∴，；
解法二：∵x2﹣2x﹣1＝0，
则x2﹣2x+1＝2
∴（x﹣1）2＝2，
开方得：，
∴，．
18．（4分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上．将△ABC绕原点逆时针旋转90°可得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标．
【答案】
解：如图，△A1B1C1即为所求．A1（﹣5，2），B1（﹣1，1），C1（﹣2，4）．
19．（6分）如图：＝，D、E分别是半径OA和OB的中点，求证：CD＝CE．
【答案】
证明：连接OC．
在⊙O中，∵＝
∴∠AOC＝∠BOC，
∵OA＝OB，D、E分别是半径OA和OB的中点，
∴OD＝OE，
∵OC＝OC（公共边），
∴△COD≌△COE（SAS），
∴CD＝CE（全等三角形的对应边相等）．
20．（6分）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）有两个相等的实数根，求的值．
【答案】
解：∵ax2+bx+1＝0（a≠0）有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝0，
即b2﹣4a＝0，
b2＝4a，
∵＝＝＝
∵a≠0，
∴＝＝＝4．
21．（8分）如图所示，某学校有一道长为12米的墙，计划用26米长的围栏靠墙围成一个面积为80平方米的矩形草坪ABCD，求AB的长．
【答案】
解：设矩形草坪AB边的长为x米，则BC边的长为（26﹣2x）米，
根据题意得：x（26﹣2x）＝80，
整理得：x2﹣13x+40＝0，
解得：x1＝5，x2＝8，
∵26﹣2x≤12，
∴x≥7，
∴x＝8，
答：AB的长为8米．
22．（10分）由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．某公司设计了一款新型汽车，现在对它的刹车性能（车速不超过150km/h）进行测试，测得数据如表：
车速x（km/h） 0 30 60 90 120 150
刹车距离y（m） 0 7.8 19.2 34.2 52.8 75
（1）以车速x为横坐标，刹车距离y为纵坐标，在坐标系中描出表中各组数值所对应的点，并用平滑曲线连接这些点；
（2）若车速和刹车距离的函数关系近似看作二次函数，请求出这个函数的解析式（不要求写出x的取值范围）；
（3）若该型汽车某次测试的刹车距离为40m，请根据（2）中求出的函数解析式，估计该车的速度．
【答案】
解：（1）如图，
（2）由题意，设y与x的关系式为y＝ax2+bx，
把（30，7.8）和（60，19.2）代入得，
∴，
∴y与x的关系式为y＝x2+x．
（3）由题意，由（2）y＝x2+x．
令y＝40，则40＝x2+x．
解得x＝100或﹣200（负值舍去），
∴该型汽车某次测试的刹车距离为40m，估计该车的速度约为100km/h．
23．（10分）如图所示，AB为⊙O的直径，在△ABC中，AB＝BC，AC交⊙O于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为点E．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）已知AD＝8，点P为⊙O上一个动点，若点P到弦AD的距离最大值为8．
①尺规作图：作出点P到弦AD的距离最大时的位置，保留作图痕迹；
②求DE的长．
【答案】
（1）证明：连接OD，如图，
∵BA＝BC，
∴∠A＝∠C，
∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ODA，
∴∠ODA＝∠C，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴OD⊥DE，
∵OD为⊙O的半径，
∴直线DE是⊙O的切线；
（2）①作弦AD的垂直平分线，交于点P，则点P为所求．如图，
②连接DB，
由作图可知：PF为AD的垂直平分线，
∴PF⊥AD，PF经过圆心，AF＝FD＝AD＝4，PF＝8，
设圆的半径为r，则OA＝OP＝r，
∴OF＝8﹣r，
∵OF2+AF2＝OA2，
∴（8﹣r）2+42＝r2，
∴r＝5．
∴AB＝10，
∴BD＝＝6，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴DB⊥AC，
∵BA＝BC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵∠ADB＝∠DEB＝90°，
∴△ADB∽△DEB，
∴，
∴，
∴DE＝4.8．
24．（12分）已知抛物线y＝﹣x2+mx+m+与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣），点
P为抛物线在直线AC上方图象上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△PAC面积的最大值，并求此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线y＝﹣x2+mx+m+在点A、B之间的部分（含点A、B）沿x轴向下翻折，得到图象G．现将图象G沿直线AC平移，得到新的图象M与线段PC只有一个交点，求图象M的顶点横坐标n的取值范围．
【答案】
解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+mx+m+与y轴交于点C（0，﹣），
∴m+＝﹣，
解得：m＝﹣3，
∴该抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣3x﹣；
（2）在y＝﹣x2﹣3x﹣中，令y＝0，
得：﹣x2﹣3x﹣＝0，
解得：x1＝﹣5，x2＝﹣1，
∴A（﹣5，0），B（﹣1，0），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∵A（﹣5，0），C（0，﹣），
∴，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝x，
如图1，设P（t，﹣t2﹣3t﹣），过点P作PH∥y轴交直线AC于点H，
则H（t，t），
∴PH＝﹣t2﹣3t﹣﹣（t）＝﹣t2﹣t，
∴S△PAC＝S△PAH+S△PCH
＝ PH （xP﹣xA）+ PH （xC﹣xP）
＝ PH （xC﹣xA）
＝×（﹣t2﹣t）×[0﹣（﹣5）]
＝t2﹣t
＝（t+）2+，
∴当t＝﹣时，S△PAC取得最大值，
此时，点P的坐标为（﹣，）；
（3）如图2，抛物线y＝﹣x2﹣3x﹣在点A、B之间的部分（含点A、B）沿x轴向下翻折，得到图象G，
∵y＝﹣x2﹣3x﹣＝（x+3）2+2，顶点为（﹣3，2），
∴图象G的函数解析式为：y＝（x+3）2﹣2，顶点坐标为（﹣3，﹣2），
∵图象G沿直线AC平移，得到新的图象M，顶点运动的路径为直线y＝﹣x﹣，
∴图象M的顶点坐标为（n，﹣n﹣），
∴图象M的函数解析式为：y＝（x﹣n）2﹣n﹣，
当图象M经过点C（0，﹣）时，
则：﹣＝（0﹣n）2﹣n﹣，
解得：n＝﹣1或n＝2，
当图象M的端点B在PC上时，
∵线段PC的解析式为：y＝﹣x﹣（﹣≤x≤0），点B（﹣1，0）运动的路径为直线y＝﹣x﹣，
∴联立可得：，
解得：，
将代入y＝（x﹣n）2﹣n﹣，可得：（﹣﹣n）2﹣n﹣＝，
解得：n＝﹣或n＝（舍去），
∴图象M的顶点横坐标n的取值范围为：﹣≤n≤﹣1（n≠﹣3）或n＝2．
25．（12分）在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，CA＝CB，点D是△ABC外一动点（点B，点D位于AC两侧），连接CD，AD．
（1）如图1，点O是AB的中点，连接OC，OD，当△AOD为等边三角形时，∠ADC的度数是 　135°　；
（2）如图2，连接BD，当∠ADC＝135°时，探究线段BD，CD，DA之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，⊙O是△ABC的外接圆，点D在上，点E为AB上一点，连接CE，DE，当AE＝1，BE＝7时，直接写出△CDE面积的最大值及此时线段BD的长．
【答案】
解：（1）∵∠BCA＝90°，BC＝AC，点O是AB的中点，
∴∠COA＝90°，CO＝AB＝OA，
∵△AOD是等边三角形，
∴OD＝OA，∠ODA＝∠DOA＝60°，
∴OC＝OD，∠COD＝∠COA﹣∠DOA＝90°﹣60°＝30°，
∴∠ODC＝（180°﹣∠COD）＝×（180°﹣30°）＝75°，
∴∠ADC＝∠ODC+∠ODA＝75°+60°＝135°，
故答案为：135°；
（2）线段BD，CD，DA之间的数量关系为：BD＝CD+DA，理由如下：
过点C作CH⊥CD交AD的延长线于点H，如图2所示：
则∠CDH＝180°﹣∠ADC＝180°﹣135°＝45°，
∴△DCH是等腰直角三角形，
∴CH＝CD，HD＝CD，
∵∠BCA＝90°，
∴∠ACH＝∠BCD，
∴△ACH≌△BCD（SAS），
∴BD＝AH＝HD+DA＝CD+AD；
（3）连接OC，如图3所示：
∵∠BCA＝90°，BC＝AC，
∴△ACB是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°，
∵⊙O是△ABC的外接圆，
∴O是AB的中点，
∴OC⊥AB，OC＝OA＝AB＝（AE+BE）＝×（1+7）＝4，
∴OE＝OA﹣AE＝4﹣1＝3，
在Rt△COE中，由勾股定理得：CE＝＝＝5，
∵CE是定值，
∴点D到CE的距离最大时，△CDE面积的面积最大，
∵AB是⊙O的直径，
过点O作ON⊥CE于N，延长ON与⊙O的交点恰好是点D时，点D到CE的距离最大，△CDE面积的面积最大，
∵S△OCE＝OC OE＝CE ON，
∴ON＝＝＝，
∵OD＝OC＝4，
∴DN＝OD﹣ON＝4﹣＝，
此时，在Rt△CNO中，CN＝＝＝，
在Rt△CND中，CD＝＝＝，
在Rt△ABD中，BD2＝AB2﹣AD2＝82﹣AD2，
由（2）知，BD＝CD+AD＝×+AD＝+AD，
∴82﹣AD2＝（+AD）2，
∴AD＝（舍去不符合题意），
∴BD＝+AD＝+＝，
即△CDE面积的面积最大值为4，此时，BD＝．
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