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2.4 有理数的除法 同步讲练
知识点（一）有理数除法法则
有理数除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；零除以任何一个不等于零的数都得零。
【题型1】有理数的除法
【例题1】（24-25六年级下·上海·假期作业）计算：
（1）； （2）．
【答案】（1）5；（2）10
【分析】本题考查了多个有理数的除法，解题的关键是掌握有理数除法运算法则．
（1）（2）先确定符号，除法转乘法，再计算；
解：（1）
；
（2）
．
【变式1】（24-25六年级下·上海·假期作业）计算：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ；
（5） ； （6） ．
【答案】 8 0
【分析】本题考查了有理数的除法，根据有理数的除法法则求解即可．
解：（1）
故答案为：；
（2）
故答案为：8；
（3）；
故答案为：0；
（4）；
故答案为：；
（5）；
故答案为：；
（6）．
故答案为：．
【变式2】（24-25六年级下·上海·假期作业）计算：
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）4
【分析】本题考查了多个有理数的除法，解题的关键是掌握以上运算法则．
（1）先确定符号，小数化分数，除法转乘法，再计算；
（2）先确定符号，小数化分数，除法转乘法，再计算．
解：（1）
；
（2）
．
由例题可知：（1）进行有理数除法运算时，先确定符号，然后再把除法换成乘法，再计算；（2）有小数时，一般来说把小数写成分数形式。
【题型2】有理数除法的应用
【例题2】（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）数学活动课上，张老师拿来5张数字卡片（如图），让同学们按照要求抽出相应的卡片，并完成下列问题．
（1）从中抽取2张卡片，使这2张卡片上的数字相除商最小；
（2）从中抽取4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．写出运算式子．（写出一种即可）
【答案】（1）和；（2）（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了有理数的运算，解题关键是平时强化计算能力的训练，提高计算的速度和技巧．
（1）要找相除商最小的就要找符号相异且绝对值最大的数和绝对值最小的数，进而求解即可；
（2）答案不唯一，用加减乘除只要答数是24即可．
解：（1）解：根据题意得，要找相除商最小的就要找符号相异且绝对值最大的数和绝对值最小的数，
∴应抽取的卡片为和，
∴；
（2）解：抽取，5，，3
∴（答案不唯一）．
【变式1】（24-25七年级上·山东济南·期中）已知非零实数，，满足，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查绝对值的性质，对已知条件进行分析，借助有理数的加法法则，假设，，之间的关系，是本题解题关键．对已知条件进行分析，由，，的对称性，不妨设，则，由此即可求解
解：∵，且，
∴，，中有一个为，
不妨设，则，
∴，
不妨设，则，
∴
故选：．
【变式2】（24-25七年级上·河南新乡·期中）已知有理数满足等式，有理数在数轴上分别用点表示，若动点在数轴上从点出发，经过3秒到达点，则动点从点到达点时，经过的时间是 秒．
【答案】4
【分析】本题主要查了绝对值的非负性，数轴上两点间的距离，有理数的减法．根据绝对值的非负性，可得，从而得到点，点间的距离，点，点间的距离，进而求出动点的速度，即可求解．
解：∵，
∴，，，
∴，
∴点，点间的距离为，点，点间的距离为，
∵动点在数轴上从点出发，经过3秒到达点，
∴动点每秒移动个单位长度，
∴动点从点到达点时，经过的时间是秒．
故答案为：4．
知识点（二）除法与乘法的关系
除以一个数（不等于零），等于乘以这个数的倒数。
【题型3】利用进行运算
【例题3】（24-25七年级上·河南焦作·阶段练习）阅读下列材料：
计算：，
解法一：原式
解法二：原式
解法三：原式的倒数
所以原式
（1）上述得到的结果不同，你认为解法 ______是错误的；
（2）计算：______；
（3）请你选择合适的解法计算：
【答案】（1）一；（2）15；（3）
【分析】此题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应运算法则的掌握．
（1）有理理数的除法没有分配律，据此可判断；
（2）利用乘法的分配律进行求解即可；
（3）仿照解法三进行解答即可．
解：（1）解：除法没有分配律，故解法一错误，
故答案为：一；
（2）解：


，
故答案为：；
（3）解：原式的倒数



，
【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）计算的值．
【答案】
【分析】利用有理数乘法分配律求出的结果，即可求解．
解：
所以原式
【变式2】（23-24七年级上·广东河源·期中）
计算：．
【答案】
【分析】本题考查了有理数乘除的简便运算，熟练掌握有理数乘除的运算法则是解题的关键．
解：
，
∵与互为倒数的关系，
∴，
∴原式．
利用则是常考重点之一
【题型4】有理数的乘除混合运算
【例题4】（24-25六年级下·上海·假期作业）计算：
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）．
【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，解题的关键是∶
（1）先确定符号，除法转乘法，再计算即可；
（2）先确定符号，除法转乘法，再计算即可．
解：（1）解：；
（2）解：．
【变式1】（23-24九年级上·甘肃兰州·期中）阅读下面的解题过程并解答问题：
计算：
解：原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（1）上面解题过程从第______步开始出错，错误的原因是______．
（2）请写出正确的解答过程．
【答案】（1）二，运算顺序不对；（2）见分析
【分析】本题考查的是有理数的乘除混合运算；
（1）根据有理数的乘除混合运算的运算顺序可得答案；
（2）先计算括号内的运算，再按照从左至右的顺序进行计算即可.
解：（1）解：上面解题过程从第二步开始出错，错误的原因是运算顺序不对；
（2）解：
.
【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）计算．
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查了有理数的乘法和有理数的除法，解题的关键是掌握有理数的乘法和除法法则．
（1）利用有理数的乘法和除法法则计算即可．
（2）利用有理数的乘法和除法法则计算即可．
解：（1）解：
（2）解：
知识点（三）有理数四则运算法则
再算乘除（从左到右依次计算）；
最后算加减（从左到右依次计算）；
有括号时，先算小括号，再算中括号，最后算大括号。
【题型5】有理数的加减乘除混合运算
【例题5】（24-25七年级上·天津和平·阶段练习）计算：
（1）； （2）；
（3）； （4）
【答案】（1）10；（2）；（3）7；（4）
【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算算乘除，最后算加减，有小括号的先算小括号里面的”．
（1）（2）先减法变加法，再利用有理数加法运算法则进行计算即可；
（3）根据乘法分配律进行计算即可；
（4）先算小括号，再算乘除即可．
解：（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
【变式1】（24-25七年级上·浙江杭州·开学考试）下列计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、有理数乘法运算律等知识点，正确应用乘法分配律是解题的关键．
根据有理数混合运算法则以及乘法运算律逐项判断即可解答．
解：A：左边为，根据乘法分配律，应展开为，但选项A的右边为，符号错误，故A错误，不符合题意；
B．左边为，正确展开应为，但选项B的右边为，导致结果错误，故B错误，不符合题意；
C．左边为，根据分配律展开为，计算得，与左边结果一致，故C正确，符合题意；
D．除法不满足分配律，左边，右边，明显不等，故D错误，不符合题意．
故选C．
【变式2】（24-25七年级上·贵州·期末）我们知道：，…，那么 ．
利用上面的规律计算： ．
【答案】
【分析】此题考查有理数的混合运算，解题关键在于利用拆分法得出的规律变形，再计算即可．
根据已知等式得出拆项方法，写出规律；原式利用得出的规律变形，计算即可得到结果．
解：∵，…，
∴；
∴
．
故答案为：，．
【题型6】带中括号的有理数加减乘除混合运算
【例题6】（24-25六年级上·上海·期中）计算：
【答案】
【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，先计算小括号内的减法，再计算中括号内的除法，接着把括号外的除法变成乘法后利用乘法分配律求解即可．
解：
．
【变式1】（24-25七年级上·重庆·阶段练习）计算
【答案】
【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，按照先计算乘除法，再计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可．
解：
．
【变式2】（24-25七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）
计算：．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，有理数乘法运算律：先用乘法分配律去小括号，再计算加减法，最后计算除法即可．
解：
【题型7】有理数混合运算的应用
【例题7】（25-26七年级上·重庆渝北·自主招生）商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子嫌扶梯走得太慢，于是在行驶的扶梯上，男孩每秒钟向上走2个梯级，女孩每2秒向上走3个梯级，结果男孩用40秒钟到达，女孩用50秒钟到达，则当该扶梯静止时有多少级？
【答案】当该扶梯静止时有100级
【分析】本题主要考查有理数四则混合运算的应用，上楼的速度可以分为两部分：一部分是两个孩子自己的速度，另一部分是自动扶梯的速度．男孩40秒钟走了（级），女孩50秒钟走了（级），女孩比男孩少走了（级），多用了（秒），说明电梯10秒钟走5级，即1秒钟走0.5级．由男孩40秒钟到达楼上，他上楼的速度是自己的速度与扶梯的速度之和，所以扶梯共有（级），据此解答．
解：电梯每秒钟走的级数：
（级），
电梯的总级数：
（级），
答：当该扶梯静止时有100级．
【变式1】（24-25七年级上·云南·阶段练习）某超市卖一种轮滑鞋，售价的是进价，售价的是赚的钱．现在要搞促销活动，原来每双售价为150元的这种轮滑鞋，为保证一双赚的钱不少于30元，最多打（ ）折．
A．七 B．七五 C．八 D．八五
【答案】C
【分析】本题主要考查了有理数四则混合计算的实际应用，先计算出进价，再由进价加上利润求出打折后的售价，再用打折后的售价除以原售价即可得到答案．
解：，
∴打八折时刚好赚30元，
∴为保证一双赚的钱不少于30元，最多打八折，
故选：C．
【变式2】（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知A、B、C三站是长途客车在一条笔直公路同侧停靠的三个站点，A、B两站相距160千米，A、C两站的距离是A、B两站的距离的，一辆长途客车从A站出发沿公路开往B站，到达B站停靠20分钟后沿公路返回C站．若长途客车的行驶速度为60千米/时，则从A站出发到C站停止一共用了 小时．
【答案】5或
【分析】本题考查了分数混合运算的应用，读懂题意，列式计算是解题的关键．分两种情况：①C在A、B两站之间；②A在C、B两站之间，列式求解即可．
解：①当C在A、B两站之间时，
（小时）；
②当A在C、B两站之间时，
=（小时）；
∴从A站出发到C站停止一共用了5或小时，
故答案为：5或．
同步练习
【基础巩固（15题）】
一、单选题
1．（2025·湖南·模拟预测）下列各式的值最大的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了有理数的加减乘除运算，有理数比较大小，算出每个选项的值，再比较大小即可．
解：，，，，
∵，
∴值最大的是，
故选：C．
2．（24-25七年级上·贵州毕节·期末）下列计算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了有理数的运算，根据相关法则计算并判断即可．
解：A、，故此选项正确，不符合题意；
B、，故此选项不正确，符合题意；
C、，故此选项正确，不符合题意；
D、，故此选项正确，不符合题意；
故选：B．
3．（2025·山东济南·二模）已知表示有理数a，b的点在数轴上的位置如图所示，则的值是（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
【答案】C
【分析】本题主要考查了有理数与数轴，有理数的除法计算，根据数轴可得，据此化简绝对值后计算求解即可．
解：由数轴可得，
∴
，
，
故选：C．
4．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）将下列运算符号填入算式的“”中，使运算结果最小的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算顺序和运算法则是解题的关键．分别计算出四种运算下的结果即可得．
解：
使运算结果最小的是
故选：D．
5．（2024七年级上·全国·专题练习）如图是一个计算程序框图，若输入的值为，则输出的结果为（　　）

A． B． C． D．3
【答案】B
【分析】本题主要考查了程序流程图与有理数计算，有理数四则混合运算，有理数大小比较等知识点，理解题意，弄清程序流程图的计算步骤与判断逻辑是解题的关键．
先将输入的值按照程序框图的计算步骤计算一遍，然后根据判断结果确定是否再次进入循环或者跳出循环进行输出，最终即可得出答案．
解：由程序框图可知：
，
，
需要再循环一次，
，
，
输出的结果为，
故选：．
6．（24-25七年级下·全国·假期作业）《九章算术》是中国古代第一部数学专著．它介绍了分数除以分数的另一种方法：先通分，再把分子直接相除．例如：．下面（ ）是采用这种方法计算的．
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了分数除法的计算方法，根据《九章算术》的方法，分数除以分数需先通分使分母相同，再将分子直接相除，熟练掌握通分和分子直接相除的方法是解题的关键．通过以上知识点，逐个选项进行分析，判断是否符合此步骤．
解：选项A：将分数转化为小数后计算，未通分，不符合题意；
选项B：通过乘以倒数计算，属于常规分数除法，未通分，不符合题意；
选项C：通过分子分母同乘一个数使除数变为1，属于商不变规律的应用，未通分成同分母，不符合题意；
选项D：将和通分为和，再直接相除分子9和8，完全符合题目所述方法；
故选：D．
二、填空题
7．（24-25七年级上·广东广州·期末）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查有理数的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
先把除法转化为乘法，然后根据乘法法则计算即可．
解：
．
故答案为：．
8．（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）减去一个分数，加上这个分数，两次计算结果相同，那么这个分数是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查有理数的减法运算和有理数的除法运算；根据题意列式，再根据有理数的混合运算法则进行计算即可．
解：
，
故答案为：．
9．（24-25七年级上·安徽淮北·阶段练习）在数轴上，若点，分别表示互为相反数的两个数，并且这两个点的距离是8，点在原点的左侧，则点表示的数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了相反数与数轴的关系，只有符号不同的两个数叫做互为相反数；相反数分为两类：一、0的相反数为0，二、可以是一个正数与一个负数，但它们的绝对值相等，即这两点到原点的距离相等，掌握相反数与数轴的关系是解题的关键．
根据相反数的概念得和是一个正数和一个负数，且距离为8；由相反数到原点的距离相等，所以可以得出两点所表示的数，即可得到结果．
解：，
在原点的左侧，
表示的数为．
故答案为：．
10．（24-25七年级下·江苏南京·期末）已知两组数，第一组：，，，，；第二组：，，，．将第一组中的每一个数与第二组中的每一个数相乘，则所有乘积的和是 ．
【答案】
【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握混合运算的顺序和法则是解题的关键，注意结果的符号．根据题意列出算式，再逆运用乘法分配律进行计算，那么所有这样的乘积总和即为两组数分别求和再相乘．
解：由题意得所有乘积的和是：
故答案为：．
11．（24-25八年级上·黑龙江绥化·阶段练习）我们知道；；；…，根据上述规律，计算 ．
【答案】 /
【分析】本题考查有理数的混合运算，根据已知等式得出拆项方法，写出规律；原式利用得出的规律变形，计算即可得到结果．
解：，
故答案为：．
12．（24-25七年级下·全国·假期作业）某种出租车的收费标准是起步价3元（即行驶距离不超过都需3元车费），超过以后，每增加，加收元（不足按计算），某人乘这种出租车从甲地到乙地共支付车费9元，设从甲地到乙地的路程为，那么的最大值是 ．
【答案】8
【分析】本题主要考查了有理数四则混合计算的实际应用，根据收费标准求出超过的部分的路程（取整收费）即可得到答案．
解：千米，
∴超过的部分是按照的距离收费的，
∴的最大值是，
故答案为：8．
三、解答题
13．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查了有理数乘除混合运算，熟练掌握有理数乘除运算法则是解题的关键；
（1）根据有理数除法法则，除以一个数等于乘以它的倒数，直接转化为乘法，利用乘法法则计算即可；
（2）将有理数除法转为有理数乘法，然后根据乘法法则计算即可．
解：（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
14．（24-25七年级下·北京·开学考试）计算：
【答案】
【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
先算小括号里的加减法，再算中括号里的除法，然后算中括号里的减法，最后算括号外的乘法；
解：
．
15．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）阅读以下材料，完成相关的填空和计算：
（1）若，则______．
（2）计算：．
（3）根据以上信息可知：______．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】本题考查有理数的四则混合运算、倒数，灵活运用倒数求解是解答的关键．
（1）根据乘积是1的两个数互为倒数求解即可；
（2）根据除以一个数等于乘以这个数的倒数和乘法分配律求解即可；
（3）根据（2）中计算结果和倒数定义可求解．
解：（1）解：∵，
∴，
故答案为：；
（2）解：
；
（3）解：由上知，
∴，
故答案为：．
【能力提升（16题）】
一、单选题
1．（24-25七年级上·陕西安康·期末）下列计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了有理数的加减乘除运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
根据有理数的加减乘除运算法则逐项进行计算并判断，即可解答．
解：A、，故A选项错误；
B、，故B选项错误；
C、，故C选项正确；
D、，故D选项错误；
故选：C．
2．（24-25七年级上·河南南阳·阶段练习）下列各式中，与的运算结果相同的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用有理数的乘除混合运算法则逐一计算，并与题中的计算结果比较即可．
本题考查有理数的乘除混合运算，熟练掌握有理数的乘除混合运算法则是解题的关键．
解：
A中、，不相同，故选项不符合题意；
B中、相同，故选项符合题意：
C中、，不相同，故选项不符合题意；
D中、，不相同，故选项不符合题意；
故选：B．
3．（24-25六年级下·广东汕头·自主招生）端午节到来之际，甲、乙、丙三个超市都进行促销活动，同一品牌原件20元一袋的八宝糯米粽子，甲超市每袋降价，乙超市买三送一，丙超市每袋打八折出售，妈妈要买4袋粽子，去（ ）超市购买更省钱．
A．甲 B．乙 C．丙 D．都一样
【答案】B
【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，有理数大小比较，分别计算出三个超市优惠后的价格，进行比较法解决问题即可．
解：（元），
甲超市优惠后价格：
（元），
乙超市优惠后价格：
（元），
丙超市优惠后价格：（元），
，
则从乙超市购买最省钱，
故选：B．
4．（24-25七年级上·福建泉州·期末）已知，则的最大值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【分析】本题考查有理数的运算，根据，得到的符号为2正1负，或者2负1正，根据绝对值的意义，以及式子的特点得到，时，式子的值最大，进行求解即可．
解：∵，
∴的符号为2正1负，或者2负1正，
∴，，为2个1，1个或1个，2个
∵最大，
∴，，
∴ 的最大值为；
故选C．
5．（24-25七年级上·重庆长寿·期中）如图，边长为2个单位长度的正方形一边与数轴重合，点A对应数轴上的，点D对应数轴上的，将正方形沿数轴正方向滚动，则数轴上的数字2024对应的点将与正方形的（ ）重合
A．点A B．点B C．点C D．点D
【答案】C
【分析】本题考查了数轴动点问题，有理数的除法的应用，根据数轴上数字在正方形滚动过程中的对应规律，找到滚动过程中数字的对应方式即可解答．
解：，
∴正方形到达数轴上的数字2024时，正方形滚动253圈后再滚动1次，
正方形的顶点每次循环一次，即第一次为点C，第二次为点B，第三次为点A，第四次为点D，；
∴数轴上的数字2024将与字母C重合，
故选：C．
6．（24-25七年级下·四川乐山·期中）已知：则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查数字的变化规律，观察所给式子得到一般规律，即可求解
解：∵，
∴，
，
故选：A．
二、填空题
7．（24-25七年级上·北京顺义·期末）计算： .
【答案】/
【分析】本题考查了有理数的乘除运算，解答本题的关键是熟练掌握有理数的乘除法则．
先根据有理数的除法法则，把除法化成乘法，然后根据有理数的乘法法则计算即可．
解：原式，
，
，
故答案为：．
8．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）如图，将一把刻度尺放在数轴上，刻度尺上的数字2、4、9分别对应数轴上的x、0、10，则x的值应该是 ．
【答案】
【分析】本题考查数轴，有理数的运算，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
根据数轴的知识点进行解题即可．
解：由题可知，
数轴0到10之间的距离是，
则每格代表的距离为，
因为x在原点的左侧，代表负数，
则x代表的数是，
故答案为：．
9．（24-25七年级上·陕西渭南·期末）若，，，则a，b，c的大小关系是 ．
【答案】/
【分析】此题考查有理数的混合运算，化简绝对值，有理数的大小比较，先分别求出a，b，c的值，再比较大小即可
解：∵，，，
∴，
∵，,
∴，即，
故答案为：.
10．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）按如图所示程序计算，若输入为，输出结果为，步骤①是一次除法运算，则该步骤是 ．
【答案】/
【分析】本题考查了有理数的混合运算，设①为，依题意，，进而即可求解．
解：设①为，依题意，
∴
解得：
故答案为：．
11．（22-23七年级上·陕西西安·期末）如图，已知点A、点B是直线上的两点，厘米，点C在线段上，且厘米．点P、点Q是直线上的两个动点，点P的速度为1厘米/秒，点Q的速度为2厘米/秒．点P、Q分别从点C、点B同时出发，在直线上运动且运动方向不同，则经过 秒时，线段的长为6厘米．
【答案】或
【分析】此题考查了两点间的距离有理数混合运算的应用，以及分类讨论思想的应用，要熟练掌握．首先根据厘米，厘米，求出的长度是多少；然后分两种情况：点P向左运动，点Q向右运动；点P向右运动，点Q向左运动；求出经过多少秒时线段的长为6厘米即可．
解：∵厘米，厘米，
∴（厘米）；
（1）点P向左运动，点Q向右运动时，
（秒）
（2）点P向右运动，点Q向左运动时，
（秒）
∴经过或秒时线段的长为6厘米．
故答案为：或．
12．（2024七年级上·全国·专题练习）新定义用“”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定．例如：．
（1）计算： ；
（2）从，中任选两个有理数作为和，并计算，那么所有运算结果中的最大值是 ．
【答案】
【分析】（）直接利用规定的运算方法计算即可；
（）要使结果最大，必须使这两个数的和最大，且两个数的差最小，由此可知和符合题意，由此按照规定的运算计算得出答案即可；
此题考查了新定义，以及有理数的混合运算，理解题意，掌握规定的运算方法是解题的关键．
解：（），
故答案为：；
（）根据题意和两个有理数符合题意，
则，
故答案为：．
三、解答题
13．（24-25七年级上·陕西安康·期中）计算：
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（）先通过有理数的乘法分配律进行运算，然后根据有理数的加减运算进行求解即可；
（）根据有理数的乘除法即可进行求解；
本题考查了有理数的运算，熟练掌握运算法则和运算律是解题的关键．
解：（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
14．（24-25七年级上·湖南娄底·阶段练习）计算：
（1）． （2）．
【答案】（1）﹣；（2）
【分析】本题主要考查了有理数的乘除法运算和有理数的除法运算，解决此题的关键是注意计算的正确性．
（1）根据法则可以判断符号为负，再根据除法法则变乘法，即可得到结果；
（2）根据有理数的除法法则：除以一个数等于陈乘以这个数的倒数，再根据乘法分配律，即可得到结果．
解：（1）解：
（2）解：
15．（24-25七年级上·江西南昌·期中）数学老师布置了一道思考题“计算：”甲乙丙三位同学仔细思考了一番，分别用了一种不同的方法解决了这个问题．
甲同学的解法是：原式；
乙同学的解法是：原式的倒数为，
所以；
丙同学的解法是：原式；
（1）你认为解答过程完全正确的是 ．（将正确答案的序号填在横线上）
A．只有甲同学 B．只有乙同学
C．甲乙同学都正确 D．三位同学解题过程都正确
（2）请你运用恰当的解法解答下面的问题．
计算：；
【答案】（1）C；（2）
【分析】本题考查了有理数的运算，乘法分配律，熟练掌握有理数的乘除运算法则、准确计算是解题的关键；
（1）根据有理数的运算法则即可做出判断；
（2）观察所求的式子，可以按照乙同学的解法求解．
解：（1）解：甲同学的解法：原式，运算过程正确；
乙同学的解法：原式的倒数为，
所以，运算过程正确；
丙同学的解法：原式，除法没有分配率，运算过程错误；
所以甲乙同学的运算过程都正确，丙同学的运算过程错误；
故选：C；
（2）解：
；
．
16．（24-25七年级上·广东深圳·期中）某厂本周计划每天生产200辆自行车，由于工作人员轮休等原因，实际每天生产量与计划生产量相比情况如下表（增加的车辆数为正数，减少的车辆数为负数）：
星期 一 二 三 四 五 六 日
增减（单位：辆）
（1）该厂星期三生产电动车________辆；
（2）请求出该厂在本周实际生产自行车的数量；
（3）该厂实行“每周计件工资制”，每生产一辆自行车可以得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆在60元基础上另奖15元；少生产一辆则倒扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？
【答案】（1）195；（2）1410辆；（3）84750元
【分析】本题考查有理数的混合运算，正数和负数，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．
（1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可；
（2）根据正数和负数的实际意义列式计算即可；
（3）结合（2）中所求列式计算即可．
解：（1）解：（辆，
即该厂星期三生产电动车195辆，
故答案为：195；
（2）解：
（辆，
即该厂在本周实际生产自行车的数量为1410辆；
（3）解：
（元，
即该厂工人这一周的工资总额是84750元．
【中考真题5题】
一、单选题
1．（2025·天津·中考真题）计算的结果等于（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查有理数的除法运算，利用除法的运算法则进行计算即可．
解：；
故选B．
2．（2025·北京·中考真题）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，绝对值的意义，利用数轴表示有理数的大小，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
先由数轴得，，且，再逐项分析即可．
解：由数轴得，，且
∴，，
故A，B，C均错误，不符合题意，D正确，符合题意，
故选：D．
3．（2023·青海西宁·中考真题）算式的值最小时，□中填入的运算符号是（ ）
A．+ B．- C．× D．÷
【答案】B
【分析】分别将各运算符号代入算式求值，再比较即可．
解：∵，，，，
又∵，
∴最小，
∴□中填入的运算符号是“-”．
故选B．
【点拨】本题考查有理数的加、减、乘、除运算，有理数的大小比较．掌握有理数的加、减、乘、除运算法则是解题关键．
4．（2025·湖北·中考真题）数轴上表示数的点如图所示，下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了数轴上数的大小比较，掌握数轴的特点是关键．
根据数轴的特点得到，由此即可求解．
解：根据题意，，
∴，
故选：A ．
二、填空题
5．（2022·江苏镇江·中考真题）“五月天山雪，无花只有寒”，反映出地形对气温的影响．大致海拔每升高100米，气温约下降．有一座海拔为2350米的山，在这座山上海拔为350米的地方测得气温是，则此时山顶的气温约为 ．
【答案】－6或零下6
【分析】根据题意“海拔每升高100米，气温约下降”，列出式子即可求解．
解：山顶的气温约为
故答案为：－6或零下6．
【点拨】本题考查了有理数混合运算（不带乘方）的应用，正负数的意义，理解题意是解题的关键．
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2.4 有理数的除法 同步讲练
知识点（一）有理数除法法则
有理数除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；零除以任何一个不等于零的数都得零。
【题型1】有理数的除法
【例题1】（24-25六年级下·上海·假期作业）计算：
（1）； （2）．
【变式1】（24-25六年级下·上海·假期作业）计算：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ；
（5） ； （6） ．
【变式2】（24-25六年级下·上海·假期作业）计算：
（1）； （2）．
由例题可知：（1）进行有理数除法运算时，先确定符号，然后再把除法换成乘法，再计算；（2）有小数时，一般来说把小数写成分数形式。
【题型2】有理数除法的应用
【例题2】（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）数学活动课上，张老师拿来5张数字卡片（如图），让同学们按照要求抽出相应的卡片，并完成下列问题．
（1）从中抽取2张卡片，使这2张卡片上的数字相除商最小；
（2）从中抽取4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．写出运算式子．（写出一种即可）
【变式1】（24-25七年级上·山东济南·期中）已知非零实数，，满足，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（24-25七年级上·河南新乡·期中）已知有理数满足等式，有理数在数轴上分别用点表示，若动点在数轴上从点出发，经过3秒到达点，则动点从点到达点时，经过的时间是 秒．
知识点（二）除法与乘法的关系
除以一个数（不等于零），等于乘以这个数的倒数。
【题型3】利用进行运算
【例题3】（24-25七年级上·河南焦作·阶段练习）阅读下列材料：
计算：，
解法一：原式
解法二：原式
解法三：原式的倒数
所以原式
（1）上述得到的结果不同，你认为解法 ______是错误的；
（2）计算：______；
（3）请你选择合适的解法计算：
【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）计算的值．
【变式2】（23-24七年级上·广东河源·期中）
计算：．
利用则是常考重点之一
【题型4】有理数的乘除混合运算
【例题4】（24-25六年级下·上海·假期作业）计算：
（1）； （2）．
【变式1】（23-24九年级上·甘肃兰州·期中）阅读下面的解题过程并解答问题：
计算：
解：原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（1）上面解题过程从第______步开始出错，错误的原因是______．
（2）请写出正确的解答过程．
【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）计算．
（1）； （2）．
知识点（三）有理数四则运算法则
再算乘除（从左到右依次计算）；
最后算加减（从左到右依次计算）；
有括号时，先算小括号，再算中括号，最后算大括号。
【题型5】有理数的加减乘除混合运算
【例题5】（24-25七年级上·天津和平·阶段练习）计算：
（1）； （2）；
（3）； （4）
【变式1】（24-25七年级上·浙江杭州·开学考试）下列计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（24-25七年级上·贵州·期末）我们知道：，…，那么 ．
利用上面的规律计算： ．
【题型6】带中括号的有理数加减乘除混合运算
【例题6】（24-25六年级上·上海·期中）计算：
【变式1】（24-25七年级上·重庆·阶段练习）计算
【变式2】（24-25七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）
计算：．
【题型7】有理数混合运算的应用
【例题7】（25-26七年级上·重庆渝北·自主招生）商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子嫌扶梯走得太慢，于是在行驶的扶梯上，男孩每秒钟向上走2个梯级，女孩每2秒向上走3个梯级，结果男孩用40秒钟到达，女孩用50秒钟到达，则当该扶梯静止时有多少级？
【变式1】（24-25七年级上·云南·阶段练习）某超市卖一种轮滑鞋，售价的是进价，售价的是赚的钱．现在要搞促销活动，原来每双售价为150元的这种轮滑鞋，为保证一双赚的钱不少于30元，最多打（ ）折．
A．七 B．七五 C．八 D．八五
【变式2】（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知A、B、C三站是长途客车在一条笔直公路同侧停靠的三个站点，A、B两站相距160千米，A、C两站的距离是A、B两站的距离的，一辆长途客车从A站出发沿公路开往B站，到达B站停靠20分钟后沿公路返回C站．若长途客车的行驶速度为60千米/时，则从A站出发到C站停止一共用了 小时．
同步练习
【基础巩固（15题）】
一、单选题
1．（2025·湖南·模拟预测）下列各式的值最大的是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25七年级上·贵州毕节·期末）下列计算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025·山东济南·二模）已知表示有理数a，b的点在数轴上的位置如图所示，则的值是（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
4．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）将下列运算符号填入算式的“”中，使运算结果最小的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024七年级上·全国·专题练习）如图是一个计算程序框图，若输入的值为，则输出的结果为（　　）

A． B． C． D．3
6．（24-25七年级下·全国·假期作业）《九章算术》是中国古代第一部数学专著．它介绍了分数除以分数的另一种方法：先通分，再把分子直接相除．例如：．下面（ ）是采用这种方法计算的．
A． B．
C． D．
二、填空题
7．（24-25七年级上·广东广州·期末）计算： ．
8．（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）减去一个分数，加上这个分数，两次计算结果相同，那么这个分数是 ．
9．（24-25七年级上·安徽淮北·阶段练习）在数轴上，若点，分别表示互为相反数的两个数，并且这两个点的距离是8，点在原点的左侧，则点表示的数为 ．
10．（24-25七年级下·江苏南京·期末）已知两组数，第一组：，，，，；第二组：，，，．将第一组中的每一个数与第二组中的每一个数相乘，则所有乘积的和是 ．
11．（24-25八年级上·黑龙江绥化·阶段练习）我们知道；；；…，根据上述规律，计算 ．
12．（24-25七年级下·全国·假期作业）某种出租车的收费标准是起步价3元（即行驶距离不超过都需3元车费），超过以后，每增加，加收元（不足按计算），某人乘这种出租车从甲地到乙地共支付车费9元，设从甲地到乙地的路程为，那么的最大值是 ．
三、解答题
13．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：
（1）； （2）．
14．（24-25七年级下·北京·开学考试）计算：
15．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）阅读以下材料，完成相关的填空和计算：
（1）若，则______．
（2）计算：．
（3）根据以上信息可知：______．
【能力提升（16题）】
一、单选题
1．（24-25七年级上·陕西安康·期末）下列计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25七年级上·河南南阳·阶段练习）下列各式中，与的运算结果相同的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25六年级下·广东汕头·自主招生）端午节到来之际，甲、乙、丙三个超市都进行促销活动，同一品牌原件20元一袋的八宝糯米粽子，甲超市每袋降价，乙超市买三送一，丙超市每袋打八折出售，妈妈要买4袋粽子，去（ ）超市购买更省钱．
A．甲 B．乙 C．丙 D．都一样
4．（24-25七年级上·福建泉州·期末）已知，则的最大值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
5．（24-25七年级上·重庆长寿·期中）如图，边长为2个单位长度的正方形一边与数轴重合，点A对应数轴上的，点D对应数轴上的，将正方形沿数轴正方向滚动，则数轴上的数字2024对应的点将与正方形的（ ）重合
A．点A B．点B C．点C D．点D
6．（24-25七年级下·四川乐山·期中）已知：则（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
7．（24-25七年级上·北京顺义·期末）计算： .
8．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）如图，将一把刻度尺放在数轴上，刻度尺上的数字2、4、9分别对应数轴上的x、0、10，则x的值应该是 ．
9．（24-25七年级上·陕西渭南·期末）若，，，则a，b，c的大小关系是 ．
10．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）按如图所示程序计算，若输入为，输出结果为，步骤①是一次除法运算，则该步骤是 ．
11．（22-23七年级上·陕西西安·期末）如图，已知点A、点B是直线上的两点，厘米，点C在线段上，且厘米．点P、点Q是直线上的两个动点，点P的速度为1厘米/秒，点Q的速度为2厘米/秒．点P、Q分别从点C、点B同时出发，在直线上运动且运动方向不同，则经过 秒时，线段的长为6厘米．
12．（2024七年级上·全国·专题练习）新定义用“”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定．例如：．
（1）计算： ；
（2）从，中任选两个有理数作为和，并计算，那么所有运算结果中的最大值是 ．
三、解答题
13．（24-25七年级上·陕西安康·期中）计算：
（1）； （2）．
14．（24-25七年级上·湖南娄底·阶段练习）计算：
（1）． （2）．
15．（24-25七年级上·江西南昌·期中）数学老师布置了一道思考题“计算：”甲乙丙三位同学仔细思考了一番，分别用了一种不同的方法解决了这个问题．
甲同学的解法是：原式；
乙同学的解法是：原式的倒数为，
所以；
丙同学的解法是：原式；
（1）你认为解答过程完全正确的是 ．（将正确答案的序号填在横线上）
A．只有甲同学 B．只有乙同学
C．甲乙同学都正确 D．三位同学解题过程都正确
（2）请你运用恰当的解法解答下面的问题．
计算：；
16．（24-25七年级上·广东深圳·期中）某厂本周计划每天生产200辆自行车，由于工作人员轮休等原因，实际每天生产量与计划生产量相比情况如下表（增加的车辆数为正数，减少的车辆数为负数）：
星期 一 二 三 四 五 六 日
增减（单位：辆）
（1）该厂星期三生产电动车________辆；
（2）请求出该厂在本周实际生产自行车的数量；
（3）该厂实行“每周计件工资制”，每生产一辆自行车可以得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆在60元基础上另奖15元；少生产一辆则倒扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？
【中考真题5题】
一、单选题
1．（2025·天津·中考真题）计算的结果等于（ ）
A． B．3 C． D．
2．（2025·北京·中考真题）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·青海西宁·中考真题）算式的值最小时，□中填入的运算符号是（ ）
A．+ B．- C．× D．÷
4．（2025·湖北·中考真题）数轴上表示数的点如图所示，下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．（2022·江苏镇江·中考真题）“五月天山雪，无花只有寒”，反映出地形对气温的影响．大致海拔每升高100米，气温约下降．有一座海拔为2350米的山，在这座山上海拔为350米的地方测得气温是，则此时山顶的气温约为 ．
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