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2.5 有理数的乘方 同步讲练
知识点（一）有理数的乘方
一般地，在数学上我们把个相同的因数相乘的积记作，即
这种求几个相同因数积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂，在中，叫底数，叫指数，读作“的次方”或“的次幂”。
一个数可以看作这个数的1次方，1可以省略不写，二次方也叫平方，三次方也叫立方。
【题型1】有理数乘方的概念与意义
【例题1】（23-24七年级·全国·假期作业）与有什么不同？结果相等吗？
【变式1】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）的意义是（　　）
A．4个相乘 B．4个相加
C．乘以4 D．的相反数
【变式2】（24-25六年级下·上海·假期作业）的底数是 ，指数是 ；的底数是 ，指数是 ；的底数是 ，指数是 ．
知识点（二）有理数的乘方的符号规律
正数的任何次乘方结果均为正数；负数的乘方中，指数是奇数时结果为负数，指数是偶数时结果为正数，即：，。
【题型2】乘方符号规律
【例题2】（22-23七年级上·广东深圳·期中）下列各数，，，，中，负数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式1】（23-24七年级上·全国·课堂例题）有下列各数：①；②；③；④，其中结果等于的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【变式2】（23-24七年级上·河南漯河·阶段练习）若有理数，，满足，求的值．
【题型3】乘方的运算
【例题3】（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）已知有理数满足：，且，则请求的值．
【变式1】（23-24七年级上·重庆·期中）下列计算结果相等为（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【变式2】（24-25七年级上·河南洛阳·期中）等于（ ）
A． B． C． D．
【变式3】24-25七年级上·山东济宁·期中）比较大小： （填或）．
【题型4】乘方的应用
【例题4】（24-25七年级下·重庆开州·开学考试）在日常生活中，我们最熟悉最常用的是十进制，逢十进一，计算技术中广泛采用的是二进制，是用0和1两个数字计数是逢二进一，十进制和二进制可以相互转化，如将二进制1101换算成十进制数应为，按此方式，把二进制数转化为十进制数结果是 ．
【变式1】（24-25七年级上·山西晋中·期中）如图，某种细胞每过便由个分裂成个．经过，这种细胞能由个分裂成（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【变式2】（2024七年级上·云南·专题练习）阅读材料：求的值．
解：设，
将等式两边同时乘以2得：，
将下式减去上式得，
即，
即．
请你仿照此法计算：
（1）；
（2）．
知识点（三）科学记数法
把一个大于10的数表示成的形式（其中是整数数位只有一位的数，（），这种记数法叫做科学记数法。
【要点说明】熟悉：（1）1万=；（2）1亿=。
【题型5】科学记数法
【例题5】（2025·四川成都·三模）锦州是辽宁省主要产食盐区之一，拥有海岸线总长977000米，素有“海上锦州”的美誉，用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
【变式1】（24-25七年级上·吉林·阶段练习）防疫工作一刻都不能放松，截至年月日时，全球累计确诊感染新冠肺炎约为亿人，将数字亿用科学记数法表示为 ．
【变式2】（2025·河南新乡·二模）据统计，2024年我国新能源汽车的产量为1316万辆，比上年增长，其中1316万用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【题型6】科学记数法表示原数
【例题6】（2024七年级上·全国·专题练习）下列是用科学记数法表示的数，把原数填在横线上： ； ．
【变式1】（2025九年级下·广西·专题练习）截至2025年3月25日，中国国家博物馆文创凤冠冰箱贴累计销量突破件，带动凤冠全系列产品销售额跨越亿元．用科学记数法表示的数原来是（ ）
A．100000 B．1000000 C．10000000 D．0.000001
【变式2】（2025·湖南娄底·一模）仅上映28天，电影《哪吒之魔童闹海》全球票房突破135亿元人民币、超越《头脑特工队》登顶全球动画电影票房榜，13500000000用科学记数法可表示为，则a的值是（ ）
A．135 B． C． D．
【基础巩固（16题）】
一、单选题
1．（2025·江苏无锡·模拟预测）无锡博物院位于太湖广场中央，博物院内拥有文物近40000件，以古代书画、历代紫砂、惠山泥人和无锡近现代革命文物和民族工商业文物为主要收藏文物．数据40000用科学记数法可表示为（ ）．
A． B． C． D．
2．（2025·四川宜宾·模拟预测）下列四个数：，，，，其中负数的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
3．（24-25七年级下·福建三明·期中）对于与，下列叙述中正确的是（ ）
A．底数相同，运算结果相同 B．底数相同，运算结果不同
C．底数不同，运算结果相同 D．底数不同，运算结果不同
4．（23-24九年级下·山东德州·阶段练习）计算（m个3，n个4）的结果是（ ）
A． B． C．+4n D．
5．（24-25七年级上·湖南株洲·期中）若，，，那么，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·广西柳州·三模）“结绳计数”是远古时代人类智慧的结晶，即人们通过在绳子上打结来记录数量，类似我们现在熟悉的“进位制”，如图所示是一位古人记录的当天采摘果实的个数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满四进一，根据图示可知，这位古人当天采摘果实的个数是（ ）
A．186 B．185 C．184 D．183
二、填空题
7．（24-25六年级上·上海崇明·期末）若4个相乘，写成乘方的形式是 ，计算结果为 ．
8．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）《康熙字典》是清朝康熙年间出版的图书，字典全书共收录汉字余个，则的原数为 ．
9．（23-24七年级上·重庆·期中）计算： ．
10．（24-25七年级上·四川南充·期中）已知的最大值为 ．
11．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）如图，在下列计算程序中填写适当的数 ．
12．（24-25七年级下·山东枣庄·期中）阅读理解：我们知道一般地，加减运算是互逆运算，乘除运算也是互逆运算；其实乘方运算也有逆运算；如我们规定式子可以变形为，也可以变形为．在式子中，3叫做以2为底8的对数，记为．一般地，若（且，），则n叫做以a为底b的对数，记为，即．根据上面的规定，请计算 ．
三、解答题
13．（24-25七年级上·福建漳州·期中）把数在数轴上表示出来，然后用“”把它们连接起来．
14．（24-25七年级上·湖北·期中）小明同学设计了4张如图写有不同运算的卡片，，，，小明选择一个有理数，让小聪选择，，，的顺序，进行一次列式计算．如：选择了2和的顺序，其结果是...
（1）当小明选择了3，小聪选择的顺序，列出算式并计算结果；
（2）当小明选择了，小聪选择了的顺序，若列式计算的结果刚好为，请判断小聪选择的顺序并列出算式．
15．（24-25七年级上·山西长治·期中）探寻规律，学以致用
（1）把左右两边计算结果相等的式子用线连接起来：
观察上面计算结果相等的各式之间的关系，可归纳出的结论是：______．
（2）利用上述规律计算下式的值：
．
16．（24-25七年级上·陕西榆林·期中）数学兴趣小组在合作学习过程中获得知识的同时，也提出新的问题．例如：根据，知道a和n的值，可以求b的值，如果知道a和b的值，可以求n的值吗？他们对此进行了研究，并规定：若，那么，例如：若，则．根据他们的研究结果，解答下列各题：
（1）填空：_________，________；
（2）计算：；
（3）若，求的值．
【能力提升（16题）】
一、单选题
1．（2025·河南新乡·二模）据统计，2024年我国新能源汽车的产量为1316万辆，比上年增长，其中1316万用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024七年级上·全国·专题练习）已知，则值是（ ）
A． B．6 C． D．9
3．（22-23七年级上·江苏南通·阶段练习）①；②；③；④；⑤；⑥，其结果为正数的有几个（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
4．（24-25六年级下·上海·假期作业）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型来表示即；，，，，，…，请你推算的个位数字是（ ）
A．6 B．4 C．2 D．8
5．（2025·宁夏银川·一模）若实数在数轴上的对应点的位置如图所示，则以下结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024七年级上·全国·专题练习）观察下面两行数：
第一行：4，，16，，36，…；
第二行：6，，18，，38，…．
则第二行中的第6个数是 ．
二、填空题
7．（22-23七年级上·陕西渭南·期中）的底数是 ．
8．（2025·广西梧州·一模）广西区统计局公布了广西区2024年经济运行情况，统计显示，2024年广西区GDP总量为万亿元．“万亿”用科学记数法表示为 ．
9．（21-22六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知，，且，则的值是 ．
10．（24-25七年级上·北京·期中）在数轴上，所表示的点在所表示的点的左边，且，则的值为 ．
11．（24-25七年级上·河南周口·期中）若，则a，的大小关系用“<”连接为 ．
12．（2024七年级上·全国·专题练习）观察下面一列数：，…，将这列数排成如图的图形．按照此规律排下去，那么第10行从左边数第1个数是 ，数2024是第 行从左边数第 个数．
三、解答题
13．（24-25七年级上·广西防城港·期中）在数轴上表示下列各数，并将这些数按从小到大的顺序排列，再用“”连接起来：
，，，，0，3．
14．（24-25七年级上·福建莆田·期中）计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10000转化为十进制数：；其他进制也有类似的算法．
（1）根据以上信息，将二进制数“1011”转化为十进制数．
（2）中国古代《易经》一书中记载，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录采集到的野果数量．请计算采集到的野果数量．
15．（24-25七年级上·辽宁鞍山·阶段练习）善于反思的小聪在学习了有理数及其运算后，进行了如下总结与反思．请你仔细阅读并补全小聪的探究过程．
[典例再现]，；，；
[总结归纳]
（1）观察上述例题，发现结论：
①互为相反数的两个数的绝对值______；
②互为相反数的两个数的______；
[知识应用]
（2）已知，，则______，______，若，则______，______．
16．（24-25七年级上·河南开封·期中）阅读材料，解决问题：
我们学习了乘方的定义和意义，根据乘方和乘法两种运算之间的转化了解到： ;观察上述算式:
可以得到：
类比上述式子，你能够得到：
（1） ， ；
（2）利用由特殊到一般的思想，可以得到： （m、n都是正整数）；我们把类似于和这样的式子叫同底数幂；因此可以得到“同底数幂的乘法”法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
（3）知识运用： ， ；
（4）已知 求的值．
【中考真题5题】
一、单选题
1．（2025·广东·中考真题）依据《广东省推动低空经济高质量发展行动方案（2024-2026年）》，预计2026年广东省低空经济规模将超过3000亿元．数据3000亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·黑龙江绥化·中考真题）据统计，2025年端午期间，我国民航客运累计发送旅客万人次，把万用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·辽宁营口·中考真题）有下列四个算式：①；②；③；④．其中，正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题
4．（2022·西藏·中考真题）已知，都是实数，若，则 ．
5．（2025·江苏扬州·中考真题）2025年3月30日，扬州鉴真半程马拉松暨大运河马拉松系列赛在市民中心广场鸣枪开跑，约30000名跑者用脚步丈量千年古城，用拼搏诠释无限热爱．将数据30000用科学记数法表示为 ．
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2.5 有理数的乘方 同步讲练
知识点（一）有理数的乘方
一般地，在数学上我们把个相同的因数相乘的积记作，即
这种求几个相同因数积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂，在中，叫底数，叫指数，读作“的次方”或“的次幂”。
一个数可以看作这个数的1次方，1可以省略不写，二次方也叫平方，三次方也叫立方。
【题型1】有理数乘方的概念与意义
【例题1】（23-24七年级·全国·假期作业）与有什么不同？结果相等吗？
【答案】表示2个-3相乘，而表示2个3的乘积的相反数；它们的结果不相等．
【分析】根据乘方的意义，即可求解．
解：表示2个-3相乘，而表示2个3的乘积的相反数；
它们的结果不相等，理由如下：
∵，，
∴．
【点拨】本题主要考查了乘方的运算及其意义，熟练掌握乘方的运算法则及其意义是解题的关键．
【变式1】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）的意义是（　　）
A．4个相乘 B．4个相加
C．乘以4 D．的相反数
【答案】D
【分析】本题考查了乘法与乘方的定义，以及相反数．掌握相关区别是解题关键．根据乘方和乘法以及相反数的定义逐项判断即可．
解：A、4个相乘对应，不符合题意；
B、4个相加对应，不符合题意；
C、乘以4对应，不符合题意；
D、的相反数对应，符合题意；
故选：D．
【变式2】（24-25六年级下·上海·假期作业）的底数是 ，指数是 ；的底数是 ，指数是 ；的底数是 ，指数是 ．
【答案】 3 2 4 5 3
【分析】本题考查了乘方的定义．
乘方的结果叫做幂，在中，叫做底数，叫做指数．
解：的底数是3，指数是2；的底数是，指数是4；的底数是5，指数是3．
故答案为：3，2；，4；5，3．
知识点（二）有理数的乘方的符号规律
正数的任何次乘方结果均为正数；负数的乘方中，指数是奇数时结果为负数，指数是偶数时结果为正数，即：，。
【题型2】乘方符号规律
【例题2】（22-23七年级上·广东深圳·期中）下列各数，，，，中，负数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】根据有理数乘方符号法则：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，以及相反数和绝对值去判断负数的个数．
解：，，，，，所以负数有3个．
故选：B
【点拨】本题主要考查了有理数的乘方，以及绝对值和相反数，牢记乘方的符号法则是解题的关键．
【变式1】（23-24七年级上·全国·课堂例题）有下列各数：①；②；③；④，其中结果等于的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】D
【分析】根据有理数的乘方，以及相反数的求法，逐项判定即可．
解：①，
②，
③，
④，
∴其中结果等于的是：①②③④．
故选：D．
【点拨】此题主要考查了有理数的乘方，以及相反数的求法，求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“”．
【变式2】（23-24七年级上·河南漯河·阶段练习）若有理数，，满足，求的值．
【答案】1
【分析】根据非负数的性质可得，再把求解的a，b，c的值代入计算即可．
解：∵，
∴，
即，
∴．
【点拨】本题考查的是非负数的性质，求解代数式的值，乘方运算的含义，掌握以上基础知识是解本题的关键．
【题型3】乘方的运算
【例题3】（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）已知有理数满足：，且，则请求的值．
【答案】4或8或
【分析】本题考查绝对值的意义，有理数的乘方，根据绝对值的意义，和乘方法则，求出的值，再进行减法运算即可．
解：∵，，
∴或，或，
∵，
∴，
∴，或，或
∴或或．
【变式1】（23-24七年级上·重庆·期中）下列计算结果相等为（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】C
【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算，绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握有理数乘方运算法则和绝对值的意义，准确进行计算．
根据乘方运算法则和绝对值的意义逐项进行计算即可．
解：A： ，，
，
故该选项不符合题意；
B：，，
，
故该选项不符合题意；
C：，，，
，
故该选项符合题意；
D：，，，
，
故该选项不符合题意；
故选：C．
【变式2】（24-25七年级上·河南洛阳·期中）等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了有理数的乘方运算，变形为，即可求解．
解：原式
．
故选：A．
【变式3】24-25七年级上·山东济宁·期中）比较大小： （填或）．
【答案】<
【分析】本题考查了有理数的大小比较， 1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．
先计算各数，再利用有理数大小的比较方法比较即可．
解：，，
∵，
，
．
故答案为：．
【题型4】乘方的应用
【例题4】（24-25七年级下·重庆开州·开学考试）在日常生活中，我们最熟悉最常用的是十进制，逢十进一，计算技术中广泛采用的是二进制，是用0和1两个数字计数是逢二进一，十进制和二进制可以相互转化，如将二进制1101换算成十进制数应为，按此方式，把二进制数转化为十进制数结果是 ．
【答案】19
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，由题意知可表示为，然后根据含乘方的有理数混合运算法则计算即可．
解：由题意得，
即转化为十进制数结果是19，
故答案为：19．
【变式1】（24-25七年级上·山西晋中·期中）如图，某种细胞每过便由个分裂成个．经过，这种细胞能由个分裂成（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】D
【分析】本题考查了有理数乘方的应用，由细胞每过便由个分裂成个可知分裂次，即得小时分裂次.，再由一个细胞第次分裂成个，即个，第次分裂成个，即个， 第次分裂成个， 即个，据此即可求解，掌握细胞分裂的变化规律是解题的关键．
解：∵细胞每过便由个分裂成个，
∴分裂次，
∴小时分裂次.，
一个细胞第次分裂成个，即个，
第次分裂成个，即个，
第次分裂成个， 即个，
由上述规律可知，此细胞分裂次分裂成个，
故选：．
【变式2】（2024七年级上·云南·专题练习）阅读材料：求的值．
解：设，
将等式两边同时乘以2得：，
将下式减去上式得，
即，
即．
请你仿照此法计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查有理数的乘方，解题的关键是明确题意，运用题目中的解题方法，运用类比的数学思想解答问题．
（1）设，将等式两边同时乘以2，然后按照材料中的方法进行计算，即可得到答案；
（2）设，将等式两边同时乘以3，然后按照材料中的方法进行计算，即可得到答案．
解：（1）解：设，
两边乘以2得：，
两式相减得：，
则原式；
（2）解：设，
两边乘以3得：，
两式相减得：，即，
则原式．
知识点（三）科学记数法
把一个大于10的数表示成的形式（其中是整数数位只有一位的数，（），这种记数法叫做科学记数法。
【要点说明】熟悉：（1）1万=；（2）1亿=。
【题型5】科学记数法
【例题5】（2025·四川成都·三模）锦州是辽宁省主要产食盐区之一，拥有海岸线总长977000米，素有“海上锦州”的美誉，用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的标准形式为，其中，为整数，熟练掌握科学记数法是解题的关键．
由即可得到答案．
解：，
故选：B．
【变式1】（24-25七年级上·吉林·阶段练习）防疫工作一刻都不能放松，截至年月日时，全球累计确诊感染新冠肺炎约为亿人，将数字亿用科学记数法表示为 ．
【答案】
【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，解题关键是正确确定的值以及的值．
根据科学记数法的定义即可求解．
解：亿，
故答案为：．
【变式2】（2025·河南新乡·二模）据统计，2024年我国新能源汽车的产量为1316万辆，比上年增长，其中1316万用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键．
将1316万写成其中，n为整数的形式即可．
解：1316万．
故选C．
【题型6】科学记数法表示原数
【例题6】（2024七年级上·全国·专题练习）下列是用科学记数法表示的数，把原数填在横线上： ； ．
【答案】
【分析】本题考查了科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键．科学记数法的形式为，其中，为整数，当时，原数等于把小数点向右移动位，据此解答．
解：；
．
故答案为：；．
【变式1】（2025九年级下·广西·专题练习）截至2025年3月25日，中国国家博物馆文创凤冠冰箱贴累计销量突破件，带动凤冠全系列产品销售额跨越亿元．用科学记数法表示的数原来是（ ）
A．100000 B．1000000 C．10000000 D．0.000001
【答案】B
【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较大（或较小）的数，一般形式为，其中，n为整数，确定a与n的值是解题的关键．根据科学记数法的方法进行解题即可．
解：A、，故该选项不符合题意；
B、，故该选项符合题意；
C、，故该选项不符合题意；
D、，故该选项不符合题意．
故选：B．
【变式2】（2025·湖南娄底·一模）仅上映28天，电影《哪吒之魔童闹海》全球票房突破135亿元人民币、超越《头脑特工队》登顶全球动画电影票房榜，13500000000用科学记数法可表示为，则a的值是（ ）
A．135 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了科学记数法“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法的定义即可得．
解：；
∴，
故选：C
同步练习
【基础巩固（16题）】
一、单选题
1．（2025·江苏无锡·模拟预测）无锡博物院位于太湖广场中央，博物院内拥有文物近40000件，以古代书画、历代紫砂、惠山泥人和无锡近现代革命文物和民族工商业文物为主要收藏文物．数据40000用科学记数法可表示为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的形式为，其中，为整数，需将40000转化为符合该形式即可．
解：，
故选：C．
2．（2025·四川宜宾·模拟预测）下列四个数：，，，，其中负数的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【分析】本题考查的是负数的含义，化简多重符号，乘方运算的含义，熟练的化简各数再作判断是解本题的关键．
解：，，，，
∴负数有：，共2个；
故选：B．
3．（24-25七年级下·福建三明·期中）对于与，下列叙述中正确的是（ ）
A．底数相同，运算结果相同 B．底数相同，运算结果不同
C．底数不同，运算结果相同 D．底数不同，运算结果不同
【答案】C
【分析】本题主要考查了幂的认识和运算，准确分析判断是解题的关键．
根据幂的性质判断即可．
解：∵，，
∴与，底数不同，运算结果相同．
故选：C．
4．（23-24九年级下·山东德州·阶段练习）计算（m个3，n个4）的结果是（ ）
A． B． C．+4n D．
【答案】D
【分析】本题考查乘法的意义，乘方的意义，根据乘法的意义和乘方的意义即可作出判断．
解：∵m个3相加可记为，n个4相乘可记为，
∴计算，
故选：D．
5．（24-25七年级上·湖南株洲·期中）若，，，那么，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查有理数的乘法、乘方运算及大小比较，先根据运算法则求出、、，再结合正数大于0，0大于负数判断即可得到答案．
解：由题意可得：
，，，
∵，
∴，
故选：B．
6．（2025·广西柳州·三模）“结绳计数”是远古时代人类智慧的结晶，即人们通过在绳子上打结来记录数量，类似我们现在熟悉的“进位制”，如图所示是一位古人记录的当天采摘果实的个数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满四进一，根据图示可知，这位古人当天采摘果实的个数是（ ）
A．186 B．185 C．184 D．183
【答案】D
【分析】本题考查有理数的运算，读懂题意，理解古代记数规则，再转化为现代的十进制数是解决问题的关键．
解：根据题意，绳子上按照古代记数规则是，由于满四进一，将其转化为现在的十进制数为，
故选：D．
二、填空题
7．（24-25六年级上·上海崇明·期末）若4个相乘，写成乘方的形式是 ，计算结果为 ．
【答案】
【分析】此题可根据有理数的乘方运算法则，熟练掌握运算法则是解题的关键；
根据有理数的乘方定义和运算法则直接解答即可．
解：
故答案为：，．
8．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）《康熙字典》是清朝康熙年间出版的图书，字典全书共收录汉字余个，则的原数为 ．
【答案】47000
【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．据此解答即可．
解：．
故答案为：47000．
9．（23-24七年级上·重庆·期中）计算： ．
【答案】1
【分析】本题考查乘方与绝对值的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
先算乘方和绝对值，再算减法．
解：
．
故答案为：1．
10．（24-25七年级上·四川南充·期中）已知的最大值为 ．
【答案】
【分析】本题考查乘方的非负性．熟练乘方的非负性是解题的关键．
根据乘方的非负性，确定最大值即可．
解：∵，
∴
∴，
∴的最大值为：；
故答案为：．
11．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）如图，在下列计算程序中填写适当的数 ．
【答案】4或
【分析】本题主要考查了有理数乘方的逆运算，根据得到要填写的数与1的和为，据此可得答案．
解：∵，且，
∴填写的数为4或，
故答案为；4或．
12．（24-25七年级下·山东枣庄·期中）阅读理解：我们知道一般地，加减运算是互逆运算，乘除运算也是互逆运算；其实乘方运算也有逆运算；如我们规定式子可以变形为，也可以变形为．在式子中，3叫做以2为底8的对数，记为．一般地，若（且，），则n叫做以a为底b的对数，记为，即．根据上面的规定，请计算 ．
【答案】8
【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆运算，乘方的逆运算，根据新定义运算，结合乘方运算，求解即可．
解：∵，，
∴，，
∴，
故答案为：8．
三、解答题
13．（24-25七年级上·福建漳州·期中）把数在数轴上表示出来，然后用“”把它们连接起来．
【答案】数轴见分析，
【分析】此题考查利用数轴比较有理数的大小，把各个数在数轴上表示出来，根据数轴右边的数总比在左边的数大，按照从左到右的顺序排列起来即可．
解：
14．（24-25七年级上·湖北·期中）小明同学设计了4张如图写有不同运算的卡片，，，，小明选择一个有理数，让小聪选择，，，的顺序，进行一次列式计算．如：选择了2和的顺序，其结果是...
（1）当小明选择了3，小聪选择的顺序，列出算式并计算结果；
（2）当小明选择了，小聪选择了的顺序，若列式计算的结果刚好为，请判断小聪选择的顺序并列出算式．
【答案】（1）；（2）；
【分析】本题考查程序流程图与有理数的混合运算：
（1）按照选择的顺序列式计算即可；
（2）按照，两种顺序分别计算，看哪个结果刚好是即可．
解：（1）解：由题意，算式为：，
（2）解：若选择，
可得：，
若选择，
可得：，
∴小聪选择的顺序为．
15．（24-25七年级上·山西长治·期中）探寻规律，学以致用
（1）把左右两边计算结果相等的式子用线连接起来：
观察上面计算结果相等的各式之间的关系，可归纳出的结论是：______．
（2）利用上述规律计算下式的值：
．
【答案】（1）连线见详解，；（2）
【分析】本题主要考查含有乘方的有理数的混合运算，掌握含有乘方的有理数的混合运算是解题的关键．
（1）根据有理数的混合运算法则计算，连线，找出规律即可；
（2）根据（1）中的规律，先展开，再根据分数的乘法运算计算即可．
解：（1）解：连线如图所示，
∴；
（2）解：
．
16．（24-25七年级上·陕西榆林·期中）数学兴趣小组在合作学习过程中获得知识的同时，也提出新的问题．例如：根据，知道a和n的值，可以求b的值，如果知道a和b的值，可以求n的值吗？他们对此进行了研究，并规定：若，那么，例如：若，则．根据他们的研究结果，解答下列各题：
（1）填空：_________，________；
（2）计算：；
（3）若，求的值．
【答案】（1）3；2；（2）；（3）2．
【分析】本题主要考查了有理数的乘方计算：
（1）根据结合新定义即可得到答案；
（2）根据新定义分别求出和的值即可得到答案；
（3）根据新定义分别求出a、b的值，进而求出的值，据此可得答案．
解：（1）解：∵，
∴，，
故答案为：3；2；
（2）解：∵，
∴
∴；
（3）解：∵，
∴．
∴．
【能力提升（16题）】
一、单选题
1．（2025·河南新乡·二模）据统计，2024年我国新能源汽车的产量为1316万辆，比上年增长，其中1316万用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键．
将1316万写成其中，n为整数的形式即可．
解：1316万．
故选C．
2．（2024七年级上·全国·专题练习）已知，则值是（ ）
A． B．6 C． D．9
【答案】D
【分析】本题主要考查的是非负数的性质，先依据非负数的性质求得a、b的值，然后再代入求解即可．
解：∵，
∴，，
解得，，
∴．
故选：D．
3．（22-23七年级上·江苏南通·阶段练习）①；②；③；④；⑤；⑥，其结果为正数的有几个（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【分析】根据相反数的意义，化简绝对值以及乘方的运算化简各数即可求解．
解：①是正数；
②，是负数；
③，是正数；
④，是负数；
⑤，是负数；
⑥，是正数，
①③⑥为正数．故选C．
【点拨】本题考查了相反数的意义，化简绝对值以及乘方的运算，正确的化简各数是解题的关键．
4．（24-25六年级下·上海·假期作业）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型来表示即；，，，，，…，请你推算的个位数字是（ ）
A．6 B．4 C．2 D．8
【答案】A
【分析】本题考查了数字的变化规律，乘方运算．
根据尾数的循环性得出结论即可.
解：由题意知，个位数字每四个数按2，4，8，6循环出现，
∵，
∴的个位数字与相同，为6，
故选：A．
5．（2025·宁夏银川·一模）若实数在数轴上的对应点的位置如图所示，则以下结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查用数轴上点表示实数，实数运算，掌握根据数轴上点的位置判断式子的值是解题的关键．
根据数轴得到，结合实数运算法则判断即可得到答案．
解：由数轴得，，
∴A、，此选项不符合题意，
B、，此选项不符合题意，
C、，，此选项符合题意，
D、，此选项不符合题意，
故选：C．
6．（2024七年级上·全国·专题练习）观察下面两行数：
第一行：4，，16，，36，…；
第二行：6，，18，，38，…．
则第二行中的第6个数是 ．
【答案】
【分析】本题考查了有理数的乘方的数字变化规律．解题关键是由特殊到一般，找出数字规律，符号规律．
由第一行可知，每个数字为完全平方数，即第n个数字为，符号是奇正为负，即，第二行每一个数比第一行对应的数大2，由此得出规律．
解：根据观察的规律，
第一行第n个数是
第二行第n个数是
所以，第二行中的第6个数是；
故答案为：．
二、填空题
7．（22-23七年级上·陕西渭南·期中）的底数是 ．
【答案】
【分析】根据有理数的乘方的有关定义即可解答．
解：的底数为．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的定义是解本题的关键．求n个相同,因数的积的运算叫乘方,乘方的结果叫做幂，在a的n次方中。a叫做底数,n叫做指数．
8．（2025·广西梧州·一模）广西区统计局公布了广西区2024年经济运行情况，统计显示，2024年广西区GDP总量为万亿元．“万亿”用科学记数法表示为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键．
将“万亿”写成其中，n为整数的形式即可．
解：“万亿”．
故答案为：．
9．（21-22六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知，，且，则的值是 ．
【答案】-2或-8/-8或-2
【分析】利用有理数的乘方运算，绝对值的性质求出a、b的值，再根据，判断a，b即可解决问题．
解：∵a2=9，|b|=5，
∴a=±3，b=±5，
∵，
∴a=3，b=-5或a=-3，b=-5，
∴a+b=3+（-5）=-2或a+b=-3+（-5）=-8
故答案为：-2或-8．
【点拨】本题考查有理数的乘方、绝对值、有理数的加法运算，代数式求值等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
10．（24-25七年级上·北京·期中）在数轴上，所表示的点在所表示的点的左边，且，则的值为 ．
【答案】或
【分析】本题考查有理数与数轴，有理数的运算，根据题意，得到，再根据绝对值的意义和有理数的乘法运算，求出，再利用减法法则进行计算即可．
解：∵在数轴上，所表示的点在所表示的点的左边，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴或；
故答案为：或．
11．（24-25七年级上·河南周口·期中）若，则a，的大小关系用“<”连接为 ．
【答案】
【分析】本题考查了有理数的大小比较，有理数的乘方运算的含义，根据，可得，，，从而可得答案.
解：∵，
∴，，，
∴；
故答案为：.
12．（2024七年级上·全国·专题练习）观察下面一列数：，…，将这列数排成如图的图形．按照此规律排下去，那么第10行从左边数第1个数是 ，数2024是第 行从左边数第 个数．
【答案】 82 45 88
【分析】本题考查了数的规律的探索，乘方运算的符号规律，找到规律是解题的关键；观察知，从左边数，每行最后一个数是行数的平方，且奇数行符号为负，偶数行符号为正，据此可完成解答．
解：根据规律知，第9行最后一个数为，则第10行左边数第一个数为；
∵，
∴数2024是第45行左边数的倒数第二个数，
∵第45行共有：个数，
∴第45行倒数第二个数是从左边数第88个数；
故答案为：82；45；88．
三、解答题
13．（24-25七年级上·广西防城港·期中）在数轴上表示下列各数，并将这些数按从小到大的顺序排列，再用“”连接起来：
，，，，0，3．
【答案】数轴见分析，
【分析】本题主要考查了数轴，有理数乘方，绝对值，有理数大小比较的应用，先化简各数，再表示各个数，再根据数轴上右边的数总比左边的数大比较即可．
解：，，，，
∴．
14．（24-25七年级上·福建莆田·期中）计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10000转化为十进制数：；其他进制也有类似的算法．
（1）根据以上信息，将二进制数“1011”转化为十进制数．
（2）中国古代《易经》一书中记载，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录采集到的野果数量．请计算采集到的野果数量．
【答案】（1）11；（2）采集到的野果数量为个
【分析】本题考查了有理数的乘方的应用，解的关键是：
（1）根据题意写成，进而进行计算即可求解；
（2）由于满五进一，类似于五进制数，转化为十进制数为：，进而计算即可求解．
解：（1）解：1011转化为十进制数是：
；
（2）解∶ 由于满五进一，类似于五进制数，转化为十进制数为：
．
答：采集到的野果数量为个．
15．（24-25七年级上·辽宁鞍山·阶段练习）善于反思的小聪在学习了有理数及其运算后，进行了如下总结与反思．请你仔细阅读并补全小聪的探究过程．
[典例再现]，；，；
[总结归纳]
（1）观察上述例题，发现结论：
①互为相反数的两个数的绝对值______；
②互为相反数的两个数的______；
[知识应用]
（2）已知，，则______，______，若，则______，______．
【答案】（1）①相等；②平方相等；（2）；；；；
【分析】本题考查了绝对值、平方、相反数，解题的关键是读懂材料信息，利用分类讨论的思想进行求解．
（1）①根据绝对值的运算性质即可判断；②根据平方运算的规律，观察得出相应结论；
（2）根据（1）中的总结归纳及分类讨论的思想即可求解．
解：（1）∵，；，；
①互为相反数的两个数的绝对值相等；
②互为相反数的两个数的平方相等；
（2），，
∴，，
∵，
∴，．
16．（24-25七年级上·河南开封·期中）阅读材料，解决问题：
我们学习了乘方的定义和意义，根据乘方和乘法两种运算之间的转化了解到： ;观察上述算式:
可以得到：
类比上述式子，你能够得到：
（1） ， ；
（2）利用由特殊到一般的思想，可以得到： （m、n都是正整数）；我们把类似于和这样的式子叫同底数幂；因此可以得到“同底数幂的乘法”法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
（3）知识运用： ， ；
（4）已知 求的值．
【答案】（1），；（2）；（3）；（4）
【分析】本题主要考查了乘方的定义和意义，得到同底数幂的运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，是解题的关键．
（1）根据题目中给出的信息进行运算即可；
（2）总结题目信息得出同底数幂的运算法则；
（3）根据同底数幂的运算法则进行运算即可；
（4）逆用同底数的乘法公式进行运算即可．
解：（1）解：，，
故答案为，；
（2）（m、n都是正整数），
故答案为；
（3），，
故答案为，；
（4）∵，
∴．
【中考真题5题】
一、单选题
1．（2025·广东·中考真题）依据《广东省推动低空经济高质量发展行动方案（2024-2026年）》，预计2026年广东省低空经济规模将超过3000亿元．数据3000亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定以及的值是解题的关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，据此即可求解．
解：3000亿．
故选：D．
2．（2025·黑龙江绥化·中考真题）据统计，2025年端午期间，我国民航客运累计发送旅客万人次，把万用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键．
将万写成其中，n为整数的形式即可．
解：万．
故选C．
3．（2023·辽宁营口·中考真题）有下列四个算式：①；②；③；④．其中，正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】本题考查有理数加、减、乘、除及乘方运算法则，解题关键是准确运用对应法则计算各算式并判断对错．
运用有理数加、减、乘、除及乘方运算法则逐个计算判断即可解答．
解：①，原式计算错误；
②，原式计算错误；；
③，原式计算正确；
④，原式计算正确；
综上所述：计算正确的有③④共2个；
故选：C．
二、填空题
4．（2022·西藏·中考真题）已知，都是实数，若，则 ．
【答案】
【分析】根据绝对值，偶次幂的非负性求出，，再代入计算即可．
解：∵，
∴，，
即，，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了绝对值，偶次幂的非负性，求出，的值是解本题的关键．
5．（2025·江苏扬州·中考真题）2025年3月30日，扬州鉴真半程马拉松暨大运河马拉松系列赛在市民中心广场鸣枪开跑，约30000名跑者用脚步丈量千年古城，用拼搏诠释无限热爱．将数据30000用科学记数法表示为 ．
【答案】
【分析】本题考查了科学记数法“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法的定义即可得．
解：，
故答案为：．
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