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2.6 有理数的混合运算和近似数 同步讲练
知识点（一）有理数混合运算的法则
先算乘方，再算乘除，最后算加减。如有括号，先进行括号里的运算。
【题型1】基本混合运算
【解题方法】（1）有乘方算乘方；（2）乘除运算（从左到右）；（2）算加减.
【例题1】（24-25六年级下·上海·假期作业）计算：
【答案】
【分析】本题考查了有理数的混合运算．
先算乘方，再算乘法，最后算加减，如果有括号，要先做括号内的运算．
解：
．
【变式1】（24-25七年级下·四川泸州·期末）计算：．
【答案】4
【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有小括号的先算小括号里面的”．根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可．
解：
．
【变式2】（24-25七年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）计算：
【答案】
【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，根据行乘方的有理数混合运算法则，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有小括号的先算小括号里面的，进行计算即可．
解：
．
【变式3】（24-25七年级上·北京·期中）计算：．
【答案】3
【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序．
先计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减．
解：
．
【题型2】 运用运算律简化计算
【解题方法】用乘法分配律展开
【例题2】（24-25七年级上·广东广州·期末）计算：（1）
【答案】
【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序．先利用有理数的乘法分配律和有理数的乘法运算法则求解，然后计算加减即可；
解：（1）
；
【变式1】（2025七年级上·全国·专题练习）计算： ．
【答案】
【分析】此题考查有理数的混合运算，乘法分配律，计算原式的倒数，即可得到答案．熟练掌握有理数的混合运算是解题的关键．
解：
，
．
【变式2】（24-25七年级上·福建漳州·期中）计算
（1） （2）
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算顺序和法则，运算律，倒数的应用，是解题的关键
（1）先计算式的倒数，除法化为乘法后，利用乘法分配律展开计算，最后即得；
（2）先算乘方，再算括号内的乘法，再用乘法分配律展开，最后计算减法．
解：
（1）解：∵
，
∴．
（2）解：
．
【题型3】 含多层括号的运算
【解题方法】（1）去小括号；（2）再算中括号内的乘加；（3）最后算乘除加减.
【例题3】（24-25七年级上·福建漳州·期中）计算
（1） （2）
【答案】（1）41；（2）
【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算顺序和法则，运算律，倒数的应用，是解题的关键
（1）先算乘方，再算括号内的，再乘法，最后计算加法；
（2）先算乘方，再算括号内的乘法，再用乘法分配律展开，最后计算减法．
（1）解：
．
（2）解：
．
【变式1】（2025七年级上·全国·专题练习）计算： ．
【答案】
【分析】此题考查有理数的混合运算，乘法分配律，计算原式的倒数，即可得到答案．熟练掌握有理数的混合运算是解题的关键．
解：
，
．
【变式2】（24-25七年级上·全国·期中）计算： ．
【答案】
【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算，根据运算顺序先算括号里面的，算乘方算乘除，再算加减，进而得到结果即可；
解：，
，
，
，
．
【变式3】（21-22七年级上·天津和平·期中）计算：
（1） （2）
（3）
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）先算乘法，再去括号，再算同分母分数，再计算加减法；
（2）先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，要先做括号内的运算；
（3）根据乘法分配律简便计算．
（1）解：
原式＝
＝
＝
＝
＝
（2）解：
原式＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
（3）解：
原式＝
＝
＝
＝
【点拨】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，简化运算过程．
【题型4】 含绝对值的混合运算
【解题方法】先算绝对值，再按顺序运算.
【例题4】（24-25七年级上·河南驻马店·期末）计算：
（1）
【答案】（1）
【分析】本题考查有理数的混合运算，有理数的乘方，有理数的加减混合运算，熟练掌握其运算规则是解题的关键．
解：（3）解：原式
．
【变式1】（24-25六年级上·上海·期中）计算：．
【答案】
【分析】本题主要考查了有理数的相关计算，熟知有理数的相关计算法则是解题的关键．按照先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可．
解：
．
【变式2】（24-25六年级上·山东东营·期中）计算
（1）． （2）；
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，掌握相关运算法则是解题关键．
（1）先计算乘方和括号内减法，再计算乘法和绝对值，最后计算加减法即可；
（2）先计算乘方和绝对值，再计算乘法，最后计算加减法即可；
解：（1）解：
；
（2）解：
；
【题型5】 有理数混合运算的应用——算“24”点
【例题5】（24-25六年级上·山东烟台·期中）小明有5张写着不同数字的卡片，请按要求抽出卡片，完成下列问题：
（1）从中抽取2张卡片，使这两张卡片上的数字的乘积最大．应该抽取到哪2张卡片？最大乘积是多少？
（2）从中抽取2张卡片，使这两张卡片上的数字相除的商最小．应该抽取到哪2张卡片？最小的商是多少？
（3）从中抽取4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24，写出抽取到的卡片以及利用这4张卡片上的数字写出的两个符合题意的运算式子．
【答案】（1）抽取到2张卡片上的数字分别是6和4，24；（2）抽取到2张卡片上的数字分别是6和，最小的商是；（3）见分析
【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）从中抽2张卡片，要使这2张卡片上数字的乘积最大，则两个数必须同号，据此求解即可；
（2）从中抽取2张卡片，要使这两张卡片数相除的商最小，则一个是正数，另一个是负数，据此求出最小值是多少即可．
（3）用学过的运算方法，构造出算式，使结果为24即可．
解：（1）解：抽取到2张卡片上的数字分别是6和4，
最大乘积为：；
（2）解：抽取到2张卡片上的数字分别是6和，
最小的商为：；
（3）（答案不唯一）当抽取到4张卡片上的数字分别是、3、4和
运算式子为：；
．
【变式1】（24-25七年级上·湖北武汉·开学考试）下面各组数中，不能通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24的是（　　）
A．1，1，7，7 B．2，2，8，8
C．1，1，2，8 D．1，1，4，6
【答案】A
【分析】本题考查有理数的四则运算，通过尝试不同的四则运算组合，判断每组数字是否能得到24．
解：A、无法通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24；
B、，即可以通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24；
C、，即可以通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24；
D、，即可以通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24．
故选：A
【变式2】（24-25七年级上·江苏盐城·期中）玩“24点”游戏，规则如下：任取四个整数（每个数只用一次）进行“、、、”四则运算，使其运算结果为24.现有四个整数、、4、5，请用上述规则，写出算式 ．
【答案】或（答案不唯一）
【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据有理数混合运算的式子解答即可．
解：
；
．
故答案为：或（答案不唯一）．
【题型6】有理数混合运算的应用——程序流程图与有理数的运算
【例题6】（24-25七年级上·河北邢台·期中）如图，这是一个计算程序．
（1）若输入的值为1，求输出的值．
（2）若输入的值为，直接写出输出的值．
【答案】（1）输出的值为；（2）
【分析】本题考查了程序流程图，含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握含乘方的有理数的混合运算是解题的关键．
（1）将1代入，得，将代入，得．然后输出即可；
（2）由，可知输出的值仍为．
解：（1）解：将1代入，得，
将代入，得．
∴输出的值为；
（2）解：∵，
∴输出的值仍为．
【变式1】（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）【周期问题】如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第1次输出的结果为24、第2次输出的结果为12、……第2012次输出的结果为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】本题考查了代数式求值，有理数的混合运算，发现规律是解题的关键．根据输入的x的值分别计算，直到找出规律为止，然后计算即可．
解：第1次输入的，则输出，
第2次输入的，则输出，
第3次输入的，则输出，
第4次输入的，则输出，
第5次输入的，则输出，
第6次输入的，则输出，
第7次输入的，则输出，
，
可以得出：从第3次开始，6，3，6，3，，循环出现，
∴，
∴第2012次输出的结果为3，
故选：A．
【变式2】（24-25七年级上·福建泉州·期末）按如图所示的程序计算，当输入的值为时，输出的值为 ．
【答案】26
【分析】本题考查了程序流程图与有理数的乘方，读懂程序流程图，熟练掌握有理数的运算法则是解题关键．先将代入计算出结果为，再将代入计算，其结果大于10，由此即可得．
解：由程序图得：当时，，
当时，，
所以当输入的值为时，输出的值为26，
故答案为：26．
知识点（二）近似数
一个近似数的精确度可用四舍五入法表述。一个近似数四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位。
【题型7】近似数
【例题7】（23-24七年级上·全国·课堂例题）按括号内的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数，并将结果写在后面的横线上．
（）（精确到）； ； （）（精确到十分位）； ；
（）（精确到）； ； （）（精确到个位）； ；
（）（精确到）； ； （）（精确到千分位）． ．
【答案】
【分析】根据近似数的精确度进行求解即可．
解：（）（精确到）；
（）（精确到十分位） ；
（）（精确到）；
（）（精确到个位）；
（）（精确到）；
（）（精确到千分位）；
故答案为：；；；；；．
【点拨】此题考查了近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示，熟练掌握近似数与精确度的概念是解题的关键．
【变式1】（2024七年级上·云南·专题练习）下列关于近似数的说法：
①近似数精确到十分位；
②近似数万精确到；
③近似数和近似数的精确度相同．
其中正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【分析】本题考查了近似数，近似数精确到哪一位，看末位数字实际在哪一位即可，掌握近似数的有关知识是解题的关键．
解：近似数精确到百分位，故①错误；
∵万，
∴近似数万精确到百位，故②错误；
近似数精确到十分位，近似数精确到百分位，故③错误；
综上，正确的说法有个，
故选：．
【变式2】（24-25八年级上·江苏泰州·期末）用四舍五入法对取近似数，精确到十分位的结果是 ．
【答案】
【分析】本题考查了近似数，熟练掌握近似数的表示方法是解题的关键；精确到哪一位，则把后面与其相邻的数位上的数字四舍五入得到近似数；由题意，把百分位的数四舍五入即可．
解：用四舍五入法对取近似数，精确到十分位结果是，
故答案为：
同步练习
【基础巩固（16题）】
一、单选题
1．（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）最接近4.08万的整数是（ ）
A．4.081万 B．40801 C．40891 D．40809
【答案】B
【分析】本题考查数的大小比较，可以先4.08万改写成用“个”作单位的数，再把各选项的数分别与4.08万相减，差最小的最接近4.08万．
解：4.08万，4.081万
因为，
，
，
，
，
所以最接近4.08万的整数是40801．
故选：B．
2．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据有理数的混合运算，逐项分析判断，即可求解．
解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项正确，符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
3．（2024七年级上·全国·专题练习）若，则计算的结果是（ ）
A． B．130 C． D．290
【答案】A
【分析】本题考查了有理数的混合运算，以及倒数的意义，由倒数的意义可知，进而可求出结果.
解：∵，
∴，
∴.
故选A.
4．（24-25七年级下·湖南湘西·阶段练习）（　　）
A．0 B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序．
先计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减．
解：
．
故选：A．
5．（24-25七年级上·河南南阳·期中）下列计算不正确的有（ ）个
①
②
③
④
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．利用有理数的混合运算法则对各式逐一计算即可得到答案．
解：①，原计算错误；
②，原计算错误；
③，原计算错误；
④，原计算错误，
∴不正确的有4个，
故选：D．
二、填空题
6．（24-25七年级下·河南商丘·期末） ．
【答案】
【分析】此题考查了有理数的混合运算，先计算乘方和绝对值后，再计算加减法即可．
解：
故答案为：
7．（24-25七年级上·安徽宿州·期末）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序．
先计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减．
解：
．
故答案为：．
8．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）计算： ．
【答案】/6.5/
【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．首先进行乘方运算和化简绝对值，然后相加减，即可获得答案．
解：原式．
故答案为：．
9．（24-25七年级上·广东广州·期中） ； ．
【答案】
【分析】本题主要考查了有理数的乘方计算，有理数乘法计算，根据有理数的乘方计算法则和乘法计算法则求解即可．
解：，，
故答案为：；．
10．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）按如图所示的程序计算，若开始输入的数为0，则最后输出的结果为 ．
【答案】
【分析】本题考查有理数的运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 由题意列式计算，直至结果大于8即可．
解：开始输入的数为0，
解：返回继续运算；
输出结果；
故答案为∶
三、解答题
11．（24-25七年级上·北京·期中）计算
（1） ； （2）
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是：
（1）根据有理数的乘法分配律计算即可；
（2）先计算乘方，再计算乘除，最后计算减法即可．
解：（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
12．（24-25七年级下·北京·期末）计算：
（1） （2）
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算、有理数乘法的分配律，熟练掌握运算法则与运算律是解题关键．
（1）利用有理数乘法的分配律计算即可得；
（2）先计算大括号内的加减法、乘方、化简绝对值，再计算加减法即可得．
解：（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
13．（2025六年级上·全国·专题练习）计算：
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键；
（1）先计算乘除运算，再算加减运算即可求出值；
（2）先算乘方，再利用乘法分配律计算即可求出值；
解：（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
14．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期中）计算：
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）4
【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题的关键；
（1）按照先算乘方、再算乘除、最后计算加减的运算顺序求解即可；
（2）先计算乘方、乘法分配律，再计算加减即可．
解：（1）解：
；
（2）解：
．
15．（23-24七年级上·广东河源·期中）计算：
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键．
（1）先利用有理数乘法法则化简，再加减即可；
（2）先计算绝对值和括号，再按先乘方、再乘除、后加减的运算顺序计算即可．
解：（1）解：
；
（2）解：
．
16．（24-25七年级上·福建福州·期中）计算：
（1）； （2）
【答案】（1）51；（2）
【分析】本题考查了有理数的混合运算．
（1）先算乘方，再算乘除，后算加减；
（2）先算括号和绝对值，并把除法转化为乘法，再算乘法，后算加减．
解：（1）原式
；
（2）原式
【能力提升（16题）】
一、单选题
1．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查带乘方的有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键；
根据带乘方的有理数的混合运算法则即可求解；
解：；
故答案为：B
2．（24-25七年级上·陕西榆林·期中）计算的结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了有理数的混合运算．根据乘方的意义和有理数的乘法进行运算即可键．
解：原式，
故选：D．
3．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）下列运算不正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据有理数的加法、减法、乘法、除法、乘方法则进行计算，逐一判断即可解答．
解：A、，原运算正确，故不符合题意；
B、，，原运算错误，故符合题意；
C、，原运算正确，故不符合题意；
D、，原运算正确，故不符合题意．
故选：B．
【点拨】本题考查了有理数的加法、减法、乘法、除法、乘方运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
4．（24-25六年级上·山东济宁·期中）下列算式：①；②；③；④，其中正确的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【分析】本题考查有理数的运算，根据有理数的加法可判断①；根据有理数的乘法可判断②；根据乘方及减法运算可判断③；根据有理数乘除运算可判断④．掌握相应的运算法则和运算顺序是解题的关键．
解：①，故结论①正确；
②，故结论②错误；
③，故结论③错误；
④，故结论④错误，
∴正确的个数是个．
故选：A．
5．（23-24七年级上·河北沧州·期中）在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁、四位同学分别做了一道有理数运算题，
甲；
乙：；
丙：；
丁：．
其中正确的同学是（ ）
A．丁 B．丙 C．乙 D．甲
【答案】B
【分析】本题考查有理数混合运算，据甲乙丙丁的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
解：，故甲的做法是错误的；
，故乙的做法是错误的；
，故丙的做法正确；
，故丁的做法错误；
故选：B．
二、填空题
6．（24-25七年级上·山东聊城·期末）计算的结果为 ．
【答案】1
【分析】本题主要考查绝对值，乘方，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键．根据乘法以及绝对值进行计算即可．
解：原式，
故答案为：
7．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）用四舍五入法将取近似数精确到十分位是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查近似数，熟练掌握近似数精确的条件是解题的关键．根据“四舍五入”即可得到答案．
解：根据四舍五入，
取近似数精确到十分位是，
故答案为：．
8．（2024七年级·全国·竞赛）计算： ．
【答案】11
【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，掌握相关运算法则是解题关键．先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法即可．
解：
，
故答案为：11．
9．（2022七年级上·广东惠州·竞赛）计算： = .
【答案】
【分析】根据有理数的混合运算法则进行计算即可．
解：
故答案为：
【点拨】本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则．
10．（24-25七年级上·浙江宁波·阶段练习）计算： ．
【答案】289
【分析】本题考查有理数的混合运算，先计算乘方，再计算乘除，最后就散加减即可，有括号先计算括号，同级运算从左到右依次计算即可．
解：原式
．
故答案为：289．
三、解答题
11．（2025七年级上·全国·专题练习）计算：
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键；
（1）先计算乘除运算，再算加减运算即可求出值；
（2）先算乘方，再利用乘法分配律计算即可求出值；
解：（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
12．（23-24七年级上·重庆·期中）计算．
（1） （2）
【答案】（1）23；（2）
【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键；
（1）先除法转换为乘法，利用乘法分配律简算即可；
（2）先把小数化分数，然后按照有理数混合运算法则计算即可；
解：（1）解：原式
=
=
=；
（2）解：原式
=
=
=．
13．（24-25七年级上·广东广州·期中）计算：
（1） （2）
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（1）将除法变为乘法，再根据乘法分配律计算；
（2）先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算．
解：（1）解：
；
（2）解：
．
14．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）计算：
（1） （2）
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题的关键；
（1）先计算乘除，再计算加减即可求解；
（2）按照有理数的混合运算法则求解即可．
解：（1）解：
；
（2）解：
15．（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）计算：
（1）； （2）；
（3）．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】本题考查有理数混合运算，解题的关键是掌握有理数相关运算的法则．
（1）先运算乘方，然后运算乘除，最后运算加减解题；
（2）先利用乘法分配律运算，然后加减解题；
（3）先运算绝对值、括号和乘方，然后运算乘除，最后加减解答即可．
解：（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
16．（24-25六年级上·山东淄博·期中）计算
（1） （2）
（3） （4）
【答案】（1）8；（2）；（3）；（4）
【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题的关键．
（1）根据有理数的混合运算法则计算即可；
（2）根据有理数的混合运算法则计算即可；
（3）根据有理数的乘除混合运算法则计算即可；
（4）根据有理数的乘除混合运算法则计算即可；
解：（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【中考真题6题】
一、单选题
1．（2023·浙江杭州·中考真题）（ ）
A．0 B．2 C．4 D．8
【答案】D
【分析】先计算乘方，再计算加法即可求解．
解：，
故选：D．
【点拨】本题考查有理数度混合运算，熟练掌握有理数乘方运算法则是解题的关键．
2．（2024·四川攀枝花·中考真题）下列各数都是用四舍五入法得到的近似数，其中精确到十分位的是（ ）
A．24 B．24.0 C．24.00 D．240
【答案】B
【分析】本题主要考查了精确度，判断近似数的精确位数，需观察其最后一位数字所在的数位．十分位对应小数点后第一位，据此求解即可．
解：选项A：24，无小数点，末位4位于个位，精确到个位．
选项B：24.0，末位0在小数点后第一位（十分位），精确到十分位．
选项C：24.00，末位0在小数点后第二位（百分位），精确到百分位．
选项D：240，末位0在个位（若原数四舍五入到十位则为十位），精确到个位．
故选：B．
3．（2025·山东威海·中考真题）2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率．
二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数：
．
传统三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数：
．
将二进制数化为三进制数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，理解例题的计算方法，按照例题代入计算即可．
将二进制数转换为三进制数，需先将二进制数转换为十进制数，再将十进制数转换为三进制数．
解：∵二进制数的各位权值从右到左依次为，
对应数值为：
∴二进制数对应的十进制数为 11．
将十进制数 11 转换为三进制数，采用“除3取余法”：
，余数为2；
，余数为0；
，余数为1．
将余数倒序排列，得到三进制数为．
故选：A．
4．（2023·四川内江·中考真题）对于正数x，规定，例如：，，，，计算：（　　）
A．199 B．200 C．201 D．202
【答案】C
【分析】通过计算，可以推出结果．
解：
…
，，，
故选：C．
【点拨】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则，找到数字变化规律是解本题的关键．
二、填空题
5．（2023·湖北随州·中考真题）计算： ．
【答案】0
【分析】先算乘方，再计算乘法，最后算加减．
解：．
故答案为：0．
【点拨】此题主要考查了有理数的混合运算，关键是掌握运算法则．
6．（2023·重庆·中考真题）对于一个四位自然数M，若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称M为“天真数”．如：四位数7311，∵，，∴7311是“天真数”；四位数8421，∵，∴8421不是“天真数”，则最小的“天真数”为 ；一个“天真数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记，，若能被10整除，则满足条件的M的最大值为 ．
【答案】 6200 9313
【分析】根据题中“天真数”可求得最小的“天真数”；先根据题中新定义得到，进而，若M最大，只需千位数字a取最大，即，再根据能被10整除求得，进而可求解．
解：根据题意，只需千位数字和百位数字尽可能的小，所以最小的“天真数”为6200；
根据题意，，，，，则，
∴，
∴，
若M最大，只需千位数字a取最大，即，
∴，
∵能被10整除，
∴，
∴满足条件的M的最大值为9313，
故答案为：6200，9313．
【点拨】本题是一道新定义题，涉及有理数的运算、整式的加减、数的整除等知识，理解新定义是解答的关键．
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2.6 有理数的混合运算和近似数 同步讲练
知识点（一）有理数混合运算的法则
先算乘方，再算乘除，最后算加减。如有括号，先进行括号里的运算。
【题型1】基本混合运算
【解题方法】（1）有乘方算乘方；（2）乘除运算（从左到右）；（2）算加减.
【例题1】（24-25六年级下·上海·假期作业）计算：
【变式1】（24-25七年级下·四川泸州·期末）计算：．
【变式2】（24-25七年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）计算：
【变式3】（24-25七年级上·北京·期中）计算：．
【题型2】 运用运算律简化计算
【解题方法】用乘法分配律展开
【例题2】（24-25七年级上·广东广州·期末）计算：（1）
【变式1】（2025七年级上·全国·专题练习）计算： ．
【变式2】（24-25七年级上·福建漳州·期中）计算
（1） （2）
【题型3】 含多层括号的运算
【解题方法】（1）去小括号；（2）再算中括号内的乘加；（3）最后算乘除加减.
【例题3】（24-25七年级上·福建漳州·期中）计算
（1） （2）
【变式1】（2025七年级上·全国·专题练习）计算： ．
【变式2】（24-25七年级上·全国·期中）计算： ．
【变式3】（21-22七年级上·天津和平·期中）计算：
（1） （2）
（3）
【题型4】 含绝对值的混合运算
【解题方法】先算绝对值，再按顺序运算.
【例题4】（24-25七年级上·河南驻马店·期末）计算：
（1）
【变式1】（24-25六年级上·上海·期中）计算：．
【变式2】（24-25六年级上·山东东营·期中）计算
（1）． （2）；
【题型5】 有理数混合运算的应用——算“24”点
【例题5】（24-25六年级上·山东烟台·期中）小明有5张写着不同数字的卡片，请按要求抽出卡片，完成下列问题：
（1）从中抽取2张卡片，使这两张卡片上的数字的乘积最大．应该抽取到哪2张卡片？最大乘积是多少？
（2）从中抽取2张卡片，使这两张卡片上的数字相除的商最小．应该抽取到哪2张卡片？最小的商是多少？
（3）从中抽取4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24，写出抽取到的卡片以及利用这4张卡片上的数字写出的两个符合题意的运算式子．
【变式1】（24-25七年级上·湖北武汉·开学考试）下面各组数中，不能通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24的是（　　）
A．1，1，7，7 B．2，2，8，8
C．1，1，2，8 D．1，1，4，6
【变式2】（24-25七年级上·江苏盐城·期中）玩“24点”游戏，规则如下：任取四个整数（每个数只用一次）进行“、、、”四则运算，使其运算结果为24.现有四个整数、、4、5，请用上述规则，写出算式 ．
【题型6】有理数混合运算的应用——程序流程图与有理数的运算
【例题6】（24-25七年级上·河北邢台·期中）如图，这是一个计算程序．
（1）若输入的值为1，求输出的值．
（2）若输入的值为，直接写出输出的值．
【变式1】（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）【周期问题】如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第1次输出的结果为24、第2次输出的结果为12、……第2012次输出的结果为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式2】（24-25七年级上·福建泉州·期末）按如图所示的程序计算，当输入的值为时，输出的值为 ．
知识点（二）近似数
一个近似数的精确度可用四舍五入法表述。一个近似数四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位。
【题型7】近似数
【例题7】（23-24七年级上·全国·课堂例题）按括号内的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数，并将结果写在后面的横线上．
（）（精确到）； ； （）（精确到十分位）； ；
（）（精确到）； ； （）（精确到个位）； ；
（）（精确到）； ； （）（精确到千分位）． ．
【变式1】（2024七年级上·云南·专题练习）下列关于近似数的说法：
①近似数精确到十分位；
②近似数万精确到；
③近似数和近似数的精确度相同．
其中正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【变式2】（24-25八年级上·江苏泰州·期末）用四舍五入法对取近似数，精确到十分位的结果是 ．
同步练习
【基础巩固（16题）】
一、单选题
1．（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）最接近4.08万的整数是（ ）
A．4.081万 B．40801 C．40891 D．40809
2．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024七年级上·全国·专题练习）若，则计算的结果是（ ）
A． B．130 C． D．290
4．（24-25七年级下·湖南湘西·阶段练习）（　　）
A．0 B． C． D．
5．（24-25七年级上·河南南阳·期中）下列计算不正确的有（ ）个
①
②
③
④
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
6．（24-25七年级下·河南商丘·期末） ．
7．（24-25七年级上·安徽宿州·期末）计算： ．
8．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）计算： ．
9．（24-25七年级上·广东广州·期中） ； ．
10．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）按如图所示的程序计算，若开始输入的数为0，则最后输出的结果为 ．
三、解答题
11．（24-25七年级上·北京·期中）计算
（1） ； （2）
12．（24-25七年级下·北京·期末）计算：
（1） （2）
13．（2025六年级上·全国·专题练习）计算：
（1）； （2）．
14．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期中）计算：
（1）； （2）．
15．（23-24七年级上·广东河源·期中）计算：
（1）； （2）．
16．（24-25七年级上·福建福州·期中）计算：
（1）； （2）
【能力提升（16题）】
一、单选题
1．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：（　　）
A． B． C． D．
2．（24-25七年级上·陕西榆林·期中）计算的结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）下列运算不正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（24-25六年级上·山东济宁·期中）下列算式：①；②；③；④，其中正确的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
5．（23-24七年级上·河北沧州·期中）在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁、四位同学分别做了一道有理数运算题，
甲；
乙：；
丙：；
丁：．
其中正确的同学是（ ）
A．丁 B．丙 C．乙 D．甲
二、填空题
6．（24-25七年级上·山东聊城·期末）计算的结果为 ．
7．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）用四舍五入法将取近似数精确到十分位是 ．
8．（2024七年级·全国·竞赛）计算： ．
9．（2022七年级上·广东惠州·竞赛）计算： = .
10．（24-25七年级上·浙江宁波·阶段练习）计算： ．
三、解答题
11．（2025七年级上·全国·专题练习）计算：
（1）； （2）．
12．（23-24七年级上·重庆·期中）计算．
（1） （2）
13．（24-25七年级上·广东广州·期中）计算：
（1） （2）
14．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）计算：
（1） （2）
15．（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）计算：
（1）； （2）；
（3）．
16．（24-25六年级上·山东淄博·期中）计算
（1） （2）
（3） （4）
【中考真题6题】
一、单选题
1．（2023·浙江杭州·中考真题）（ ）
A．0 B．2 C．4 D．8
2．（2024·四川攀枝花·中考真题）下列各数都是用四舍五入法得到的近似数，其中精确到十分位的是（ ）
A．24 B．24.0 C．24.00 D．240
3．（2025·山东威海·中考真题）2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率．
二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数：
．
传统三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数：
．
将二进制数化为三进制数为（　　）
A． B． C． D．
4．（2023·四川内江·中考真题）对于正数x，规定，例如：，，，，计算：（　　）
A．199 B．200 C．201 D．202
二、填空题
5．（2023·湖北随州·中考真题）计算： ．
6．（2023·重庆·中考真题）对于一个四位自然数M，若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称M为“天真数”．如：四位数7311，∵，，∴7311是“天真数”；四位数8421，∵，∴8421不是“天真数”，则最小的“天真数”为 ；一个“天真数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记，，若能被10整除，则满足条件的M的最大值为 ．
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