资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
2.3 有理数的乘法 同步讲练
知识点（一）有理数乘法法则
有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，任何数与零相乘，积为零。
【题型1】有理数的乘法——两个有理数相乘
【例题1】（2024七年级上·全国·专题练习）计算：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】本题考查了有理数的乘法运算，解题的关键是掌握有理数的乘法运算法则．
（1）（3）根据有理数的乘法运算法则求解即可；
（2）（4）先将带分数化为假分数，再根据有理数的乘法运算法则求解即可；
解：（1）
（2）
（3）
（4）
【变式1】（24-25七年级上·江苏扬州·期中）若与互为相反数，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键．根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可．
解：和互为相反数，
故答案为：.
【变式2】（2025·河北唐山·二模）如图，数轴的单位长度为1，点表示的数为，点表示的数为，且，则与的积为（ ）
A．0 B．4 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了数轴和绝对值的几何意义，数形结合是解题的关键．
根据数轴和可知，解出的值，相乘即可．
解：∵点表示的数为，点表示的数为，且，
根据图可知，
解得，
∴，
故选：C．
【变式3】（24-25六年级下·上海·假期作业）计算
（1） （2）
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查了有理数的乘法，解题的关键是：
（1）（2）先定符号，再将带分数化为假分数，最后计算乘法即可；
解：（1）原式
；
（2）原式
．
【题型2】有理数的乘法——多个有理数相乘
【例题2】（2024七年级上·浙江·专题练习）计算下列各式：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【答案】（1）24；（2）；（3）；（4）
【分析】本题考查有理数乘法运算，解题的关键是掌握有理数乘法的法则及运算律．
（1）先确定符号，再用绝对值相乘即可；
（2）先确定符号，再用乘法结合律计算即可；
（3）先确定符号，把小数化为分数，再按照法则计算即可；
（4）先确定符号，把小数化为分数计算即可．
解：（1）原式
；
（2）原式
；
（3）原式
；
（4）原式
．
【变式1】（2024七年级上·云南·专题练习）定义：，请用此定义计算： ．
【答案】72
【分析】本题主要考查了有理数的乘法运算，先根据新定义计算出，再计算 的值即可，解题的关键是根据新定义列出相应算式，并熟练掌握有理数混合运算顺序和运算法则．
解：，
，
故答案为：72．
【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）下面计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题考查有理数的乘法，多个有理数相乘，熟练掌握多个有理数相乘计算法则是解题的关键；
根据多个有理数相乘计算法则即可求解；
解：A、，故该选项错误；
B、
故该选项错误；
C、，故该选项错误；
D、，故该选项正确；
故选：D
由例题可知：有多个不为0的有理数相乘时，可以先确定积的符号，再将绝对值相乘；若其中一个乘数为0，则积为0。
【题型3】有题数乘法的实际应用
【例题3】（24-25七年级上·陕西延安·期末）延安土层深厚，海拔米，光照充足，昼夜温差大，有利果实积累糖分，是苹果的最佳适生带．现有10箱延安苹果，以每箱为标准，其中质量超过或不足的千克数分别用正数或负数来表示，记录如下表所示．
与标准质量的差/ 2 0 1
箱数 1 1 1 2 4 1
（1）这10箱苹果中，最重的一箱比最轻的一箱重多少千克？
（2）与标准质量相比，这10箱苹果总计超过或不足多少千克？
（3）若每千克苹果售价12元，这10箱苹果可卖出多少元？
【答案】（1）千克；（2）超过千克；（3）3030元
【分析】本题考查了正负数的应用、有理数乘法的应用，理解题意正确列出算式是解题的关键．
（1）最重的一箱苹果比标准质量重千克，最轻的一箱苹果比标准质量轻3千克，据此即可求解；
（2）求出表格中所有数据的代数和，如果和为正，表示总计超过标准质量；如果和为负，表示总计不足标准质量，即可解答；
（3）先求出10箱苹果的总质量，再乘以12即可得出答案．
解：（1）（千克），
答：最重的一箱比最轻的一箱重千克．
（2）（千克），
答：与标准质量相比，这10箱苹果总计超过千克．
（3）（千克），
（元），
答：这10箱苹果可卖出3030元．
【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）有个有理数相乘，结果为，那么这个数（ ）
A．都为
B．只有一个
C．至少有一个
D．有两个数互为相反数
【答案】C
【分析】本题考查了有理数的乘法，熟练掌握乘以任何数都等于是解题的关键．
根据乘以任何数都等于解答．
解：有个有理数相乘，结果为，
故这个有理数至少有一个为；
故选：C
【变式2】（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）一只跳蚤在数轴上从原点开始，第1次向右跳2个单位长度，第2次向左跳4个单位长度，第3次向右跳6个单位长度，第4次向左跳8个单位长度，…依此规律跳下去，当它第2024次落下时，落点表示的数是 ．
【答案】
【分析】本题考查了数轴与图形的变化规律，数轴上点的移动规律是“左减右加”，在学习的过程中培养数形结合的思维是解题的关键．数轴上点的移动规律是“左减右加”，依据规律计算即可．
解：设向右为正，向左为负，
则由题意得，
，
故答案为：．
知识点（二）倒数
若两个有理数积为1，就称这两个有理数称为互为倒数。
【题型4】有理数的乘法——与倒数有关计算
【例题4】（24-25七年级上·西藏林芝·期中）的相反数的倒数是 ；的倒数是 ；倒数等于它本身的数是 ．
【答案】 或
【分析】本题考查的知识点是倒数、相反数和绝对值的相关知识，掌握以上知识是解答本题的关键：相反数的定义：“只有符号不同的两个数是互为相反数”；倒数的定义：“若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数”；绝对值的定义：“这个数在数轴上的点到原点的距离”；
本题分别根据倒数、相反数与绝对值的定义求解即可得出结论．
解：的相反数是，的倒数是；先将化简为，再化简绝对值为，的倒数为；倒数等于它本身的数是或；
故答案为：；；或．
【变式1】（23-24六年级上·黑龙江绥化·期末）因为，所以（ ）
A．是倒数 B．和是倒数 C．和互为倒数 D．和和是倒数
【答案】C
【分析】本题考查了倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解答本题的关键．
根据倒数的定义解答即可．
解：因为，所以和互为倒数，
故选：C．
【变式2】（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）小安和小何玩猜数字的游戏，小安心里想好了一个数并描述说：“这个数的绝对值等于它的相反数．”小何说：“我猜不到．”小安继续说：“它的倒数等于它本身．”小何说“我知道了！”，小安心里想的这个数是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查绝对值以及倒数，熟练掌握倒数的定义是解题的关键．根据绝对值等于相反数以及倒数等于本身即可得到答案．
解：负数和0的绝对值等于它的相反数，的倒数等于它本身，
故小安心里想的这个数是，
故答案为：．
【题型5】有理数的加减混合运算
【例题5】（24-25七年级上·吉林四平·阶段练习）已知、互为相反数，、互为倒数，负数的绝对值是，是最大的负整数．求式子的值．
【答案】
【分析】本题主要考查了绝对值、相反数、倒数、有理数四则混合运算等知识点；由题意可知可得，然后代入所求式子计算即可．
解：∵、互为相反数，、互为倒数，负数的绝对值是，是最大的负整数，
∴，
∴．
【变式1】（24-25七年级上·河南周口·阶段练习）已知a与2互为相反数，b与互为倒数．
（1）则 ， ．
（2）已知，求的绝对值．
【答案】（1），；（2）1
【分析】本题考查了相反数、倒数、绝对值非负数的性质，熟练掌握相反数、倒数的定义以及非负数的性质是解题的关键．
（1）根据相反数、倒数的定义求出a、b的值即可；
（2）根据非负数的性质即可求出m、n的值，从而求出的绝对值．
解：（1）∵a与2互为相反数，，
，
∵b与互为倒数
，
故答案为：，；
（2）∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
的绝对值为1．
【变式2】（24-25七年级上·海南儋州·期末）已知a，b互为倒数，c，d互为相反数，m的绝对值等于2，n是最大的负整数．
（1）直接写出，，m，n的值；
（2）求的值
【答案】（1）；；；；（2）或0
【分析】本题考查了倒数、相反数、绝对值以及有理数的加减混合运算等知识点，掌握相关结论即可．
（1）根据题意即可求解；
（2）分类讨论当时，当时，两种情况即可求解；
解：（1）∵a，b互为倒数，
∴；
∵c，d互为相反数，
∴；
∵m的绝对值等于2，
∴；
∵n是最大的负整数，
∴
（2）解：当时，
；
当时，
；
知识点（三）有理数的乘法运算律
乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。
即：。
乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。
即：。
分配律：一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。
即：。
【题型6】运算加法运算律进行有理数加减混合运算
【例题6】（24-25六年级上·山东淄博·阶段练习）用简便方法计算：
（1）． （2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】（）利用有理数的乘法分配律计算即可；（）利用有理数乘法的交换律运算即可；
本题考查了有理数的运算，掌握有理数的运算法则和运算律是解题的关键．
解：（1）原式
，
，
；
（2）原式
，
．
【变式1】（23-24六年级上·山东烟台·期中）用简便方法计算：
（1） （2）
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查了有理数乘法的交换律与结合律、分配律，熟练掌握有理数乘法的运算律是解题关键．
（1）利用有理数乘法的交换律与结合律计算即可得；
（2）将改写成，再利用有理数乘法的分配律计算即可得．
解：（1）原式
．
（2）原式
．
【变式2】（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）用简便方法计算
（1） （2）．
【答案】（1）；（2）11
【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的运算法则和运算顺序．
（1）根据乘法分配律计算即可；（2）根据乘法分配律的逆用进行计算即可；
解：（1）原式
；
（2）原式
．
同步练习
【基础巩固（16题）】
一、单选题
1．（2025·山东烟台·二模）已知的倒数是，则的相反数是（ ）
A．2025 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了求一个数的倒数和相反数．根据乘积为1的两个数互为倒数，只有符号不相同的两个数是相反数进行求解即可．
解：∵的倒数是，
∴，
∵的相反数是，
∴的相反数是，
故选：C．
2．（2025·吉林松原·模拟预测）若的运算结果为负数，则内的数字可以为（ ）
A．1 B．0 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了有理数的乘法法则，解题的关键是掌握“两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘”．
根据有理数乘法法则，两数相乘结果为负，当且仅当两数符号不同．已知其中一个数为负数（），则另一个数需为正数．
解：∵的运算结果为负数，
∴内的数字为正数，
故选：A．
3．（2024七年级上·全国·专题练习）下列算式中，运算结果为负数的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了有理数的乘法运算，根据同号得正，异号得负，0乘以任何数为0；对各选项分析判断即可求解．
解：A. 结果为0，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，结果是正数，故该选项不正确，不符合题意；
C. 结果是负数，故该选项正确，符合题意；
D. ，结果是正数，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
4．（24-25七年级上·吉林长春·开学考试）超市里运来7箱洗手液，每箱8瓶，____________________，还剩下多少瓶？如果列式为，横线上应填的信息是（ ）
A．卖出2瓶 B．又运来2箱 C．卖出2箱
【答案】C
【分析】本题考查了有理数四则运算的应用，关键是仔细分析题意．超市里运来7箱洗手液，由减2，可知卖出2箱，得出剩下箱，再乘每箱的瓶数，即还剩下的瓶数．
解：如果列式：，
那么横线上的信息应选择卖出2箱；
故选：C．
5．（2024七年级上·全国·专题练习）规定：水位上升为正，水位下降为负；几天后为正，几天前为负．若水位每天下降，今天的水位记为，那么2天前的水位用算式表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查有理数的乘法，解答本题的关键是明确题意，用相应的正负数表示出来．根据题意可以用相应的正负数表示题目中所求的问题，本题得以解决．
解：由题意可得，2天前的水位用算式表示是，
故选：D．
6．（24-25六年级上·河南商丘·期中）计算的最简便算法是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了简便计算，理解分配律是解答关键．
将带分数折分成，再变形为，然后利用分配律进行计算即可求解．
解：
．
故选：D．
二、填空题
7．（24-25七年级下·全国·假期作业）计算： ；
【答案】
【分析】此题考查了有理数的乘法运算，根据有理数的乘法运算法则求解即可．
解：．
故答案为：．
8．（24-25七年级上·四川宜宾·期末）在4，，6，这四个数中，任意取两个数相乘，所得的积最大是 ．
【答案】35
【分析】本题考查有理数的乘法，有理数大小比较．关键要明确不为零的有理数相乘的法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
两个非0数相乘，同号得正，异号得负，且正数大于一切负数，所以找积最大的应从同号的两个数中寻找即可．
解：要使所得的积最大，两数字必定同号，
，
∵，
∴任意取两个数相乘，所得的积最大是35，
故答案为：35．
9．（24-25七年级上·江苏南通·期末）用正负数表示气温的变化，上升为正，下降为负.登山队攀登一座山峰，每登高气温的变化量为，登山队员在山脚测得气温是，那么他们登高后，气温是 ．
【答案】
【分析】本题考查有理数乘法的实际应用，根据题意分析得出变化量，再结合正负数的意义是解题的关键．
根据题意知，气温变化量为乘以攀登高度，即可求解．
解：登高后，气温变化量为：，
．
故答案为：．
10．（2024七年级上·全国·专题练习）【问题解决】利用“倒序相加法”解答下面的问题：
计算： ；
【答案】210
【分析】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化特点，求出所求式子的值．
发现题目中数字的变化特点，求出所求式子的值．
解：设①，
则②，
，．
所以，，
所以，，
故答案为：210．
11．（24-25七年级上·广东佛山·期中）24点游戏规则是：任意4个数，用加、减、乘、除或者括号计算得出24或，每个数都要用到，并且只能用一次．例如：用2、3、4、5这四个数，可以这样计算．请你利用规则设计一下用3、、5、7四个数得到24或．你的设计是 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，根据有理数的四则混合计算法则进行求解即可．
解：，
故答案为：（答案不唯一）．
12．（24-25七年级上·重庆云阳·阶段练习）依据下列计算程序计算，若开始输入，则最后输出的结果是 ．
【答案】10
【分析】本题考查了程序流程图与有理数计算，根据计算程序计算即可．
解：输入，则，
再把代入计算，得，
即输出结果为10．
故答案为：10
三、解答题
13．（24-25七年级上·江西赣州·期末）（1）找出负有理数：，，，，，，，．
答：负有理数有：__________．
（2）计算：．
【答案】（1），，；（2）
【分析】本题主要考查了有理数的定义，正负数的定义，化简绝对值，有理数乘法运算律，有理数四则混合运算等知识点，熟练掌握相关定义及有理数的运算法则是解题的关键．
（1）根据有理数的定义、正负数的定义进行解答即可．
（2）利用乘法运算律计算即可．
解：（1）负有理数有：，，．
（2）解：
．
14．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）计算：
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查了有理数的混合运算；
（1）先把带分数化为假分数，然后进行乘法计算，再计算减法，即可求解；
（2）先计算乘法再计算减法，即可求解．
解：（1）解：
；
（2）解：
15．（24-25七年级下·全国·假期作业）计算．
（1）； （2）；
（3）；
【答案】（1）0；（2）；（3）
【分析】本题考查有理数的乘除混合运算．掌握各运算法则是解题关键．
（1）任何数与0相乘都等于0，所以结果为0．
（2）利用乘法交换律先算与的积，再乘．
（3）将化为后与相乘并约分计算．
解：（1）解：原式；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
．
16．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）小明开车从家出发，在东西走向的道路上行驶，规定向东为正，向西为负，从出发到停车，行驶的路程记录如下（单位：千米）；
，，，，，．
（1）停车时，小明在家的哪边？距离多远？
（2）汽车在行驶过程中，若每行驶千米耗油0.1升，则汽车共耗油多少升？
【答案】（1）东边，9千米；（2）升．
【分析】本题主要考查数轴与正数，负数的知识，解题的关键是熟练掌握有理数的加法运算．
（1）利用有理数的加法即可得解；
（2）先求出小明开车的总过程，把这些行驶的路程的绝对值相加，再利用有理数的乘法即可求解．
解：（1）解：由题意，得：
千米．
答：小明停车时，小明在家的东边，距离家千米．
（2）解：千米，
升，
答：汽车共耗油升．
【能力提升（16题）】
一、单选题
1．（24-25六年级上·山东烟台·期中）若的倒数是，则的相反数是（　　）
A．4 B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了倒数“乘积为1的两个数互为倒数”、相反数“只有符号不同的两个数互为相反数”，熟记倒数和相反数的定义是解题关键．先根据倒数的定义可得的值，再根据相反数的定义求解即可得．
解：∵的倒数是，且，
∴，
∴的相反数是4，
故选：A．
2．（24-25七年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知，，且，则的值为（ ）
A．5或 B．1或 C．3或 D．5或1
【答案】A
【分析】本题主要考查的是有理数的减法、有理数的乘法、绝对值，利用分类讨论思想解题是关键．
由可知a、b异号，从而得到或，然后代入计算即可．
解：∵，，
∴．
又∵，则a、b异号，
∴或．
当时，；
当时，．
故选：A．
3．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）如图，数轴上点A、B、C分别表示数a、b、c，则下列结论不成立的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断绝对值大小和判断式子的正负．由题意得，，再根据有理数的运算法则和绝对值大小进行判断即可．
解：由题意得：
∴，故A正确；
∵
∴，故B正确；
∵，，
∴，故C错误，D正确；
故选：C
4．（2024七年级上·全国·专题练习）有个有理数相乘，结果为，那么这个数（ ）
A．都为
B．只有一个
C．至少有一个
D．有两个数互为相反数
【答案】C
【分析】本题考查了有理数的乘法，熟练掌握乘以任何数都等于是解题的关键．
根据乘以任何数都等于解答．
解：有个有理数相乘，结果为，
故这个有理数至少有一个为；
故选：C
5．（24-25七年级下·全国·假期作业）张丽用计算器计算“”时，发现键“9”坏了，下面输入不能得到正确结果的是（ ）．
A． B． C．
【答案】B
【分析】本题考查了乘法运算的灵活应用，以及通过分解、转化等方法解决实际问题的能力，解题的关键是在避免直接使用数字“9”的情况下，等价表示．据题意，由于计算器的“9”键损坏，需将转换为不含数字9的表达式进行计算，同时验证各选项是否与原式等价．
解：选项A、，计算正确，故此选项不符合题意；
选项B、正确拆分应为，但选项B直接减去0.1，无法得到正确答案，故此选项符合题意；
选项C、根据乘法结合律，，计算正确，故此选项不符合题意；
故选：B．
6．（24-25七年级上·河北保定·期末）下列各式中，运用运算律不正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了有理数乘法运算、乘法运算律等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键．
根据有理数乘法运算、乘法运算律、有理数四则混合运算逐项化简即可．
解：A．符合乘法交换律，正确，不符合题意；
B．符合乘法结合律，正确，不符合题意；
C．符合乘法结合律，正确，不符合题意；
D．，乘法和加法不能结合，错误，符合题意．
故选：D．
二、填空题
7．（24-25七年级上·浙江温州·期末）计算： ．
【答案】
【分析】此题考查了有理数乘法的计算能力，关键是能准确理解并运用有理数乘法法则进行正确地计算．
运用有理数的乘法法则进行计算即可．
解：，
故答案为：．
8．（24-25七年级上·四川自贡·阶段练习）若将的相反数记为a，绝对值记为b，倒数记为c，则的值为 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查相反数，绝对值以及倒数，熟练掌握相反数，绝对值以及倒数的定义是解题的关键．根据题意得到的值进行计算即可得到答案．
解：由题意可得：，
，
故答案为：．
9．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）在数轴上有点、、分别表示有理数、、．若这三个数的和与其中的一个数相等．
①则必有俩数和为 ．
②若将点向左移动2个单位得到点，点向左移动4个单位得到点，且、、三个数的乘积为负数，则的值为 ．
【答案】 0
【分析】本题考查有理数的加法与乘法，数轴上的平移；
①根据这三个数的和与其中的一个数相等可得另外两个数的和为0，即可求解；
②由平移表示出、，再结合必有俩数和为0和三个数乘积为负数求解即可．
解：①∵这三个数的和与其中的一个数相等，
∴另外两个数的和为0，即必有俩数和为0；
故答案为：0；
②将点向左移动2个单位得到点，则，
点向左移动4个单位得到点，则，
∵、、三个数的乘积为负数，
∴、、三个数中有一个负数或者3个负数，
∵必有俩数和为0，
∴只能一个负数，且，
∴，
解得，
故答案为：．
10．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）一种商品每件进价为4元，商家先在进价的基础上增加定为售价，后来由于库存积压，商家决定每件商品打八折出售，则每件商品还能盈利 元．
【答案】
【分析】本题考查有理数的四则运算，根据题意列式计算求解，即可解题．
解：由题意可知：，
故答案为：．
11．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了有理数的乘法，乘法运算律，熟练掌握有理数的乘法法则是解题的关键；
将化为，然后乘以，即可求解；
解：，
，
故答案为：
12．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）王军同学在自学了电脑编程后，设计了如图所示的程序，若他输入的数是3，则输出的数为 ．
【答案】
【分析】此题考查了有理数的运算与程序图，正确理解程序图的要求是解题的关键．根据程序计算，若结果的绝对值小于，则将结果作为输入的数代入计算，若结果的绝对值大于则输出．
解：输入的数是3，，绝对值小于
输入，，绝对值大于则输出
故答案为：．
三、解答题
13．（24-25七年级上·广东江门·期中）计算：能用简算的用简算
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查乘法分配律，掌握运算法则是解题的关键．
（1）利用乘法分分配律的逆运算进先计算解答即可；
（2）把原式化为，然后运用乘法分配律解题即可．
解：（1）解：
；
（2）解：
．
14．（24-25七年级上·贵州毕节·期中）现在定义两种运算“*”和“☆”，对于有理数a，b，有，．
（1）求；的值； （2）求．
【答案】（1）；；（2）25
【分析】本题主要考查了有理数的四则运算，解题的关键是读懂题意，列出算式．
（1）根据题目给出的定义，列式计算即可；
（2）根据题目给出的定义，列式计算即可．
解：（1）解：
；
∵，
∴；
（2）解：，，
．
15．（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·期末）为了进一步加强对学生的劳动教育，某校将学校劳动实践基地划分区域，分给每个班级自主管理．七年一班的同学们在本班的种植区域中种植了花生，经过精心耕种，同学们一共收获了8筐花生，以每筐15为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称重后记录如下：
筐号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧
重量 2.5 0 1 2
（1）求这8筐花生的总重量为多少千克？
（2）在学校的组织下，同学们对收获的花生以市场价7元/千克的价格全部售出，已知七年一班在播种时，以10元/千克的价格购进花生种子5千克，请你帮七年一班同学算一算，他们此次耕种花生获利了多少元？
【答案】（1）这8筐花生的总重量为117；（2）他们此次耕种花生获利了669元
【分析】本题考查了正负数的应用，有理数加减和乘法的应用．
（1）用标准重量乘以筐数，加上变换重量数即可．
（2）根据收入额减去成本价即可得利润．
解：（1）由题意得，
答：这8筐花生的总重量为117．
（2）（元）
答：他们此次耕种花生获利了669元.
16．（24-25六年级上·山东东营·期中）【观察思考】观察下列等式
，
将以上三个等式两边分别相加得：
．
【探索规律】
（1）猜想并写出：______．
（2）直接写出下列各式的计算结果：
______；
【迁移运用】
（3）．
【答案】（1） （2） （3）
【分析】本题主要考查有理数的乘法运算及加减运算，熟练掌握有理数的运算是解题的关键．
（1）根据题干所给方法求解即可；
（2）根据题干所给方法及（1）中的结论可进行求解；
（3）根据（1）中所给结论可进行求解．
解：（1）解：∵，
∴．
故答案为：．
（2）解：∵
；
（3）解：
．
【中考真题5题】
一、单选题
1．（2025·山东烟台·中考真题）的倒数是（ ）
A．3 B． C．-3 D．
【答案】B
【分析】本题考查的是倒数的含义，绝对值的含义，先计算绝对值，再求其倒数即可.
解：∵，
∴3的倒数是，
∴ 的倒数是，
故选：B
2．（2025·四川自贡·中考真题）若，则内的数字是（ ）
A． B．2 C．4 D．
【答案】A
【分析】本题考查的是有理数的乘法运算，根据可得答案.
解：∵，
∴则内的数字是，
故选：A
3．（2023·四川达州·中考真题）的倒数是（ ）
A．2023 B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了求一个数的倒数，掌握倒数的意义是解题的关键．根据倒数定义即可求解．
解：，
的倒数是，
故选：D．
4．（2025·湖南长沙·中考真题）中国式现代化取得了彪炳史册的伟大成就，极大地提升了我国的综合国力与国际影响力．据世界银行公布的2024年各国GDP数据，可知2024年中国GDP总量为万亿美元．
附：世界银行公布的2024年GDP排名前20名的部分国家数据表
国家 GDP总量（单位：万亿美元） 国家 GDP总量（单位：万亿美元）
德国 4.59 巴西 2.33
印度 3.93 俄罗斯 2.05
英国 3.49 韩国 1.76
法国 3.13 瑞士 0.93
预计2025年中国GDP总量的增长率为左右，请你根据以上信息估算：
2025年中国GDP的增长量与下列哪个国家2024年GDP总量最接近？（ ）
A．法国 B．瑞士 C．巴西 D．英国
【答案】B
【分析】本题考查了有理数的运算，计算2025年中国GDP的增长量即可求解；
解：2025年中国GDP的增长量为：万亿美元．
∴瑞士的GDP总量万亿美元与增长量万亿美元最接近；
故选：B
二、填空题
5．（2022·湖北随州·中考真题）计算： ．
【答案】0
【分析】根据有理数乘法运算、绝对值运算和有理数加法运算法则分别计算后求解即可
解：
，
故答案为：．
【点拨】本题考查有理数的运算，涉及到加法运算、乘法运算及绝对值运算，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
2.3 有理数的乘法 同步讲练
知识点（一）有理数乘法法则
有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，任何数与零相乘，积为零。
【题型1】有理数的乘法——两个有理数相乘
【例题1】（2024七年级上·全国·专题练习）计算：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【变式1】（24-25七年级上·江苏扬州·期中）若与互为相反数，则 ．
【变式2】（2025·河北唐山·二模）如图，数轴的单位长度为1，点表示的数为，点表示的数为，且，则与的积为（ ）
A．0 B．4 C． D．
【变式3】（24-25六年级下·上海·假期作业）计算
（1） （2）
【题型2】有理数的乘法——多个有理数相乘
【例题2】（2024七年级上·浙江·专题练习）计算下列各式：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【变式1】（2024七年级上·云南·专题练习）定义：，请用此定义计算： ．
【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）下面计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
由例题可知：有多个不为0的有理数相乘时，可以先确定积的符号，再将绝对值相乘；若其中一个乘数为0，则积为0。
【题型3】有题数乘法的实际应用
【例题3】（24-25七年级上·陕西延安·期末）延安土层深厚，海拔米，光照充足，昼夜温差大，有利果实积累糖分，是苹果的最佳适生带．现有10箱延安苹果，以每箱为标准，其中质量超过或不足的千克数分别用正数或负数来表示，记录如下表所示．
与标准质量的差/ 2 0 1
箱数 1 1 1 2 4 1
（1）这10箱苹果中，最重的一箱比最轻的一箱重多少千克？
（2）与标准质量相比，这10箱苹果总计超过或不足多少千克？
（3）若每千克苹果售价12元，这10箱苹果可卖出多少元？
【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）有个有理数相乘，结果为，那么这个数（ ）
A．都为
B．只有一个
C．至少有一个
D．有两个数互为相反数
【变式2】（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）一只跳蚤在数轴上从原点开始，第1次向右跳2个单位长度，第2次向左跳4个单位长度，第3次向右跳6个单位长度，第4次向左跳8个单位长度，…依此规律跳下去，当它第2024次落下时，落点表示的数是 ．
知识点（二）倒数
若两个有理数积为1，就称这两个有理数称为互为倒数。
【题型4】有理数的乘法——与倒数有关计算
【例题4】（24-25七年级上·西藏林芝·期中）的相反数的倒数是 ；的倒数是 ；倒数等于它本身的数是 ．
【变式1】（23-24六年级上·黑龙江绥化·期末）因为，所以（ ）
A．是倒数 B．和是倒数 C．和互为倒数 D．和和是倒数
【变式2】（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）小安和小何玩猜数字的游戏，小安心里想好了一个数并描述说：“这个数的绝对值等于它的相反数．”小何说：“我猜不到．”小安继续说：“它的倒数等于它本身．”小何说“我知道了！”，小安心里想的这个数是 ．
【题型5】有理数的加减混合运算
【例题5】（24-25七年级上·吉林四平·阶段练习）已知、互为相反数，、互为倒数，负数的绝对值是，是最大的负整数．求式子的值．
【变式1】（24-25七年级上·河南周口·阶段练习）已知a与2互为相反数，b与互为倒数．
（1）则 ， ．
（2）已知，求的绝对值．
【变式2】（24-25七年级上·海南儋州·期末）已知a，b互为倒数，c，d互为相反数，m的绝对值等于2，n是最大的负整数．
（1）直接写出，，m，n的值；
（2）求的值
知识点（三）有理数的乘法运算律
乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。
即：。
乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。
即：。
分配律：一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。
即：。
【题型6】运算加法运算律进行有理数加减混合运算
【例题6】（24-25六年级上·山东淄博·阶段练习）用简便方法计算：
（1）． （2）．
【变式1】（23-24六年级上·山东烟台·期中）用简便方法计算：
（1） （2）
【变式2】（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）用简便方法计算
（1） （2）．
同步练习
【基础巩固（16题）】
一、单选题
1．（2025·山东烟台·二模）已知的倒数是，则的相反数是（ ）
A．2025 B． C． D．
2．（2025·吉林松原·模拟预测）若的运算结果为负数，则内的数字可以为（ ）
A．1 B．0 C． D．
3．（2024七年级上·全国·专题练习）下列算式中，运算结果为负数的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（24-25七年级上·吉林长春·开学考试）超市里运来7箱洗手液，每箱8瓶，____________________，还剩下多少瓶？如果列式为，横线上应填的信息是（ ）
A．卖出2瓶 B．又运来2箱 C．卖出2箱
5．（2024七年级上·全国·专题练习）规定：水位上升为正，水位下降为负；几天后为正，几天前为负．若水位每天下降，今天的水位记为，那么2天前的水位用算式表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25六年级上·河南商丘·期中）计算的最简便算法是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
7．（24-25七年级下·全国·假期作业）计算： ；
8．（24-25七年级上·四川宜宾·期末）在4，，6，这四个数中，任意取两个数相乘，所得的积最大是 ．
9．（24-25七年级上·江苏南通·期末）用正负数表示气温的变化，上升为正，下降为负.登山队攀登一座山峰，每登高气温的变化量为，登山队员在山脚测得气温是，那么他们登高后，气温是 ．
10．（2024七年级上·全国·专题练习）【问题解决】利用“倒序相加法”解答下面的问题：
计算： ；
11．（24-25七年级上·广东佛山·期中）24点游戏规则是：任意4个数，用加、减、乘、除或者括号计算得出24或，每个数都要用到，并且只能用一次．例如：用2、3、4、5这四个数，可以这样计算．请你利用规则设计一下用3、、5、7四个数得到24或．你的设计是 ．
12．（24-25七年级上·重庆云阳·阶段练习）依据下列计算程序计算，若开始输入，则最后输出的结果是 ．
三、解答题
13．（24-25七年级上·江西赣州·期末）（1）找出负有理数：，，，，，，，．
答：负有理数有：__________．
（2）计算：．
14．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）计算：
（1）； （2）．
15．（24-25七年级下·全国·假期作业）计算．
（1）； （2）；
（3）；
16．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）小明开车从家出发，在东西走向的道路上行驶，规定向东为正，向西为负，从出发到停车，行驶的路程记录如下（单位：千米）；
，，，，，．
（1）停车时，小明在家的哪边？距离多远？
（2）汽车在行驶过程中，若每行驶千米耗油0.1升，则汽车共耗油多少升？
【能力提升（16题）】
一、单选题
1．（24-25六年级上·山东烟台·期中）若的倒数是，则的相反数是（　　）
A．4 B． C． D．
2．（24-25七年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知，，且，则的值为（ ）
A．5或 B．1或 C．3或 D．5或1
3．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）如图，数轴上点A、B、C分别表示数a、b、c，则下列结论不成立的是（ ）．
A． B．
C． D．
4．（2024七年级上·全国·专题练习）有个有理数相乘，结果为，那么这个数（ ）
A．都为
B．只有一个
C．至少有一个
D．有两个数互为相反数
5．（24-25七年级下·全国·假期作业）张丽用计算器计算“”时，发现键“9”坏了，下面输入不能得到正确结果的是（ ）．
A． B． C．
6．（24-25七年级上·河北保定·期末）下列各式中，运用运算律不正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
7．（24-25七年级上·浙江温州·期末）计算： ．
8．（24-25七年级上·四川自贡·阶段练习）若将的相反数记为a，绝对值记为b，倒数记为c，则的值为 ．
9．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）在数轴上有点、、分别表示有理数、、．若这三个数的和与其中的一个数相等．
①则必有俩数和为 ．
②若将点向左移动2个单位得到点，点向左移动4个单位得到点，且、、三个数的乘积为负数，则的值为 ．
10．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）一种商品每件进价为4元，商家先在进价的基础上增加定为售价，后来由于库存积压，商家决定每件商品打八折出售，则每件商品还能盈利 元．
11．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： ．
12．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）王军同学在自学了电脑编程后，设计了如图所示的程序，若他输入的数是3，则输出的数为 ．
三、解答题
13．（24-25七年级上·广东江门·期中）计算：能用简算的用简算
（1）； （2）．
14．（24-25七年级上·贵州毕节·期中）现在定义两种运算“*”和“☆”，对于有理数a，b，有，．
（1）求；的值； （2）求．
15．（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·期末）为了进一步加强对学生的劳动教育，某校将学校劳动实践基地划分区域，分给每个班级自主管理．七年一班的同学们在本班的种植区域中种植了花生，经过精心耕种，同学们一共收获了8筐花生，以每筐15为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称重后记录如下：
筐号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧
重量 2.5 0 1 2
（1）求这8筐花生的总重量为多少千克？
（2）在学校的组织下，同学们对收获的花生以市场价7元/千克的价格全部售出，已知七年一班在播种时，以10元/千克的价格购进花生种子5千克，请你帮七年一班同学算一算，他们此次耕种花生获利了多少元？
16．（24-25六年级上·山东东营·期中）【观察思考】观察下列等式
，
将以上三个等式两边分别相加得：
．
【探索规律】
（1）猜想并写出：______．
（2）直接写出下列各式的计算结果：
______；
【迁移运用】
（3）．
【中考真题5题】
一、单选题
1．（2025·山东烟台·中考真题）的倒数是（ ）
A．3 B． C．-3 D．
2．（2025·四川自贡·中考真题）若，则内的数字是（ ）
A． B．2 C．4 D．
3．（2023·四川达州·中考真题）的倒数是（ ）
A．2023 B． C． D．
4．（2025·湖南长沙·中考真题）中国式现代化取得了彪炳史册的伟大成就，极大地提升了我国的综合国力与国际影响力．据世界银行公布的2024年各国GDP数据，可知2024年中国GDP总量为万亿美元．
附：世界银行公布的2024年GDP排名前20名的部分国家数据表
国家 GDP总量（单位：万亿美元） 国家 GDP总量（单位：万亿美元）
德国 4.59 巴西 2.33
印度 3.93 俄罗斯 2.05
英国 3.49 韩国 1.76
法国 3.13 瑞士 0.93
预计2025年中国GDP总量的增长率为左右，请你根据以上信息估算：
2025年中国GDP的增长量与下列哪个国家2024年GDP总量最接近？（ ）
A．法国 B．瑞士 C．巴西 D．英国
二、填空题
5．（2022·湖北随州·中考真题）计算： ．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑