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山西省晋中市灵石县2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若不等式“”可以表示“不超过3的数”，则被墨迹覆盖的不等号是（ ）
A． B． C． D．
2．下列四幅图片分别是、、天工、文心一言等工具的标识，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．化简的结果是（ ）
A．2 B． C． D．
4．如图，在等边三角形中，，垂足为点D，点E在线段上，，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
6．某校12月组织a名师生到红旗渠风景区开展红色教育活动．租用的旅游车每辆可乘坐b人，师生全部上车后还剩一个位置，由此可知租用的旅游车的辆数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，取两根长度不等的细木棒，，将它们的中点重合固定（记为点）．转动木棒，在由锐角变成钝角的过程中，分析以木棒四个端点为顶点的四边形，下列结论一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在中，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交边于点，过点作于点，若，，则的面积为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
9．如图，的对角线，相交于点，点是的中点．若，，的周长为32，则的周长为（ ）
A．7 B．10 C．12 D．14
10．如图，将绕点C顺时针旋转得到．当点落在的延长线上时，恰好，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．若分式有意义，则实数的取值范围是 ．
12．中国宴席中的摆盘艺术体现传统美学原则．如图1，将六个全等的正五边形陶瓷盘按照如图1的方式摆放，正五边形的五个顶点代表“五福”，具有美好的寓意．若将其抽象成如图2的图形，则的度数为 °．
13．如图，在中，，，，点在边上，，，垂足为与交于点，则的长是 ．
14．随着科技的进步，我们可以通过手机实时查看公交车到站情况．如图，小明在距离某站牌处拿出手机查看了公交车到站情况，发现最近一辆公交车还有到达该站牌处．若要保证小明不会错过这辆公交车，则小明的最小平均速度为 ．
15．如图，在中，，于点E，点F在边上，且，．若，则的长为 ．
三、解答题
16．（1）因式分解：．
（2）解不等式组：，并将该不等式组的解集在数轴上表示出来．
17．习题课上，数学老师展示了两道习题及其错误的解答过程，请你认真阅读并完成相应任务：
习题1：计算：． 解：原式 ……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 习题2：解方程： 解：方程两边同乘，得 ……第一步 ……第二步 ……第三步 检验：当时， ……第四步 ∴原方程得解是． ……第五步
任务：
(1)习题1中第一步进行因式分解变形时，应用的乘法公式是______，习题2中第一步变形的依据是______；
(2)习题1的解答过程是从第______步开始出现错误的，习题2的解答过程是从第______步开始出现错误的；
(3)从以上两道习题中任选一题，写出正确的解答过程．
18．如图，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点均在格点上．
(1)请画出绕点逆时针旋转后的；
(2)请画出关于原点对称的．
19．某充电站推出夜间充电优惠活动，晚上十点到早上六点电价为每度元，其他时间段则为每度元．小明的电动汽车电池容量为60度，目前剩余的电量，需要将其充满．若在满足总费用不超过25元的条件下，小明至少需要在优惠时段充电多少度？（充电度数保留整数）．
20．如图，是的对角线，将边沿折叠，使A点落在上的点G处，将边沿折叠，使点C落在上的点H处．
求证：四边形是平行四边形．
21．截至2025年3月，中国邮政已在全国多个省份、地区开展了无人车配送的试点工作，不仅减少了揽投员的往返次数，还大大提高了配送效率，某邮政快递运营站在配送高峰期，揽投员原来平均每天配送600件快递，使用无人配送车协助后，每天的快递配送量比原来提高了20%．揽投员每小时的配送量达到了原来的1.5倍，每天的工作时间比原来减少了2小时．求揽投员现在每天需要工作几小时？
22．阅读与思考：
关于“图形的平移”的学习笔记
研究对象：图形的平移．
研究思路：类比三角形、四边形，按“概念—性质—判定”的路径，由一般到特殊进行研究．
研究方法：观察（测量、实验）—猜想—证明—应用．
研究内容：
【一般概念】在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这种图形运动称为平移．平移的距离d就是新图形与原图形对应点之间的距离．
【特例研究】（1）如图1，B，C是线段的三等分点，．若将线段沿方向平移一定距离后得到线段，则______．
【知识应用】
（2）如图2，等腰直角三角形的腰长是2．用尺规方法作出沿方向平移距离为2的一个图形．（保留作图痕迹，不要求写作法）
（3）如图3，在平面直角坐标系中，点D的坐标分别是，以点O为圆心，长为半径画圆交x轴正半轴于点E，平面内存在一点F，使得以点D，O，E，F为顶点的图形为平行四边形，请直接写出点F的坐标：______．
请你根据所学内容，完善上述学习笔记．
23．综合与探究
问题情境：数学课上，老师组织同学们利用两张全等的直角三角形纸片进行图形变换的操作探究，已知，．将和按如图1的方式在同一平面内放置，其中与重合，此时A，B，D三点恰好共线，点A，D在点B异侧．
初步探究：（1）小颖在图1的基础上进行了如下操作：保持不动，将绕点B按逆时针方向旋转角度，延长交延长线于点G．如图2，判断的数量关系并说明理由；
深入探究：（2）小军在图1的基础上进行了如下操作：保持不动，将绕点C按逆时针方向旋转角度，延长交延长线于点G．如图3，判断，的数量关系并说明理由；
拓展探究：（3）若，．小彬进行了如下的操作：如图4，两个三角形重合，点A，B，C分别与点D，F，E重合，保持不动，绕点B按逆时针方向旋转一周，在整个旋转过程中，若所在直线恰好经过的一个顶点，直接写出此时的长度为______．
山西省晋中市灵石县2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试卷参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C B D D A D B C B
1．A
【详解】解：不等式“”可以表示“不超过3的数”，则被墨迹覆盖的不等号是：，
故选：A
2．C
【详解】解：A，不是中心对称图形，不合题意；
B，不是中心对称图形，不合题意；
C，是中心对称图形，符合题意；
D，不是中心对称图形，不合题意；
故选C．
3．B
【详解】解：
，
故选：B．
4．D
【详解】解：三角形是等边三角形，
，
，
垂直平分，
，
，
．
故选：D．
5．D
【详解】解：A、，不能用完全平方公式进行因式分解，故此选项不符合题意；
B、，不能用完全平方公式进行因式分解，故此选项不符合题意；
C、，不能用完全平方公式进行因式分解，故此选项不符合题意；
D、，能用完全平方公式进行因式分解，故此选项符合题意；
故选：D．
6．A
【详解】解：∵人刚好坐满，
∴租用的旅游车的辆数为：，
故选：A．
7．D
【详解】解：中点重合固定（记为点），故，相互平分，转动木棒，在由锐角变成钝角的过程中，四边形为平行四边形；
A．不一定相等，选项错误，不符合题意；
B．不一定相等，选项错误，不符合题意；
C．不一定相等，选项错误，不符合题意；
D．由平行四边形的性质知，选项正确，符合题意；
故选：D．
8．B
【详解】解：如图，过点作于点F，

由题意可知：平分，
∵，，
∴，，
，
故选：B．
9．C
【详解】解：∵的周长为32，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，即点O是的中点，
∵点是的中点．
∴，，
∴的周长，
故选：C．
10．B
【详解】解：由旋转知，，，
，
，
，
，
，
故选B．
11．
【详解】解：要使分式有意义，则，
即，
故答案为：．
12．36
【详解】解：∵正五边形每个内角的度数为
∴．
故答案为：36．
13．
【详解】解：如下图所示，连接，
，
是等腰三角形，
又，
根据等腰三角形的三线合一定理，可得：，
是的垂直平分线，
，
在和中，
，
，
，
在中，
又，，
，
，
设，则，
，，
，
在中，，
，
解得：，
，
．
故答案为： ．
14．0.8
【详解】解：设小明的平均速度为，根据题意得：
，
解得，，
所以，小明的最小平均速度为．
故答案为：0.8．
15．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，，
∵，，
∴，
过点A作于点M，过点E作于点N，
设，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：或，
当时，，（不符合题意，舍去）
∴，
∴，
故答案为：．
16．（1）；（2），图见解析
【详解】（1）
（2）解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
所以，原不等式组的解集为：．
在数轴上，表示如下：
17．(1)平方差公式；等式的基本性质2
(2)第二步；第二步
(3)见详解
【详解】（1）解：习题1中，第一步进行因式分解变形时应用了乘法的平方差公式；习题2中第一步变形的依据是等式的基本性质2（等式两边同时乘以同一个不为零的整式，等式仍然成立）
（2）解：习题1的解答过程是从第二步开始出现错误的；习题2的解答过程是从第二步开始出现错误的；
（3）解：习题1正确过程如下：
原式
，
，
，
．
习题2正确过程如下：
去分母，得 ，
去括号，得，
移项合并同类项，得，
检验：当时，
∴原方程的解是．
18．(1)见解析
(2)见解析
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求．
19．小明至少需要在优惠时段充电29度
【详解】解：设小明在优惠时段充电x度，则在其他时间段充电度，
根据题意得：，
解得：，
又∵x为正整数，
∴x的最小值为29．
答：小明至少需要在优惠时段充电29度．
20．见解析
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
由折叠得，，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
21．揽投员现在每天需要工作8小时
【详解】解：设揽投员现在每天需要工作小时，则原来揽投员每天工作小时，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：揽投员现在每天需要工作8小时．
22．（1）2；（2）见解析；（3）或或
【详解】解：（1）∵B，C是线段的三等分点，，
∴，
∵将线段沿方向平移一定距离后得到线段，
∴点A与点C，点B与点D为对应点，
∵，
∴，
故答案为：2；
（2）1．延长至点D，使，
2．过点D作，
3．在上截取，
4．连接，则为沿方向平移距离为2的一个图形．如图，
（3）分以下三种情况讨论：
①如图，四边形为平行四边形，
过点D作轴于点G，过点F作轴于点H，则四边形为矩形，
∵点D的坐标是，
∴，
∴，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴；
②如图，四边形为平行四边形，
过点D作轴于点G，过点F作轴于点H，
∵点D的坐标是，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴；
③如图，四边形为平行四边形，
过点D作轴于点G，过点F作轴于点H，则四边形为矩形，
∵点D的坐标是，
∴，
∴，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴．
综上，点F的坐标为或或．
故答案为：或或．
23．（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3）或
【详解】解：（1），理由如下：
连接，如图：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2），理由如下：
如图：连接，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，即，
∴；
（3）如图，当经过点时，过点作，交的延长线于点，则，
在中，，，
∴，，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
在中，，
当所在直线经过点时，如图：
∵，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上，的长为或．

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