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山西省晋中市太谷县2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试题
一、单选题
1．的余角是（ ）
A． B． C． D．
2．下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．智能座舱，是当前车企比拼的“红海战场”，多屏联动、舱内游戏、端侧AI…要支持这些功能，需要一颗强大的智能座舱芯片．新上市的小米汽车，选择了高通骁龙，该芯片采用工艺，是目前市面上使用的汽车座舱平台中工艺最先进的产品，相当于，数据用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．下列词语所描绘的情景事件中，是随机事件的是（ ）
A．日出东方 B．刻舟求剑 C．守株待兔 D．水中捞月
5．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．在下面（ ）盒子中，摸到红球的可能性最大．
A． B．
C． D．
7．据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”．后来随着造纸术的发明，人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞．在如图所示的“风筝”图案中，、、．则可以直接判定（ ）
A． B．
C． D．
8．下列说法正确的是（ ）
A．在圆的面积公式中，常量是、，变量是
B．加工个零件，工作效率与时间之间的关系式是，、都是变量
C．以固定的速度向上抛一个小球，小球的高度与小球运动的时间（）之间的关系式是，常量是，变量是、
D．在匀速运动公式中，常量是，变量是、
9．在中国传统建筑中，“四梁八柱”不仅是一个工艺术语，更是一种独具东方智慧的结构美学．它不仅承载了建筑物的重量，更呈现了生活中的数学之美．其中房梁中的一些图形可抽象出如图所示的几何模型．在三角形中，点、、分别在边，，上，，，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
10．骑自行车是一项对健康有多重益处的运动，规律的骑行可增强心肺功能，提高人体新陈代谢和免疫力．如图是骑行爱好者老赵某天骑自行车行驶路程（）与时间（）的关系图象，观察图象得到下列信息，其中错误的是（ ）
A．老赵的骑行速度为
B．老赵的骑行在的速度比的速度慢
C．点P表示老赵出发，他一共骑行
D．老赵实际骑行时间为
二、填空题
11．计算： ．
12．如图，立定跳远比赛时，小明从点A处起跳，落在沙坑内的点B处，跳远成绩是2.3米，则起跳点A到落脚点B的距离 2.3米（填“大于”“小于”或“等于”）．
13．小林乘车进入车库时仔细观察了车库门口的曲臂直杆道闸，已知垂直于水平地面当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的段绕点缓慢向上旋转，段则一直保持水平状态上升 （即 与始终平行），在该过程中始终等于 .
14．如图，已知一个木构件的长度为6，其凸出部分的长为1，若个相同的木构件紧密拼成一列时，其总长度为，则关于的关系式可以表示为 ．
15．等腰三角形中，，则的度数为 ．
三、解答题
16．计算
(1)；
(2)
(3)；
(4)利用整式乘法公式计算：
17．下面是小明的运算步骤，请你认真阅读并完成相应的任务．
先化简，再求值：，其中，．
解：原式　　　 第一步　　
　　　　　　　　　 第二步
　　　　　　　　　　　　　　　　　　 第三步
．
任务：
(1)运算从第________步开始出错，这一步出现错误的原因是________；
(2)请写出正确的化简步骤，并求值．
18．已知：如图，线段和，用尺规作，使，，．
（按下列要求作图，保留作图痕迹，不写作法）
作法：1．作一条线段；
2．过点作的垂线；
3．以点为顶点，为一边，作，交于点；就是所要作的三角形．
19．如图，点、分别在、上，过点作于点，交于点，若，，试说明：．
理由如下：
∵（已知），
∴（________________），
又∵（已知），
∴________（________________），
∴（________________），
∴（________________），
又∵（平角的定义）
∴________°，
又∵（已知），
∴________（同角的余角相等），
∴．（________________）
20．一个不透明的箱子里装着若干除颜色外其它均相同的小球，某数学兴趣小组从中随机摸出一个小球记下颜色后放回，不断重复，得到如下数据：
摸球总次数 150 200 250 300 350 400
摸到红球的次数 98 126 150 173 198
摸到红球的频率 0.520 0.490 0.504 0.500 0.505
(1)上表中的________，________（小数形式）；
(2)“摸到红球”的概率估计值为________；（精确到0.1）
(3)若箱子中装有红、白、黑三种颜色的球共20个，其中白球的个数比黑球个数的2倍少2个，求摸到黑球的概率．
21．小明为了了解水温的变化规律，连续测量并记录一杯开水在室温下的温度变化情况，得到下表：
时间/min 0 5 10 15 25 35 45 55 65 70
温度/℃ 98 71 55 45 35 28 24 22 22 22
根据上表，回答问题：
(1)室温大概是________℃；
(2)你能描述在室温下开水温度随时间变化的特点吗？
(3)某种奶粉的适宜冲泡温度为42℃，小明想冲泡这种奶粉，水烧开后大约需要等多久？
22．图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中数的关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题，“以数解形”、“以形助数”就是数学中非常重要的思想方法——数形结合．
【知识生成】
用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式，如图，由大正方形的面积可得等量关系式为；如图是用长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按照图拼成一个正方形．
（1）观察图2和图，可得、、三者之间的等量关系式：________；
【知识迁移】
（2）已知，，求的值；
（3）若，，求的值；
【拓展应用】
（4）若满足，则的值为________．
23．综合与探究
【问题情景】
发现与探索：
数学课上，老师与同学们一起以两个“顶角相等的等腰三角形”为背景展开探究活动．
已知：在和中，，，，连接、．
(1)【特例发现】
“勤奋”小组提出：如图，若时，设与交于点F，则与的数量关系是__________，__________°；
(2)【类比猜想】
“希望”小组受上述问题的启发提出：若时，且按如图的方式摆放，并取的中点，的中点，请判断和有怎样的数量关系？并说明理由；
(3)【拓展应用】
“创新”小组提出：如图，若，按如图的方式摆放，且，，在同一直线上，过点作于点，请直接写出，，之间的数量关系．
参考答案
1．C
解：余角是指两个角的度数之和为．已知一个角为，设它的余角为则根据定义有：，
解得：，
因此，65°的余角是25°，
故选：C．
2．B
解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项正确；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：B．
3．B
解：原数的小数点需向右移动9位才能得到，因此表示为．
选项B符合科学记数法的要求．
故选B．
4．C
解：A. 日出东方，是必然事件，故该选项不符合题意；
B. 刻舟求剑，是不可能事件，故该选项不符合题意；
C. 守株待兔，是随机事件，故该选项符合题意；
D. 水中捞月，是不可能事件，故该选项不符合题意；
故选：C．
5．A
解：A． 同底数幂相乘，底数不变，指数相加：，正确，故此选项符合题意．
B． 同底数幂相除，底数不变，指数相减：，原计算错误，故此选项不符合题意．
C． 幂的乘方，底数不变，指数相乘：，原计算错误，故此选项不符合题意．
D． 积的乘方，各因子分别乘方：，原计算错误，故此选项不符合题意．
故选：A．
6．A
解：A选项，摸到红球的可能性；
B选项，摸到红球的可能性；
C选项，摸到红球的可能性；
D选项，摸到红球的可能性0；
根据上面的分析，在上面A盒子中，摸到红球的可能性最大．
故选：A．
7．B
解：,
,
在和中，
，
．
故选B．
8．B
A. 在圆的面积公式中，常量是，变量是、，故该选项不正确，不符合题意；
B. 加工个零件，工作效率与时间之间的关系式是，、都是变量，故该选项正确，符合题意；
C. 以固定的速度向上抛一个小球，小球的高度与小球运动的时间（）之间的关系式是，常量是、，变量是、，故该选项不正确，不符合题意；
D. 在匀速运动公式中，常量是，变量是、，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
9．C
∵
∴
∵
∴
∴，故A正确；
∵
∴
∵
∴
∴，故B正确；
∵
∴
∵
∴
∴，故D正确；
无法证明，故C错误．
故选C．
10．D
解：由图可知，老赵骑行的路程为，老赵的骑行速度为，故A正确，不符合题意；
老赵的骑行速度为，老赵的骑行的速度为，，老赵的骑行在的速度比的速度慢，故B正确，不符合题意；
点P所对应的路程为，时间为，即表示出发，老赵共骑行，故C正确，不符合题意；
内的路程没有变化，老赵实际骑行时间为，故错误，符合题意；
故选：D．
11．
解：，
故答案为： ．
12．大于
解：如图：
这次小明的跳远成绩是2.3米，
米，
垂线段最短，
，
即米，
故答案为：大于．
13．/度
解：如图，过点作，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
14．
解：由题意得：，
故答案为：．
15．或或
解：等腰三角形中，，
当是顶角，则，
∴；
当是顶角，则，
∴；
当是顶角，则．
综上为或或．
故答案为：或或
16．(1)
(2)
(3)
(4)
（1）解：
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
17．(1)一，完全平方公式用错
(2)，20
（1）解：运算从第一步开始出错，出现错误的原因是完全平方公式用错；
故答案为：一，完全平方公式用错；
（2）解：
∴原式．
18．见解析
解：如图，即为所求；
.
19．垂直的定义；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；90；；内错角相等，两直线平行
证明：理由如下：
∵（已知），
∴（垂直的定义），
又∵（已知），
∴（同位角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，同位角相等），
∴（等量代换），
又∵（平角的定义）
∴，
又∵（已知），
∴（同角的余角相等），
∴．（内错角相等，两直线平行）
20．(1)78，0.495
(2)0.5
(3)摸到黑球的概率为0.2
（1）解：，；
（2）解：由表可知，当n很大时，摸到红球的频率将会接近，
∴摸到红球的概率估计值是；
（3）解：设黑球有个，则白球有个；
∴，
解得：，
∴摸到黑球的概率为
答：摸到黑球的概率为．
21．(1)22
(2)在室温下开水随时间的增加温度逐渐降低，最后与室温保持一致
(3)18分钟
（1）解：由表格可知，从55min开始水温不在发生变化，为22℃，
∴当天的室温大概是22℃；
故答案为：22．
（2）解：由表格数据可得在室温下开水随时间的增加温度逐渐降低，最后与室温保持一致；
（3）解：结合表格数据可得从15min至25min之间，平均每分钟温度降低1℃，
∴某种奶粉的适宜冲泡温度为42℃，小明想冲泡这种奶粉，水烧开后大约需要等18分钟．
22．（1）；（2）36；（3）144；（4）14
解：（1）由图可知：
阴影部分边长为，
，即
它们的关系是；
（2）由（1）题得，
∴当，时，
．
（3）∵，，，
∴，
解得：；
（4）∵，，
∴，
∴，
∴.
23．(1)，
(2)，理由见解析
(3)
（1）解： ∵在和中，，，．
∴，
∴，
∴，
∴，，
如图，记的交点为，
∵；
∴；
（2）解：，理由如下：
∵在和中，，，．
∴，
∴，
∴，
∴，
∵的中点为，的中点为，
∴结合全等三角形的对应中线相等可得：；
（3）解：，理由如下：
∵在和中，，，．
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，
∴.

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