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山西省吕梁市中阳县2024-2025学年七年级下学期5月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列各数中是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，现将一块含有角的三角板的顶点放在直尺的一边上，若，那么的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．下面的四个命题中，真命题的是（ ）
A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
B．过一点有且仅有一条直线和已知直线平行
C．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
D．垂线段最短
4．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图为某公园中的牡丹园、芍药园和月季园的位置示意图．将其放在适当的平面直角坐标系中，若芍药园的坐标为，月季园的坐标为 ，则牡丹园的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
8．若二元一次方程组的解为，则的值等于（ ）
A． B．18 C．42 D．7
9．我国古代《孙子算经》卷中记载“多人共车”问题，其原文如下：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？其大意为：若个人乘一辆车，则空辆车；若个人乘一辆车，则有个人要步行，问人数和车数各是多少．设人数为人，车数为辆，可列方程为（ ）
A． B． C． D．
10．测量一种玻璃球的体积，小亮的方法是：①将的水倒进一个容量为的杯子中；②将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；③再将一颗同样大小的玻璃球放入水中，结果水满溢出．根据这个现象，小亮判断这样的一个玻璃球的体积可能是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．计算： ．
12．如图，将木条与钉在一起，，要使木条与平行，木条旋转的度数至少是 ．
13．在平面直角坐标系中，线段的两端点坐标分别为，，将线段平移后，点A的对应点的坐标为，则点B的对应点的坐标为 ．
14．已知关于x的方程的解是不等式的一个解，则a的取值范围是 ．
15．甲和乙两人同解方程组甲因抄错了a，解得，乙因抄错了b，解得，求的值 ．
三、解答题
16．（1）解方程组：；
（2）解不等式组：
17．已知：如图，，于点．
(1)请说明；
(2)若，试说明；
(3)与有怎样的位置关系？请说明理由．
18．如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点都在正方形网格的格点上，其中点的坐标为．
(1)写出点，的坐标；
(2)将三角形先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到三角形，分别写出三角形的三个顶点的坐标；
(3)求三角形的面积．
19．阅读下列材料：，即，所以的整数部分为3，小数部分为．请你观察上述的规律后，解答下面的问题：
(1)如果介于连续的两个整数和之间，且，则___________，___________．
(2)如果是的小数部分，是的整数部分，求，的值．
20．下面是小林同学解方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：，
由①得③，第一步
把③代入②，得，第二步
整理得，第三步
解得，即．第四步
把代入③，得，
则方程组的解为第五步
任务一：
①以上求解过程中，小林用了______消元法．（填“代入”或“加减”）
②第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______．
任务二：该方程组的正确解为______．
任务三：请你根据平时的学习经验，就解二元一次方程组时还需要注意的事项给其他同学提一点建议．
21．阅读感悟：
代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性，如下例题：
例：已知实数m、n满足，证明：．
证明：因为且m，n均为正，
所以___________，___________．（不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变）
所以．（不等式的传递性）
解决问题：
(1)请将上面的证明过程填写完整；
(2)尝试证明：若，则．
22．【问题呈现】为奖励在演讲比赛中获奖的同学，班主任委派学习委员小明为获奖同学每人购买一件奖品.小明到文具店看了商品后，决定在钢笔和笔记本中选择奖品.如果买4本笔记本和2支钢笔，需要86元；如果买3本笔记本和1支钢笔，需要57元.求每本笔记本和每支钢笔的售价分别为多少元．
【解法展示】设每本笔记本x元，每支钢笔y元，
根据题意，得（Ⅰ）
，得③
，得，
解得
把代入②，得，
解得，
所以原方程组的解为
答：每本笔记本14元，每支钢笔15元．
【反思改进】
(1)解二元一次方程组（Ⅰ）时，如果先化简方程①，再用加减消元法求解也很方便.请同学们按照这种思路，写出解方程组（Ⅰ）的过程．
(2)把题目中的数量关系列表表示如下：
笔记本/本 钢笔/支 总价/元
第一种情况 4 2 86
第二种情况 3 1 57
增加量
请根据上表的提示，列出比二元一次方程组（Ⅰ）更简单的方程组解答此题，并写出完整的解题过程．
23．根据以下素材，探索完成任务
如何设计采购方案？
素材1 王阳明故居纪念馆为了能更好地宣传阳明文化以及王阳明的书法，文创商店近期推出了许多新的文创产品，有阳明书法手袋、阳明书签、阳明书法冰箱贴等．已知1套书签的售价比1个冰箱贴的售价高18元．
素材2 小明在本店购买了1套书签和4个冰箱贴，一共花费了158元．
素材3 临近期末考试，某数学老师打算提前给学生准备奖品，他准备用1000元在本店同时购买书签和冰箱贴两种商品若干件．
问题解决
任务1 求1套书签和1个冰箱贴的售价分别是多少元．
任务2 该老师打算购买书签和冰箱贴共25件，最多能买几套书签？
任务3 【拟定购买方案】 在任务2的条件下，该老师要求购买的书签比冰箱贴多．则分别购买多少书签和冰箱贴时，所需费用最省？并求出最省费用．
山西省吕梁市中阳县2024-2025学年七年级下学期5月月考数学试题参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A D D A D B D C C
1．C
【详解】解：、是有限小数，是有理数，该选项不合题意；
、，是整数，是有理数，该选项不合题意；
、无理数，该选项符合题意；
、是有限小数，是有理数，该选项不合题意；
故选：．
2．A
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
3．D
【详解】解：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，原命题是假命题，故选项A错误；
过直线外一点有且仅有一条直线和已知直线平行，原命题是假命题，故选项B错误；
对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题，故选项C错误；
垂线段最短，是真命题，故选项D正确．
故选：D．
4．D
【详解】解：由数轴得出，
∴A选项不符合题意；
则，
∴B选项不符合题意；
∵，
则，
∴，
∴C选项不符合题意；
∵，
∴，
∴D选项符合题意，
故选：D
5．A
【详解】方程组为：
方程①中的系数为，方程②中的系数为，两者互为相反数．
将①和②相加：
化简得：
所以通过可直接消去，得到关于的一元一次方程．
故选A．
6．D
【详解】解：根据题意，建立平面直角坐标系如图所示，
∴牡丹园的坐标为，
故选：D ．
7．B
【详解】解：
解①得
解②得
∴
如图，
故选B．
8．D
【详解】将方程组整理为：
用方程①减去方程②，得：
化简得：
将代入方程②，得：
解得：
因此，，，
则．
故选D．
9．C
【详解】解：设人数为人，车数为辆，
由题意得，，
故选：．
10．C
【详解】设一个球的体积为，根据题意，得
，
解得，
观察四个选项，一个玻璃球的体积可能是．
故选：C．
11．0
【详解】解；．
故答案为：0．
12．
【详解】解：当时，
∵，
∴，
即木条a旋转的度数至少是时，，
故答案为：．
13．
【详解】 解：∵，且平移后点A的对应点的坐标为，
∴线段向右平移了2个单位，向下平移了一个单位，
∴的对应点的坐标为，即．
故答案为：．
14．
【详解】解：解方程，
方程两边同时乘以3得，
解得：，
把代入得：，
解得：．
故答案为：．
15．1
【详解】解：由题意，是的解
得，
解得．
又是的解
得，解得，
．
16．（1）；（2）．
【详解】（1）解：，
得：，
解得：；
将代入得：，
解得：；
∴；
（2）解：
解不等式得：；
解不等式得：；
∴．
17．(1)见详解
(2)见详解
(3)，理由见详解
【详解】（1）解：，
；
（2）解：，，
，
；
（3）解：，理由如下：
，
，
，
，
．
18．(1)，
(2)，，
(3)
【详解】（1）解：根据图形可得、；
（2）解：、、三点经过平移后，
坐标变为，，，
平移后的三角形在图中表示如下：
（3）解：三角形的面积为：．
19．(1)
(2)
【详解】（1）解：，即，
，
；
故答案为：；
（2）解：，即，
，
是的小数部分，是的整数部分，
．
20．任务一：①代入；②三，不符合去括号法则（或不符合乘法分配律）；任务二：；任务三：移项时，要注意变号（答案不唯一）
【详解】任务一：①小林用了代入消元法，
故答案为：代入．
②小林从第三步开始出现了错误，错误的原因是去括号错误．
故答案为：三，不符合去括号法则（或不符合乘法分配律）．
任务二：由①得：③．
将③代入②得：，
去括号得：，
整理得：，
即：，
将代入③得：，
原方程的解为：，
故答案为：．
任务三：移项时，要注意变号（答案不唯一）．
21．(1)，
(2)见解析
【详解】（1）证明：因为且m，n均为正，
所以，（不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变），
所以．（不等式的传递性）
故答案为：，；
（2）证明：∵，
∴，（不等式的两边都加上同一个式子，不等号的方向不变），
∴，
∴，（不等式的两边都除以同一个正数，不等号的方向不变），
22．(1)
(2)
【详解】（1）
，得③
，得，
把代入②，得，
解得，
所以原方程组的解为；
（2）
由，得，
，得，
解得
把代入②，得，
解得，
所以原方程组的解为
23．任务1：1套书签的售价为46元，1个冰箱贴的售价为28元；任务2：最多能买16套书签；任务3：要使所需费用最省，则购买13套书签，12个冰箱贴，所需费用为934元
【详解】解：任务1：设1套书签的售价为元，则1个冰箱贴的售价为元，
小明在本店购买了1套书签和4个冰箱贴，一共花费了158元，
，
解得，
，
套书签的售价为46元，1个冰箱贴的售价为28元；
任务2：设该老师购买套书签，则购买个冰箱贴，
根据题意得，
解得，
为整数，
最大值为16，
最多能买16套书签；
任务要求购买的书签比冰箱贴多，
，
解得，
为整数，
最小值为13，
（元），
要使所需费用最省，则购买13套书签，12个冰箱贴，所需费用为934元．

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