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2025—2026学年八年级数学上学期单元测试卷
第十五章 轴对称单元测试·巩固卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．在以下四个标志图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，中，，的中垂线交于E，交于点D，若，则的周长为（ ）
A．14 B．16 C．18 D．20
3．如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（ ）
A．中线、角平分线、高线 B．高线、中线、角平分线
C．角平分线、高线、中线 D．角平分线、中线、高线
4．，两个小镇在河流的同侧，随着居民用水量的增加，现需要在河边上修建一个自来水厂，分别向两个小镇供水．要使所用水管总长度最短，则下列图形中，自来水厂的位置正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在等边中，，垂足为，是上一点，．则的度数为（ ）
如图，等边三角形中，，垂足为D，点E在线段上，且，则等
A． B． C． D．
6．如图，在中，，于点，若，是斜边的中点，则（ ）
A． B． C． D．
7．小坪想设计一个等腰三角形形状的风筝，于是找来了三根木棒做等腰三角形的框架，在修整完成之后，小坪用角度仪测量了等腰三角形的一个内角为，这个风筝的顶角可能是（ ）
A． B． C．或 D．或
8．下列命题中：①同位角相等，两直线平行；②如果，那么，；③等边三角形的三个角都相等．它们的逆命题是真命题的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
9．在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点是（ ）
A． B． C． D．
10．平面坐标系中，点A的坐标为，将线段沿y轴翻折得到线段，则点A的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．如图，正三角形图与正三角形图完全相同．如果图经过一次轴对称变换后得到图，那么点A，B，C的对应点分别是 ．
12．如图，在中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线交于点D，连接．若 则 的周长 ．
13．如图，在中，是的垂直平分线．若，，则的周长为 ．
14．如图，在等腰三角形中，，点D为边的中点，边的垂直平分线交于点E，F，若的面积为，直线上有一动点P，连接，则的最小值为 ．
15．用“”定义新运算：对于任意实数，都有．且，，那么关于轴的对称点的坐标是 ．
16．若，则点关于y轴的对称点的坐标是 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．如图是由边长为1的小正方形所组成的网格，四边形的顶点均在格点上，请在图中画出与四边形关于直线l对称的四边形．
18．在平面直角坐标系的网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点．例如：、都是格点．请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，要求：保留连线痕迹，不必说明理由．
(1)在图1中画出一个以为边且与全等的三角形；
(2)在图2中画出的高线；
(3)在图2中，找一个格点P使为等腰三角形，请至少写出4个符合条件的格点P的坐标，不需要画图、不需要写出理由．
19．已知点，．
(1)若点关于轴对称，求的值；
(2)若关于轴对称，求的值．
20．已知中，，，有一个圆心角为，半径的长等于的扇形绕点旋转，且直线，分别与直线交于点，当扇形绕点在的内部旋转时，如图，求证：．
提示：考虑符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决，可将绕点逆时针旋转，得，连，只需要，即可，也可用其它证法
21．如图，与相交于点，，．
(1)求证：；
(2)与是否成轴对称？若是，请用无刻度的直尺画出对称轴；若不是，请说明理由．
22．如图，在中，平分，过点作，交于点，连接，若，求证：．
23．如图，以的边，为边分别向外侧作等边和等边．连接，交点为．
(1)与具有怎样的数量关系？证明你的结论．
(2)求的大小．
24．如图，在中，，，．建立以点为坐标原点，所在直线为轴的平面直角坐标系，
(1)求，两点的坐标．
(2)在轴上找一点，使面积为，求点的坐标．
(3)找一点（不与重合），使与全等，求点的坐标．《第十五章轴对称单元测试·巩固卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B C B A B D A B A
1．A
本题考查轴对称图形的识别，理解定义，找准图形中的对称轴是解答的关键．轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此逐项判断即可．
解：A中图形是轴对称图形，故本选项符合题意；
B中图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C中图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D中图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意，
故选：A．
2．B
本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质得出，即，再由即可求出答案．
解：由题意可得：，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
3．C
本题考查了三角形的角平分线、中线和高线，轴对称的性质等知识点，熟知三角形角平分线、中线和高线的定义是解题的关键．根据三位同学的折纸示意图，结合三角形角平分线、中线和高线的定义求解．
解：由图①的折叠方式可知，，
所以是的角平分线．
由图②的折叠方式可知，，
因为，
所以，
所以，
所以是的高线．
由图③的折叠方式可知，，
所以是的中线．
故选：．
4．B
本题考查了轴对称图形最短线段问题，根据轴对称的性质作图即可求解，掌握轴对称的性质是解题的关键．
解：作点关于直线的对称点，连接，交直线于点，可得，
则，
由两点之间线段最短，此时的值最小，即所用水管总长度最短，
故选：．
5．A
本题考查的是等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，先证明，，，再证明，进一步可得答案．
解：在等边中，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴；
故选：A
6．B
本题考查了直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，等边对等角，三角形的外角的性质，先求得，由题意得，结合三角形的外角的性质，推出，即可求解．
解：∵，
∴，
∵是斜边的中点，
∴，
又∵，
∴，
故选：B
7．D
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理的理解和掌握，能对问题正确地进行分类讨论是解答此题的关键．有两种情况（顶角是和底角是时），由等边对等角求出底角的度数，用三角形的内角和定理即可求出顶角的度数．
解：如图所示：
有两种情况：
当顶角时
当底角是时，
，
，
，
这个等腰三角形的顶角为或．
故选：D．
8．A
本题主要考查了命题和逆命题，以及判定命题的真假，解题的关键是熟练掌握相关的性质定理．
分别写出各命题的逆命题，再根据平行线的性质、等边三角形的判定以及实数的性质判断其真假．
解：1. 命题①：原命题为“同位角相等，两直线平行”．
逆命题：两直线平行，同位角相等．根据平行线的性质，两直线平行时同位角相等，因此逆命题为真；
2. 命题②：原命题为“如果，那么，” ．
逆命题：如果且，那么．当，时，显然，因此逆命题为真；
3. 命题③：原命题为“等边三角形的三个角都相等” ．
逆命题：三个角都相等的三角形是等边三角形．根据等边三角形的判定，三个角都相等的三角形三边相等，因此逆命题为真．
综上，三个逆命题均为真命题，
故选：A．
9．B
本题考查了坐标与图形变化—轴对称，根据平面直角坐标系中关于x轴对称的点的坐标变化规律：横坐标不变，纵坐标变为相反数，直接计算即可．
解：点关于x轴对称时，横坐标保持2不变，纵坐标5变为，
因此对称后的点坐标为．
故选∶B．
10．A
本题主要考查翻折性质，现出图形，根据对称性解答即可．
解：如图，点A的对应点的坐标为，
故选：A．
11．D，F，E
此题主要考查了轴对称的性质，关键是掌握轴对称图形的对称轴两边的图形能完全重合．轴对称的性质：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，据此判断分析即可．
解：如图所示：
图经过一次轴对称变换后得到图，则点A，B，C的对应点分别是D，F，
故答案为：D，F，
12．13
本题考查了作图—作已知线段的垂线，垂直平分线的性质，利用基本作图得到垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得到，然后利用等线段代换得到的周长．
解：由作法得垂直平分，
，
的周长．
故答案为：13．
13．14
本题考查的是线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
根据线段的垂直平分线的性质得到，再根据三角形周长公式计算即可．
解：∵是的垂直平分线，
∴，
∴的周长．
故答案为：14．
14．
本题考查中垂线的性质，三线合一，连接，中垂线的性质得到，进而得到，三线合一，求出的长即可．
解：连接，
∵边的垂直平分线交于点E，F，
∴，
∴，
∵，点D为边的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为；
故答案为：
15．
本题考查了关于轴对称的点的坐标，新定义运算，解二元一次方程组，先由新定义运算可得，解出，则有，最后根据关于轴对称的点的坐标横坐标相同，纵坐标互为相反数即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
解：∵，，，
∴，
解得，
∴关于轴的对称点的坐标是，
故答案为：．
16．
本题主要考查了非负数和坐标与图形．熟练掌握绝对值、实数的平方的非负性，关于y轴对称的点坐标特征，是解题的关键．关于x轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的两点，横坐标和纵坐标都互为相反数．根据，得，得，得，即得于y轴的对称点的坐标为．
解：∵，且，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴关于y轴的对称点的坐标为，
故答案为：．
17．见解析
本题考查的是作图-轴对称变换，根据轴对称的性质画出图形即可．
解：如图所示，四边形即为所求．
18．(1)见详解
(2)见详解
(3)或或或
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）结合网格特征，易得，，故，即可作答．
（2）结合网格，得出，故，则，因为，即，即，合网格得，即，故是的高线；
（3）因为为等腰三角形，则当以点B为顶角，以为腰，故点P的坐标为或或，当以点A为顶角，以为腰，故点P的坐标为，即可作答．
（1）解：与全等的三角形，如图所示：
（2）解：画出的高线，如图所示：
（3）解：依题意，4个符合条件的格点P的坐标分别是或或或．
19．(1)，；
(2)．
（）根据“关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”列方程组求解即可；
（）根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”列方程组求出的值，然后代入代数式进行计算即可；
本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标，代数式求值，解题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
（1）解：∵点关于轴对称，
∴，
解得，
∴，；
（2）解：∵点关于轴对称，
∴，
解得，
∴．
20．见解析
如图，作辅助线；证明；证明≌，得到，；进而证明；运用勾股定理即可解决问题．
解：如图，作△AMC的对称△PMC，连接；
∵∠ACB=90°，，，
，；
由题意得：，设为，
；
，，
；
在与△BCN中，
，
≌，
，，
；
由勾股定理得：，
，，
．
该题主要考查了旋转变换的性质、全等三角形的判定及其性质、勾股定理及其应用问题；解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
21．(1)见解析
(2)与成轴对称，理由见解析
本题考查作图——复杂作图、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质、轴对称的性质是解答本题的关键．
（1）结合全等三角形的判定证明即可．
（2）结合全等三角形的性质、轴对称的性质，分别延长相交于点，作直线即可．
（1）证明：在和中，
，
；
（2）解：与成轴对称．
如图，分别延长相交于点，作直线，
则直线即为所求．
22．见解析
本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质定理是解题的关键．
根据角平分线的定义和平行线的性质可得，得到，由得到，即可得到结论．
证明：平分，
，
，
，
，
，
，
，
∴．
23．(1)，证明见解析
(2)
本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，根据等边三角形的性质得出夹角相等是解题的关键．
（1）根据等边三角形的性质可得，，证明，进而证明，根据全等三角形的性质，即可得证；
（2）根据，得出，设，根据等边三角形的性质可得，则，进而根据三角形的内角和定理，即可求解．
（1）解：，证明如下，
∵等边，等边
∴，
∴，即
∴
∴
（2）解：∵
∴
设
∵是等边三角形
∴
∴
∴
24．(1)，
(2)
(3)或或
（1）过点作于点，根据，，，得出，从而得出点的坐标为，根据等积法求出，根据勾股定理得出，即可得出点的坐标；
（2）设点，根据三角形的面积公式即可得出结论；
（3）分两种情况：或时，结合轴对称的性质，求出结果即可．
（1）解：过点作于点，如图所示：
则，
在中，，，，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：
，
；
（2）解：设点，则，
面积为，
，
解得：，
点的坐标为；
（3）解：当点在第一象限，时，过点作轴于点，如图所示：
则，
，
，，，
，
，
，
点；
作关于轴的对称图形，
则，，
，
，
此时点符合题意；
作关于轴的对称图形，
则，的坐标为，
此时点符合题意；
综上可知，点的坐标为或或．
本题主要考查了勾股定理，坐标与图形，三角形面积的计算，轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握坐标平面内点的坐标特点．(共7张PPT)
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第十五章轴对称单元测试·巩固卷
试卷分析
一、试题难度
整体难度：一般
难度 题数
容易 2
较易 13
适中 7
较难 2
一、试题难度
三、知识点分布
一、单选题
1 0.94 轴对称图形的识别
2 0.85 线段垂直平分线的性质
3 0.85 画三角形的高；三角形角平分线的定义；折叠问题
4 0.85 线段问题(轴对称综合题)
5 0.85 等腰三角形的性质和判定；等边三角形的性质
6 0.85 等边对等角；斜边的中线等于斜边的一半；直角三角形的两个锐角互余；三角形的外角的定义及性质
7 0.85 三角形内角和定理的应用；等边对等角
8 0.85 判断命题真假；写出命题的逆命题；两直线平行同位角相等；等边三角形的判定
9 0.85 坐标与图形变化——轴对称
10 0.85 坐标与图形变化——轴对称
三、知识点分布
二、填空题
11 0.85 根据成轴对称图形的特征进行求解
12 0.85 线段垂直平分线的性质；作垂线(尺规作图)
13 0.85 线段垂直平分线的性质
14 0.65 线段垂直平分线的性质；三线合一
15 0.65 构造二元一次方程组求解；坐标与图形变化——轴对称
16 0.65 绝对值非负性；坐标与图形变化——轴对称
三、知识点分布
三、解答题
17 0.94 画轴对称图形
18 0.85 全等的性质和SAS综合（SAS）；等腰三角形的性质和判定
19 0.65 已知字母的值 ，求代数式的值；坐标与图形变化——轴对称
20 0.4 全等的性质和SAS综合（SAS）；用勾股定理解三角形；线段问题(轴对称综合题)
21 0.65 全等的性质和SAS综合（SAS）；画对称轴
22 0.65 根据等角对等边证明边相等；两直线平行内错角相等
23 0.65 全等的性质和SAS综合（SAS）；等边三角形的性质；三角形内角和定理的应用
24 0.4 用勾股定理解三角形；坐标与图形变化——轴对称；写出直角坐标系中点的坐标；全等三角形综合问题

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