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7.1.4 随机事件的运算
第七章 概率
1.通过具体的实例理解交事件(或积事件)、并事件(或和事件)、互斥事件和对立事件的概念.
2.能结合实例进行随机事件的交、并运算.
在试验中，一些随机事件往往存在一定的联系，给定两个随机事件，它们可能具有相同的样本点，也可能没有，也可能它们的样本点加起来就是整个样本空间，不同的情况下，两个随机事件就具有不同的关系.
问题1:在试验E“抛掷一枚骰子，观察骰子掷出的点数”中，它的样本空间Ω={1，2，3，4，5，6}.设事件A表示“掷出的点数为偶数”，事件B表示“掷出的点数大于4”，事件C表示“掷出的点数为6”，则C与事件A，B有何关系？
在试验中，事件A，B都发生，则掷出的点数既是偶数又大于4，因此事件C发生；
反之，若在一次试验中事件C发生，因为6是偶数又大于4，所以事件A，B都发生.
A={2，4，6}，B={5，6}，C={6}
A∩B={6}=C
由事件A与B都发生所构成的事件，称为事件A与B的交事件(或积事件)，记作A∩B(或AB).事件A∩B是由事件A和B所共有的样本点构成的集合.
事件A与B的交事件可用Venn图(如下图)表示:
A
B
A∩B
概念生成
问题2:在试验E“抛掷一枚骰子，观察骰子掷出的点数”中，设事件A表示“掷出的点:数为偶数”，事件B表示“掷出的点数大于4”，事件C表示“掷出的点数为2，4，5，6其中之一”，则事件C与事件A，B有何关系？
若事件A，B至少有一个发生，则掷出的点数要么是偶数，要么大于4，因此事件C发生；
反之，若事件C发生，则事件A，B至少有一个发生.
A={2，4，6}，B={5，6}，C={2，4，5，6}
A∪B={2，4，5，6}=C
概念生成
一般地，由事件A，B至少有一个发生(即A发生，或B发生，或A，B都发生)所构成的事件，称为事件A，B的并事件(或和事件)，记作A∪B(或A+B)，事件A，B的并事件是由事件A或B所包含的样本点构成的集合.
事件A，B的并事件可用Venn图表示:
A∪B
B
A
例1 掷一枚均匀骰子，下列事件:
A表示“出现奇数点”，B表示“出现偶数点”，
C表示“点数小于3”，D表示“点数大于2”，E表示“点数是3的倍数”.
求:(1)A∩B，B∩C;(2)A∪B，B∪C;(3)BDE.
解:试验的样本空间为Ω={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，B={2，4，6}，C={1，2}，D={3，4，5，6}，E={3，6}.
(1)A∩B= ，B∩C={2}.
(2)A∪B={1，2，3，4，5，6}，B∪C={1，2，4，6}.
(3)BDE={6}.
问题3:在试验E“抛掷一枚骰子，观察骰子掷出的点数”中，设事件A表示“掷出的点数为偶数”，事件B表示“掷出的点数为5”.则事件A与B能否同时发生？
若事件A发生，则掷出的点数必为2，4，6之ー，事件B不发生；反之，若事件B发生，则掷出的点数为5，事件A不发生.
因此，事件A，B不能同时发生.事件A，B不能同时发生，则它们没有公共的样本点，即它们的交集是空集.
A={2，4，6}，B={5，6}，C={6}
A∩B=
事件A与B不能同时发生
概念生成
一般地，不能同时发生的两个事件A与B(A∩B= )称为互斥事件.即A，B同时发生这一事件是不可能事件.
互斥事件可用Venn图表示:
A
B
Ω
A∩B= ，
此时A，B必有一个发生，但不可能同时发生，因此它们是互斥事件.
A∪B={1，2，3，4，5，6}=Ω
思考:抛掷一枚骰子，A=“掷出的点数为偶数”={2，4，6}，B=“掷出的点数为奇数”={1，3，5}，求A∩B，A∪B，此时A，B是什么关系
概念生成
给定事件A，A不发生记为事件B.
每次试验要么A发生，要么A不发生(即B发生)，故事件A与B不可能同时发生，即A∪B=Ω，A∩B= .
若A∩B= ，且A∪B=Ω，则称事件A与B互为对立事件.
事件A的对立事件记作.
对立事件可用Venn图表示:
A
Ω
讨论：互斥事件和对立事件有什么关系 必然事件和不可能事件是互斥事件吗
对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件;
必然事件和不可能事件是互斥事件.
例2 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件.
(1)“恰有1名男生”与“恰有2名男生”;
(2)“至少有1名男生”与“全是男生”;
(3)“至少有1名男生”与“全是女生”;
(4)“至少有1名男生”与“至少有1名女生”.
解:从3名男生和2名女生中任选2人有三种结果:2名男生，2名女生，1男1女.
(1)“恰有1名男生”指1男1女，与“恰有2名男生”不能同时发生，它们是互斥事件；
但是当选出的是2名女生时，该两事件都不发生，所以它们不是对立事件.
(2)“至少有1名男生”包括2名男生和1男1女两种结果，与事件“全是男生”可能同时发生，所以它们不是互斥事件.
(1)“恰有1名男生”与“恰有2名男生”;
(2)“至少有1名男生”与“全是男生”;
(3)“至少有1名男生”与“全是女生”;
(4)“至少有1名男生”与“至少有1名女生”.
(3)“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥，由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件.
(4)“至少有1名女生”包括1男1女与2名女生两种结果，当选出的是1男1女时，“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件.
归纳总结
1.判断事件是否互斥的两个步骤
第一步，确定每个事件包含的结果；
第二步，确定是否有一个结果发生会意味着两个事件都发生，若是，则两个事件不互斥，否则就是互斥的．　
2.判断事件是否对立的两个步骤
第一步，判断是互斥事件；
第二步，确定两个事件必然有一个发生，否则只有互斥，但不对立．
例3 在试验“连续抛掷一枚硬币3次，观察落地后正面、反面出现的情况”中，设事件A表示随机事件“第一次出现正面”，事件B表示随机事件“3次出现同一面”，事件C表示随机事件“至少1次出现正面”．
(1)试用样本点表示事件A∪B，A∩B，A∪C，A∩C；
(2)试用样本点表示事件∪B，∩B，A∪，A∩；
(3)试判断事件A与B，A与C，B与C是否为互斥事件．
解:用H代表“出现正面”，用T代表“出现反面”．
Ω＝{HHH，HHT，HTT，HTH，THH，THT，TTH，TTT}，
事件A＝{HHH，HHT，HTT，HTH}，事件B＝{HHH，TTT}，
事件C＝{HHH，HHT，HTT，HTH，THH，THT，TTH}．
(1)试用样本点表示事件A∪B，A∩B，A∪C，A∩C；
(2)试用样本点表示事件∪B，∩B，A∪，A∩；
(3)试判断事件A与B，A与C，B与C是否为互斥事件．
(1)A∪B＝{HHH，HHT，HTT，HTH，TTT}，A∩B＝{HHH}，
A∪C＝{HHH，HHT，HTT，HTH，THH，THT，TTH}，
A∩C＝{HHH，HHT，HTT，HTH}．
(2)∪B＝{THH，THT，TTH，TTT，HHH}，∩B＝{TTT}，
A∪＝{HHH，HHT，HTT，HTH，TTT}，A∩＝ .
(3)∵A∩B＝{HHH}≠ ，A∩C＝{HHH，HHT，HTT，HTH}≠ ，
B∩C＝{HHH}≠ ，
∴A与B不互斥，A与C不互斥，B与C不互斥．
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若两个事件是互斥事件，则这两个事件是对立事件． (　　)
(2)若事件A和B是互斥事件，则A∩B是不可能事件． (　　)
(3)事件A∪B是必然事件，则事件A和B是对立事件． (　　)
×
×
√
2.一个人打靶时连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的互斥事件是(　　)
A．两次都中靶 B．至少有一次中靶
C．两次都不中靶 D．只有一次中靶
3.一个人连续射击三次，则事件“至少击中两次”的对立事件是(　　)
A．恰有一次击中 B．三次都没击中
C．三次都击中 D．至多击中一次
A
D
事件的关系或运算 含义 符号表示
并事件(和事件)
交事件(积事件)
互斥(互不相容)
对立
A与B至少一个发生
A与B同时发生
A与B不能同时发生
A与B有且仅有一个发生

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