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7.4 事件的独立性
1.通过实例了解相互独立事件的概念,明确相互独立事件与互斥事件之间的区别.
2.掌握相互独立事件概率的乘法公式.
3.学会用相互独立事件概率的乘法公式解决实际问题.
思考下列两个问题:
(1)积事件AB的含义是什么 怎样用Venn图表示积事件AB
(2)请从Venn图上直观判断出P(AB)与P(A),P(B)的大小关系.
(1)事件A与事件B同时发生,即积事件AB的样本点既在事件A中,也在事件B中.用Venn图表示为:
(2)P(AB)≤P(A),P(AB)≤P(B).
探究1:在试验E5“连续抛掷一枚均匀的骰子2次，观察每次掷出的点数”中，设事件A表示“第一次掷出1点”，事件B表示“第二次掷出1点”.
(1)试写出试验E5的样本空间，并分别计算事件A，B发生的概率;
(2)A的发生与否对B发生的概率是否有影响 为什么
(3)事件AB的含义是什么 试探究P(A)，P(B)与P(AB)的关系.
探究2:在试验E13“袋中有白球3个(编号为1，2，3)、黑球2个(编号为a，b)，这5个球除颜色外完全相同，从中有放回地摸球，连续摸两次，每次摸1个，观察摸出球的情况”中，设事件A表示“第一次摸出白球”，事件B表示“第二次摸出白球”.
(1)试写出试验E13的样本空间，并分别计算事件A，B发生的概率；
(2)A的发生与否对B发生的概率是否有影响 为什么
(3)事件AB的含义是什么 试探究P(A)，P(B)与P(AB)的关系.
将探究1和探究2得到的结果填入下表中:
E5 E13
P(A)
P(B)
事件A的发生与否对事件B发生的概率是否有影响
P(AB)
P(A)P(B)
没有影响
没有影响
概念生成
事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫作相互独立事件.
两个相互独立事件同时发生的概率，等于这两个事件发生的概率的积，即
P(AB)=P(A)P(B).
思考1：若事件A与事件B相互独立，则事件A与事件B的对立事件相互独立吗 为什么
思考2：若事件A与事件B相互独立，则事件A的对立事件与事件B相互独立吗 为什么
∵A=AB+A，AB、A互斥，
∴P(A)+P(AB)=P(A)，
∴P(A)=P(A)-P(AB)，
又P(A)-P(AB)=P(A)-P(A)P(B)=P(A)[1-P(B)]=P(A)P()，
P(A)=P(A)P().
∴A与互斥，
同理与B互斥，与互斥.
归纳总结
相互独立事件的性质：如果两个事件相互独立，那么把其中一个换成它的对立事件，这样的两个事件仍然相互独立.
例1 判断下列各对事件哪些是互斥事件，哪些是相互独立事件．
(1)掷一枚骰子一次，事件M：“出现的点数为奇数”；事件N：“出现的点数为偶数”；
(2)掷一枚骰子一次，事件A：“出现偶数点”；事件B：“出现3点或6点”．
解:(1)∵二者不可能同时发生，∴M与N是互斥事件.
(2)样本空间为Ω＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{2，4，6}，B＝{3，6}，AB＝{6}，
∴P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝＝×，即P(AB)＝P(A)P(B).
故事件A与B相互独立．
当“出现6点”时，事件A，B可以同时发生，因此，A，B不是互斥事件．
归纳总结
两个事件是否相互独立的判断:
(1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响;
(2)定义法：如果事件A，B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的积，则事件A，B为相互独立事件.
例2 甲、乙两人各投篮一次，如果两人投中的概率都是0.6，且两人的投中结果相互独立．求：
(1)两人都投中的概率；
(2)恰有1人投中的概率；
(3)至少有1人投中的概率；
(4)至多有1人投中的概率．
解：(1)设事件A表示“两人都投中”，则；
(2)设事件B表示“恰有1人投中”，
则；
例2 甲、乙两人各投篮一次，如果两人投中的概率都是0.6，且两人的投中结果相互独立．求：
(3)至少有1人投中的概率；
(4)至多有1人投中的概率．
(3)设事件C表示“至少有1人投中”，
则；
(4)设事件C表示“至多有1人投中”，
方法一 则.
方法二 则.
归纳总结
已知事件A，B发生的概率分别为P(A)，P(B)，那么:
事件 表示 概率 (A,B互斥) 概率
(A,B相互独立)
A，B中至少有一个发生
A，B同时发生
A，B都不发生
A，B恰有一个发生
A，B中至多有一个发生
AB
0
P(A)P(B)
A+B
P(A)+P(B)
P(A)+P(B)
1
1-P(A)P(B)
1-[P(A)+P(B)]
例3 在一个系统中，每一个部件能正常工作的概率称为部件的可靠度，而系统能正常工作的概率称为系统的可靠度.现有甲、乙、丙三个部件组成的一个如图所示的系统，已知当甲正常工作，且乙、丙至少有一个能正常工作时，系统就能正常工作.各部件的可靠度均为r(0解：用A、B、C分别表示甲、乙、丙能正常工作，D表示系统能正常工作.
由题意可知，系统能正常工作时，可分为三种互斥的情况：
①甲、乙、丙都正常工作，即ABC;
②甲、丙正常工作，且乙不正常工作，即 ；
③甲、乙正常工作且丙不正常工作，即 .
因此
由互斥事件概率的加法公式以及独立性可知
因为甲、乙、丙互不影响，所以A、B、C相互独立，
而且
P(A)=P(B)=P(C)=r.
方法二：由题可知系统不能正常工作可分为互斥的两种情况：
①甲不能正常工作，即 ;
②甲能正常工作且乙、丙都不能正常工作，即 ，
因此，
故
则
相互独立事件概率的综合问题的解题方法
1.判断简单事件是否相互独立；
2.选用合适的符号表示简单事件；
3.用简单事件来表示复杂事件；
4.由互斥事件概率加法公式及独立性进行计算.
方法归纳
1.坛子里放有3个白球，2个黑球，从中不放回地摸球，用A1表示第1次摸得白球，A2表示第2次摸得白球，则A1与A2是(　　)
A．互斥事件　 B．相互独立事件
C．对立事件 D．不相互独立事件
2.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.7，则两人都脱靶的概率为(　　)
A．0.56 B．0.5 C．0.38 D．0.06
D
D
3.从甲地到乙地共有A、B、C、D四条路线可走，走路线A堵车的概率为0.08，走路线B堵车的概率为0.1，走路线C堵车的概率为0.12，走路线D堵车的概率为0.04，若小李从这四条路线中等可能的任选一条开车自驾游，则堵车的概率为(　　)
A．0.034 B．0.065 C．0.085 D．0.34
C
根据今天所学，回答下列问题：
(1)相互独立事件的概率乘法公式是什么
(2)相互独立事件概率的综合问题的解题方法.

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