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第十四章　全等三角形 评估测试卷
(总分:120分　时间:120分钟)
一、选择题(本大题共12个小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.下列各组图形中是全等形的是 (　　)
2.已知图中的两个三角形全等,则∠α的度数是 (　　)
A.50° B.58°
C.60° D.72°
3.如果D是△ABC的边BC上一点,并且△ADB≌△ADC,那么△ABC是 (　　)
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.等腰三角形
4.如图,已知MB=ND,∠MBA=∠NDC,下列条件中不能判定△ABM≌△CDN的是 (　　)
A.∠M=∠N B.AM∥CN
C.AB=CD D.AM=CN
5.如图,直线l1,l2,l3表示三条公路,现要建造一个中转站P,使中转站P到三条公路的距离都相等,则中转站P可选择的位置有(　　)
A.一处 B.二处
C.三处 D.四处
6.如图,点F,B,E,C在同一条直线上,△ABC≌△DEF,若∠A=24°,∠F=26°,则∠DEC的度数为 (　　)
A.50° B.60° C.70° D.80°
7.如图,CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,BE与CD交于点O,OB=OC,则图中全等的直角三角形共有 (　　)
A.2对 B.3对 C.4对 D.5对
8.如图所示的图案是由全等的图形拼成的,其中AD=0.8,BC=1.6,则AF= (　　)
A.10.8 B.9.6
C.7.2 D.4.8
9.如图,已知点P到AE,AD,BC的距离相等,有下列说法:①点P在∠BAC的平分线上;②点P在∠CBE的平分线上;③点P在∠BCD的平分线上;④点P在∠BAC,∠CBE,∠BCD的平分线的交点上.其中正确的是 (　　)
A.①②③④ B.①②
C.①③ D.②③
10.(2025西安期中)如图,在3×3的正方形方格中,每个小正方形方格的边长都为1,则∠1和∠2的关系是 (　　)
A.∠1=∠2 B.∠2=2∠1
C.∠2=90°+∠1 D.∠1+∠2=180°
11.如图所示的框架PABQ,其中AB=21 cm,AP,BQ足够长,PA⊥AB于点A,QB⊥AB于点B,点M从B出发向A运动,同时点N从B出发向Q运动,点M,N运动的速度之比为3∶4,当两点运动到某一瞬间同时停止,此时在射线AP上取点C,使△ACM与△BMN全等,则线段AC的长为 (　　)
A.18 cm或28 cm B.9 cm
C.9 cm或14 cm D.18 cm
12.如图,AD平分∠CAF,BD=CD,过点D作DE⊥AC于点E,DF⊥AB交BA的延长线于点F.有下列结论:①△CDE≌△BDF;②CE=AB+AE;③∠BDC=∠BAC.其中正确结论的序号为 (　　)
A.①②③ B.②③
C.①② D.①③
二、填空题(本大题共4个小题,每小题3分,共12分)
13.一个三角形的三边为3,7,x,另一个三角形的三边为y,3,9,若这两个三角形全等,则x-y=　　　.
14.(2025沧州南皮县期末)如图,∠ACB=∠DBC=90°,要使△ABC≌△DCB,若根据“HL”判定,还需要添加的条件是　　　　.
15.如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC≌△FDE,若点A的坐标为(a,1),点B的坐标为(b,-2),BC∥x轴,D,E两点都在y轴上,则点F到y轴的距离为　　　　.
16.如图,已知两相交直线AB和CD及另一直线MN,AB,CD相交于点O.如果要在MN上找出到AB,CD距离相等的点P,则这样的点至少有　　　　个,至多有　　　　个.
三、解答题(本大题共8个小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(7分)如图,在△ABC中,请用尺规作图在边BC上求作一点M,使点M到∠BAC两边的距离相等.(保留作图痕迹,不写作法)
18.(7分)如图,点E在△ABC的边AC上,AE=BC,BC∥AD,∠CED=∠BAD.
求证:△ABC≌△DEA.
19.(8分)如图,AC,BC分别是△AOB的两个外角∠MAB和∠NBA的平分线,C为交点,∠AOB=50°,求∠COB的度数.
20.(8分)如图,A,D,E三点在同一条直线上,且△BAD≌△ACE.
(1)求证:BD=DE+CE.
(2)当△ABD满足什么条件时,BD∥CE 为什么
21.(9分)如图,M为比赛出发点,P,Q两点为标志物,且到M点的距离相等,选手小明从M点出发,计划沿∠PMQ的平分线骑摩托车行驶,若小明沿射线MN行驶,在N点处经红外线设备测得他到标志物P,Q两点的距离相等,判断小明的行驶路线是否偏离预定路线,并说明理由.
22.(9分)如图,∠AOB=90°,OM是∠AOB的平分线,将三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动,两直角边分别与OA,OB交于点C和点D.
求证:PC=PD.
(注:四边形的内角和等于360°)
23.(12分)如图1,△ABC≌△DEF,将△ABC和△DEF的顶点B与顶点E重合,把△DEF绕点B按顺时针方向旋转,这时AC与DF相交于点O.
(1)当△DEF旋转至如图2所示的位置,点B(E),C,D在一条直线上时,∠AFD与∠DCA的数量关系是　　　　　　　　.
(2)当△DEF继续旋转至如图3所示的位置时,(1)中的结论还成立吗 请说明理由.
24.(12分)如图1所示,点A,E,F,C在一条直线上,AE=CF,过点E,F分别作ED⊥AC,FB⊥AC,连接AB,CD,BD,EF与BD相交于点G,AB=CD.
(1)EG与FG相等吗 请说明理由.
(2)若将△DEC沿AC方向移动至如图2所示的位置,其他条件不变,(1)中的结论是否仍成立 请说明理由.
【详解答案】
1.B　2.A　3.D　4.D　5.D
6.A　解析:∵△ABC≌△DEF,∴∠D=∠A,∵∠A=24°,∴∠D=24°,∵点F,B,E,C在同一条直线上,∴∠DEC是△DEF的外角,∴∠DEC=∠F+∠D=26°+24°=50°,故选A.
7.B　解析:∵CD⊥AB,BE⊥AC,
∴∠ADO=∠BDO=∠CEO=∠AEO=90°.在△DOB和△EOC中,
∴△DOB≌△EOC(AAS).∴OD=OE,BD=CE.在Rt△ADO和Rt△AEO中,∴Rt△ADO≌Rt△AEO(HL).∴AD=AE.∵BD=CE,∴AD+BD=AE+CE,即AB=AC.在△ADC和△AEB中,
∴△ADC≌△AEB(SAS).
∴共有3对全等的直角三角形.故选B.
8.B　解析:由题可知,图中有8个全等的梯形,∴AF=4AD+4BC=4×0.8+4×1.6=9.6.故选B.
9.A　解析:∵点P到AE,AD,BC的距离相等,∴点P在∠BAC的平分线上,故①正确;点P在∠CBE的平分线上,故②正确;点P在∠BCD的平分线上,故③正确;点P在∠BAC,∠CBE,∠BCD的平分线的交点上,故④正确.综上所述,正确的是①②③④.故选A.
10.D　解析:如图,在△ABC与△EDF中,∴△ABC≌△EDF(SAS),∴∠1=∠ABC.∵∠ABC+∠2= 180°,∴∠1+∠2=180°.故选D.
11.C　解析:∵点M,N运动的速度之比为3∶4,∴设BM=3t cm,BN=4t cm,
∵AB=21 cm,∴AM=AB-BM=(21-3t) cm,又∵∠A=∠B=90°,∴当△ACM与△BMN全等时,有以下两种情况:①当BM=AC,BN=AM时,则△ACM≌△BMN,由BN=AM,得4t=21-3t,解得t=3,∴AC=BM=3t=9 cm.②当BM=AM,BN=AC时,则△ACM≌△BNM,由BM=AM,得3t=21-3t,解得t=3.5,
∴AC=BN=4t=14 cm,综上所述,AC的长为9 cm或14 cm,故选C.
12.A　解析:∵AD平分∠CAF,DE⊥AC,DF⊥AF,∴DE=DF.在Rt△CDE和Rt△BDF中,∴Rt△CDE≌Rt△BDF(HL).故①正确;∵Rt△CDE≌Rt△BDF,∴CE=BF.在Rt△ADE和Rt△ADF中,∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL).∴AE=AF.∴CE=BF=AB+AF=AB+AE.故②正确;如图,设AC交BD于点O.∵Rt△CDE≌Rt△BDF,∴∠DCE=∠DBF.∵∠COD=∠AOB,∴∠BDC=∠BAC.故③正确.综上所述,正确的结论为①②③.故选A.
13.2　解析:∵一个三角形的三边为3,7,x,另一个三角形的三边为y,3,9,这两个三角形全等,∴x=9,y=7,则x-y=2.
14.AB=DC
15.3　解析:如图,作AH⊥BC于H,FP⊥DE于P,∵△ABC≌△FDE,∴AC=FE,∠C=∠FED,
∴△ACH≌△FEP(AAS),∴AH=FP,∵点A的坐标为(a,1),点B的坐标为(b,-2),BC∥x轴,∴AH=3,∴FP=3,
∴点F到y轴的距离为3.
16.1　2　解析:如图,分别作∠AOD与∠AOC的平分线OE与OF.∵OE与OF分别是∠AOD与∠AOC的平分线,∴直线OE与OF上的点到AB,CD的距离相等.∴点P必在直线OE或直线OF上.∵点P在直线MN上,
∴点P在这两条角平分线与直线MN的交点上.∴当OF与直线MN平行时,符合条件的点有1个;当OF与直线MN不平行时,符合条件的点有2个.
17.解:如图,点M即为所求作.
18.证明:∵BC∥AD,∴∠DAC=∠C,
∵∠CED=∠BAD,∠CED=∠D+∠DAC,∠BAD=∠DAC+∠BAC,
∴∠D=∠BAC,
在△ABC和△DEA中,
∴△ABC≌△DEA(AAS).
19.解:如图,过点C作CE⊥ON于点E,CF⊥AB于点F,CG⊥OM于点G.
∵AC,BC分别是△AOB的两个外角∠MAB和∠NBA的平分线,
∴CF=CG,CE=CF.∴CE=CG.
∴OC是∠AOB的平分线.
∴∠COB=∠AOB=×50°=25°.
20.解:(1)证明:∵△BAD≌△ACE,
∴BD=AE,AD=CE.
∵AE=AD+DE=CE+DE,
∴BD=DE+CE.
(2)当△ABD满足∠ADB=90°时,BD∥CE.理由如下:
当∠ADB=90°时,易知∠BDE=90°.
∵△BAD≌△ACE,
∴∠CEA=∠ADB=90°,
∴∠CEA=∠BDE,
∴BD∥CE.
21.解:小明的行驶路线没有偏离预定路线.
理由:如图,连接PN,QN,
由题意得PN=QN,PM=QM,
又∵MN=MN,
∴△PMN≌△QMN(SSS),
∴∠PMN=∠QMN,
∴MN是∠PMQ的平分线,
∴小明的行驶路线没有偏离预定路线.
22.证明:如图,过点P作PE⊥OA于点E,PF⊥OB于点F.
∵PE⊥OA,PF⊥OB,
∴∠PEC=∠PFD=90°.
∵OM是∠AOB的平分线,∴PE=PF.
∵∠AOB=90°,∠CPD=90°,
∴∠PCE+∠PDO=360°-90°-90°=180°.
∵∠PDO+∠PDF=180°,
∴∠PCE=∠PDF.
在△PCE和△PDF中,
∴△PCE≌△PDF(AAS).∴PC=PD.
23.解:(1)∠AFD=∠DCA
(2)(1)中的结论还成立.理由如下:
∵△ABC≌△DEF,
∴AB=DE,BC=EF,∠ABC=∠DEF,∠BAC=∠EDF.
∴∠ABC-∠FBC=∠DEF-∠FBC,
即∠ABF=∠DEC.
在△ABF和△DEC中,
∴△ABF≌△DEC(SAS).
∴∠BAF=∠EDC.
∴∠BAC-∠BAF=∠EDF-∠EDC,
即∠FAC=∠CDF.
又∵∠AOD=∠FAO+∠AFO=∠CDO+∠DCO,
∴∠AFO=∠DCO,即∠AFD=∠DCA.
24.解:(1)EG=FG.
理由如下:∵AE=CF,
∴AE+EF=CF+EF,即AF=CE.
∵ED⊥AC,FB⊥AC,
∴∠CED=∠AFB=90°.
在Rt△ABF和Rt△CDE中,
∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).
∴BF=DE.
在△DEG和△BFG中,
∴△DEG≌△BFG(AAS).
∴EG=FG.
(2)将△DEC沿AC方向移动至题图2所示的位置,(1)中的结论仍成立.
理由如下:
∵AE=CF,
∴AE-EF=CF-EF,
即AF=CE.
同(1)可证△ABF≌△CDE,
△DEG≌△BFG,
∴EG=FG.

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