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第十五章　轴对称 评估测试卷
(总分:120分　时间:120分钟)
一、选择题(本大题共12个小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2024苏州中考)下列图案中,是轴对称图形的是 (　　)
2.如图,每组中的两个图形,成轴对称的是 (　　)
A.①②③ B.①②④
C.①③④ D.②③④
3.在当地时间7月27日结束的巴黎奥运会射击10米气步枪混合团体比赛中,中国选手黄雨婷/盛李豪夺得本届奥运会首枚金牌,如图是巴黎奥运会射击项目图标,这个图案的对称轴条数为 (　　)
A.6 B.4
C.2 D.1
4.如图,在△ABC中,AB=AC,AD,CE分别是△ABC的中线和角平分线.若∠CAD=20°,则∠ACE的度数是 (　　)
A.20° B.35°
C.40° D.70°
5.(2024兰州中考)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=130°,DA⊥AC,则∠ADB= (　　)
A.100° B.115°
C.130° D.145°
6.已知点P(2x-6,x+5)关于x轴对称的点M在第三象限,则x的取值范围是 (　　)
A.-3C.37.如图,△ABC与△DEF关于直线l对称,下列说法错误的是 (　　)
A.AB=DE
B.∠BAC=∠EDF
C.点B和点E到直线l的距离相等
D.AC∥DE
8.小亮设计了形状如图所示的彩旗,图中∠ACB=90°,∠D=15°,点A在CD上,AD=AB,BC=2 dm,则AD的长为 (　　)
A.3 dm B.4 dm
C.5 dm D.6 dm
9.如图,在△ABC中,点D在BC上,且BD的垂直平分线与AB相交于点E,CD的垂直平分线与AC相交于点F,已知△ABC的三个内角皆不相等,根据图中标示的角,下列叙述正确的是 (　　)
A.∠1=∠3,∠2=∠4 B.∠1=∠3,∠2≠∠4
C.∠1≠∠3,∠2=∠4 D.∠1≠∠3,∠2≠∠4
10.如图,一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40 n mile到达B地,再由B地向北偏西20°的方向行驶40 n mile到达C地,则A,C两地相距 (　　)
A.30 n mile
B.40 n mile
C.50 n mile
D.60 n mile
11.如图,∠AOB=60°,C是BO延长线上的一点,OC=8 cm,动点P从点C出发沿CB以3 cm/s的速度移动,动点Q从点O出发沿OA以2 cm/s的速度移动,如果点P,Q同时出发,用t(s)表示移动的时间,当t为　　　　s时,△POQ是等腰三角形 (　　)
A. B.6
C.或6 D.或8
12.如图,已知∠MON=30°,点A1,A2,A3,…在射线ON上,点B1,B2,B3,…在射线OM上,△A1B1A2, △A2B2A3,△A3B3A4,…均为等边三角形,若OA1=1,则△A9B9A10的周长为 (　　)
A.128 B.256
C.384 D.768
二、填空题(本大题共4个小题,每小题3分,共12分)
13.命题“能被2整除的数也能被4整除”是　　　　(填“真”或“假”)命题,它的逆命题是　　　
　　　　　　　　,逆命题是　　　　(填“真”或“假”)命题.
14.(2025双鸭山期中)如图所示,一排数字是球衣数字在镜中的像,则原数是　　　　.
15.如图,AB=AC=AD=4 cm,DB=DC.若∠ABC=60°,则BE=　　　　,∠ABD=　　　　.
16.如图,点E在等边三角形ABC的边BC上,BE=8,射线CD⊥BC于点C,P是射线CD上一动点,F是线段AB上动点,当EP+PF的值最小时,BF=10,则AC的长为　　　　.
三、解答题(本大题共8个小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(7分)如图,M,N分别是∠AOB的边OA,OB上的点.请你作出点P,使点P到点M和点N的距离相等,且到∠AOB两边的距离也相等.(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
18.(8分)在平面直角坐标系中,△ABC的位置如图所示,每个小方格的边长为1.
(1)分别写出以下顶点的坐标:
A(　　　　,　　　　);B(　　　　,　　　　).
(2)作△ABC关于y轴对称的△A1B1C1(点A,B,C的对应点分别为A1,B1,C1).
(3)△ABC的面积为　　　　.
19.(8分)(2025芜湖期末)如图,在△ABC中,∠BAC=70°,BC=12,AB的垂直平分线交BC边于点E,AC的垂直平分线交BC边于点N,求∠EAN的度数.
20.(8分)在一次数学课上,王老师在黑板上画出图,如图,并写下了四个等式:①AB=DC;②BE=CE;③∠B=∠C;④∠BAE=∠CDE.要求同学从这四个等式中选出两个作为条件,推出△AED是等腰三角形.请你试着完成王老师提出的要求,并说明理由.(写出一种即可)
21.(9分)如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E分别在边BC,AC的延长线上,AD=AE.
(1)若∠BAD=120°,求∠EDC的度数.
(2)猜想∠BAD与∠EDC的关系,并说明理由.
22.(9分)如图,∠ACB=90°,AC=BC,D为△ABC外一点,且AD=BD,DE⊥AC交CA的延长线于点E.
求证:DE=AE+BC.
23.(11分)如图,在△ABC中,∠CAB的平分线AD和边BC的垂直平分线ED相交于点D,过点D分别作DF⊥AC交AC的延长线于点F,DM⊥AB于点M.
(1)猜想CF和BM之间有何数量关系,并说明理由.
(2)求证:AB-AC=2CF.
24.(12分)如图,某课题学习小组对地图上的A,B,E,F,G,H,P,C八处地点进行观察、分析.在讨论中得到了∠B=∠C=60°,点B,F,H,C都在线段BC上,EF∥GH∥AC,PH∥GF∥AB的正确结论.接着又有两位同学各自提出了如下一个结论:
甲:△ABC,△BEF,△FGH,△HPC均为等边三角形.
乙:线路B→A→C与线路B→E→F→G→H→P→C一样长.
(1)请分别指出甲、乙两位同学的结论是否正确.
(2)将(1)中你认为正确的结论给予证明.
【详解答案】
1.A　2.D　3.B　4.B　5.B
6.B　解析:∵点P(2x-6,x+5)关于x轴对称的点M在第三象限,∴点P(2x-6,x+5)在第二象限,∴解不等式①得x<3,解不等式②得x>-5,所以x的取值范围是-57. D　解析:如图,连接BE.∵△ABC与△DEF关于直线l对称,
∴△ABC≌△DEF.
∴∠BAC=∠EDF,AB=DE,直线l垂直平分线段BE.∴点B和点E到直线l的距离相等.由已知条件无法判断
AC∥DE.故选项A,B,C正确,D错误.故选D.
8.B　解析:∵AD=AB,∴∠D=∠ABD.∵∠D=15°,∴∠ABD=∠D=15°,
∴∠BAC=∠ABD+∠D=30°.∵∠ACB=90°,BC=2 dm,∴AB=4 dm,∴AD=4 dm.故选B.
9.C　解析:∵BD的垂直平分线与AB相交于点E,CD的垂直平分线与AC相交于点F,∴EB=ED,FD=FC.
∴∠B=∠EDB,∠FDC=∠C.∵∠1=∠B+∠EDB,∠3=∠FDC+∠C,∠B≠∠C,∴∠1≠∠3.∵∠4=180°-∠B-∠C,
∠2=180°-∠EDB-∠FDC,∴∠2=∠4.综上所述,∠1≠∠3,∠2=∠4.故选C.
10.B　解析:如图,连接AC.由题意,得∠ABC=40°+20°=60°,AB=BC=40 n mile.∴△ABC是等边三角形.
∴AC=AB=40 n mile.故选B.
11.D　解析:分两种情况:(1)当点P在线段OC上时,设t s后△POQ是等腰三角形,有OP=OC-CP=OQ,即8-3t=2t,解得t=.(2)当点P在CO的延长线上时,此时经过CO时的时间已用 s,当△POQ是等腰三角形时,∵∠POQ=60°,∴△POQ是等边三角形,∴OP=OQ,即2t=3t-8,解得t=8.故选D.
12.D　解析:∵△A1B1A2为等边三角形,∴∠B1A1A2=∠A1B1A2=60°,B1A2=A1B1,∵∠B1A1A2=∠MON+∠OB1A1,
∠MON=30°,∴∠OB1A1=30°,同理,∠A2B2B1=30°,∵∠MON=∠OB1A1=30°,∴A1B1=OA1=1,∴B1A2=1,∵∠OB1A2=
∠OB1A1+∠A1B1A2=90°,∴∠B2B1A2=90°,∵∠A2B2B1=30°,∴A2B2=2B1A2=2,同理,A3B3=2A3B2=2A2B2=4B1A2,以此类推,A9B9=256B1A2=256,∴△A9B9A10的周长为256×3=768.故选D.
13.假　能被4整除的数也能被2整除　真
14.251
15.2 cm　75°　解析:∵AB=AC,∠ABC=60°,∴△ABC是等边三角形.∴BC=AB=4 cm,∠BAC=∠ABC=60°.在△ABD和△ACD中,∴△ABD≌△ACD(SSS).∴∠BAD=∠CAD.∴BE=CE,AE⊥BC.∴AE是BC的垂直平分线.∴BE=BC=×4=2(cm).∵AB=AD,∴∠ABD=∠ADB.∵∠BAD=∠BAC=×60°=30°,∴∠ABD=(180°-
∠BAD)=×(180°-30°)=75°.
16.14　解析:∵△ABC是等边三角形,∴AC=BC,∠B=60°,作点E关于直线CD的对称点G,连接PG,FG,当点P在FG上,且GF⊥AB时,如图,
则此时EP+PF的值最小,∵∠B=60°,∠BFG=90°,∴∠FGB=30°,∵BF=10,∴BG=2BF=20,∴EG=BG-BE=20-8=12,∵点E关于直线CD的对称点为G,∴CE=CG=EG=6,∴AC=BC=BE+CE=8+6=14.
17.解:如图,点P即为所求作.
18.解:(1)3　0　-4　3
(2)如图,△A1B1C1即为所求.
(3)10
19.解:∵∠BAC=70°,
∴∠B+∠C=180°-70°=110°,
∵AB的垂直平分线交BC边于点E,AC的垂直平分线交BC边于点N,
∴EA=EB,NA=NC,
∴∠EAB=∠B,∠NAC=∠C,
∴∠BAC=∠BAE+∠NAC-∠EAN=∠B+∠C-∠EAN,
∴∠EAN=∠B+∠C-∠BAC=110°-70°=40°.
20.解:选①③.理由如下:
在△ABE和△DCE中,
∴△ABE≌△DCE(AAS).
∴EA=ED,即△AED是等腰三角形.
(答案不唯一)
21.解:(1)∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB,
∵AD=AE,
∴∠E=∠ADE,
∵∠B+∠ACB+∠BAC=180°,
∠E+∠ADE+∠CAD=180°,
∴2∠ACB+2∠E+∠BAD=360°,
∵∠DCE=∠ACB,
∴2(∠DCE+∠E)+∠BAD=360°,
∵∠BAD=120°,
∴∠DCE+∠E=120°,
∴∠EDC=180°-120°=60°.
(2)∠BAD=2∠EDC,理由如下:
由(1)知,2(∠DCE+∠E)+∠BAD=360°,
∴2(180°-∠EDC)+∠BAD=360°,
∴∠BAD=2∠EDC.
22.证明:如图,连接CD.
∵AC=BC,AD=BD,
∴点C在AB的垂直平分线上,点D在AB的垂直平分线上.
∴CD是AB的垂直平分线.
∵∠ACB=90°,
∴∠ACD=∠ACB=45°.
∵DE⊥AC,∴∠CED=90°.
∴∠CDE=90°-∠ACD=45°.
∴∠ECD=∠CDE.∴CE=DE.
∴DE=CE=AE+AC=AE+BC.
23.解:(1)CF=BM.理由如下:
如图,连接CD,DB.
∵AD平分∠CAB,DF⊥AC,DM⊥AB,
∴DF=DM.
∵DE垂直平分BC,∴DC=DB.
在Rt△CDF和Rt△BDM中,
∴Rt△CDF≌Rt△BDM(HL).
∴CF=BM.
(2)证明:在Rt△AFD和Rt△AMD中,
∴Rt△AFD≌Rt△AMD(HL).
∴AF=AM.
∵AB=AM+BM=AF+CF,
AC=AF-CF,
∴AB-AC=AF+CF-AF+CF=2CF.
24.解:(1)甲、乙两位同学的结论都正确.
(2)证明:甲的结论:
∵∠B=∠C=60°,
∴∠A=180°-60°-60°=60°.
∴∠A=∠B=∠C.
∴△ABC为等边三角形.
又∵EF∥AC,∴∠EFB=∠C=60°.
∵∠B=60°,∴∠BEF=60°.
∴∠B=∠EFB=∠BEF.
∴△BEF为等边三角形.
同理可证△FGH,△HPC均为等边三角形.
乙的结论:
∵△BEF,△FGH,△HPC均为等边三角形,
∴BE=EF=BF,FG=GH=FH,HP=PC=HC.
∴BE+EF=2BF,FG+GH=2FH,HP+PC=2HC.
∴BE+EF+FG+GH+HP+PC=2(BF+FH+HC)=2BC.
又∵△ABC为等边三角形,
∴AB=AC=BC.∴AB+AC=2BC.
∴AB+AC=BE+EF+FG+GH+HP+PC.
∴线路B→A→C与线路B→E→F→G→H→P→C一样长.

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