资源简介

江苏省无锡市宜兴市第一中学 2024-2025 学年高一
下学期期中检测数学试卷
一、单选题
1. 已知复数 满足 ，其中 为虚数单位，则 的共轭复数 的虚部为
（ ）
A． B． C． D．
2. 已知平面向量 ， ，则向量 在向量 上的投影向量为
（ ）
A． B． C． D．
3. 衡量钻石价值的 4C标准之一是切工．理想切工是一种高雅且杰出的切工，
它使钻石几乎反射了所有进入钻石的光线．现有一理想切工的钻石，其横截面如
图所示，其中 为等腰直角三角形，四边形 BCDE为等腰梯形，且 ，
， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
4. 已知在 中， ，则 的形状为（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
5. 设 为非零向量， ，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
6. 在 中，内角A，B，C的对边分别为 a，b，c，且 ，
，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
7. 已知 中，角 对应的边分别为 ， ， ， 是 的中点且 ，
，则 的最大值是（ ）
A． D．B． C．
8. 在 中，点 ， 在边 上，且满足： ， ，
若 ， ， ，则 的面积等于（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9. 若 ， ， ，为复数， ，下列命题正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
10. 在三角形 中，下列说法正确的有（ ）
A．若 ，则三角形 有两解
B．若 ，则 一定是钝角三角形
C．若 ，则 一定是等边三角形
D．若 ，则 一定是等腰三角形
11. 已知点 是 的外心， ， ， ，则下列正确
的是（ ）
A．若 ，则 的外接圆面积为
B．若 ，则
C．若 ，则
D．当 ， 时，
三、填空题
12. 定义 是向量 和 的“向量积”，其长度为 ，其中
为向量 和 的夹角．若 ， ，则 =______．
13. 如图，在 中， ， ， 为 上一点，且满足
，若 ， ，则 的值为______.
14. 在 中， ， ， 的外接圆
为圆 O，P为圆 O上的点，则 的取值范围是________.
四、解答题
15. 已知 ， ，向量 与 的夹角为 ．
（1）求： ；
（2）若 ，求实数 的值．
16. 已知复数 ， ， ， 为虚数单位．
(1)若 是纯虚数，求实数 的值；
(2)若 ，求 ．
17. 在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ．
(1)求角 ；
(2)若 ，且 ，求 的面积．
18. 北京时间 2024 年 8 月 8 日凌晨，中国花样游泳队以遥遥领先的得分优势，
历史性地登上巴黎奥运会最高领奖台．赛后采访中，主教练透露自己在编排动作
时，特别融入了中国元素，以甲骨文“山”字为造型（图 1），体现了中国花游
不畏艰难险阻，逐梦不止的精神．某公司也以此为创意，设计了本公司的 LOGO，
如图 2．在 中， ， ，点 B，H，C在线段 上，且
， 和 都是等腰直角三角形，
， 交 于点 D， 交 于点 E．
(1)求 ；
(2)求 ；
(3)求四边形 的面积．
19. “费马点”是由法国数学家费马提出的一个问题．该问题是：“已知一个三
角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家
托里拆利给出了解答．当 的三个内角均小于 120°时，使得
的点 O即为费马点；当 内有一个内角大
于或等于 120°时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已
知 的内角 所对的边分别为 ，且
．
(1)求 A；
(2)若 ， 的面积为 ，求 ；
(3)若 ，设点 P为 的费马点．求 ．
江苏省无锡市宜兴市第一中学 2024-2025 学年高一下学期期中检测数学试卷
整体难度：适中
考试范围：复数、平面向量、三角函数与解三角形、等式与不等式
试卷题型
题型 数量
单选题 8
多选题 3
填空题 3
解答题 5
试卷难度
难度 题数
容易 1
较易 6
适中 11
较难 1
细目表分析
题号 难度系数 详细知识点
一、单选题
1 0.85 求复数的实部与虚部；共轭复数的概念及计算；复数的除法运算
2 0.94 求投影向量
3 0.65 向量加法法则的几何应用；平面向量的混合运算
4 0.65 正弦定理边角互化的应用；二倍角的正弦公式
5 0.85 数量积的运算律；垂直关系的向量表示；利用平面向量基本定理求参数
正弦定理解三角形；余弦定理解三角形；用和、差角的正弦公式化简、求值；数
6 0.65
量积的运算律
正弦定理解三角形；余弦定理解三角形；用基底表示向量；基本（均值）不等式
7 0.65
的应用
8 0.65 三角形面积公式及其应用；用基底表示向量
二、多选题
9 0.85 求复数的模；共轭复数的概念及计算；复数的除法运算
用和、差角的余弦公式化简、求值；正弦定理判定三角形解的个数；正弦定理边
10 0.65
角互化的应用；正、余弦定理判定三角形形状
余弦定理解三角形；数量积的运算律；正弦定理求外接圆半径；三角形面积公式
11 0.65
及其应用
三、填空题
12 0.85 向量夹角的计算；向量新定义；数量积的坐标表示；向量模的坐标表示
13 0.65 数量积的运算律；利用平面向量基本定理求参数
用和、差角的正弦公式化简、求值；用定义求向量的数量积；正弦定理求外接圆
14 0.4
半径；三角形面积公式及其应用
四、解答题
15 0.85 平面向量的数量积
16 0.85 已知复数的类型求参数；求复数的模
正弦定理解三角形；余弦定理解三角形；用和、差角的正弦公式化简、求值；三
17 0.65
角形面积公式及其应用
正弦定理解三角形；余弦定理解三角形；用和、差角的正弦公式化简、求值；三
18 0.65
角形面积公式及其应用
三角恒等变换的化简问题；正弦定理边角互化的应用；三角形面积公式及其应用；
19 0.65
用定义求向量的数量积
知识点分析
序号 知识点 对应题号
1 复数 1,9,16
2 平面向量 2,3,5,6,7,8,11,12,13,14,15,19
3 三角函数与解三角形 4,6,7,8,10,11,14,17,18,19
4 等式与不等式 7
试题答案解析
第 1题：
第 2题：
第 3题：
第 4题：
第 5题：
第 6题：
第 7题：
第 8题：
第 9题：
第 10 题：
第 11 题：
第 12 题：
第 13 题：
第 14 题：
第 15 题：
第 16 题：
第 17 题：
第 18 题：
第 19 题：

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