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第2课时　排列数与排列数公式(强基课——梯度进阶式教学)
课时目标
1.理解排列数的意义,能用计数原理推导排列数公式.
2.能应用排列数公式解决简单具体问题的排列数.
　　排列数及排列数公式
排列数 全排列
定义 一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的　　　　　　,叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数 n个不同元素　　　　　的一个排列,叫作n个不同元素的一个全排列
表示法
公式 乘积形式 =n(n-1)(n-2)…(n-m+1) =n(n-1)(n-2)×…×3×2×1
阶乘形式 =　　　 =　　
　　
微点助解 排列数公式的特点
(1)公式中的m,n应该满足:m,n∈N*,并且m≤n,当m>n时不成立.
(2)排列数公式右边是若干数的连乘积,其特点是:第一个因数是n(下标),后面的每一个因数都比它前面的因数小1,最后一个因数为n-m+1(下标-上标+1),共有m(上标)个连续自然数相乘.
[基点训练]
1.-的值是 (　　)
A.480 B.520
C.600 D.1 320
2.若=,则m= (　　)
A.6 B.5 C.4
D.3
3.对于满足n≥4的任意正整数n,4×5×…×n= (　　)
A. B.
C. D.
4.已知甲、乙、丙、丁四人获得城市荣誉称号,某记者对这四人进行采访,则不同的采访顺序有 (　　)
A.4种 B.12种
C.18种 D.24种
题型(一)　排列数的计算
[例1]　(1)计算:;
(2)解方程:=140.
听课记录:
[思维建模]
(1)排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行.
(2)=n(n-1)…(n-m+1)是m个连续自然数之积,其中n是最大的数,n-m+1是最小的数,要会根据排列数公式的特征逆用.
　　[针对训练]
1.若=12,则n= (　　)
A.2 B.3
C.4 D.5
2.计算:=　　　　　　　.
题型(二)　排列数公式的应用
[例2]　(1)化简:+++…+(n≥2且n∈N*);
(2)解不等式:<6.
听课记录:
[思维建模]
　　排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题.具体应用时要注意阶乘的性质,提取公因式,可以简化计算.
　　[针对训练]
3.不等式3≤2+6的解集为 (　　)
A.{3,4,5} B.{3,4,5,6}
C.{x|3≤x≤5} D.{x|3≤x≤6}
4.求证:(1)-=n2;
(2)-=(k≤n).
题型(三)　排列数的简单应用
[例3]　某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号,每次可以任意挂1面、2面或3面,并且不同的顺序表示不同的信号,一共可以表示多少种不同的信号
听课记录:
[思维建模]
　　对于简单的排列问题可直接代入排列数公式,也可以用树形图法.若情况较多,可以分类后进行计算.
　　[针对训练]
5.已知有4名司机,4名售票员要分配到4辆汽车上,使每辆汽车上有1名司机和1名售票员,则可能的分配方法有 (　　)
A.种 B.种
C.种 D.2种
6.从班委会的5名成员中选出3名分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员,其中甲、乙二人不能担任文娱委员,则不同的选法共有　　　　种.(用数字作答)
第2课时　排列数与排列数公式
课前环节
所有排列的个数　全部取出　　n!
[基点训练]
1.选C　=12×11×10=1 320,=10×9×8=720,故-=1 320-720=600.
2.选D　由=,得m(m-1)=m(m-1)·(m-2),m≥3,解得m=3.
3.选D　易得4×5×…×n=.
4.选D　由题意可得不同的采访顺序有=24种.
课堂环节
[题型(一)]
[例1]　解:(1)====.
(2)因为
所以x≥3,x∈N*.
由=140得
(2x+1)2x(2x-1)(2x-2)
=140x(x-1)(x-2).
化简得4x2-35x+69=0,
解得x1=3,x2=(舍去).
所以原方程的解为x=3.
[针对训练]
1.选C　由排列数公式可得=n(n-1)=12,解得n=4或n=-3.由于n≥2且n∈N*,故n=4.
2.解析:===-=-.
答案:-
[题型(二)]
[例2]　解:(1)∵=-,
∴+++…+=+++…+=1-.
(2)原不等式可转化为<6×,化简得x2-19x+84<0,解得7[针对训练]
3.选A　易知x≥3,x∈N.因为=x(x-1)·(x-2),=(x+1)x,=x(x-1),所以原不等式可化为3x(x-1)·(x-2)≤2x(x+1)+6x(x-1),所以3≤x≤5,所以原不等式的解集为{3,4,5}.
4.证明:(1)左边=-=n(n+1)·-n=(n2+n-n)=n2=右边,
∴结论成立,即-=n2.
(2)当k≤n时,左边=-=-===右边,∴结论成立,即-=(k≤n).
[题型(三)]
[例3]　解:分3类:第1类,用1面旗表示的信号有种;第2类,用2面旗表示的信号有种;第3类,用3面旗表示的信号有种,由分类计数原理知,所求的信号种数是++=3+3×2+3×2×1=15,即一共可以表示15种不同的信号.
[针对训练]
5.选C　司机、售票员各有种分配方法,由分步计数原理知,共有种不同的分配方法.
6.解析:文娱委员有3种选法,则安排学习委员、体育委员有=12(种)方法,由分步计数原理知,共有3×12=36(种)选法.
答案:36
1 / 4(共46张PPT)
排列数与排列数公式
(强基课——梯度进阶式教学)
第2课时
课时目标
1.理解排列数的意义,能用计数原理推导排列数公式.
2.能应用排列数公式解决简单具体问题的排列数.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
课时跟踪检测
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
排列数及排列数公式
排列数 全排列
定义 一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的_______________,叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数 n个不同元素_________的一个排列,叫作n个不同元素的一个全排列
所有排列的个数
全部取出
续表
表示法
公式 乘积形式
阶乘形式
n!
微点助解 排列数公式的特点
(1)公式中的m,n应该满足:m,n∈N*,并且m≤n,当m>n时不成立.
(2)排列数公式右边是若干数的连乘积,其特点是:第一个因数是n(下标),后面的每一个因数都比它前面的因数小1,最后一个因数为n-m+1(下标-上标+1),共有m(上标)个连续自然数相乘.
1.-的值是(　　)
A.480 B.520
C.600 D.1 320
解析:=12×11×10=1 320,=10×9×8=720,故-=1 320-720=600.
基点训练
√
2.若=,则m=(　　)
A.6 B.5
C.4 D.3
解析:由=,得m(m-1)=m(m-1)·(m-2),m≥3,解得m=3.
√
3.对于满足n≥4的任意正整数n,4×5×…×n= (　　)
A. B.
C. D.
解析:易得4×5×…×n=.
√
4.已知甲、乙、丙、丁四人获得城市荣誉称号,某记者对这四人进行采访,则不同的采访顺序有 (　　)
A.4种 B.12种
C.18种 D.24种
解析:由题意可得不同的采访顺序有=24种.
√
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
题型(一)　排列数的计算
[例1]　(1)计算:;
解:====.
(2)解方程:=140.
解:因为所以x≥3,x∈N*.
由=140得(2x+1)2x(2x-1)(2x-2)=140x(x-1)(x-2).
化简得4x2-35x+69=0,解得x1=3,x2=(舍去).
所以原方程的解为x=3.
[思维建模]
(1)排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行.
(2)=n(n-1)…(n-m+1)是m个连续自然数之积,其中n是最大的数,n-m+1是最小的数,要会根据排列数公式的特征逆用.
针对训练
1.若=12,则n=(　　)
A.2 B.3
C.4 D.5
解析:由排列数公式可得=n(n-1)=12,解得n=4或n=-3.由于n≥2且n∈N*,故n=4.
√
2.计算:=__________.
解析:===-=-.
-
题型(二)　排列数公式的应用
[例2]　(1)化简:+++…+(n≥2且n∈N*);
解:∵=-,
∴+++…+=+++…+=1-.
(2)解不等式:<6.
解: 原不等式可转化为<6×,
化简得x2-19x+84<0,解得7∵即3≤x≤8,且x∈N*,∴x=8.
[思维建模]
　　排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题.具体应用时要注意阶乘的性质,提取公因式,可以简化计算.
针对训练
3.不等式3≤2+6的解集为(　　)
A.{3,4,5} B.{3,4,5,6}
C.{x|3≤x≤5} D.{x|3≤x≤6}
解析:易知x≥3,x∈N.因为=x(x-1)·(x-2),=(x+1)x,=x(x-1),所以原不等式可化为3x(x-1)(x-2)≤2x(x+1)+6x(x-1),所以3≤x≤5,所以原不等式的解集为{3,4,5}.
√
4.求证:(1)-=n2;
证明:左边=-=n(n+1)-n=(n2+n-n)=n2=右边,∴结论成立,即-=n2.
(2)-=(k≤n).
证明: 当k≤n时,左边=-=-===右边,∴结论成立,即-=(k≤n).
题型(三)　排列数的简单应用
[例3]　某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号,每次可以任意挂1面、2面或3面,并且不同的顺序表示不同的信号,一共可以表示多少种不同的信号
解:分3类:第1类,用1面旗表示的信号有种;第2类,用2面旗表示的信号有种;第3类,用3面旗表示的信号有种,由分类计数原理知,所求的信号种数是++=3+3×2+3×2×1=15,即一共可以表示15种不同的信号.
[思维建模]
　　对于简单的排列问题可直接代入排列数公式,也可以用树形图法.若情况较多,可以分类后进行计算.
针对训练
5.已知有4名司机,4名售票员要分配到4辆汽车上,使每辆汽车上有1名司机和1名售票员,则可能的分配方法有 (　　)
A.种　 B.种　
C.种　 D.2种
解析:司机、售票员各有种分配方法,由分步计数原理知,共有种不同的分配方法.
√
6.从班委会的5名成员中选出3名分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员,其中甲、乙二人不能担任文娱委员,则不同的选法共有____　　种.(用数字作答)
解析:文娱委员有3种选法,则安排学习委员、体育委员有=12(种)方法,由分步计数原理知,共有3×12=36(种)选法.
36
课时跟踪检测
04
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
A级——综合提能
1.×3!=(　　)
A.30 B.60
C.90 D.120
解析:×3!=×3!=5!=5×4×3×2×1=120.
√
1
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2
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2.已知=132,则n=(　　)
A.11 B.12
C.13 D.14
解析:因为=132,所以n(n-1)=132,整理得n2-n-132=0,解得n=12或n=-11(不合题意,舍去).
√
1
5
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12
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14
3
4
2
3.用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的三位数的个数为 (　　)
A.120 B.86
C.72 D.60
解析:依题意,组成的无重复数字的三位数的个数为=60.
√
1
5
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3
4
2
4.[多选]下列各式,等于n!的是 (　　)
A.m! B. C. D.n
解析:m!=≠n!,故A错误.
==(n+1)!≠n!,故B错误.
==n!,故C正确.
n=n·(n-1)!=n!,故D正确.
√
√
1
5
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3
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2
5.某校组队参加辩论赛,从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、四辩,若其中学生甲、乙必须参加且不担任四辩,则不同的安排方法种数为 (　　)
A.36 B.72
C.144 D.240
解析:分步完成:甲不担任四辩,共有3种选择,又因为乙也不担任四辩,共有2种选择,从剩下4名同学任选2人,且任意排序,共有=12种,所以一共有3×2×12=72种.
√
1
5
6
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2
6.如果=15×14×13×12×11×10,那么n=_____,m=_____.
解析:15×14×13×12×11×10=,故n=15,m=6.
15
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3
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2
7.-6+5=_______.
解析:由-6+5=-+==5×4×3×2×1=120.
120
1
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8.有3名大学毕业生,到5家招聘员工的公司应聘,若每家公司至多招聘1名新员工,且3名大学毕业生全部被聘用,若不允许兼职,则共有_____种不同的招聘方案.(用数字作答)
解析:将5家招聘员工的公司看作5个不同的位置,从中任选3个位置给3名大学毕业生,即为从5个不同元素中任取3个元素的排列问题.所以不同的招聘方案共有=5×4×3=60(种).
60
1
5
6
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8
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3
4
2
9.求证:(1)+4=;
证明:+4=+===.
(2)+m=.
证明: +m=+===.
1
5
6
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3
4
2
10.已知一条铁路有8个车站,假设列车往返运行且每个车站均停靠上下客,记从A车站上车到B车站下车为1种车票(A≠B).
(1)该铁路的客运车票有多少种
解:铁路的客运车票有=8×7=56(种).
1
5
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7
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14
3
4
2
(2)为满足客运需要,在该铁路上新增了n个车站,客运车票增加了54种,求n的值.
解:在新增了n个车站后,共有(n+8)个车站,因为客运车票增加了54种,则-56=54,所以=(n+8)(n+7)=110,解得n=3.
1
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4
2
B级——应用创新
11.[多选]下列等式正确的是(　　)
A.(n+1)= B.=(n-2)!
C.= D.=
√
√
√
1
5
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4
2
解析:对于A,(n+1)=(n+1)·===,故A正确;
对于B,==(n-2)!,故B正确;
对于C,=m!,=,显然≠,故C错误;
对于D,=·==,故D正确.
1
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2
12.若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大,则称这个数为“伞数”.现从2,3,4,5,6,9这六个数字中任取3个数,组成无重复数字的三位数,其中“伞数”有 (　　)
A.120个 B.80个
C.40个 D.20个
√
1
5
6
7
8
9
10
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3
4
2
解析:由题意知,可按十位数字的取值进行分类:第一类,十位数字取9,有个;第二类,十位数字取6,有个;第三类,十位数字取5,有个;第四类,十位数字取4,有个.所以“伞数”的个数为+++=40.
1
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2
13.(2024·全国甲卷)甲、乙、丙、丁四人排成一列,则丙不在排头,且甲或乙在排尾的概率是 (　　)
A. B. C. D.
解析:法一　画出树形图:
√
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2
甲、乙、丙、丁四人排成一列共有24种排法,其中丙不在排头,且甲或乙在排尾的排法共有8种,所以所求概率为=,故选B.
法二　甲、乙、丙、丁四人排成一列共有=24(种)排法.丙不在排头,甲或乙在排尾,则丙在中间两个位置中选一个,有2种选法,甲或乙两人中选一个在排尾也有2种选法,余下2人全排列,有=2(种)排法,故共有2×2×2=8(种)排法,所以所求概率为=.
1
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10
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12
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14
3
4
2
14.由四个不同的数字1,2,4,x组成无重复数字的三位数.
(1)若x=9,则其中能被3整除的共有_______个;
解析:因为当各数位上的数字之和能被3整除时,该数就能被3整除,
所以这种三位数只能由2,4,9或1,2,9排列组成,
所以共有2×=12(个).
12
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2
(2)若所有这些三位数的各位数字之和是252,则x=_____.
解析: 显然x≠0,因为1,2,4,x在各个数位上出现的次数都相同,且各自出现次,
所以这样的数字之和是(1+2+4+x),
即(1+2+4+x)=252,所以7+x=14,解得x=7.
7课时跟踪检测(十八)　排列数与排列数公式
A级——综合提能
1.×3!= (　　)
A.30 B.60
C.90 D.120
2.已知=132,则n= (　　)
A.11 B.12
C.13 D.14
3.用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的三位数的个数为 (　　)
A.120 B.86
C.72 D.60
4.[多选]下列各式,等于n!的是 (　　)
A.m! B.
C. D.n
5.某校组队参加辩论赛,从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、四辩,若其中学生甲、乙必须参加且不担任四辩,则不同的安排方法种数为 (　　)
A.36 B.72
C.144 D.240
6.如果=15×14×13×12×11×10,那么n=　　　　,m=　　　　.
7.-6+5=　　　　　.
8.有3名大学毕业生,到5家招聘员工的公司应聘,若每家公司至多招聘1名新员工,且3名大学毕业生全部被聘用,若不允许兼职,则共有　　　种不同的招聘方案.(用数字作答)
9.求证:(1)+4=;
(2)+m=.
10.已知一条铁路有8个车站,假设列车往返运行且每个车站均停靠上下客,记从A车站上车到B车站下车为1种车票(A≠B).
(1)该铁路的客运车票有多少种
(2)为满足客运需要,在该铁路上新增了n个车站,客运车票增加了54种,求n的值.
B级——应用创新
11.[多选]下列等式正确的是 (　　)
A.(n+1)= B.=(n-2)!
C.= D.=
12.若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大,则称这个数为“伞数”.现从2,3,4,5,6,9这六个数字中任取3个数,组成无重复数字的三位数,其中“伞数”有 (　　)
A.120个 B.80个
C.40个 D.20个
13.(2024·全国甲卷)甲、乙、丙、丁四人排成一列,则丙不在排头,且甲或乙在排尾的概率是 (　　)
A. B.
C. D.
14.由四个不同的数字1,2,4,x组成无重复数字的三位数.
(1)若x=9,则其中能被3整除的共有　　　个;
(2)若所有这些三位数的各位数字之和是252,则x=　　　　.
课时跟踪检测(十八)
1.选D　×3!=×3!=5!=5×4×3×2×1=120.
2.选B　因为=132,所以n(n-1)=132,整理得n2-n-132=0,解得n=12或n=-11(不合题意,舍去).
3.选D　依题意,组成的无重复数字的三位数的个数为=60.
4.选CD　m!=≠n!,故A错误.==(n+1)!≠n!,故B错误.==n!,故C正确.n=n·(n-1)!=n!,故D正确.
5.选B　分步完成:甲不担任四辩,共有3种选择,又因为乙也不担任四辩,共有2种选择,从剩下4名同学任选2人,且任意排序,共有=12种,所以一共有3×2×12=72种.
6.解析:15×14×13×12×11×10=,故n=15,m=6.
答案:15　6
7.解析:由-6+5=-+==5×4×3×2×1=120.
答案:120
8.解析:将5家招聘员工的公司看作5个不同的位置,从中任选3个位置给3名大学毕业生,即为从5个不同元素中任取3个元素的排列问题.所以不同的招聘方案共有=5×4×3=60(种).
答案:60
9.证明:(1)+4=+===.
(2)+m=+===.
10.解:(1)铁路的客运车票有=8×7=56(种).
(2)在新增了n个车站后,共有(n+8)个车站,因为客运车票增加了54种,则-56=54,
所以=(n+8)(n+7)=110,解得n=3.
11.选ABD　对于A,(n+1)=(n+1)·===,故A正确;对于B,==(n-2)!,故B正确;对于C,=m!,=,显然≠,故C错误;对于D,=·==,故D正确.
12.选C　由题意知,可按十位数字的取值进行分类:第一类,十位数字取9,有个;第二类,十位数字取6,有个;第三类,十位数字取5,有个;第四类,十位数字取4,有个.所以“伞数”的个数为+++=40.
13.选B　法一　画出树形图:
甲、乙、丙、丁四人排成一列共有24种排法,其中丙不在排头,且甲或乙在排尾的排法共有8种,所以所求概率为=,故选B.
法二　甲、乙、丙、丁四人排成一列共有=24(种)排法.丙不在排头,甲或乙在排尾,则丙在中间两个位置中选一个,有2种选法,甲或乙两人中选一个在排尾也有2种选法,余下2人全排列,有=2(种)排法,故共有2×2×2=8(种)排法,所以所求概率为=.
14.解析:(1)因为当各数位上的数字之和能被3整除时,该数就能被3整除,
所以这种三位数只能由2,4,9或1,2,9排列组成,
所以共有2×=12(个).
(2)显然x≠0,因为1,2,4,x在各个数位上出现的次数都相同,且各自出现次,所以这样的数字之和是(1+2+4+x),
即(1+2+4+x)=252,
所以7+x=14,解得x=7.
答案:(1)12　(2)7
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